第20讲 图形的相似与位似（3考点 25题型）（讲义）-2024年中考数学一轮复习讲义（全国通用）

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2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数）。
3、要学会抢得分点。要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想：体现在数学上也就是要把难转简，把不熟转熟，把未知转为已知的问题。
第20讲 图形的相似与位似
目 录
TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc156399149" \l "_Tc156054062" 一、考情分析
二、知识建构
\l "_Tc156399150" 考点一 比例线段的概念与性质
\l "_Tc156399151" 题型01 成比例线段
\l "_Tc156399152" 题型02 图上距离与实际距离
\l "_Tc156399153" 题型03 利用比例的性质判断式子变形是否正确
\l "_Tc156399154" 题型04 利用比例的性质求未知数的值
\l "_Tc156399155" 题型05 利用比例的性质求代数式的值
\l "_Tc156399156" 题型06 理解黄金分割的概念
\l "_Tc156399157" 题型07 黄金分割的实际应用
\l "_Tc156399158" 题型08 由平行线分线段成比例判断式子正误
\l "_Tc156399159" 题型09 平行线分线段成比例（A型）
\l "_Tc156399160" 题型10 平行线分线段成比例（X型）
\l "_Tc156399161" 题型11 平行线分线段成比例与三角形中位线综合
\l "_Tc156399162" 题型12 平行线分线段成比例的常用辅助线之平行线
\l "_Tc156399163" 题型13 平行线分线段成比例的常用辅助线之垂线
\l "_Tc156399164" 考点二 相似图形的概念与性质
\l "_Tc156399165" 题型01 理解相似图形的概念
\l "_Tc156399166" 题型02 相似多边形
\l "_Tc156399167" 题型03 相似多边形的性质
\l "_Tc156399168" 考点三 位似图形
\l "_Tc156399169" 题型01 位似图形的识别
\l "_Tc156399170" 题型02 判断位似中心
\l "_Tc156399171" 题型03 根据位似的概念判断正误
\l "_Tc156399172" 题型04 求两个位似图形的相似比
\l "_Tc156399173" 题型05 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形
\l "_Tc156399174" 题型06 求位似图形的坐标
\l "_Tc156399175" 题型07 求位似图形的线段长度
\l "_Tc156399176" 题型08 在坐标系中求位似图形的周长
\l "_Tc156399177" 题型09 在坐标系中求位似图形的面积
考点一 比例线段的概念与性质
线段的比的定义：两条线段的比是两条线段的长度之比．
比例线段的定义：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度的比)与另两条线段的比相等，如ab=cd（即ad=bc），我们就说这四段线段是成比例线段，简称比例线段.其中a、b、c、d叫组成比例的项；a、d叫比的外项，b、c叫比的内项，
【补充】当比的内项相等时，即ab=bd或a：b=b：d，线段 b 叫做线段a和d的比例中项.
【解题思路】
1）判断四条线段是否成比例，需要将这四条线段从小到大依次排列，再判断前两条线段的比与后两条线段的比是否相等即可；
2）成比例的线段是有顺序的，比如：a、b、c、d是成比例的线段，则成比例线段只能写成ab=cd（即：第一条第二条=第三条第四条），而不能写成ab=dc.
比例的性质：
1）基本性质：ab=cd⇔ad=bc ab=bc⇔b2=ac
2）变形：ab=cd⇔&ac=bd，(交换内项)&db=ca，(交换外项)&dc=ba．(同时交换内外项) 核心内容：ad=bc
3）合、分比性质：ab=cd⇔a±bb=c±dd
【补充】实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：ab=cd⇒&b−aa=d−cc&a−ba+b=c−dc+d
4）等比性质：如果ab=cd=ef=⋯=mn=k， 那么a+c+e+⋯+mb+d+f+⋯+n=k(b+d+f+⋯+n≠0).
【补充】根据等比的性质可推出，如果ab=cd，则ab=cd=a+cb+d(b+d≠0).
5）黄金分割：点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果ACAB=BCAC,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比.
【注意】1）AC=5−12AB≈0.648AB (5−12叫做黄金分割值). 简记为：长全＝短长＝5−12
2）一条线段的黄金分割点有两个.
【扩展】作一条线段的黄金分割点：
如图，已知线段AB，按照如下方法作图：
①经过点B作BD⊥AB，使BD=12AB.
②连接AD，在DA上截取DE=DB.
③在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.
6）平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.
①已知l3∥l4∥l5, 可得ABBC=DEEF或ABAC=DEDF或BCAB=EFDE或BCAC=EFDF或ABDE=BCEF等
①把平行线分线段成比例的定理运用到三角形中，会出现下面的两种情况：
推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．
1. 求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
2. 通常四条线段a、b、c、d的单位应该一致，但有时为了计算方便，a和b统一为一个单位，c和d统一为另外一个单位也可以.
题型01 成比例线段
【例1】（2023·福建泉州·校联考模拟预测）下列长度的各组线段中，能构成比例线段的是（ ）
A．2，5，6，8B．3，6，9，2C．1，2，3，4D．3，6，7，9
【答案】B
【分析】分别计算各组数中最大与最小数的积和另外两数的积，然后根据比例线段的定义进行判断．
【详解】解：A.∵2×8≠5×6，
∴2，5，6，8不能构成比例线段，不符合题意；
B.∵2×9=3×6，
∴3，6，9，2能构成比例线段，符合题意；
C.∵1×4≠3×2，
∴1，2，3，4不能构成比例线段，不符合题意；
D.∵3×9≠6×7，
∴3，6，7，9不能构成比例线段，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了比例线段：判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
【变式1-1】（2023·上海长宁·统考一模）已知线段a、b、c、d是成比例线段，如果a=1，b=2，c=3，那么d的值是（ ）
A．8B．6C．4D．1
【答案】B
【分析】利用成比例线段的定义得到a:b=c:d，然后根据比例的性质求d的值．
【详解】解：根据题意得：a:b=c:d，
即1:2=3:d，
解得d=6．
故选：B．
【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a:b=c:d（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段．
【变式1-2】（2023·上海杨浦·统考一模）已知线段a=3厘米，c=12厘米，如果线段b是线段a和c的比例中项，那么b= 厘米．
【答案】6
【分析】本题考查了比例线段，根据比例中项的定义得到a:b=b:c，然后利用比例性质计算即可，解题的关键是理解四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段，当a:b=b:c时，线段b是线段a和c的比例中项．
【详解】∵线段b是线段a和c的比例中项，
∴a:b=b:c， 即b2=ac=3×12，
∴b=6cm，
故答案为：6 ．
题型02 图上距离与实际距离
【例2】（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考模拟预测）在比例尺是1:8000的地图上，延陵西路的长度约为25cm，该路段的实际长度约为（ ）
A．3200mB．3000mC．2400mD．2000m
【答案】D
【分析】首先设它的实际长度是xcm然后根据比例尺的定义，即可得方程1:8000=25:x，解此方程即可求得答案，注意统一单位．
【详解】解：设它的实际长度为xcm，
根据题意得：1:8000=25:x
解得：x=200000，
∵200000cm=2000m
∴该路段实际长度约为2000m
故选：D．
【点睛】此题考查了比例线段．此题难度不大，解题的关键是理解题意，根据比例尺的定义列方程，注意统一单位．
【变式2-1】（2023·上海嘉定·校考一模）甲、乙两地的实际距离为250km，如果画在比例尺为1:5 000 000的地图上，那么甲、乙两地的图上距离是 cm．
【答案】5
【分析】根据比例尺＝图上距离÷实际距离进行求解即可．
【详解】解：由题意得甲、乙两地的图上距离是250×1000×100×15000000=5cm，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了比例尺，熟知比例尺的定义是解题的关键．
题型03 利用比例的性质判断式子变形是否正确
【例3】（2023·安徽合肥·校考一模）已知2x=3y（x≠0，y≠0），则下列比例式成立的是（ ）
A．x3=y2B．x2=3yC．x2=y3D．xy=23
【答案】A
【分析】根据若ab=cd(b≠0，d≠0)，则ad=bc，进行逐一判断即可求解．
【详解】解：A.可化为2x=3y，故此项符合题意；
B. 可化为xy=6，故此项不符合题意；
C. 可化为3x=2y，故此项不符合题意；
D. 可化为3x=2y，故此项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了比例是性质，掌握性质是解题的关键．
【变式3-1】（2023·上海宝山·一模）已知线段a、b，如果a:b=2:3，那么下列各式中一定正确的是（ ）
A．2a=3bB．a+b=5C．a+ba=52D．a+3b+2=1
【答案】C
【分析】根据比例的性质进行判断即可．
【详解】解：A、由a:b=2:3，得3a=2b，故本选项错误，不符合题意；
B、当a=4，b=6时，a:b=2:3，但是a+b=10，故本选项错误，不符合题意；
C、由a:b=2:3，得a+ba=52，故本选项正确，符合题意；
D、当a=4，b=6时，a:b=2:3，但是a+3b+2=78，故本选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了比例的性质及式子的变形，用到的知识点：在比例里，两外项的积等于两内项的积，比较简单．
题型04 利用比例的性质求未知数的值
【例4】（2023·湖南郴州·模拟预测）若5−x:x=2:3，则x= ．
【答案】3
【分析】根据比例的性质得到方程35−x=2x，再解方程即可求解．
【详解】解：∵5−x:x=2:3，
∴35−x=2x，
15−3x=2x，
解得x=3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查比例性质，熟练掌握内项之积等于外项之积是解题关键．
【变式4-1】（2023·四川成都·统考二模）若ab=34，且a+b=7，则a的值为 ．
【答案】3
【分析】根据比例的性质得到3b=4a，结合a+b=7求得a的值即可．
【详解】解：由a：b=3：4知3b=4a，
所以b=43a.
所以由a+b=7得到：a+43a=7，
解得：a=3，
故答案为：3．
【点睛】考查了比例的性质，内项之积等于外项之积．若ab=cd，则ad=bc．
题型05 利用比例的性质求代数式的值
【例5】（2023·浙江·模拟预测）用“▲”，“●”，“◆”分别表示三种物体的重量，若▲●=●−◆▲=◆●+▲，则▲，●，◆这三种物体的重量比为（ ）
A．2:3:4B．2:4:3C．3:4:5D．3:5:4
【答案】B
【分析】可设▲●=●−◆▲=◆●+▲ =k，利用等比性质可得k的值，设▲为x，●为y，◆为z，得到3个等式，联立可得用x表示y、z，相比即可．
【详解】解：设▲●=●−◆▲=◆●+▲ =k，▲为x，●为y，◆为z，
∴k=x+y−z+zy+x+y+x=x+y2x+y=12，
∴x=12y,y−z=12x,z=12x+y，
∴y=2x,z=32x，
∴▲，●，◆这三种物体的重量比为2:4:3．
故选：B．
【点睛】考查比例性质的应用；利用等比性质得到所给比值的确定值是解决本题的关键．
【变式5-1】（2023·上海虹口·统考一模）已知x:y=3:2，那么x−y:x= ．
【答案】1:3
【分析】本题考查了比例的性质，表示出y是解题的关键．先用x表示出y，再代入比例式进行计算即可得解．
【详解】解：∵x:y=3:2，
∴y=23x，
∴x−y:x=x−23x:x=13x:x=1:3，
故答案为：1:3．
【变式5-2】（2023·宁夏银川·校考一模）若ba=dc=12a≠c，则2b−d2a−c= ．
【答案】12/0.5
【分析】根据等比性质、合比性质转换即可．
【详解】解：∵ba=dc=12a≠c，
∴2b2a=dc=12a≠c，
∴2b−d2a−c=12a≠c，
故答案为12．
【点睛】本题考查了比例线段，比例的性质，正确理解等比性质、合比性质是解题的关键．
【变式5-3】（2023·江西抚州·校联考一模）解方程：
(1)xx−3=2x−6；
(2)已知a:b:c=2:3:4，且2a+3b−2c=15，求a−2b+3c的值．
【答案】(1)x1=3，x2=2；
(2)24
【分析】（1）先移项，再利用因式分解法解一元二次方程，此题得解；
（2）由a:b:c=2:3:4，可设a=2k，则b=3k，c=4k，根据2a+3b−2c=15可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值，进而可得出a、b、c的值，将其代入a−2b+3c中即可求出结论．
【详解】（1）解：移项得，xx−3−2x−3=0，
即x−3x−2=0，
即x−3=0或x−2=0，
解得：x1=3，x2=2；
（2）解：∵a:b:c=2:3:4，
∴设a=2k，则b=3k，c=4k．
∵2a+3b−2c=15，
∴4k+9k−8k=15，
解得：k=3，
∴a=6，b=9，c=12，
∴a−2b+3c=6−18+36=24．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程、解一元一次方程以及比例的性质，解题的关键是：（1）熟练掌握因式分解法解一元二次方程的解法；（2）根据比例关系结合2a+3b−2c=15列出关于k的一元一次方程．
【变式5-4】（2023·安徽·校联考模拟预测）已知2ab+c+d=2ba+c+d=2ca+b+d=2da+b+c=k，求k2-3k-4的值．
【答案】-509或6．
【分析】当a+b+c+d≠0时，依据等比性质可得2(a+b+c+d)3(a+b+c+d)=k，当a+b+c+d=0时，得b+c+d=﹣a，代入即可计算出k的值．
【详解】∵2ab+c+d=2ba+c+d=2ca+b+d=2da+b+c=k，
∴当a+b+c+d≠0时，由等比性质可得，2(a+b+c+d)3(a+b+c+d)=k，
k=2(a+b+c+d)3(a+b+c+d)=23；
当a+b+c+d=0时，b+c+d=﹣a，
∴k=2ab+c+d=2a−a=-2；
当k=23时，k2−3k−4=232−3×23−4=− 509；
当k=−2时，k2−3k−4=−22−3×−2−4=6．
【点睛】本题主要考查了比例的性质的运用，解决问题的关键是掌握比例的性质．
题型06 理解黄金分割的概念
【例6】（2023·上海杨浦·统考一模）已知P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，那么下列等式能成立的是（ ）
A．ABAP=APBPB．ABBP=BPAP
C．APBP=5−12D．ABAP=5−12
【答案】A
【分析】本题考查黄金分割点，根据黄金分割点的定义得出线段比例关系，选出正确选项，解题的关键是掌握黄金分割点的性质．
【详解】解：如图，
∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，
∴APAB=PBAP=5−12，
故选：A．
【变式6-1】（2023·河南郑州·统考二模）神奇的自然界中处处蕴含着数学知识．如图是古希腊时期的帕提农神庙（Partℎenn Temple），我们把图中的虚线表示为矩形ABCD，并发现AD:DC≈0.618，这体现了数学中的（ ）

A．平移B．旋转C．轴对称D．黄金分割
【答案】D
【分析】根据黄金分割比可得答案．
【详解】解：∵AD:DC≈0.618，
∴体现了数学中的黄金分割；
故选D
【点睛】本题考查的是黄金分割比的含义，熟记黄金分割比为5−12≈0.618是解本题的关键．
【变式6-2】（2023·四川成都·校考三模）已知点C为线段AB的黄金分割点，AC>BC．若AC=6 cm，则AB的长为 cm．
【答案】35+3/3+35
【分析】利用黄金比例列出方程解答即可．
【详解】解：∵点C为线段AB的黄金分割点，
∴ACAB=5−12，
∴6AB=5−12，
∴AB=35+3．
故答案为：35+3．
【点睛】本题考查了黄金分割点的应用，正确应用黄金比是解答本题的关键．
题型07 黄金分割的实际应用
【例7】（2023·云南昆明·统考二模）如果矩形ABCD满足ABBC=5−12，那么矩形ABCD叫做“黄金矩形”，如图，已知矩形ABCD是黄金矩形，对角线AC，BD相交于O且BC=2，则关于黄金矩形ABCD，下列结论不正确的是（ ）
A．AC=BDB．S△AOB=5−12
C．AC=8−25D．矩形ABCD的周长C=25+2
【答案】C
【分析】计算得出AB=5−1，根据矩形的性质求得各项，即可判断．
【详解】解：∵ABBC=5−12，且BC=2，
∴AB=5−1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，故选项A正确，不符合题意；
∴S△AOB=14S矩形ABCD=14×2×5−1=5−12，故选项B正确，不符合题意；
∴AC=5−12+22=10−25≠8−25，故选项C错误，符合题意；
∴矩形ABCD的周长C=25−1+2=25+2，故选项D正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质，二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
【变式7-1】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，点C是线段AB的黄金分割点，即BCAC=ACAB，若S1表示以CA为一边的正方形的面积，S2表示长为AB，宽为CB的矩形的面积，则S1与S2的大小关系是（ ）
A．S1>S2B．S1【答案】C
【分析】根据BCAC=ACAB得出AC2=AB⋅BC，根据S1=AC2，S2=AB⋅BC，得出S1=S2．
【详解】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，即BCAC=ACAB，
∴AC2=AB⋅BC，
∵S1=AC2，S2=AB⋅BC，
∴S1=S2，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了黄金分割，解题的关键是根据BCAC=ACAB得出AC2=AB⋅BC．
【变式7-2】（2023·陕西渭南·统考一模）在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比（即ACBC=BCAB），可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度AB为2m的雕像，则该雕像的下部高度BC应设计为 m．（结果保留根号）
【答案】5−1
【分析】雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比（即ACBC=BCAB），AB=2，设AC=x，根据比例即可求解．
【详解】解：∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比等于下部与全部的高度比，
∴设AC=x，则BC=2−x，
∴x2−x=2−x2，
解分式方程得，x=3+5>2（舍去）或x=3−5，
检验，当x=3−5时，原分式方程有意义，
∴x=3−5，即AC=3−5，
∴BC=2−3−5=5−1，
∴该雕像的下部设计高度为5−1m，
故答案为：5−1．
【点睛】本题主要考查比例，解比例方程，理解题意，掌握比例的性质，解比例方程是解题的关键．
【变式7-3】（2023·江西鹰潭·统考二模）【课本再现】黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值、我们知道：如图1，如果BCAC=ACAB，那么称点C为线段AB的黄金分割点．

(1)【问题发现】如图1，请直接写出CB与AC的比值是___________；
(2)【尺规作黄金分割点】如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，在BA上截取BD=BC，在AC上截取AE=AD，求AEAC的值；
(3)【问题解决】如图3，用边长为4的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABDE得折痕MN，连接EN，点A对应点H，得折痕CE，试说明：C是AB的黄金分割点．
【答案】(1)5−12
(2)5−12
(3)见解析
【分析】（1）由BCAC=ACAB得到CB⋅AB=AC2，由AB=AC+CB，代入后整理得到CBAC2+CBAC−1=0，解方程即可得到答案；
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，由勾股定理得，AB=5，由BD=BC=1得到AD=AB−BD=5−1，则AE=AD=5−1，即可得到AEAC的值；
（3）设EC与MN相交于点P，作PQ⊥EN于点Q，由MN∥AB，MN=AB，且M为AE的中点得到MPAC=EMAE=12，EM=12AE=2，可得到PQ=MP=12AC，设PQ=MP=12AC=x，则PN=4−x，由勾股定理得到EN=25，由sin∠ENM=PQPN=EMEN得到x4−x=225，解得x=5−1，则AC=25−2，求出ACAB=5−12，BCAC=5−12，即可得到结论．
【详解】（1）解：∵BCAC=ACAB，
∴CB⋅AB=AC2，
∵AB=AC+CB，
∴CB⋅AC+CB=AC2，
整理得，CB2+CB⋅AC−AC2=0，
两边同除以AC2得，CBAC2+CBAC−1=0，
解得CBAC=5−12，CBAC=−5−12（不合题意，舍去），
∴CB与AC的比值是5−12，
故答案为：5−12
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，
由勾股定理得，AB=AC2+BC2=22+12=5，
∵BD=BC=1，
∴AD=AB−BD=5−1，
∴AE=AD=5−1，
∴AEAC=5−12，
即AEAC的值为5−12；
（3）设EC与MN相交于点P，作PQ⊥EN于点Q，

∵MN∥AB，MN=AB，且M为AE的中点，
∴MPAC=EMAE=12，EM=12AE=2，
∵EC平分∠AEN，
∴PQ=MP=12AC，
设PQ=MP=12AC=x，
则PN=MN−PM=4−x，
∵EN=EM2+MN2=22+42=25，
∴sin∠ENM=PQPN=EMEN，
∴x4−x=225，
解得x=5−1，
经检验x=5−1是分式方程的根，
∴AC=2x=25−2，
∴ACAB=25−24=5−12，
BCAC=4−25−225−2=5−12，
∴BCAC=ACAB=5−12，
∴C是AB的黄金分割点．
【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理、锐角三角函数、折叠的性质、勾股定理、正方形的性质、解方程等知识，正确做出辅助线是解题的关键．
【变式7-4】（2023·湖北孝感·校考模拟预测）阅读：两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：点P是线段AB上一点(AP>BP)，若满足BPAP=APAB，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分割在我们的数学学习中也处处可见，比如我们把有一个内角为36°的等腰三角形称为“黄金三角形”．

(1)应用：如图1，若点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，若AB=1，则AC的长为 ______．
(2)运用：如图2，已知等腰三角形ABC为“黄金三角形”，AB=AC，∠A=36°，BD为∠ABC的平分线．求证：点D是AC的黄金分割点．
(3)如图3中，AB=AC，∠A=36°，BF平分∠ABC交AC于F，取AB的中点E，连接EF并延长交BC的延长线于M．BC=1，请你直接写出CM的长为__________．
【答案】(1)5−12
(2)证明见解析
(3)CM=5+12
【分析】（1）设AC=a，则BC=1−a，根据黄金分割的含义可得：BCAC=ACAB，即AC2=BC·AB，再解方程即可；
（2）证明△CBD∽△CAB，推出CDBC=BCAC，推出CDAD=ADAC，可得结论．
（3）如图，连接AM，同理可得：∠ABC=∠ACB=72°，∠1=∠2=36°=∠BAC，可得AF=BF=BC=1，证明ME⊥AB，MB=MA，∠CAM=72°−36°=36°=∠BAC，可得C是BM的黄金分割点，且BC【详解】（1）解：∵点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，AB=1，
设AC=a，则BC=1−a，
∴BCAC=ACAB，即AC2=BC·AB，
∴a2=1−a，
∴a2+a−1=0，
解得：a=5−12（负根舍去），
∴AC=5−12；
（2）证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=36°，
∴∠BDC=36°+36°=72°，
∴AD=BD，BC=BD， 即AD=BD=BC，
又∵∠C=∠C，∠CBD=∠A，
∴△CBD∽△CAB，
∴ CDBC=BCAC ，
∴CDAD=ADAC ，
∴D点是AC的黄金分割点．
（3）如图，连接AM，
同理可得：∠ABC=∠ACB=72°，∠1=∠2=36°=∠BAC，
∴AF=BF=BC=1，
∵E为AB的中点，AF=BF，
∴ME⊥AB，
∴MB=MA，

∴∠ABM=∠BAM=72°，∠AMB=36°，
∴∠CAM=72°−36°=36°=∠BAC，
同理可得C是BM的黄金分割点，且BC∴BCCM=CMBM，设CM=x，
∴1x=x1+x，
整理得：x2−x−1=0，
解得：x=5+12（负根舍去），
∴CM=5+12.
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，黄金分割点的含义，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法,熟记黄金分割的含义是解本题的关键.
【变式7-5】（2023·江苏南京·统考二模）“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．如图①，点C把线段AB分成两部分，如果BCAC=ACAB，那么称线段AB被点C黄金分割，点C为线段AB的黄金分割点．AC与AB的比称为黄金比，它们的比值为5−12．请完成下面的问题：

(1)如图②，∠MON=60°，点A在OM边上，OA=2．请在ON边上用无刻度的直尺和圆规作出点B，使得OB与OA的比为黄金比；（不写作法，保留作图痕迹）

(2)如图③，在△ABC中，AB=AC，若ABBC=5−12，请你求出∠A的度数．

【答案】(1)见解析
(2)108°
【分析】（1）先作线段OA的垂直线平分线，交线段OA于点C，再过点A作OA的垂线AD，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交射线AD于点E，连接OE，然后以点E为圆心，AE的长为半径画弧，交线段OE于点F，最后以点O为圆心，OF的长为半径画弧，交射线ON于点B，如图，点B即为所求．
（2）在BC边上截取BD=AB，连接AD，根据ABBC=5−12， 可得BDBC=5−12，ACBC=5−12，CDBC=3−52，从而得到CDAC=5−12，进而得到ACBC=CDAC，可证明△ACD∽△BCA，从而得到∠CAD=∠B=∠C，设∠CAD=∠B=x，根据三角形外角的性质可得∠BAD=∠ADB=2x，从而得到∠BAC=3x，再由三角形外角的性质，可得x=36°，即可求解．
【详解】（1）解：先作线段OA的垂直线平分线，交线段OA于点C，再过点A作OA的垂线AD，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交射线AD于点E，连接OE，然后以点E为圆心，AE的长为半径画弧，交线段OE于点F，最后以点O为圆心，OF的长为半径画弧，交射线ON于点B，如图，点B即为所求．

理由：根据作法得：AD⊥OA,EF=AE=AC=12OA=1， OB=OF，
∴OE=OA2+AE2=5，
∴OF=OE−EF=5−1，
∴OB=5−1,
∴OBOA=5−12，
∴OB与OA的比为黄金比；
（2）解：在BC边上截取BD=AB，连接AD，

∵ABBC=5−12，AB=AC，
∴BDBC=5−12，ACBC=5−12，
∴CDBC=3−52，
∴CDBCACBC=CDAC=3−525−12=5−12，
∴ACBC=CDAC，
∵∠C=∠C，
∴△ACD∽△BCA，
∴∠CAD=∠B=∠C，
设∠CAD=∠B=x，
∴∠ADB=∠C+∠CAD=2x，
∵AB=BD，
∴∠BAD=∠ADB=2x，
∴∠BAC=3x，
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴x+x+3x=180°，
解得：x=36°，
∴∠BAC=3x=108°．
【点睛】本题主要考查了黄金分割，相似三角形的判定和性质，复杂作图，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
题型08 由平行线分线段成比例判断式子正误
【例8】（2023·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边的中点，连接DE，点F为BC边上一点，BF=2FC，连接AF交DE于点N，则下列结论中错误的是（ ）

A．ANAF=12B．DNDE=23C．ADAC=12D．NEFC=12
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理，可推出AN=NF,根据中位线定理分析求解．
【详解】解：∵D、E分别为AB、AC边的中点，
∴DE∥BC.
∴ADDB=ANNF=1
∴ANAF=12,NE=12CF,DN=12BF .
∴NEFC=12.
∵BF=2FC，
∴DN=2NE.
∴DNDE=23.
所以，A,B,D正确，C错误；
故选：C
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，中位线定理；由平行线的位置关系得到线段间数量关系是解题的关键．
【变式8-1】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六十九中学校校考模拟预测）如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，则下列比例式中正确的是（ ）

A．BDAD=DFFCB．DEFB=AEACC．BFFC=CEAED．ADFC=ABAC
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例定理及平行四边形的判定与性质逐项验证即可得到答案．
【详解】解：A、∵ DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形DFCE是平行四边形，
∴DF=EC，
∵ DE∥BC，
∴BDAD=ECAE=DFAE，
∵AE与FC的关系不确定，
∴ BDAD=DFFC不正确，不符合题意；
B、∵ DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形DFCE是平行四边形，
∴DE=FC，
∵ DF∥AC，
∴ADBD=FCBF=DEFB，
∵ DE∥BC，
∴ ADBD=AEEC≠AEAC
∴ DEFB=AEAC不正确，不符合题意；
C、∵ DF∥AC，
∴ BFFC=BDAD，
∵ DE∥BC，
∴ BDAD=CEAE，
∴ BFFC=BDAD=CEAE，
∴ BFFC=CEAE正确，符合题意；
D、∵ DE∥BC
∴ADAB=AEAC，
∵由ADFC=ABAC可得ADAB=FCAC，
∵AE与FC的关系不确定，
∴ ADFC=ABAC不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理及平行四边形的判定性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理及平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
【变式8-2】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨风华中学校考三模）如图，△ABC中，E为AB边上一点，过E作EF∥BC交AC于F，G为EF的中点，作FH∥AB交BC于H，则下列结论错误的是（ ）

A．BHBC=AGADB．EGCD=AGADC．CFAF=CHEFD．EFBC=FHAB
【答案】D
【分析】根据平行线分线段成比例定理、中点定义及相似三角形对应边成比例逐项判断即可得到答案．
【详解】解：A、∵ EF∥BC，
∴由平行线分线段成比例定理可得AEAB=AGAD，
∵ EF∥BC，
∴∠AEF=∠B，
∵∠BAC=∠BAC，
∴△AEF∽△ABC，
∴ EFBC=AEAB，即EFBC=AEAB，
∵ EF∥BC，FH∥AB，
∴由平行四边形的判定定理得到四边形EFHB为平行四边形，即EF=BH，
∴ BHBC=AGAD，故该选项正确，不符合题意；
B、∵ EF∥BC，
∴∠AEF=∠B，
∵∠BAC=∠BAC，
∴△AGF∽△ADC，
∴ GFDC=AGAD，
∵ G为EF的中点，
∴EG=GF，
∴ EGCD=AGAD，故该选项正确，不符合题意；
C、∵ FH∥AB，
∴由平行线分线段成比例定理可得CHBH=CFAF，
∵ EF∥BC，FH∥AB，
∴由平行四边形的判定定理得到四边形EFHB为平行四边形，即EF=BH，
∴ CFAF=CHEF，故该选项正确，不符合题意；
D、∵ EF∥BC，
∴由平行线分线段成比例定理可得FEBC=AFAC，
∵ FH∥AB，
∴由平行线分线段成比例定理可得FHAB=CFAC，
只有当F为AC中点时，即AF=FC时，EFBC=AFAC=CFAC=FHAB
由于题中并未给出相关条件，故该选项错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查线段成比例，涉及平行线分线段成比例定理、平行四边形的判定与性质、中点的定义等知识，熟记相关几何性质是解决问题的关键．
【变式8-3】（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别在AD的延长线，CB的延长线上，连接EF分别交AB，CD于点G，H，则下列结论错误的是（ ）
A．CHDH=FHEHB．BGCD=FGEFC．ADBF=GHFGD．DHAG=DEAD
【答案】D
【分析】由CF∥DE，根据平行线分线段成比例定理得CHDH=FHEH，可判断A不符合题意；由BF∥AE得BGAB=FGEF，所以BGCD=FGEF，可判断B不符合题意；由BG∥CH得BCBF=GHFG，所以ADBF=GHFG，可判断C不符合题意；由DH∥AG证明△EDH∽△EAG，得DHAG=DEAE，则DHAG≠DEAD，可判断D符合题意，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC，
∵CF∥DE，
∴CHDH=FHEH，
故A不符合题意；
∵BF∥AE，
∴BGAB=FGEF，
∴BGCD=FGEF，
故B不符合题意；
∵BG∥CH，
∴BCBF=GHFG，
∴ADBF=GHFG，
故C不符合题意；
∵DH∥AG，
∴△EDH∽△EAG，
∴DHAG=DEAE，
∴DHAG≠DEAD，
故D符合题意，
故选：D．
【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识，根据平行线分线段成比例定理或相似三角形的性质正确地列出比例式是解题的关键．
题型09 平行线分线段成比例（A型）
【例9】（2023·河南周口·统考一模）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB、AC相交于D、E，若AD=4，DB=2，则ECAE的值为（ ）

A．12B．23C．34D．35
【答案】A
【分析】根据平行线分线段成比例定理，即可得到答案．
【详解】证明：∵DE∥BC，
∴BDAD=CEAE，
∵AD=4，DB=2，
∴CEAE=12．
故选：A．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
【变式9-1】（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，BD=3，下列结论错误的是（ ）

A．AEEC=23B．DEBC=23C．S△ADES△ABC=425D．CEAC=35
【答案】B
【分析】利用平行线分线段成比例以及相似三角形的判定和性质，即可判断.
【详解】解：∵DE∥BC，AD=2，BD=3，
∴AEEC=ADBD=23，故选项A结论正确，不符合题意；
∴CEAC=BDAB=BDAD+BD=35，故选项D结论正确，不符合题意；
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DEBC=ADAB=25≠23，故选项B结论错误，符合题意；
∴S△ADES△ABC=ADAB2=252=425，故选项C结论正确，不符合题意；
故选：B.
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例以及相似三角形的判定和性质，掌握定理是解题的关键.
【变式9-2】（2023·上海杨浦·统考一模）如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，DE∥BC，AB=15，AEEC=23．
(1)求AD的长；
(2)如果BF=4，CF=6，求四边形BDEF的周长．
【答案】(1)6
(2)26
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定和性质，熟练掌握定理是解题的关键．
(1)利用平行线分线段成比例定理，列式计算即可．
(2)先证明EF∥AB，再利用平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定和性质，列式计算即可．
【详解】（1）∵DE∥BC，
∴AEEC=ADDB．
∵AB=15，AEEC=23．
∴AD15−AD=23．
解得AD=6．
（2）∵BF=4，CF=6，
∴BFFC=46=23，
∵AEEC=23，
∴BFFC=AEEC，
∴EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴EFAB=CFBC=64+6=35．
∵AB=15．
解得EF=9．
∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∴DE=BF=4,EF=BD=9，
∴四边形BDEF的周长为24+9=26．
题型10 平行线分线段成比例（X型）
【例10】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市萧红中学校考三模）如图，AD∥BE∥CF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若AB=4.5，BC=3，EF=2，则DE的长度是（ ）

A．154B．3C．5D．43
【答案】B
【分析】由AD∥BE∥CF，根据平行线分线段成比例，即可得出ABBC=DEEF，代入即可得出答案．
【详解】解：∵AD∥BE∥CF，
∴ABBC=DEEF
∵AB=4.5，BC=3，EF=2，
∴4.53=DE2
∴DE=3．
故选：B．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例的性质，属于基础概念题型，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，得出对应线段的比．
【变式10-1】（2023·北京海淀·人大附中校考三模）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，则下列结论中错误的是（ ）

A．∠AEF=∠DECB．FA:CD=AE:BC
C．FA:AB=FE:ECD．AB=DC
【答案】B
【分析】根据已知及平行线分线段成比例定理进行分析，可得CD∥BF，依据平行线成比例的性质即可得到答案．
【详解】解：A、根据对顶角相等，此结论正确；
B、根据相似三角形的性质定理，得FA:FB=AE:BC，所以此结论错误；
C、根据平行线分线段成比例定理得，此项正确；
D、根据平行四边形的对边相等，所以此项正确．
故选：B．
【点睛】此题综合运用了平行四边形的性质以及平行线分线段成比例定理，解决本题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理．
【变式10-2】（2023·浙江杭州·统考二模）如图，已知AB∥CD∥EF， BC:CE=3:4，AF=21，那么DF的长为（ ）

A．9B．12C．15D．18
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例求解即可．
【详解】解：∵AB∥CD∥EF，
∴BCCE=ADDF，
∵BC:CE=3:4，AF=21，
∴34=21−DFDF，
解得DF=12，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理中的对应线段是解答的关键．
题型11 平行线分线段成比例与三角形中位线综合
【例11】（2023·湖南湘潭·模拟预测）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE∥AB交AD于点E．若OA=2，△AOE周长为10，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．16B．32C．36D．40
【答案】B
【分析】由平行四边形的性质得AB=CD，AD=BC，OB=OD，证OE是△ABD的中位线，则AB=2OE，AD=2AE，求出AE+OE=8，则AB+AD=2AE+2OE=16，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，OD=OB，
∵OE∥AB，
∴DEAE=ODOB=1，
∴AE=DE，
∴OE是△ABD的中位线，
∴AB=2OE，AD=2AE，
∵△AOE的周长等于10，
∴OA+AE+OE=10，
∴AE+OE=10−OA=10−4=8，
∴AB+AD=2AE+2OE=16，
∴▱ABCD的周长=2×AB+AD=2×16=32；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例、三角形中位线定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线定理，求出AB+AD=16是解题的关键．
【变式11-1】（2023·广东深圳·统考模拟预测）如图，在△ABC中，D为BC边的中点，点E在线段AD上，BE的延长线交AC边于点F，若AE：ED＝1：3，AF＝2，则线段FC的长为 ．

【答案】12
【分析】过点D作DG∥BF于点G,由平行线分线段成比例定理得AEED=AFFG，求得FG=6，再结合中点进一步可得GF=GC=12FC，从而得到答案．
【详解】解：如图，过点D作DG∥BF于点G；
则AEED=AFFG；
而AEED=13，AF=2，
∴FG=6；
∵D为BC边的中点，
∴GF=GC=12FC，
∴CF=2FG=12，
故答案为：12．

【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，正确构造平行线是解决此题的关键．
【变式11-2】（2023·山西运城·统考二模）请阅读下列材料，非完成相应的任务．
任务：
(1)请补充材料中剩余部分的解答过程．
(2)上述解题过程主要用的数学思想是______．（单选）
A．方程思想 B．转化思想 C．分类思想 D．整体思想
(3)请你换一种思路求AFCF的值，直接写出辅助线的作法即可．
【答案】(1)见解析
(2)B
(3)见解析
【分析】（1）通过过点D作DH∥BF交AC于点H．根据△ABC的中线的定义即可得到BD=DC，根据平行线分线段成比例即可得到FHCH=BDCD与AEAD=AFAH，根据AE:AD=1:5即可得到AF:FH=1:4，进一步即可求出答案；Ｄ
（2）由上述解题过程即可得到求AFCF的值转化为了求AFFH与FHCH的值，通过转化即可求出答案，即可判断出答案；
（3）通过过点D作DM∥AC交BE于点M，根据△ABC的中线的定义即可得到BD=DC，进一步得到BDBC=12，根据平行线分线段成比例即可得到DMCM=BDBC与AEED=AFDM，根据AEAD=15，即可得到AEED=14，进一步即可求出答案．
【详解】（1）∴AEAD=AFAH，
∵AE:AD=1:5，
∴AF:AH=1:5，
∴AF:FH=1:4，
∵FH=CH，
∴AFCF=18
（2）上述解题过程主要用的数学思想是转化思想
故选B
（3）解：如图，过点D作DM∥AC交BF于点M．
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC=12BC，
∴BDBC=12，
∵DM∥AC，
∴DMCF=BDBC=12，
∵AF∥DM，
∴AEDE=AFDM，
∵AEAD=15，
∴AEED=14，
∴AFDM=14，
∴AFCF=18

【点睛】本题考查利用辅助平行线求线段的比，作出辅助线，利用平行线分线段成比例进行转化是解题关键．
题型12 平行线分线段成比例的常用辅助线之平行线
【例12】（2023·江苏盐城·校联考二模）【回归课本】我们曾学习过一个基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得 的对应线段成比例．

【初步体验】
（1）如图 1，在△ABC中，点 D 在AB上，E 在AC上，DE∥BC．若AD=1,AE=2，DB=1.5，则EC= ， AEAC= ；
（2 ） 已知，如图 1 ，在△ABC中，点 D 、E 分别在AB、AC上，且DE∥BC． 求证：△ADE∽△ABC．
证明：过点E作AB的平行线交BC于点 F
… … … … … …
请依据相似三角形的定义（如果两个三角形各角分别相等，且各边对应成比例，那么这两个三角形相似）和上面的基本事实，补充上面的证明过程；
【深入探究】
（3 ）如图 2，如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于 D、F、E 点，那么AEEC⋅BDDA⋅CFFB是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由；
（4） 如图 3 ，在△ABC中，D 为 BC的中点，AE:EF:FD=4:3:1．则 AG:GH:AB= ．

【答案】（1）3，25（2）见解析（3）是定值，值为1（4）3:4:9
【分析】（1）根据平行线分线段成比例，列出比例式进行求解即可；
（2）根据平行线的性质，以及平行线分线段成比例，推出△ADE和△ABC的各角对应相等，各边对应成比例，即可得证；
（3）过点B作BG∥EF，交AC于点G，得到BDAD=EGAE,CFFB=CEEG，即可得到AEEC⋅BDDA⋅CFFB=AEEC⋅EGAE⋅CEEG=1；
（4）过点D作DP∥AB，交CG于点P，交CH于点Q，根据平行线分线段成比例，以及相似三角形的判定和性质，进行推导求解即可．
【详解】解：（1）∵DE∥BC，
∴AECE=ADBD，即：2CE=11.5，
∴CE=3，
∴AEAC=AEAE+CE=25；
故答案为：3，25；
（2）证明：过点E作AB的平行线交BC于点 F

则：BFBC=AEAC，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C,ADAB=AEAC，
又EF∥BD，
∴四边形DBFE为平行四边形，
∴DE=BF，
∴BFBC=AEAC=DEBC，
∴ADAB=AEAC=DEBC，
又∠ADE=∠B,∠AED=∠C,∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC；
（3）过点B作BG∥EF，交AC于点G，

∴BDAD=EGAE,CFFB=CEEG，
∴AEEC⋅BDDA⋅CFFB=AEEC⋅EGAE⋅CEEG=1，
即：AEEC⋅BDDA⋅CFFB为定值，值为1；
（4）过点D作DP∥AB，交CG于点P，交CH于点Q，

∵AE:EF:FD=4:3:1，
∴AE=ED，AFDF=7:1
∵DP∥AB，D为BC的中点，
∴CPPG=CDBD=1，
∴CP=PG，
∴BG=2DP，
同理：BH=2DQ，
∵DP∥AB，
∴△DEP∽△AEG,△DFQ∽△AFH，
∴DPAG=DEAE=1,AHDQ=AFFD=7，
∴DP=AG，AH=7DQ，
∴BG=2AG,AH=72HB，
∴AG=13AB,AH=79AB，
∴GH=AH−AG=49AB，
∴AG:GH:AB=13AB:49AB:AB=3:4:9；
故答案为：3:4:9．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质．解题的关键是掌握平行线分线段成比例，添加辅助线，构造平行和相似三角形．
【变式12-1】（2023·山西大同·校联考模拟预测）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=14， AC=63，点D在AB上，AD:DB=3:4，连接CD，过点A作AE⊥CD于点E，连接BE并延长交AC于点F，则EF的长为 ．
【答案】99719
【分析】根据已知条件得出∠ACD=30°，进而求得DE,EC的长，如图所示，过点D作DG ∥BF交AC于点G，根据平行线分线段成比例，求得AG的长，勾股定理求得DG的长，进而即可求解．
【详解】解：∵AB=14，AD:DB=3:4，
∴AD=6,BD=8，
∵∠BAC=90°，AC=63，
在Rt△DCA中，DC=AC2+AD2=62+632=12，
∴tan∠ACD=ADAC=663=33,
∴∠ACD=30°，
∴AE=AC×sin∠ACE=12AC=33，∠EAC=60°，
∴∠DAE=30°，
∴DE=12AD=3， 则EC=DC−DE=12−3=9，
如图所示，过点D作DG ∥BF交AC于点G，
∵DG∥EF
∴GAFG=ADBD=68=34
设GF=4k，则AG=3k
∵DG∥EF，
∴CFGF=CEDE=93=3
∴CF=3GF=12k
∵AG=AG+GF+FC=3k+4k+12k=19k=63
∴k=6319
∴AG=3k=18319
在Rt△ADG中，DG=AD2+AG2=62+181932=129719
∴EF=34DG=34×129719=99719，
故答案为：99719．
【点睛】本题考查了解直角三角形，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
【变式12-2】（2023·广东深圳·深圳市桂园中学校考模拟预测）综合与实践问题情景：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在▱ABCD中，BE⊥AD，垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明；

(1)独立思考：请解答老师提出的问题；
(2)实践探究：希望小组受此问题的启发，将▱ABCD沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为C'，连接DC'并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明；
(3)问题解决：智慧小组突发奇想，将▱ABCD沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点A'，使A'B⊥CD于点H，连接A'M，交CD于点N，该小组提出一个问题：若此▱ABCD的面积为20，边长AB=5，BC=833，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．
【答案】(1)EF=BF；证明见解析
(2)AG=BG；证明见解析
(3)75−2734
【分析】（1）如图①中，作FH∥AD交BE于H．证明FH垂直平分线段BE即可．
（2）证明四边形BFDG是平行四边形，可得结论；
（3）如图③中，过点D作DJ⊥AB于J，过点M作MT⊥AB于T．根据S四边形BHNM=S△A'BM−S△NHA'，求解即可．
【详解】（1）结论：EF=BF．
理由：如图①中，作FH∥AD交BE于H．

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵FH∥AD，
∴DE∥FH∥CB，
∵F为CD的中点，
∴DF=CF，
∴EHHB=DFFC=1，
∴EH=HB，
∵BE⊥AD，FH∥AD，
∴FH⊥EB，
∴EF=BF．
（2）结论：AG=BG．
理由：如图②中，连接CC'．

∵△BFC'是由△BFC翻折得到，
∴BF⊥CC'，FC=FC'，
∵DF=FC，
∴DF=FC=FC'，
∴∠CC'D=90°，
∴CC'⊥GD，
∴DG∥BF，
∵DF∥BG，
∴四边形DFBG是平行四边形，
∴DF=BG，
∵AB=CD，DF=12CD，
∴BG=12AB，
∴AG=GB．
（3）如图③中，过点D作DJ⊥AB于J，过点M作MT⊥AB于T．

∵S平行四边形ABCD=AB•DJ，
∴DJ=205=4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=833，AB∥CD，
∴AJ=AD2−DJ2=8332−42=433，
∵A'B⊥AB，DJ⊥AB，
∴∠DJB=∠JBH=∠DHB=90°，
∴四边形DJBH是矩形，
∴BH=DJ=4，
∴A'H=A'B﹣BH=5﹣4=1，
∵tanA=DJAJ=3，
设AT=x，则MT=3x，
∵∠ABM=∠MBA'=45°，
∴MI=TB=3x，
∴x+3x=5，
∴x=53−12，
∴MT=BT=15−532，
∵tanA=tanA'=MHA'H=3，
∴NH=3，
∴S△ABM=S△A'BM=12×5×15−532=75−2534，
∴S四边形BHNM=S△A'BM﹣S△NHA'=75−2534−12×1×3=75−2734．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，翻折变换，平行线分线段成比例定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
【变式12-3】（2023·山东青岛·校考一模）定义：三角形一边中线的中点和该边的两个顶点组成的三角形称为中原三角形．如图①，AD是△ABC的中线，F是AD的中点，则△FBC是中原三角形．

(1)求中原三角形与原三角形的面积之比（直接写出答案）．
(2)如图②，AD是△ABC的中线，E是边AC上的点，AC=3AE，BE与AD相交于点F，连接CF．求证：△FBC是中原三角形．
(3)如图③，在（2）的条件下，延长CF交AB于点M，连接ME，求△FEM与△ABC的面积之比．
【答案】(1)中原三角形与原三角形的面积之比为1：2
(2)见解析
(3)△FEM与△ABC的面积之比为1：18
【分析】（1）由F是AD的中点，可得S△DFC=12S△DAC，S△DFB=12S△DAB，即有S△FBC=12S△ABC，故中原三角形与原三角形的面积之比为1：2；
（2）作CE的中点G，连接DG，由AD是△ABC的中线，可得DG是△BCE的中位线，CE=2EG，即得BE∥DG，即EF∥DG，根据AC=3AE，CE=2AE，可得AE=EG，即得AF=DF，从而△FBC是中原三角形；
（3）过D作DH∥CM交AB于H，由DH∥CM，D是BC中点，F是AD中点，可得AM=MH=BH，即知AEAC=13=AMAB，可得△AME∽△ABC，有∠AME=∠ABC，MEBC=AEAC=13，从而ME∥BC，△MEF∽△CBF，即有S△FEMS△FBC=MEBC2=132=19，再根据S△FBC=12S△ABC，即得△FEM与△ABC的面积之比．
【详解】（1）解：∵F是AD的中点，
∴S△DFC=12S△DAC，S△DFB=12S△DAB，
∴S△DFC+S△DFB=12S△DAC+12S△DAB，
∴S△FBC=12S△ABC，
∴中原三角形与原三角形的面积之比为1：2；
（2）证明：作CE的中点G，连接DG，如图：

∵AD是△ABC的中线，
∴D是BC中点，
∵G是CE中点，
∴DG是△BCE的中位线，CE=2EG，
∴BE∥DG，即EF∥DG，
∵AC=3AE，
∴CE=2AE，
∴AE=EG，
又∵EF∥DG，
∴AF=DF，即F是AD中点，
∴△FBC是中原三角形；
（3）解：过D作DH∥CM交AB于H，如图：

∵DH∥CM，D是BC中点，
∴BH=MH，
∵DH∥MF，F是AD中点，
∴AM=MH，
∴AM=MH=BH，
∴AMAB=13，
∵AC=3AE，
∴AEAC=13=AMAB，
又∵∠MAE=∠BAC，
∴△AME∽△ABC，
∴∠AME=∠ABC，MEBC=AEAC=13，
∴ME∥BC，
∴△MEF∽△CBF，
∴S△FEMS△FBC=MEBC2=132=19，
∴S△FBC=9S△FEM，
由（1）知：S△FBC=12S△ABC，
∴9S△FEM=12S△ABC，
∴S△FEM=118S△ABC，
∴△FEM与△ABC的面积之比为1：18．
【点睛】本题考查了三角形中线的性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例以及相似三角形的判定和性质，正确理解新定义是解题的关键．
题型13 平行线分线段成比例的常用辅助线之垂线
【例13】（2023·浙江衢州·校考一模）已知，如图，△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=∠ADB，CE⊥AD于E，AE=5，AC−AB=4，则AC和AB分别为 ．

【答案】7和3．
【分析】过点B作AD的垂线，垂足为H，延长交AC与G，连接DG，则AD为BG的垂直平分线，由此得到HG∥CE，AG=AB=AD，HG=BH，HB∥CE，接着利用平行线分线段成比例即可得到AG:AC=AH:AE=HG:EC=BH:CE=HD:DE，最后利用这些比例线段即可求解．
【详解】如图，过点B作AD的垂线，垂足为H，延长交AC与G，连接DG，

则AD为BG的垂直平分线，
∴HG∥CE，AG=AB=AD，HG=BH，HB∥CE，
∴AG:AC=AH:AE=HG:EC=BH:CE=HD:DE，
∴AG:AC=AH:AE=HD:DE=AH+HD:AE+DE=AD:AE+DE，
而AD=AG，则AC=AE+DE，AC=4+AB，AE=5，
DE=AE−AD=AE−AB=5−AB，
∴4+AB=5+5−AB，
∴AB=3，
∴AC=3+4=7，
故答案为：7和3．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键作辅助线，通过辅助线构造三角形相似，最后利用实习生减性的性质解决问题．
【变式13-1】（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）如图，反比例函数y=kx的图象经过Rt△ABC的顶点A和斜边AB的中点D，点B、C在x轴上，△OBD的面积为6，则k= ．

【答案】8
【分析】如图作DF⊥BC，由平行线分线段成比例与三角形的中位线的性质可知DF=12AC，设D点坐标为a,b，则A点坐标为c,2b，根据点A，D在反比例函数y=kx上，根据反比例函数系数的几何意义可列出ab=k=2bc，根据三角形OBD的面积建立方程，进而求出k的值．
【详解】解：如图作DF⊥BC于点F，而∠ACB=90°，
∴DF∥AC，
∴BDAD=BFCF，
∵斜边AB的中点D，
∴BF=CF=12BC，
∴DF为△ABC的中位线，
∴DF=12AC，

设D点坐标为a,b，则A点的纵坐标为2b，
则可设A点坐标为c,2b，
∵点A，D在反比例函数y=kx上，
∴ab=k=2bc，解得：a=2c，
∴BF=FC=2c−c=c，
∴OB=3c，
故S△OBD=12×OB×DF=12×3c×b=6，解得：bc=4，
∴k=2bc=8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，平行线分线段成比例，三角形的中位线的性质，能够熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解决本题的关键．
【变式13-2】（2023·内蒙古赤峰·统考三模）如图，点A在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，点B在x轴负半轴上，直线AB交y轴于点C，若ACBC=12，△AOB的面积为4，则k的值为 ．

【答案】4
【分析】根据三角形的面积公式可得S△AOD=12S△AOB =12×4 =2 =12k，进而求出答案．
【详解】解：如图，过点A作AD⊥x轴，垂足为D，

∵OC∥AD，ACBC=12，
∴ODOB=12，
∴S△AOD=12S△AOB =12×4 =2 =12k，
而k>0，
∴k=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，平行线段成比例，解题的关键是掌握反比例函数系数k的几何意义，求出△AOD的面积．
考点二 相似图形的概念与性质
相似多边形的c
相似多边形的性质：
1）相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
2) 相似多边形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方.
题型01 理解相似图形的概念
【例1】（2022·福建龙岩·校考模拟预测）如图，由图形M改变为图形N，这种图形改变属于（ ）

A．平移B．轴对称C．旋转D．相似
【答案】D
【分析】根据相似图形的定义知，图形M改变为图形N，属于图形的形状相同，大小不相同，属于相似变换，据此作答即可．
【详解】图形M改变为图形N，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似变换，理解图形的形状相同，大小不相同，属于相似变换，是解答本题的关键．
【变式1-1】（2023·广东深圳·统考模拟预测）下列图形不是相似图形的是（ ）
A．同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片B．某人的侧身照片和正面照片
C．用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有图案和放大图案D．大小不同的两张中国地图
【答案】B
【分析】利用相似图形定义分别分析得出符合题意的图形即可．
【详解】解：A、同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片，是相似图形，故本选项不符合题意；
B、某人的侧身照片和正面像，不是相似图形，故本选项符合题意；
C、用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有图案和放大图案，是相似图形，故本选项不符合题意；
D、大小不同的两张中国地图，是相似图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了相似图形的定义，正确把握定义是解题关键．
【变式1-2】（2023·河北衡水·校联考模拟预测）《西游记》的事故家喻户晓，特别是书中的孙悟空嫉恶如仇斩妖除魔大快人心．在一次降妖过程中，孙悟空念动咒语将一片树叶放大后射向妖魔．若这个过程可以看成是平面直角坐标系中的一次无旋转的变化，设变化前树叶尖部某点的坐标为a,b，在咒语中变化后得到对应点的坐标为20a+20,20b−10，则变化后树叶的面积变为原来的( )
A．20倍B．200倍C．400倍D．4000倍
【答案】C
【分析】根据题意无旋转的放大变化为相似方法和平移，所以考查面积变化只需要考虑相似放大，根据坐标的变化得到边长的放大倍率，坐标的加减变化为移动，不影响大小变化．再利用相似图形的面积比为相似比的平方，可计算出放大倍率．
【详解】题意树叶放大后射向妖魔可得树叶做了放大和平移变化，平移不影响面积大小．
由坐标变化可知边长放大倍率为20倍，相似图形的面积比为相似比的平方，所以面积放大了202=400倍．
故选C.
【点睛】本题是材料分析类型，考查了图形的几何变化，阅读材料后利用信息解题．图形的几何变化有“平移、对称、放缩“三种，其中相似放缩中注意面积比是等于边长比的平方，计算时须小心．
【变式1-3】（2022·河南洛阳·统考一模）形状相同的图形是相似图形．下列哪组图形不一定是相似图形（ ）
A．关于直线对称的两个图形B．两个正三角形
C．两个等腰三角形D．两个半径不等的圆
【答案】C
【分析】根据相似图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A、关于直线对称的两个图形全等，
∴它们是相似图形，不符合题意；
B、两个正三角形的对应角相等，对应边的比相等，
∴它们是相似图形，不符合题意；
C、两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边的比不一定相等，
∴它们不一定是相似图形，符合题意；
D、两个半径不等的圆是相似图形，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是相似图形的判断，掌握形状相同的图形称为相似图形是解题的关键．
题型02 相似多边形
【例2】（2023·上海虹口·统考一模）如图，四边形的顶点在方格纸的格点上，下列方格纸中的四边形与已知四边形相似的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了相似多边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，如果两个四边形的四条边对应成比例，且四个角对应相等，那么这两个四边形相似，据此求解即可．
【详解】解：设每个小正方形的边长为1，
则已知四边形的四条边分别为1，2，2，5．
选项A中的四边形的四条边分别为2，2，2，10，两个四边形的四条边对应不成比例，不符合题意；
选项B中的四边形的四条边分别为2，5，13，4，两个四边形的四条边不是对应成比例，故选项B中的四边形与已知四边形不相似，不符合题意；
选项C中的四边形的四条边分别为2，5，13，4，两个四边形的四条边不是对应成比例，故选项C中的四边形与已知四边形不相似，不符合题意；
选项D中的四边形的四条边分别为2，22，4，25，两个四边形的四条边对应成比例．
将已知四边形表示为四边形ABCD，将选项D中的四边形表示为EFGH．
如图，连接AC、EG，则AC=5，EG=25．
在△ABC与△EFG中，
∵ ABEF=BCFG=ACEG=12，
∴△ABC∽△EFG，
∴∠BAC=∠FEG，∠B=∠F，∠ACB=∠EGF．
在△ADC与△EHG中，
∵ ADEH=DCHG=ACEG=12，
∴△ADC∽△EHG，
∴∠DAC=∠HEG，∠D=∠H，∠ACD=∠EGH，
∴∠BAD=∠FEH，∠B=∠F，∠DCB=∠HGF，∠D=∠H，
又∵ ABEF=BCFG=ADEH=DCHG=12，
∴四边形ABCD∽四边形EFGH．
故选：D．
【变式2-1】（2020·河北衡水·统考一模）在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下：
甲：将边长为4的菱形按图1的方式向外扩张，得到新菱形，它们的对应边间距为1，则新菱形与原菱形相似．
乙：将边长为4的菱形按图2方式向外扩张，得到新菱形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新菱形与原菱形相似；
对于两人的观点，下列说法正确的是（ ）．
A．两人都对B．两人都不对C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对
【答案】C
【分析】根据相似多边形的对应边成比例、对应角相等进行判断即可．
【详解】解：甲：将边长为4的菱形按图1的方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边平行，因此各角与原菱形角对应相等，平移后四条边依然相等，即新菱形与原菱形相似；
乙：将边长为4的菱形按图2方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边不平行，因此各角与原菱形角不相等，即新菱形与原菱形不相似．
所以甲对，乙不对，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似多边形的判定．此题难度不大，熟练应用相似多边形的判定方法是解题关键．
【变式2-2】（2021·江苏南京·统考二模）学完“探索三角形相似的条件”之后，小明所在的学习小组尝试探索四边形相似的条件，以下是他们的思考，请你和他们一起完成探究过程．
【定义】四边成比例，且四角分别相等的两个四边形叫做相似四边形．
【初步思考】
（1）小明根据探索三角形相似的条件所获得的经验，考虑可以从定义出发逐步弱化条件探究四边形相似的条件．他考虑到“四角分别相等的两个四边形相似”可以举出反例“矩形”，“四边成比例的两个四边形相似”可以举出反例______．所以四边形相似的条件必须再添加条件，于是，可以从“四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似”，“三边成比例，且两角分别相等的两个四边形相似”，“两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似”来探究．
【深入探究】
（2）学习小组一致认为，“四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似”是真命题，请结合图形完成证明．
已知：四边形ABCD和四边形A'B'C'D'中，ABA'B'=BCB'C'=CDC'D'=ADA'D'，∠A=∠A'．
求证：四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'．证明：
（3）对于“三边成比例，且两角分别相等的两个四边形相似”，学习小组得到如下的四个命题：
①“三边成比例，两邻角分别相等且只有一角为其中两边的夹角的两个四边形相似”；
②“三边成比例，两邻角分别相等且都不是其中两边的夹角的两个四边形相似”；
③“三边成比例及其两夹角分别相等的两个四边形相似”；
④“三边成比例，两对角分别相等的两个四边形相似”．
其中真命题是______．（填写所有真命题的序号）
（4）请你完成“两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似”的探究过程．
【答案】（1）菱形和正方形；（2）见解析；（3）③；（4）见解析．
【分析】（1）利用正方形的四边相等，菱形的四边也相等，四边成比例，但不相似可以举出反例；
（2）先判断出ΔABD∽△A'B'D，得出∠ABD=∠A'B'D'，∠ADB=∠A'D'B'，ABA'B'=BDB'D'=ADA'D'，进而得出ΔBCD∽△B'C'D'，得出∠C=∠C'，∠CDB=∠C'D'B'，∠CBD=∠C'B'D'，即可得出结论；
（3）根据相似多边形的判定方法，一一判断即可；
（4）分两种情况考虑，两边是对边，两边是邻边，根据相似多边形的判定方法即可完成证明．
【详解】（1）解：∵正方形的四边相等，菱形的四边也相等，四边成比例，但不相似，
∴ “四边成比例的两个四边形相似”可以举出反例菱形和正方形，
故答案为：菱形和正方形；
（2）证明：连接BD、B'D'，
∵ABA'B'=ADA'D'，∠A=∠A'，
∴△ABD∽△A'B'D'，
∴∠1=∠5，∠2=∠6，BDB'D'=ABA'B'，
∵ABA'B'=BCB'C'=CDC'D'，
∴BDB'D'=BCB'C'=CDC'D'，
∴△BCD∽△B'C'D'，
∴∠3=∠7，∠4=∠8，∠C=∠C'，
∴∠1+∠3=∠5+∠7，∠2+∠4=∠6+∠8，
即∠ADC=∠A'D'C'，∠ABC=∠A'B'C'，
综上，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'．
（3）解：①如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，以A'为圆心、A'D'为半径作圆交C'D'延长线于点D″，则A'D″AD=A'D'AD=A'B'AB=B'C'BC，∠B'=∠B，∠C=∠C'，但四边形A'B'C'D'不与四边形ABCD相似．
②如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，以C'为圆心、C'D'为半径作圆交过点D'且和AB平行的直线相交于点D″，过D″作D″A″//D'A'交A'B'于点A″，则C'D'=C'D″，四边形A'D'D″A″为平行四边形．则A″D″AD=A'D'AD=B'C'BC=C'D'CD=C'D″CD，即A″D″AD=B'C'BC=C'D'CD，∠B'A″D″=∠A'=∠A，∠B'=∠B，
但四边形A″B'C'D″不与四边形ABCD相似．
③已知：如图，四边形ABCD和四边形A'B'C'D'中，ABA'B'=BCB'C'=CDC'D'，∠ABC=∠A'B'C'，∠BCD=∠B'C'D'．
求证：四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'．
证明：连接BD，B'D'．
∵∠BCD=∠B'C'D'，且BCB'C'=CDC'D'，
∴ΔBCD∽△B'C'D'，
∴∠CDB=∠C'D'B'，∠C'B'D'=∠CBD，BDB'D'=BCB'C'，
∵ ABA'B'=BCB'C'=CDC'D'，
∴ BDB'D'=ABA'B'，
∵∠ABC=∠A'B'C'，
∴∠ABD=∠A'B'D'，
∴ΔABD∽△A'B'D'，
∴ ADA'D'=ABA'B'，∠A=∠A'，∠ADB=∠A'D'B'，
∴ ABA'B'=BCB'C'=CDC'D'=ADA'D'，∠ADC=∠A'D'C'，∠A=∠A'，∠ABC=∠A'B'C'，∠BCD=∠B'C'D'，
∴四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似；
④如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，以C'为圆心，C'A'为半径作圆交A'B'于点A″，在C'A'左侧作△C'A'D'≌△C'A″D″，则C'D'=C'D″=kCD，A″D'=A'D'=kAD，B'C'=kBC，∠D″=∠D，∠B'=∠B，但四边形A″B'C'D″不与四边形ABCD相似．
故答案为：③，
（4）解：因为四边形内角和为360°，所以四边形只要三个角分别相等，第四个角就也相等，所以只需考虑成比例的两边是邻边还是对边．
若成比例的两边是对边，则有反例“矩形”．若成比例的两边是邻边，则相似，理由如下：
已知：四边形ABCD和四边形A'B'C'D'中，ABA'B'=ADA'D'，∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'．
求证：四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'．
证明：∵∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，
∴∠D=360°−∠A−∠B−∠C=360°−∠A'−∠B'−∠C'=∠D'．
连接BD、B'D'，
∵ABA'B'=ADA'D'，∠A=∠A'，
∴△ABD∽△A'B'D'，
∴∠1=∠5，BDB'D'=ABA'B'，
∴∠3=∠ADC−∠1=∠A'D'C'−∠5=∠7，
又∵∠C=∠C'，
∴△BCD∽△B'C'D'，
∴BCB'C'=CDC'D'=BDB'D'=ABA'B'=ADA'D'，
综上，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'．
【点睛】此题是相似形综合题，考查了相似多边形的判定方法，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，把四边形问题转化为三角形问题，属于中考压轴题．
【变式2-3】（2020·河北保定·统考模拟预测）（1）观察下列式子：
23<2+13+1，23<2+23+2，23<2+33+3，23<2+43+4…
发现：对于真分数23，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值_____________；（选填“变大”“变小”或“不变”）
（2）类比猜想：
由（1）猜想分式ba和b+ca+c（其中，a>b>0，c>0）的大小关系，并说明理由；
（3）解决问题：
某公司建居民住宅时，要求窗户与卧室地面面积的比值达到15%左右，显示这个比值越大采光条件越好，如果同时减少相等的窗户面积和地面面积，那么采光条件___________；
A．变差了 B．变好了 C．没有改变
（4）联想拓展：
如图所示，一个长为acm宽为bcm的矩形（a>b），四周都增加1cm，所得大矩形与原来的矩形相似吗？____________（直接填“是”或“否”）
【答案】（1）变大；（2）ba【分析】（1）根据已知的不等式观察规律即可；
（2）利用作差法比较ba与b+ca+c的大小，即可解答；
（3）设xy=15%，同时减少相等的窗户面积和地面面积为m，作差法比较x−my−m、xy的大小解答；
（4）根据（1）、（2）、（3）得到的结论分析解答即可；
【详解】解：（1）∵23<2+13+1，23<2+23+2，23<2+33+3，23<2+43+4…
∴对于真分数23，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值变大，
故填：变大；
（2）由（1）得：ba＜b+ca+c，理由如下：
ba-b+ca+c=ba+c−ab+caa+c=cb−aaa+c，
∵ a>b>0，
∴ b-a＜0，
∴ ba-b+ca+c=ba+c−ab+caa+c=cb−aaa+c＜0，
∴ ba＜b+ca+c；
（3）根据（2）的结论可知，如果同时减少相等的窗户面积和地面面积，那么采光条件变差了，理由如下：设xy=15%，同时减少相等的窗户面积和地面面积为m，
则x−my−m-xy= yx−m−xy−myy−m=mx−yyy−m＜0，
∴ x−my−m＜xy，
∴ 采光条件变差，
故选A ；
（4）由（2）知：ab≠a+1b+1，所得大矩形与原来的矩形不相似，
故填：否．
【点睛】本题考查分式的基本性质、相似图形的判定，读懂材料，掌握基本运算法则是关键．
题型03 相似多边形的性质
【例3】（2023·河北张家口·校考模拟预测）把一根铁丝首尾相接围成一个长为3cm，宽为2cm的矩形ABCD，要将它按如图所示的方式向外扩张得到矩形A'B'C'D'，使矩形A'B'C'D'∽矩形ABCD，则这根铁丝需增加（ ）

A．3.5cmB．5cmC．7cmD．10cm
【答案】D
【分析】由图形知，扩张后的长方形宽为4cm，设长为xcm，根据相似长方形的性质列式计算求得x=6，再计算即可求解．
【详解】解：原长方形的长和宽分别为3cm和2cm，由图形知，扩张后的长方形宽为4cm，设长为xcm，
∵矩形A'B'C'D'∽矩形ABCD，
∴23=4x，
∴x=6，
经检验，x=6是分式方程的解，
∴扩张后的长方形长为6cm，
原长方形的周长为2×2+3=10cm，扩张后长方形的周长为2×4+6=20cm，
20−10=10，
∴这根铁丝需增加10cm，
故选：D．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形的性质求解是解题的关键．
【变式3-1】（2023·重庆沙坪坝·统考一模）若两个相似多边形的相似比为3:1，则它们周长的比为（ ）
A．2:1B．3:1C．4:1D．9:1
【答案】B
【分析】根据相似多边形的周长比等于相似比，从而得解．
【详解】解：∵两个相似多边形的相似比为3:1，
∴它们周长的比为3:1，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似多边形的性质，熟知相似多边形的周长比等于相似比是解本题的关键．
【变式3-2】（2023·河北衡水·校考二模）将边长为2的正六边形按照如图所示的方式向外扩张，得到新的六边形，它们的对应边的距离均为3．
（1）新的六边形与原六边形 ；（填“相似”或“不相似”）
（2）扩张后六边形的周长比原来增加了 ．
【答案】 相似 12
【分析】（1）根据相似多边形的判定方法和正六边形的性质求解即可；
（2）作CB⊥AE交AE于点B，根据三角函数求出AB=1，然后求出原正六边形和新正六边形的周长，进而求解即可．
【详解】解：（1）∵正六边形的内角都等于120°，
∴原正六边形和新正六边形的内角都对应相等，
∵正六边形的边长都相等，
∴原正六边形和新正六边形的边长都对应成比例，
∴新的六边形与原六边形相似；
（2）如图所示，作CB⊥AE交AE于点B，作DF⊥AE交AE于点F，
由正六边形的性质可得，∠CAB=60°，BC=3，
∴AB=BC⋅tan∠CAB=BC⋅tan60°=33=1，
由题意可得，BF=CD=2，EF=AB=1，
∴AE=AB+BF+EF=4，
∴新六边形的周长为4×6=24，
∵原六边形的边长2×6=12，
∴24−12=12，
∴扩张后六边形的周长比原来增加了12．
【点睛】此题考查了相似多边形的判定，正多边形的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
【变式3-3】（2022·四川成都·统考二模）小颖在一本书上看到一个风筝模型，形状如图所示，其中对角线AC⊥BD，并且两条对角线长分别为10cm和12cm．现在小颖照着模型按照1：3的比例放大制作一个大风筝，制作风筝需要彩色纸覆盖，而彩色纸是从一张刚好覆盖整个风筝的矩形彩色纸（如图中虚线所示）裁剪下来的，那么从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积是 cm2．
【答案】540
【分析】先求出风筝模型ABCD的面积，假设大风筝的四个顶点为A'，B'，C'，D'，可得四边形ABCD∽四边形A'B'C' D'，可得到它们的面积比为1：9，A'C'=36cm，B'D'=30cm，再由从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积=矩形的面积-大风筝的面积，即可求解．
【详解】解：∵AC⊥BD，
∴风筝模型ABCD的面积为=12×10×12=60cm2，
假设大风筝的四个顶点为A'，B'，C'，D'，且分别为点A、B、C、D的对应点，
∵按照1：3的比例放大制作一个大风筝，
∴四边形ABCD∽四边形A'B'C' D'，
∴它们的对应边之比为1：3，
∴它们的面积比为1：9，A'C'=36cm，B'D'=30cm，
∴大风筝的面积为60×9=540cm2，矩形彩色纸的面积为36×30=1080 cm2，
∴从四个角裁剪下来废弃不用的彩色纸的面积=矩形的面积-大风筝的面积
=1080-540
=540cm2．
故答案为：540
【点睛】本题主要考查了相似多边形的应用，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．
考点三 位似图形
位似图形的定义: 如果两个图形不仅是相似图形,且对应点连线相交于一点,对应线段相互平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,位似图形对应点连线的交点是位似中心.
常见的位似图形：
画位似图形的方法：两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧.（即画位似图形时，注意关于某点的位似图形有两个.）
判断位似图形的方法：首先看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否经过位似中心.
位似图形的性质：
1) 位似图形的对应顶点的连线所在直线相交与一点；
2）位似图形的对应边互相平行或者共线.
3) 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.
4) 在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或–k.
画位似图形的步骤：
1）确定位似中心,找原图形的关键点.
2）确定位似比.
3）以位似中心为端点向各关键点作射线.
4）顺次连结各截取点，即可得到要求的新图形.
1. 位似图形一定是相似图形，具有相似图形的所有性质，但相似图形不一定是位似图形.
2. 两个位似图形的位似中心只有一个，它可能位于图形的内部、外部、边上或顶点上.
题型01 位似图形的识别
【例1】（2022·河北唐山·校考一模）如图所示是利用图形变换设计的一个美术字图案，这样设计的美术字更富有立体感，则该图案在设计的过程中用到的图形变换是（ ）
A．平移B．旋转C．轴对称D．位似
【答案】D
【分析】根据位似图形的定义，即可解决问题．
【详解】解：根据位似的定义可知：该图案在设计的过程中用到的图形变换是位似．
故选：D．
【点睛】本题考查了生活中位似的现象，解决本题的关键是熟记位似图形的定义．
【变式1-1】（2020·重庆渝中·统考二模）下列图形中不是位似图形的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
【详解】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．
根据位似图形的概念，A三个图形中的两个图形是位似图形；故A不符合题意，
B中的两个图形不符合位似图形的概念，对应边不平行，故不是位似图形．故B符合题意，
根据位似图形的概念，C三个图形中的两个图形是位似图形；故C不符合题意，
根据位似图形的概念，D三个图形中的两个图形是位似图形；故D不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了位似图形的定义．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．
题型02 判断位似中心
【例2】（2023·河北沧州·模拟预测）如图，△ABC与△A'B'C'是位似图形，则位似中心为（ ）

A．点MB．点NC．点QD．点P
【答案】D
【分析】根据位似中心是位似点连线的交点判断即可．
【详解】如图，根据位似中心是位似点连线的交点，可知点P为位似中心，

故选D．
【点睛】本题考查了三角形的位似，清楚位似中心是位似点连线的交点是解题的关键．
【变式2-1】（2020·山西·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点O(0,0)，A(0,2)，B(4,0)，C(0,−2)，以某点为位似中心，作出ΔDEF与ΔABC位似，点A的对应点为D(0,1)，则位似中心的坐标为（ ）

A．(0,0)B．(1,0)C．(2,0)D．(4,0)
【答案】A
【分析】直接利用位似图形的特点即可找到位似中心．
【详解】∵直线AD、CF、BE交于O点
∴位似中心为O点
即(0,0)
故选A．
【点睛】此题主要考查位似图形的性质，解题的关键是熟知位似图形的特点．
【变式2-2】（2023·四川乐山·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为 ．

【答案】2，1
【分析】连接各组对应点，它们在两个正方形之间相交于点P，则P点为位似中心，然后写出P点坐标即可．
【详解】解：如图，点P为位似中心，P2，1．

故答案为：2，1．
【点睛】本题考查位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），掌握位似变换的性质是解题的关键．
题型03 根据位似的概念判断正误
【例3】（2021·重庆·校联考模拟预测）如图，在△ABC外任取一点O，连接AO、BO、CO，并分别取它们的中点D、E、F，顺次连接DE、EF、DF得到△DEF，则下列说法错误的是（ ）

A．△DEF与△ABC是位似图形B．△DEF与△ABC是相似图形
C．△DEF与△ABC的周长比是1:2D．△DEF与△ABC的面积比是1:2
【答案】D
【分析】根据位似图形的性质得出△ABC与△DEF是位似图形，根据位似图形一定是相似图形得出△ABC与△DEF是相似图形，再根据周长比等于位似比以及根据面积比等于相似比的平方即可解答．
【详解】解：根据位似性质可得：
A、△ABC与△DEF是位似图形，故A选项正确，不符合题意；
B、△ABC与△DEF是相似图形，故B选项正确，不符合题意；
C、∵点D，E，F，为AO，BO，CO中点，
∴将△ABC的三边缩小到原来的12得到△DEF，
∴△DEF与△ABC的周长之比为1：2，故C选项正确，不符合题意；
D、∵面积比等于相似比的平方，
∴△DEF与△ABC的面积之比为1：4，故D选项不正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，正确的记忆位似图形性质是解决问题的关键．
【变式3-1】（2023·河北保定·校考一模）如图，△ABC与△DEC都是等边三角形，固定△ABC，将△DEC从图示位置绕点C逆时针旋转一周，在△DEC旋转的过程中，下列说法正确的是（ ）

A．△DEC总与△ABC位似
B．△DEC与△ABC不会位似
C．当点D落在CB上时，△DEC与△ABC位似
D．存在△DEC的两个位置使得△DEC与△ABC位似
【答案】D
【分析】根据位似图形的定义：两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线交于一点，并且对应边互相平行或位于同一直线上，像这样的两个图形叫做位似图形，即可判断．
【详解】解：∵ △ABC与△DEC都是等边三角形，
∴ △ABC与△DEC相似，
∵在△DEC旋转的过程中，只有当点D落在线段AC和线段AC的延长线上时，AD与BE相交与点C，
∴在△DEC旋转的过程中，只有当点D落在线段AC和线段AC的延长线上时，△DEC与△ABC位似，
故选：D．
【点睛】本题考查了位似图形的定义，解决本题的关键在于位似图形对应顶点的连线交于一点，因此需熟练掌握位似图形的定义才能更好的解决本题．
【变式3-2】（2022·河北石家庄·石家庄市第四十一中学校考模拟预测）△ABC和△A'B'C'是位似图形，位似中心是点O，下列说法不正确的是（ ）
A．AB∥A'B'B．AA'∥BB'
C．直线CC'经过点OD．直线AA'、BB'和CC'相交于一点
【答案】B
【分析】依据位似变换的性质逐项判断即可．
【详解】∵△ABC和△A'B'C'关于点O位似，
∴△OAB∽△OA'B'，且直线AA'、BB'和CC'相交于一点O，即选项C、D正确；
如图，作出直线AA'、BB'和CC'，三者交于O点，
根据位似变换的性质有：AB∥A'B'，故A答案合理；
根据位似变换的性质有：AA'和BB'交于点O，故B答案不合理；
故选：B．
【点睛】本题考查了位似变换：位似的两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一个点，也考查了平行线的判定和相似三角形的性质．
题型04 求两个位似图形的相似比
【例4】（2023·湖南娄底·统考一模）如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且△ABC的面积与△DEF的面积之比是16:9，则AO:AD的值为（ ）
A．9:5B．3:2C．4:3D．4:7
【答案】D
【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握位似变换的概念、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似变换的概念得到△ABC∽△DEF，根据相似三角形的性质得到ABDE=43，证明△OAB∽△ODE，根据相似三角形的性质得到答案．
【详解】解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为O，
∴AB∥DE，△ABC∽△DEF，
∵△ABC的面积与△DEF的面积之比是16:9，
∴△ABC的面积与△DEF的相似比是4:3，即ABDE=43，
∵AB∥DE，
∴△OAB∽△ODE，
∴AODO=ABDE=43，
∴AO:AD=4:7，
故选：D．
【变式4-1】（2023·浙江温州·校考三模）如图，矩形ABCD与矩形EFGH位似，点O是位似中心，已知OH:HD=1:2，EH=2，则AD的值为（ ）

A．2B．4C．6D．8
【答案】C
【分析】先由OH:HD=1:2可得OH:HD=1:2，再由矩形ABCD与矩形EFGH位似可得EHAD=OHOD=13，最后代入计算即可．
【详解】解：∵OH:HD=1:2，
∴OHOD=13，
∵矩形ABCD与矩形EFGH位似，
∴EHAD=OHOD=13
∵EH=2，
∴AD=6．
故选C．
【点睛】本题主要考查了位似的性质，根据题意得到EHAD=OHOD=13是解答本题的关键．
【变式4-2】（2023·河南周口·统考一模）如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，若△ABC与△A'B'C'是位似图形且顶点均在格点上．

(1)在图中画出位似中心的位置，并写出位似中心的坐标；
(2)△ABC与△A'B'C'的位似比为__________，面积比为__________．
【答案】(1)见解析
(2)1:2，1:4
【分析】（1）连接CC'、BB'，两线相交于点D，根据位似中心的概念、结合图形解答即可；
（2）根据BC=2，B'C'=4，即可得出相似比和面积比．
【详解】（1）解：如图，位似中心的坐标为：(9,0)．

（2）解：∵BC=2，B'C'=4，
∴△ABC与△A'B'C'的位似比为：BCB'C'=24=12=1:2，
△ABC与△A'B'C'的面积比为：14=1:4．
故答案为：1:2，1:4．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线所在直线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
题型05 画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形
【例5】（2021·安徽芜湖·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O0,0，A2,1，B1,−2．
(1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧按2:1放大，画出△OAB的一个位似△OA1B1；
(2)画出将△OAB向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的△O2A2B2；
(3)△OA1B1与△O2A2B2是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心M，并写出点M的坐标，若不是请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)是，M−4,2
【分析】（1）把A、B的横纵坐标都乘以2得到A1、B1的坐标，然后描点即可；
（2）利用点平移的坐标规律写出O2、A2、B2的坐标，然后描点即可；
（3）延长A1A2、OO2、B1B2，它们相交于M点，则可判断△OA1B1与△O2A2B2是位似图形．
【详解】（1）解：如图，△OA1B1为所作；
（2）如图，△O2A2B2为所作；
（3）△OA1B1和△O2A2B2是位似图形；
如图，点M为所求，坐标为(−4,2)．
【点睛】本题考查了作图−位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了平移变换．
【变式5-1】（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考模拟预测）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点）和点D且点D在网格的格点上．

(1)以点D为位似中心，将△ABC在点D上方画出位似变换且缩小为原来的12得到△A1B1C1．
(2)将（1）中的△A1B1C1绕点D顺时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2．
(3)△A2B2C2的面积是___________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)3
【分析】（1）利用位似图形的性质，即可得出对应点位置，即可得出△A1B1C1；
（2）利用旋转的性质，即可得出对应点位置，即可得出△A2B2C2；
（3）根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）解：如图所示：△A1B1C1即为所求；
；
（2）解：如图所示：△A2B2C2即为所求；
（3）解：△A2B2C2的面积是12×3×2=3；
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了位似变换作图，根据题意得出对应点位置是解题关键．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了旋转变换．
【变式5-2】（2023·陕西榆林·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点均在网格格点上，且点A、B的坐标分别为A3,1，B2,−1．

(1)在y轴的左侧以原点O为位似中心作△OAB的位似图形△OA1B1（点A、B的对应点分别为A1B1），使△OA1B1与△OAB的相似比为2：1；
(2)在（1）的条件下，分别写出点A1、B1的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)A1−6,−2，B1−4,2
【分析】（1）延长BO到B1，使B1O=2BO，延长AO到A1，使A1O=2AO，连接A1B1，△OA1B1即为所求；
（2）根据图形确定出点A1、B1的坐标即可．
【详解】（1）画出△OA1B1，如图所示：

（2）根据图形可得：点A1的坐标为A1−6,−2，点B1的坐标为B1−4,2．
【点睛】此题考查了作图﹣位似变换，熟练掌握位似变换的性质是解本题的关键．
题型06 求位似图形的坐标
【例6】（2022·山西大同·校联考一模）在直角坐标系中，已知点A(2,4)，B(4,2)，以坐标原点O为位似中心，作与△OAB的位似比为2的位似图形△OA'B'，则点A的对应点A'的坐标是（ ）

A．(1,2)B．(4,8)C．(1,2)或−1,−2D．(4,8)或−4,−8
【答案】D
【分析】根据题意得点A的对应点A'的坐标是(2×2,4×2)或(2×(−2),4×(−2))，即可得．
【详解】解：∵以坐标原点O为位似中心，作与△OAB的位似比为2的位似图形△OA'B'，点A(2,4)，
∴点A的对应点A'的坐标是(2×2,4×2)或(2×(−2),4×(−2))，
即(4,8)或−4,−8，
故选：D．
【点睛】本题考查了位似的变换，解题的关键是掌握位似的变换的概念．
【变式6-1】（2023·广东深圳·深圳市罗湖区翠园东晓中学校考模拟预测）已知在平面直角坐标系中，△AOB的顶点分别为A3，1，B2，0，O0，0，若以原点为位似中心，相似比为2，将△AOB放大，则点A的对应点的坐标为 ．
【答案】6，2或−6，−2
【分析】分△AOB关于原点的位似图形与△AOB在原点同侧和异侧两种情况求解即可．
【详解】解：当△AOB关于原点的位似图形与△AOB在原点同侧时，点A的对应点的坐标为3×2，1×2，即6，2；
当△AOB关于原点的位似图形与△AOB在原点异侧时，点A的对应点的坐标为−2×3，−2×1，即−6，−2；
综上所述，点A的对应点的坐标为6，2或−6，−2．
【点睛】本题考查了位似变换的性质，两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
【变式6-2】（2021·广东广州·广州市第十六中学校考二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点为A4,3，B3,0，以O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比是−13的位似图形△OCD，则点C的坐标是 ．

【答案】−43,−1
【分析】本题考查的是位似变换，根据位似变换的性质计算即可．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
【详解】解：∵△OAB与△OCD是位似图形，位似比为−13，点A的坐标为4,3，
∴点C的坐标为4×−13,3×−13，即−43,−1，
故答案为：−43,−1．
题型07 求位似图形的线段长度
【例7】（2023·河南周口·校联考二模）如图，在Rt△ABO中，∠B=90°，AB=2，BO=23，以点O为位似中心，将△AOB缩小为原图形的12，得到△COD，则OC的长度是（ ）

A．2B．3C．2.5D．3.5
【答案】A
【分析】直接利用勾股定理求得OA的长度，然后利用位似图形的性质以及结合△AOB缩小为原图形的12，即可得出答案．
【详解】在Rt△ABO中，∠B=90°，AB=2，BO=23，
则：AO=AB2+BO2=22+232=4，
∵将△AOB缩小为原图形的12，得到△COD，
∴OC=12AO=2，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了位似变换和勾股定理，正确把握位似图形的性质时解题关键．
【变式7-1】（2020·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）如图，有一斜坡OA，已知斜坡上一点A的坐标为A23,2，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，将△AOB以坐标原点0为位似中心缩小为原图形的12，得到△COD，则OC的长度是 ，此时斜坡OA的坡度为 ．
【答案】 2 33
【分析】根据位似图形的性质结合A点坐标直接得出点C的坐标，再利用勾股定理及坡度的定义进行计算即可得出答案．
【详解】∵点A23,2，AB⊥x轴，将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的12，得到△COD，
∴C3,1，
∴OD=3，CD=1，
∴在Rt△OCD中，OC=OD2+CD2=32+12=2，
斜坡OA的坡度为CDOD=13=33．
故答案为：2；33．
【点睛】本题考查了坐标与位似变换，坡度的计算，熟练掌握变换规律及坡度的定义是解题的关键．
【变式7-2】（2021·重庆沙坪坝·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若A（﹣2，0），D（3，0），且BC＝3，则线段EF的长度为（ ）
A．2B．4C．92D．6
【答案】C
【解析】根据△ABC与△DEF是位似图形，以及A和D的坐标，求出△ABC与△DEF的相似比为2:3，即可求出线段EF的长．
【详解】△ABC与△DEF是以坐标原点O为位似中心的位似图形，
∵A（﹣2，0），D（3，0）
则△ABC与△DEF的相似比为2:3，
∵BC＝3，
∴BC:EF=2:3
解得EF=92，
故选：C．
【点睛】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.
题型08 在坐标系中求位似图形的周长
【例8】（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若OC:CF=2:3，△DEF的周长为15，则△ABC的周长为（ ）

A．10B．6C．5D．4
【答案】B
【分析】根据位似图形的性质，得到△ABC∽△DEF，根据OC:CF=2:3得到相似比为：OCOF=OCOC+CF=25，再结合三角形的周长比等于相似比即可得到答案．
【详解】解：∵△ABC与△DEF是以原点O为位似中心的位似图形
∴△ABC∽△DEF
∴ACDF=OCOF=OCOC+CF
OC:CF=2:3
∴ACDF=OCOC+CF=25
∴C△ABCC△DEF=ACDF=25
△DEF的周长为15，
∴C△ABC=25×15=6
故选B．
【点睛】本题考查了相似图形的性质，掌握位似图形与相似图形的关系，熟记相似图形的性质是解决问题的关键．
【变式8-1】（2023·重庆南岸·统考一模）正方形ODEF与正方形OABC位似，点O为位似中心，OE:OB=1:4，则正方形ODEF与正方形OABC的周长比为（ ）

A．1:3B．1:4C．1:9D．1:16
【答案】B
【分析】先根据位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或−k ，得OF:OC=1:4，再求正方形ODEF与正方形OABC的周长比．
【详解】解：∵正方形ODEF与正方形OABC位似，OE:OB=1:4，
∴OF:OC=1:4，
正方形ODEF与正方形OABC的周长为1:4，
故选：B．
【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为 k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于 k 或−k．
题型09 在坐标系中求位似图形的面积
【例9】（2023·河北邢台·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF关于原点O位似，且OB=2OE，若S△ABC=4，则S△DEF为（ ）
A．1B．2C．12D．32
【答案】A
【分析】直接利用位似图形的性质得出△DEF与△ABC的面积比，进而得出答案．
【详解】解：∵△ABC与△DEF关于原点O位似，OB=2OE，
∴△ABC与△DEF相似比为：2：1，
∴△ABC与△DEF面积之比为4：1，
∴S△DEF=14S△ABC，
∵S△ABC=4，
∴S△DEF=1．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了位似变换，熟练掌握位似变换的相关知识是解题的关键．
【变式9-1】（2022·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考三模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEC位似，点C为位似中心，CD=3AC，若△ABC的面积是1，则△DEC的面积是（ ）
A．3B．4C．9D．16
【答案】C
【分析】结合题意，根据位似的性质计算，即可得到答案．
【详解】∵△ABC与△DEC位似，点C为位似中心，CD=3AC，
∴S△DECS△ABC=CDAC2=9
∵△ABC的面积是1，
∴△DEC的面积是9
故选：C．
【点睛】本题考查了位似的知识，解题的关键是熟练掌握位似的性质，从而完成求解．
【变式9-2】（2023·湖北鄂州·统考二模）如图，平面直角坐标系中，已知点A0,1,C0,4,△OAB与△OCD位似，原点O是位似中心．若△OAB的面积为0.3，则四边形ACDB的面积为 ．

【答案】4.5
【分析】先根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出S△OCD=4.8，再用△OCD的面积减去△OAB的面积即可得出答案．
【详解】∵A0,1,C0,4，
∴OA=1，OC=4．
∵△OAB与△OCD位似，原点O是位似中心，
∴△OAB∽△OCD．
∴S△OABS△OCD=OAOC2=142=116．
∵△OAB的面积为0.3，
∴S△OCD=16S△OAB=16×0.3=4.8．
∴S四边形ACDB=S△OCD−S△OAB=4.8−0.3=4.5．
故答案是4.5．
【点睛】本题主要考查了位似的性质，熟知相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
考点要求
新课标要求
命题预测
比例线段的概念与性质
了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；
通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割.
在中考中，该模块内容常出现在选择题、填空题，较为简单.本节内容是下一节相似三角形的基础，需要学生在复习时加以重视.
相似图形的概念与性质
通过具体实例认识图形的相似.
了解相似多边形和相似比.
位似图形
了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小.
利用辅助平行线求线段的比
三角形的中位线定理是三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．平行线分线段成比例定理是两条平行线被两条直线所截，截得的线段对应成比例．有些几何题，若题中出现了平行线，我们可以直接利用这两个定理求出两线段的比值，而有些几何题，题中没有平行线这样的条件，那么我们可以通过作辅助平行线，然后再利用这两个定理加以解决．
举例：如图1，AD是△ABC的中线，AE:AD=1:5，BE的延长线交AC于点F．
求AFCF的值．
下面是该题的部分解题过程：
解：如图2，过点D作DH∥BF交AC于点H．
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=DC．
∵DH∥BF，
∴FHCH=BDCD，
∴CH=FH．
∵EF∥DH，
…