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第31讲 图形的轴对称、平移、旋转（3考点+35题型+7类型）（讲义）-2024年中考数学一轮复习讲义（全国通用）
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这是一份第31讲 图形的轴对称、平移、旋转（3考点+35题型+7类型）（讲义）-2024年中考数学一轮复习讲义（全国通用），文件包含第31讲图形的轴对称平移旋转讲义原卷版docx、第31讲图形的轴对称平移旋转讲义解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共212页， 欢迎下载使用。
2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数）。
3、要学会抢得分点。要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想：体现在数学上也就是要把难转简，把不熟转熟，把未知转为已知的问题。
第31讲 图形的轴对称、平移、旋转
目 录
TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc158497700" 一、考情分析
二、知识建构
\l "_Tc158497701" 考点一 轴对称
\l "_Tc158497702" 题型01 轴对称图形的识别
\l "_Tc158497703" 题型02 根据成轴对称图形的特征进行判断
\l "_Tc158497704" 题型03 根据成轴对称图形的特征进行求解
\l "_Tc158497705" 题型04 轴对称中的光线反射问题
\l "_Tc158497706" 题型05 折叠问题
\l "_Tc158497707" 类型一 三角形折叠问题
\l "_Tc158497708" 类型二 四边形折叠问题
\l "_Tc158497709" 类型三 圆的折叠问题
\l "_Tc158497710" 类型四 抛物线与几何图形综合
\l "_Tc158497711" 题型06 求对称轴条数
\l "_Tc158497712" 题型07 画轴对称图形
\l "_Tc158497713" 题型08 设计轴对称图案
\l "_Tc158497714" 题型09求某点关于坐标轴对称点的坐标
\l "_Tc158497715" 题型10 与轴对称有关的规律探究问题
\l "_Tc158497716" 题型11 轴对称的综合问题
\l "_Tc158497717" 考点二 图形的平移
\l "_Tc158497718" 题型01 生活中的平移现象
\l "_Tc158497719" 题型02 利用平移的性质求解
\l "_Tc158497720" 题型03 利用平移解决实际生活问题
\l "_Tc158497721" 题型04 作平移图形
\l "_Tc158497722" 题型05 求点沿x轴、y轴平移后的坐标
\l "_Tc158497723" 题型06 由平移方式确定点的坐标
\l "_Tc158497724" 题型07 由平移前后点的坐标判断平移方式
\l "_Tc158497725" 题型08 已知图形的平移求点的坐标
\l "_Tc158497726" 题型09 与平移有关的规律问题
\l "_Tc158497727" 题型10 平移的综合问题
\l "_Tc158497728" 考点三 图形的旋转
\l "_Tc158497729" 题型01 找旋转中心、旋转角、对应点
\l "_Tc158497730" 题型02 根据旋转的性质求解
\l "_Tc158497731" 题型03 根据旋转的性质说明线段或角相等
\l "_Tc158497732" 题型04 画旋转图形
\l "_Tc158497733" 题型05 求旋转对称图形的旋转角度
\l "_Tc158497734" 题型06 旋转中的规律问题
\l "_Tc158497735" 题型07 求绕原点旋转90°点的坐标
\l "_Tc158497736" 题型08 求绕某点（非原点）旋转90°点的坐标
\l "_Tc158497737" 题型09 求绕原点旋转一定角度点的坐标
\l "_Tc158497738" 题型10 旋转综合题
\l "_Tc158497739" 类型一 线段问题
\l "_Tc158497740" 类型二 面积问题
\l "_Tc158497741" 类型三 角度问题
\l "_Tc158497742" 题型11 判断中心对称图形
\l "_Tc158497743" 题型12 画已知图形关于某点的对称图形
\l "_Tc158497744" 题型13 根据中心对称的性质求面积、长度、角度
\l "_Tc158497745" 题型14 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案
考点一 轴对称
轴对称与轴对称图形
常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形等.
做轴对称图形的一般步骤：
1）作某点关于某直线的对称点的一般步骤：
①过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足，并延长；
②在延长线上从垂足出发截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点.
2）作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤：
①找.在原图形上找特殊点（如线段的端点、线与线的交点）
②作.作各个特殊点关于已知直线的对称点
③连.按原图对应连接各对称点
折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．
【解题思路】凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．解决折叠问题时，首先清楚折叠和轴对称能够提供我们隐含的且可利用的条件，分析角之间、线段之间的关系，借助勾股定理建立关系式求出答案，所求问题具有不确定性时，常常采用分类讨
1. 对称轴是一条直线，不是一条射线，也不是一条线段.
2. 轴对称图形的对称轴有的只有一条，有的存在多条对称轴（例：正方形有四条对称轴，圆有无数条对称轴等）.
3. 成轴对称的两个图形中的任何一个都可以看作由另一个图形经过轴对称变换得到的，一个轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础,经轴对称变换得到的.
4. 轴对称的性质是证明线段相等、线段垂直及角相等的依据之一,例如:若已知两个图形关于某直线成轴对称,则它们的对应边相等,对应角相等.
论的数学思想方法．
题型01 轴对称图形的识别
【例1】（2022·江苏盐城·校联考一模）北京2022年冬奥会会徽如图所示，组成会徽的四个图案中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2022·广东深圳·南山实验教育麒麟中学校联考模拟预测）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2022·广东·统考模拟预测）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
题型02 根据成轴对称图形的特征进行判断
【例2】（2023·天津·校联考一模）如图，△ABC与△A1B1C1，关于直线MN对称，P为MN上任一点（P不与AA1共线），下列结论不正确的是（ ）
A．AP=A1PB．△ABC与△A1B1C1的面积相等
C．MN垂直平分线段AA1D．直线AB,A1B1的交点不一定在MN上
【变式2-1】（2023·广东深圳·统考二模）如图，这条活灵活现的“小鱼”是由若干条线段组成的，它是一个轴对称图形，对称轴为直线l，则下列结论不一定正确的是（ ）
A．点C和点D到直线l的距离相等B．BC=BD
C．∠CAB=∠DABD．四边形ADBC是菱形
【变式2-2】（2019·湖北武汉·统考模拟预测）每个网格中均有两个图形，其中一个图形关于另一个图形轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
题型03 根据成轴对称图形的特征进行求解
【例3】（2021·山东临沂·统考一模）如图，在锐角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°， BD平分∠ABC，交AC于点D，M、N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是（ ）
A．3B．2C．23D．4
【变式3-1】（2023·山东枣庄·统考三模）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动；若EF=1，则GE+CF的最小值为 ．
【变式3-2】（2022·山东聊城·统考一模）如图，在菱形ABCD中，BC=2，∠C=120°，Q为AB的中点，P为对角线BD上的任意一点，则AP+PQ的最小值为 ．
【变式3-3】（2020·新疆乌鲁木齐·校考一模）如图，在矩形ABCD中，BC=10，∠ABD=30°，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则AM+MN的最小值为 ．
题型04 轴对称中的光线反射问题
【例4】（2023·河北廊坊·校考一模）通过光的反射定律知道，入射光线与反射光线关于法线成轴对称（图1）．在图2中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
【变式4-1】（2022·陕西咸阳·统考三模）如图，在水平地面AB上放一个平面镜BC，一束垂直于地面的光线经平面镜反射，若反射光线与地面平行，则平面镜BC与地面AB所成的锐角α为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【变式4-2】（2022·浙江台州·统考一模）根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等．如图，α,β是两面互相平行的平面镜，一束光线m通过镜面α反射后的光线为n，再通过镜面β反射后的光线为k．光线m与镜面α的夹角的度数为x°，光线n与光线k的夹角的度数为y°．则x与y之间的数量关系是 ．
题型05 折叠问题
类型一 三角形折叠问题
【例5】（2023·新疆·统考一模）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片ABC，第1次折叠使点B落在BC边上的点B'处，折痕AD交BC于点D；第2次折叠使点A落在点D处，折痕MN交AB'于点P．若BC=12，则MP+MN= ．
【变式5-1】（2022·浙江衢州·统考模拟预测）如图，三角形纸片ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，BF＝4，CF＝6，将这张纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合．若DE∥BC，AF＝EF，则四边形ADFE的面积为 ．
【变式5-2】（2022·广东珠海·珠海市文园中学校考三模）如图所示，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点B落在点B′处，若EB′恰好与BC平行，且∠B＝80°，则∠CDE＝ °．
【变式5-3】（2020·浙江丽水·统考模拟预测）如图，在△ABC中，AB=42，∠B=45°，∠C=60°．
（1）求BC边上的高线长．
（2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF．
①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数．
②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长．
【变式5-4】（2023·新疆和田·统考一模）如图，在ΔABC巾，∠ABC=30°，AB=AC，点O为BC的中点，点D是线段OC上的动点（点D不与点O，C重合），将△ACD沿AD折叠得到ΔAED，连接BE．
(1)当AE⊥BC时，∠AEB=___________°；
(2)探究∠AEB与∠CAD之间的数量关系，并给出证明；
(3)设AC=4，△ACD的面积为x，以AD为边长的正方形的面积为y，求y关于x的函数解析式．
类型二 四边形折叠问题
【例6】（2019·山东菏泽·统考三模）如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F，若∠ABD=48°，∠CFD=40°，则∠E为( )
A．102°B．112°C．122°D．92°
【变式6-1】（2022·山东枣庄·统考一模）如图，在四边形纸片ABCD中，AD//BC，AB=10，∠B=60°．将纸片折叠，使点B落在AD边上的点G处，折痕为EF．若∠BFE=45°，则BF的长为（ ）
A．5B．35C．53D．35
【变式6-2】（2022·浙江台州·模拟预测）如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到△ECF．若BC＝1，则△ECF的周长为（ ）
A．2B．2+12C．5+12D．43
【变式6-3】（2021·广东深圳·校联考一模）如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D'，C'的位置．若∠AED'=50°，则∠EFC等于（ ）
A．65°B．110°C．115°D．130°
【变式6-4】（2022·河南郑州·一模）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在▱ABCD中，BE⊥AD，垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明；
独立思考：（1）请解答老师提出的问题；
实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将▱ABCD沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为C'，连接DC'并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明；
问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将▱ABCD沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点为A'，使A'B⊥CD于点H，折痕交AD于点M，连接A'M，交CD于点N．该小组提出一个问题：若此▱ABCD的面积为20，边长AB=5，BC=25，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．
【变式6-5】（2021·江苏常州·统考二模）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12．将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．
（1）如图①，若点P恰好在边BC上，连接AP，求APDE的值；
（2）如图②，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．
类型三 圆的折叠问题
【例7】（2023·山东济宁·校考二模）将一个半径为1的圆形纸片，如下图连续对折三次之后，用剪刀沿虚线①剪开，则虚线①所对的圆弧长和展开后得到的多边形的内角和分别为（ ）
A．π2，540°B．π4，720°C．π4，1080°D．π3，2160°
【变式7-1】（2023·广东广州·统考一模）如图，AB为⊙O的直径，点C为圆上一点，∠BAC=20°，将劣弧AC沿弦AC所在的直线翻折，交AB于点D，则∠ACD的度数等于( )．
A．40°B．50°C．80°D．100°
【变式7-2】（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校联考二模）如图，AC、AD是⊙O中关于直径AB对称的两条弦，以弦AC、AD为折线将弧AC，弧AD折叠后过圆心O，若⊙O的半径r=4，则圆中阴影部分的面积为 ．
【变式7-3】（2023·河北邯郸·统考一模）如图所示，在扇形AOB中，半径OA=4，点P在OA上，连接PB，将△OBP沿PB折叠得到△O1BP．若∠O=75°，且BO1与弧AB所在的圆相切于点B．
(1)求∠APO1的度数；
(2)求AP的长．
【变式7-4】（2023·安徽合肥·校考一模）如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在AB上的点C处，图中阴影部分的面积为（ ）
A．3π−33B．3π−932C．2π−33D．6π−932
类型四 抛物线与几何图形综合
【例8】（2021·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝−13x2+233x+3的图象与x轴交于点A、点B．与y轴交于点C．
（1）求抛物线与x轴的两交点坐标．
（2）连接AC、BC．判断△ABC的形状，说明理由．
（3）过点C作直线l//x轴，点P是抛物线上对称轴右侧一动点，过点P作直线PQ//y轴交直线l于点Q，连接CP．若将△CPQ沿CP对折，点Q的对应点为点M．是否存在这样的点P，使点M落在坐标轴上？若存在，求出此时点Q的坐标．若不存在，请说明理由．
【变式8-1】（2021·江苏常州·常州实验初中校考二模）如图，二次函数y=−x2+bx+2的图象与y轴交于点C，抛物线的顶点为A，对称轴是经过点H（2，0）且平行于y轴的一条直线．点P是对称轴上位于点A下方的一点，连接CP并延长交抛物线于点B，连接CA、AB．
（1）填空：b=______，点A的坐标是______；
（2）当∠ACB=45°时，求点P的坐标；
（3）将△CAB沿CB翻折后得到△CDB（点A的对应点为点D），问点D能否恰好落在坐标轴上?若能，请直接写出点P的坐标，若不能，请说明理由．
【变式8-2】（2023·江苏苏州·校考二模）如图，二次函数y=12x2+bx+c与x轴交于O0,0，A4,0两点，顶点为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A'的位置，线段A'C与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合．
(1)求二次函数的表达式；
(2)①求证：△OCD∽△A'BD；②DBBA的最小值；
(3)当S△OCD=8S△A'BD时，求直线A'B的解析式．
【变式8-3】（2023·陕西渭南·统考二模）如图，抛物线y=ax2+bx−6与x轴正半轴交于点A6,0，与y轴交于点B，点C在直线AB上，过点C作CD⊥x轴于点D2,0，将△ACD沿CD所在直线翻折，点A恰好落在抛物线上的点E处．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点P是抛物线上的点，是否存在点P，使∠PEA=∠BAE？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
题型06 求对称轴条数
【例9】（2023·广东广州·统考一模）图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（ ）
A．1B．2C．3D．5
【变式9-1】（2022·山东青岛·统考一模）下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（ ）
A．B．C．D．
【变式9-2】（2020·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）下列图形：
其中是轴对称图形且有两条对称轴的是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．③④
【变式9-3】（2023·北京海淀·校联考模拟预测）下列图形中，对称轴条数最少的是（ ）
A．B．C．D．
题型07 画轴对称图形
【例10】（2021·广东中山·校联考一模）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点和线段EF的端点均在小正方形的顶点上．
(1)在方格纸中面出△ADC，使△ADC与△ABC关于直线AC对称（点D在小正方形的顶点上）；
(2)在方格纸中画出以线段EF为一边的平行四边形EFGH（点G，点H均在小正方形的顶点上），且平行四边形EFGH的面积为4．连接DH，请直接写出线段DH的长．
【变式10-1】（2023·陕西西安·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标为A2，4，B1，2，C4，1，△DEF各顶点的坐标为D4，−4，E5，−2，F2，−1．
(1)在图中作出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'；
(2)若△ABC与△DEF关于点P成中心对称，则点P的坐标是___．
【变式10-2】（2022·福建莆田·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为斜边AB中点．
(1)尺规作图：求作一点E，使得点B，E关于直线CD对称；（不要求写作法，保留作图痕迹）
(2)连接DE，求证：∠CDE=2∠A．
【变式10-3】（2022·广西南宁·统考二模）如图，在直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(3,3)，B(4,0)，C(0,2)．
(1)请画出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．
(2)以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的12，得到△A2B2C2，请在y轴的右侧画出△A2B2C2．
(3)在y轴上存在点P，使得△OA1P的面积为6，请直接写出满足条件的点P的坐标．
题型08 设计轴对称图案
【例11】（2020·河北·模拟预测）如图，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为（ ）
A．10B．6C．3D．2
【变式11-1】（2022·安徽合肥·统考二模）如图，在4×4正方形网络中，选取一个白色的小正方形并涂黑，使构成的黑色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是 ．
【变式11-2】（2020·山东枣庄·统考二模）在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分）
请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，例图除外）
【变式11-3】（2022·山西大同·统考二模）阅读理解，并解答问题：
观察发现：
如图1是一块正方形瓷砖，分析发现这块瓷砖上的图案是按图2所示的过程设计的，其中虚线所在的直线是正方形的对称轴．
问题解决：
用四块如图1所示的正方形瓷砖按下列要求拼成一个新的大正方形，并在图3和图4中各画一种拼法．
(1)图3中所画拼图拼成的图案是轴对称图形，但不是中心对称图形；
(2)图4中所画拼图拼成的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形．
【变式11-4】（2022·浙江宁波·统考一模）在4×4的方格中，选择6个小方格涂上阴影，请仔细观察图1中的六个图案的对称性，按要求回答．
(1)请在六个图案中，选出三个具有相同对称性的图案．选出的三个图案是 （填写序号）；它们都是 图形（填写“中心对称”或“轴对称”）；
(2)请在图2中，将1个小方格涂上阴影，使整个4×4的方格也具有（1）中所选图案相同的对称性．
题型09求某点关于坐标轴对称点的坐标
【例12】（2022·湖南岳阳·统考一模）在平面直角坐标系xOy中，点M(−4,2)关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．(−4,2)B．(4,2)C．(−4,−2)D．(4,−2)
【变式12-1】（2023·浙江湖州·模拟预测）在平面直角坐标系中，将点A(-3，-2)向右平移5个单位长度得到点B，则点B关于y轴对称点B'的坐标为（ ）
A．(2，2)B．(-2，2)C．(-2，-2)D．(2，-2)
【变式12-2】（2019·四川成都·校联考一模）若点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则m+n的值是（ ）
A．﹣5B．﹣3C．3D．1
题型10 与轴对称有关的规律探究问题
【例13】（2022·云南·云大附中校考一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A（﹣1，3）、B（1，1）、C（5，1）．规定“把▱ABCD先沿y轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2022次变换后，▱ABCD的顶点D的坐标变为（ ）
A．（3，﹣2019）B．（﹣3，﹣2019）
C．（3，﹣2018）D．（﹣3，﹣2018）
【变式13-1】（2022·河南商丘·校考一模）如图，等边△ABC的顶点A1,1，B3,1，规定把△ABC“先沿x轴翻折，再向右平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2022次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为（ ）
A．2023,3+1B．2023,−3−1
C．2024,3+1D．2024,−3−1
【变式13-2】（2021·河北·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是(1,2)，则经过第2021次变换后点A的对应点的坐标为（ ）
A．(1,−2)B．(−1,−2)C．(−1,2)D．(1,2)
【变式13-3】（2021·山东青岛·山东省青岛实验初级中学校考模拟预测）如图，已知正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点M，顶点A、B、C的坐标分别为(1,3)、(1,1)、(3,1)，规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向右平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2020次变换后，点M的坐标变为（ ）
A．(2022,2)B．(2022,−2)
C．(2020,2)D．(2020,−2)
题型11 轴对称的综合问题
【例14】（2023·广西玉林·一模）如图，已知直线y=kx+2k交x、y轴于A、B两点，以AB为边作等边△ABC(A、B、C三点逆时针排列)，D、E两点坐标分别为(−6,0)、(−1,0)，连接CD、CE，则CD+CE的最小值为（ ）
A．6B．5+3C．6.5D．7
【变式14-1】（2022·江苏镇江·统考模拟预测）△ABC是边长为4的等边三角形，其中点P为高AD上的一个动点，连接BP，将BP绕点B顺时针旋转60°得到BE，连接PE、DE、CE，则△BDE周长的最小值是（ ）
A．2+23B．2+3C．4+3D．4+23
【变式14-2】（2022·广东·校联考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝6，点P是线段AC上一动点，点M在线段AB上，当AM＝13AB时，PB＋PM的最小值为（ ）
A．33B．27C．23＋2D．33＋3
【变式14-3】（2022·福建厦门·福建省厦门第二中学校考模拟预测）如图，在正五边形ABCDE中，点F是CD的中点，点G在线段AF上运动，连接EG，DG，当△DEG的周长最小时，则∠EGD=（ ）
A．36°B．60°C．72°D．108°
【变式14-4】（2023·安徽蚌埠·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点Q是直线y=3x上的一个动点，以AQ为边，在AQ的右侧作等边△APQ，使得点P落在第一象限，连接OP，则OP+AP的最小值为（ ）
A．6B．43C．8D．63
考点二 图形的平移
平移的概念：在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移．平移不改变图形的形状和大小．
平移的三大要素：1）平移的起点，2）平移的方向，3）平移的距离．
平移的性质：
1）平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置，因此平移前后的两个图形全等.
2）平移前后对应线段平行且相等、对应角相等.
3）任意两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等，对应点之间的距离就是平移的距离.
作图步骤：
1）根据题意，确定平移的方向和平移的距离；
2）找出原图形的关键点；
3）按平移方向和平移距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点；
4）按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形．
题型01 生活中的平移现象
【例1】（2022·贵州贵阳·统考二模）下列现象中属于平移的是（ ）
①方向盘的转动；②打气筒打气时，活塞的运动；③钟摆的摆动；④汽车雨刷的运动
A．①②B．②③C．①②④D．②
【变式1-1】（2023·江苏宿迁·统考三模）数学来源于生活，下列图案是由平移形成的是（ ）
A． B． C． D．
题型02 利用平移的性质求解
【例2】（2022·福建·统考模拟预测）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中∠ABC=90°，∠CAB=60°，AB＝8，点A对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到△A'B'C'，点A'对应直尺的刻度为0，则四边形ACC'A'的面积是（ ）
A．96B．963C．192D．1603
【变式2-1】（2023·河北廊坊·统考二模）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形A'B'C'D'，形成一个“方胜”图案，则点D，B'之间的距离为（ ）
A．1cmB．2cmC．(2－1)cmD．(22－1)cm
【变式2-2】（2023·湖北孝感·校考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2cm．把△ABC沿AB方向平移1cm，得到△A'B'C'，连结CC'，则四边形AB'C'C的周长为 cm．
【变式2-3】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，4），将△ABO向右平移到△CDE位置，A的对应点是C，O的对应点是E，函数y=kx(k≠0)的图像经过点C和DE的中点F，则k的值是 ．
【变式2-4】（2023·江苏徐州·统考一模）如图，△ABC的边BC长为4cm．将△ABC平移2cm得到△A′B′C′，且BB′⊥BC，则阴影部分的面积为 cm2．
题型03 利用平移解决实际生活问题
【例3】（2023·山东淄博·统考二模）如图，在长为37米，宽为26米的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为1米，其它部分均种植花草，则种植花草的面积 平方米．
【变式3-1】（2023·河北沧州·校考模拟预测）在长方形ABCD中，放入6个形状，大小都相同的长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分面积是 cm2；若平移这六个长方形，则图中剩余的阴影部分面积 （填“有变化”或“不改变”）．
【变式3-2】（2022·河北秦皇岛·统考一模）某景区有一座步行桥（如图），需要把阴影部分涂刷油漆．
(1)求涂刷油漆的面积；
(2)若a=901，b=1，请用科学记数法表示涂刷油漆的面积．
【变式3-3】（2023·贵州遵义·统考一模）如图1，计划在长为30米、宽为20米的矩形地面上修筑两条同样宽的道路①、②（图中阴影部分），设道路①、②的宽为x米，剩余部分为绿化．
(1)道路①的面积为___________平方米；道路②的面积为___________平方米（都用含x的代数式表示）．
(2)如图2，根据实际情况，将计划修筑的道路①、②改为同样宽的道路③（图中阴影部分），若道路的宽依然为x米，剩余部分为绿化，且绿化面积为551平方米，求道路的宽度．
题型04 作平移图形
【例4】（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，在2×6的方格纸中，已知格点P，请按要求画格点图形（顶点均在格点上）．
(1)在图1中画一个锐角三角形，使P为其中一边的中点，再画出该三角形向右平移2个单位后的图形．
(2)在图2中画一个以P为一个顶点的钝角三角形，使三边长都不相等，再画出该三角形绕点P旋转180°后的图形．
【变式4-1】（2022·安徽·二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．
（1）把△ABC向左平移4个单位后得到对应的△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1；
（2）把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2；
（3）观察图形可知，△A1B1C1与△A2B2C2关于点（ ， ）中心对称．
【变式4-2】（2023·陕西铜川·统考一模）如图，△ABC的顶点坐标分别为A(−2，3)，B(−3，0)，C(−1，−1)．将△ABC平移后得到△A'B'C'，且点A的对应点是A'(2，3)，点B、C的对应点分别是B'，C'．
(1)点A、A'之间的距离是__________；
(2)请在图中画出△A'B'C'．
题型05 求点沿x轴、y轴平移后的坐标
【例5】（2023·湖南长沙·校考二模）在平面直角坐标系中，将点A(a,b)向右平移3单位长度，再向上平移2个单位长度正好与原点重合，那么点A的坐标是（ ）
A．(3,2)B．(3,−2)C．(−3,−2)D．(−3,2)
【变式5-1】（2022·河北秦皇岛·统考一模）将点A（-3，-2）沿水平方向向左平移5个单位长度得到点A'，若点A'在直线y=x+b上，则b的值为（ ）
A．6B．4C．-6D．-4
题型06 由平移方式确定点的坐标
【例6】（2023·广西·模拟预测）如图，点A(0,3)、B(1,0)，将线段AB平移得到线段DC，若∠ABC=90°,BC=2AB，则点D的坐标是（ ）
A．(7,2)B．(7,5)C．(5,6)D．(6,5)
【变式6-1】（2021·江西·统考一模）如图，P（m，n）为△ABC内一点，△ABC经过平移得到△A′B′C′，平移后点P与其对应点P'关于x轴对称，若点B的坐标为（﹣2，1），则点B的对应点B′的坐标为（ ）
A．（﹣2，1﹣2n）B．（﹣2，1﹣n）C．（﹣2，﹣1）D．（m，﹣1）
【变式6-2】（2021·广东中山·校联考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(1,2)，将线段OA向右平移4个单位长度，得到线段BC，点A的对应点C的坐标是 ．
【变式6-3】（2023·山东德州·统考一模）如图，四边形ABCD为平行四边形，则点B的坐标为 ．
【变式6-4】（2023·山东临沂·统考一模）如图，平面直角坐标系中，线段AB端点坐标分别为A−5,0，B0,−3，若将线段AB平移至线段A1B1，且A1−3,m，B12,1，则m的值为 ．
题型07 由平移前后点的坐标判断平移方式
【例7】（2022·山东淄博·统考二模）四盏灯笼的位置如图．已知A，B，C，D的坐标分别是 (−1，b)，(1，b)，(2，b)，(3.5，b)，平移y轴右侧的一盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是（ ）
A．将B向左平移4.5个单位B．将C向左平移4个单位
C．将D向左平移5.5个单位D．将C向左平移3.5个单位
【变式7-1】（2022·浙江台州·统考二模）如图，平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A1,1，B4,1，D2,3，要把顶点A平移到顶点C的位置，则其平移方式可以是：先向右平移 个单位，再向上平移 个单位．
题型08 已知图形的平移求点的坐标
【例8】（2021·河北·模拟预测）如图，在ΔABC中，∠ACB=90°．边BC在x轴上，顶点A,B的坐标分别为−2,6和7,0．将正方形OCDE沿x轴向右平移当点E落在AB边上时，点D的坐标为（ ）
A．32,2B．2,2C．114,2D．4,2
【变式8-1】（2023·辽宁大连·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．若顶点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），则点B（﹣4，2）的对应点B1的坐标是 ．
【变式8-2】（2023·吉林长春·校联考一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，B的坐标分别是A0,2，B2,−1．平移△ABC得到△A'B'C'，若点A的对应点A'的坐标为−1,0，则点B的对应点B'的坐标是 ．
题型09 与平移有关的规律问题
【例9】（2019·河南新乡·校联考二模）如图，等边△ABC的顶点A1,1，B3,1，规定把△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2019次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为（ ）
A．−2016,3+1B．−2016,3−1
C．−2017,3+1D．−2017,−3−1
【变式9-1】（2023·湖南娄底·校联考一模）定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a个单位，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫作图形的γa,θ变换．如图，等边△ABC的边长为1，点A在第一象限，点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上，△A1B1C1就是△ABC经γ1,180°变换后所得的图形，若△ABC经γ1,180°变换后得到△A1B1C1，△A1B1C1经γ2,180°变换后得到△A2B2C2，△A2B2C2经γ3,180°变换后得到△A3B3C3，依此类推••••••，△An−1Bn−1Cn−1经γn,180°变换后得到△AnBnCn，点A2023的坐标为 ．
【变式9-2】（2018·青海·统考一模）如图，等边三角形的顶点A（1，1）、B（3，1），规定把等边△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如果这样连续经过2018次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为 ．
题型10 平移的综合问题
【例10】（2022·内蒙古呼和浩特·统考三模）如图，△ABC和△A'B'C'是边长分别为5和2的等边三角形，点B'、C'、B、C都在直线l上，△ABC固定不动，将△A'B'C'在直线l上自左向右平移．开始时，点C'与点B重合，当点B'移动到与点C重合时停止．设△A'B'C'移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，请写出y与x之间的函数关系式 ．
【变式10-1】（2023·天津·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6,0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO=30°．矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD=2.．
（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；
（Ⅱ）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C'O'D'E'，点C，O，D，E的对应点分别为C'，O'，D'，E'．设OO'=t，矩形C'O'D'E'与ΔABO重叠部分的面积为S．
①如图②，当矩形C'O'D'E'与ΔABO重叠部分为五边形时，C'E'，E'D'分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当3⩽S⩽53时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．
【变式10-2】（2023·吉林长春·东北师大附中校考三模）如图①，直线y=−x−1交x轴于点A，经过点A的抛物线y1=−x2+bx+c交直线y=−x−1于另一点B(4,−5)，交x轴于点C．点P是抛物线y1=−x2+bx+c对称轴上的点．
(1)求抛物线的解析式及点C的坐标．
(2)当PA=PB时，求点P的纵坐标m的值．
(3)过点P作x轴的平行线，交抛物线y1=−x2+bx+c于点E、F，交线段AB于点Q，当点Q将线段AB分得的两段线段长度比为2：3时，直接写出点P的纵坐标的值．
(4)将线段AC先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，若抛物线y2=a(−x2+bx+c)(a≠0)与线段MN只有一个交点，请直接写出a的取值范围．
【变式10-3】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A，B1，0两点，与y轴交于C点，其对称轴为直线x=−1．
(1)直接写出抛物线的解析式；
(2)如图1，D为线段AC上的点，过点D的直线EF∥OC，交抛物线于E点，交AO于F点，设点D的横坐标为t，且−3(3)如图2，直线l:y=kxk>0沿y轴翻折得到直线l'，平移直线l与抛物线相交于N，P两点，平移直线l'与抛物线相交于N，Q两点，M为PQ的中点，设点N的横坐标为n，点M的横坐标为m，求n与m的数量关系．
考点三 图形的旋转
定义：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角．
三大要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度．
性质：
1）对应点到旋转中心的距离相等；
2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
3）旋转前后的图形全等．
作图步骤：
1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角；
2）找出原图形的关键点；
3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点；
4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形．
1. 图形的旋转由旋转中心、旋转方向与旋转的角度所决定.
2. 旋转中心可以是图形外的一点，也可以是图形上的一点，还可以是图形内的一点.
3. 对应点之间的运动轨迹是一段圆弧，对应点到旋转中心的线段就是这段圆弧所在圆的半径.
4. 旋转是一种全等变换，旋转改变的是图形的位置，图形的大小关系不发生改变，所以在解答有关旋转的问题时，要注意挖掘相等线段、角，因此特殊三角形性质的运用、锐角三角函数建立的边角关系起着关键的作用．
中心对称与中心对称图形：
中心对称的性质：1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；
中心对称的两个图形是全等图形.
作与已知图形成中心对称的图形的一般步骤：
1）作已知图形各顶点（或决定图形形状的关键点）关于对称中心的对称点——连接关键点和对称中心，并延长一倍确定关键点的对称点.
2）把各对称点按已知图形的连接方式依次连接起来，则所得到的图形就是已知图形关于对称中心对称的图形.
找对称中心的方法和步骤：
方法1：连接两个对应点，取对应点连线的中点，则中点为对称中心.
方法2：连接两个对应点，在连接两个对应点，两组对应点连线的交点为对称中心.
题型01 找旋转中心、旋转角、对应点
【例1】（2019·山东·山东省青岛第二十六中学校考中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格线的格点上，将三角形ABC绕点P旋转90°，得到△A′B′C′，则点P的坐标为（ ）
A．（0，4）B．（1，1）C．（1，2）D．（2，1）
【变式1-1】（2023·辽宁鞍山·统考一模）如图，△ADE是由△ABC绕点A旋转得到的，若∠C=40°，∠B=90°，∠CAD=10°，则旋转角的度数为（ ）
A．60°B．50°C．40°D．10°
【变式1-2】（2022·四川泸州·统考一模）如图，△ABC绕点C旋转，点B转到点E的位置，则下列说法正确的是（ ）
A．点B与点D是对应点B．∠BCD等于旋转角
C．点A与点E是对应点D．△ABC≌△DEC
【变式1-3】（2023·江苏镇江·统考一模）第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图，这个图案绕着它的中心旋转角α0°<α<360°后能够与它本身重合，则角α可以为 度．（写出一个即可）
题型02 根据旋转的性质求解
【例2】（2023·辽宁沈阳·模拟预测）如图，△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，使点B的对应点D恰好落在AB边上，AC、ED交于点F．若∠BCD=α，则∠EFC的度数是（用含α的代数式表示）（ ）
A．90°+12αB．90°−12αC．180°−32αD．32α
【变式2-1】（2023·辽宁沈阳·统考三模）如图，在△ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AB=ANB．AB∥NC C．∠AMN=∠ACND．MN⊥AC
【变式2-2】（2023·山东菏泽·统考二模）如图，在ΔABC中，ABA．①②B．②③C．①③D．①②③
【变式2-3】（2023·山东枣庄·校联考二模）如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正确的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【变式2-4】（2021·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）如图，在ΔABC中，∠BAC=108°，将ΔABC绕点A按逆时针方向旋转得到ΔAB'C'．若点B'恰好落在BC边上，且AB'=CB'，则∠C'的度数为（ ）
A．18°B．20°C．24°D．28°
题型03 根据旋转的性质说明线段或角相等
【例3】（2022·广西贺州·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，将△ABC绕点A逆时针转60°得到△AB'C'，则BC'的长是（ ）
A．3+1B．23+2C．32D．23
【变式3-1】（2022·河南安阳·统考一模）如图，矩形ABCD的顶点A1,0，D0,2，B5,2，将矩形以原点为旋转中心，顺时针旋转75°之后点C的坐标为（ ）
A．4,−2B．42,−22C．42,−2D．26,−22
【变式3-2】（2021·江苏泰州·校考一模）如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把ΔADE绕点A顺时针旋转90°到ΔABF的位置．若四边形AECF的面积为20，DE=2，则AE的长为（ ）
A．4B．25C．6D．26
【变式3-3】（2022·黑龙江哈尔滨·统考一模）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转80°得△DBE，点D，E分别为点A，C的对应顶点，连接AD，若AD∥BC，则∠DBE为（ ）
A．80°B．50°C．55°D．100°
题型04 画旋转图形
【例4】（2023·新疆·二模）如图，在方格纸中，将Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到Rt△A'O'B，则下列四个图形中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-1】（2022·广东韶关·统考一模）在如图所示的直角坐标系中，解答下列问题：
(1)分别写出A、B两点的坐标；
(2)将△ABC绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的△AB1C1
【变式4-2】（2023·陕西·模拟预测）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A1,−1，B2,−5，C5,−4．
(1)将△ABC先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到△A1B1C1，画出两次平移后的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
(2)画出△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°后得到△A2B2C1，并写出点A2的坐标；
(3)在（2）的条件下，求点A1旋转到点A2的过程中所经过的路径长（结果保留π）．
【变式4-3】（2023·广东深圳·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A−1,1，B−4,0，C−2,2．将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1．
(1)请写出A1、B1、C1三点的坐标：A1_________，B1_________，C1_________
(2)求点B旋转到点B1的弧长．
题型05 求旋转对称图形的旋转角度
【例5】（2023·广东珠海·校考一模）美丽的冬奥雪花呈现出浪漫空灵的气质．如图，雪花图案是一个中心对称图形，也可以看成自身的一部分围绕它的中心依次旋转一定角度得到的，这个角的度数可以是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【变式5-1】（2020·吉林·统考三模）如图，该图案绕它的中心至少旋转m度能与自身完全重合，则m的值是（ ）
A．45B．90C．135D．180
【变式5-2】（2023·江苏镇江·校联考一模）如图，点A、B、C、D、E是圆O上的五等分点，该图形绕点O至少旋转 度后与自身重合．
题型06 旋转中的规律问题
【例6】（2021·山东济宁·统考一模）如图，矩形ABCD中AB是3cm，BC是2cm，一个边长为1cm的小正方形沿着矩形ABCD的边AB→BC→CD→DA→AB连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，小正方形箭头的方向是（ ）
A．B．C．D．
【变式6-1】（2023·辽宁阜新·阜新实验中学校考二模）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=3x+3与两坐标轴交于A、B两点，以AB为边作等边△ABC，将等边△ABC沿射线AB方向作连续无滑动地翻滚．第一次翻滚：将等边三角形绕B点顺时针旋转120°，使点C落在直线l上，第二次翻滚：将等边三角形绕点C顺时针旋转120°，使点A落在直线l上……当等边三角形翻滚2023次后点A的对应点坐标是（ ）
A．2023,20233B．2022,20243C．2021,20223D．2021,20243
【变式6-2】（2022·山东菏泽·统考二模）如图，在正方形ABCD中，顶点A−5,0，C5,10，点F是BC的中点，CD与y轴交于点E，AF与BE交于点G，将正方形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点G的坐标为（ ）
A．4,3B．3,4C．−4,−3D．−3,−4
【变式6-3】（2022·江苏常州·校考二模）如图，一个机器人最初面向北站立，按程序：每次移动都向前直走5m，然后逆时针转动一个角度，每次转动的角度增加10°．第一次直走5m后转动10°，第二次直走5m后转动20°，第三次直走5m后转动30°，如此下去．那么它在移动过程中第二次面向西方时一共走了 米．
【变式6-4】（2020·河北·统考模拟预测）如图，正六边形ABCDEF的边AB与x轴重合，点F在y轴的正半轴上，已知，正六边形的边长为1，沿x轴向右无滑动滚动，当边BC落到x轴上时，我们记为一次滚动完成，此时正六边形记为A1B1C1D1E1F1，请回答：
（1）点D的坐标为 ；
（2）当正六边形滚动2020次后，点D运动过的轨迹长 ．
【变式6-5】（2021·贵州铜仁·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为：A(−2,0)，B(1,2)，C(1,−2)．已知N(−1,0)，作点N关于点A的对称点N1，点N1关于点B的对称点N2，点N2关于点C的对称点N3，点N3关于点A的对称点N4，点N4关于点B的对称点N5，…，依此类推，则点N2020的坐标为 ．
【变式6-6】（2022·江苏淮安·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，AB⊥y轴，垂足为B，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应点B1落在直线y=−34x上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2也落在直线y=−34x上，以此进行下去……若点B的坐标为0,3，则点B21的纵坐标为 ．
题型07 求绕原点旋转90°点的坐标
【例7】（2020·安徽黄山·黄山市徽州区第二中学校考一模）如图，Rt△OAB的顶点A（-2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（ ）
A．(2,2)B．(2,2)C．(2,2)D．(2,2)
【变式7-1】（2023·安徽马鞍山·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，△OAB为等腰三角形，OA=AB=5，点B到x轴的距离为4，若将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA'B'，则点B'的坐标为 ．
题型08 求绕某点（非原点）旋转90°点的坐标
【例8】（2021·山东淄博·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣12x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点Q'，连接OQ'，则OQ'的最小值为( )
A．455B．5C．523D．655
【变式8-1】（2022·山东济南·统考二模）如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是−1,0，现将△ABC绕A点按逆时针方向旋转90°，则旋转后点C的坐标是（ ）
A．2,−3B．−2,3C．−2,2D．−3,2
【变式8-2】（2023·山东淄博·统考一模）规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转90°，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：如图，点O(0,0)按序列“011…”作变换，表示点O先向右平移一个单位得到O1(1,0)，再将O1(1,0)绕原点顺时针旋转90°得到O2(0,−1)，再将O2(0,−1)绕原点顺时针旋转90°得到O3(−1,0)…依次类推．点(0,1)经过“011011011”变换后得到点的坐标为 ．
题型09 求绕原点旋转一定角度点的坐标
【例9】（2022·河南·模拟预测）如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标为A（0，2），B（﹣1，0），将△ABO绕点O按顺时针旋转得到△A1B1O，若AB⊥OB1，则点A1的坐标为（ ）
A．（255,455）B．（455,255）C．（23,43）D．（45,85）
【变式9-1】（2021·河南南阳·统考一模）如图，矩形OABC的顶点O（ 0，0），B（－2，23），若矩形绕点O逆时针旋转，每秒旋转60°，则第145秒时，矩形的对角线交点D的坐标为（ ）
A．（－1，3）B．（－1，－3）C．（－2，0 ）D．（1，－3）
题型10 旋转综合题
类型一 线段问题
【例10】（2022·安徽·校联考三模）如图，已知正方形ABCD的边长为4，以点C为圆心，2为半径作圆，P是⊙C上的任意一点，将点P绕点D按逆时针方向旋转90°，得到点Q，连接BQ，则BQ的最大值是（ ）
A．6B．42+2C．22+4D．23+4
【变式10-1】（2022·江苏无锡·校联考一模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20，点P是AC边上的一个动点，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BQ，连接CQ．则在点P运动过程中，线段CQ的最小值为（ ）
A．43B．53C．10D．5
【变式10-2】（2023·陕西·模拟预测）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为 ．
【变式10-3】（2022·湖北武汉·统考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=9，E是边AB上一点，AE=2，F是直线BC上一动点，将线EF绕点E逆时针旋转90°得到线段EG，连接CG，DG，则CG+DG的最小值是 ．
类型二 面积问题
【例11】（2021·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）如图所示，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AC=AD=3，AB=AE=5，连接BD、CE，将△ADE绕点A旋转一周，在旋转的过程中，当∠DBA最大时，S△ACE= ．
【变式11-1】（2022·浙江宁波·校联考一模）如图，一副三角板如图1放置，AB=CD=6，顶点E重合，将△DEC绕其顶点E旋转，如图2，在旋转过程中，当∠AED=75°，连接AD，BC，此时四边形ABCD的面积是 ．
【变式11-2】（2023·河南南阳·校联考三模）如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为22、1、10，则正方形ABCD的面积为 ．
【变式11-3】（2022·辽宁鞍山·模拟预测）如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别为边AB，BC，AD上的点，且AE=BF=DG，连接EF，GE，GF．
(1)△BEF可以看成是△AGE绕点M逆时针旋转α角所得，请在图中画出点M，并直接写出α角的度数；
(2)当点E位于何处时，△EFG的面积取得最小值？请说明你的理由；
(3)试判断直线CD与△EFG外接圆的位置关系，并说明你的理由．
类型三 角度问题
【例12】（2023·广东广州·执信中学校考一模）如图，等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，将BC绕点B顺时针旋转θ0<θ<90°，得到BP，连结CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连结AP，则∠PAH的度数（ ）
A．30°B．45°C．60°D．随若θ的变化而变化
【变式12-1】（2022·山东烟台·统考一模）如图，正方形ABCD中∠PAQ分别交BC，CD于点E，F，连接EF．
(1)如图①，若∠1=28°，∠2=73°，试求∠3的度数；
(2)如图②，以点A为旋转中心，旋转∠PAQ，旋转时保持∠PAQ=45°．当点E，F分别在边BC，CD上时，AE和AF是角平分线吗？如果是，请说出是哪两个角的平分线并给予证明；如果不是，请说明理由；
(3)如图③，在②的条件下，当点E，F分别在BC，CD的延长线上时，②中的结论是否成立？只需回答结论，不需说明理由．
【变式12-2】（2022·山东济南·统考一模）图1是边长分别为a和ba>b的两个等边三角形纸片△ABC和△CDE叠放在一起（C与C'重合）的图形．
(1)操作：固定△ABC，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转20°，连结AD，BE，如图2，则∠ECA=______度，并直接写出线段BE与AD的数量关系____．
(2)操作：若将图1中的△CDE，绕点C按顺时针方向旋转120°，使点B、C、D在同一条直线上，连结AD、BE，如图3．
①线段BE与AD之间是否仍存在（1）中的结论？若是，请证明；若不是，请直接写出BE与AD之间的数量关系；
②求∠APB的度数．
(3)若将图1中的△CDE，绕点C按逆时针方向旋转一个角α0<α<360°，当α等于多少度时，△BCD的面积最大？请直接写出答案．
【变式12-3】（2022·山东烟台·统考二模）问题背景：
如图，已知△ABC中，AB=AC=m，BC=n，∠BAC=α0°<α<180°，点P为平面内不与点A，C重合的任意一点，连接CP，将线段CP绕点P顺时针旋转α，得线段PD，连接CD，AP．点E，F分别为BC，CD的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为β，探究EFAP的值AB和β的度数．
(1)【问题发现】如图1，α=60°时，EFAP= ，β= ；
(2)如图2，α=90°时，EFAP= ，β= ．
(3)【类比探究】如图3，α=120°时，请探究出EFAP的值和β的度数并证明；
(4)【拓展延伸】通过以上的探究请直接写出你发现的规律：EFAP= （用含m、n的式子表示）；β= （用含α的式子表示）．
题型11 判断中心对称图形
【例13】（2023·河南焦作·统考一模）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【变式13-1】（2023·四川绵阳·统考一模）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【变式13-2】（2021·北京丰台·统考二模）下列交通标志中，是中心对称图形的是（ ）
A．禁止驶入B．靠左侧道路行驶
C．向左和向右转弯D． 环岛行驶
题型12 画已知图形关于某点的对称图形
【例14】（2021·浙江宁波·统考模拟预测）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，作△ABC关于点O对称的△A'B'C'；
（2）在图2中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△A'B'C'．
【变式14-1】（2022·安徽安庆·校考一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点)．
(1)画出△ABC关于点C成中心对称的△A'B'C（其中A'是点A的对应点，B'是点B的对应点）；
(2)用无刻度的直尺作出一个格点O，使得OA=OB．
【变式14-2】（2017·山东枣庄·统考一模）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
(1) 请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△ABC；
(2) 请画出△ABC关于原点对称的△ABC；
(3) 在轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出P的坐标．
题型13 根据中心对称的性质求面积、长度、角度
【例15】（2022·河北秦皇岛·统考一模）如图，已知点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称，若BC=3，OD=4．则AB的长可能是（ ）
A．3B．4C．7D．11
【变式15-1】（2019·山东德州·校联考二模）点O是平行四边形ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F分别是AB边上的点，且EF＝12AB；G、H分别是BC边上的点，且GH＝13BC；若S1,S2分别表示∆EOF和∆GOH的面积，则S1,S2之间的等量关系是
【变式15-2】（2022·陕西·校联考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E，F分别为AD，BC上的点，AE＝2，且EF过矩形ABCD的对称中心O．若点P，Q分别在AB，CD边上，且EF，PQ将矩形ABCD的面积四等分，则BP的长为 ．
【变式15-3】（2022·广西·统考二模）如图，四边形ABCD是菱形，点O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，当菱形的两条对角线长分别为12和16时，则阴影部分面积为 ．
题型14 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案
【例16】（2022·吉林长春·校考一模）如图，在4×4的方格纸中，ΔABC的三个顶点都在格点上．
图1 图2 图3
(1)在图1中，画出一个与ΔABC成中心对称的格点三角形；
(2)在图2中，画出一个与ΔABC成轴对称且与ΔABC有公共边的格点三角形；
(3)在图3中，选择格点D，画出以A，B，C，D为顶点的平行四边形．
【变式16-1】（2022·山西大同·统考二模）阅读理解，并解答问题：
观察发现：
如图1是一块正方形瓷砖，分析发现这块瓷砖上的图案是按图2所示的过程设计的，其中虚线所在的直线是正方形的对称轴．
问题解决：
用四块如图1所示的正方形瓷砖按下列要求拼成一个新的大正方形，并在图3和图4中各画一种拼法．
(1)图3中所画拼图拼成的图案是轴对称图形，但不是中心对称图形；
(2)图4中所画拼图拼成的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形．
【变式16-2】（2023·浙江金华·校联考模拟预测）规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．根据以上规定，回答问题：
（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________；
A．矩形 B．正五边形 C．菱形 D．正六边形
（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：________（填序号）；
（3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形，其中真命题的个数有（ ）个；
A．0 B．1 C．2 D．3
（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充完整．
考点要求
新课标要求
命题预测
轴对称
通过具体实例理解轴对称的概念，探索它的基本性质:成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分.
能画出简单平面图形(点、线段、直线、三角形等)关于给定对称轴的对称图形.
理解轴对称图形的概念;探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质.
认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形.
该板块知识以考查平面几何的三大变换的基本运用为主，年年都有考查，分值在8-12分左右．预计2024年各地中考还将继续考查这些知识点，考查形式主要有选填题、作图题、也可能综合题结合出现．在三种变换中，平移相对较为简单，多以选择题形式考察，偶尔也会考察作图题:对称和旋转则难度较大，通常作为选择、填空题的压轴题出现，在解答题中，也会考察对称和旋转的作图，以及与特殊几何图形结合的综合压轴题，此时常需要结合几何图形或问题类型去分类讨论.
平移
通过具体实例认识平移，探索它的基本性质:一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等.
认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用.
运用图形的轴对称、旋转、平移进行图案设计.
旋转
通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转.探索它的基本性质:一个图形和旋转得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等.
了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它们的基本性质:成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分.
探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质.
认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形.
轴对称
轴对称图形
图形
定义
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.
区别
1）轴对称是指两个图形折叠重合.
2）轴对称对称点在两个图形上.
3）轴对称只有一条对称轴.
1）轴对称图形是指本身折叠重合.
2）轴对称图形对称点在一个图形上.
3）轴对称图形至少有一条对称轴.
联系
1) 定义中都有一条直线,都要沿着这条直线折叠重合.
2) 如果把轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形；反过来, 如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分(即看成两个图形),那么这两个图形就关于这条直线成轴对称.
性质
1）关于某条直线对称的两个图形是全等形.
2）两个图形关于某直线对称那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.
判定
1）两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称.
2）两个图形关于某条直线成轴对称,那么对称轴是对折重合的折痕线.
中心对称
中心对称图形
图形
定义
如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称.
如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心.
区别
中心对称是指两个图形的关系
中心对称图形是指具有某种特性的一个图形
联系
两者可以相互转化，如果把中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这“一个图形”就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形相互对称的两部分看成两个图形，那么这“两个图形”中心对称.
2、学会运用数形结合思想。数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决方法（以形助数）。
3、要学会抢得分点。要将整道题目解题思路转化为得分点。
4、学会运用等价转换思想。将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
5、学会运用分类讨论的思想。如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。
6、转化思想：体现在数学上也就是要把难转简，把不熟转熟，把未知转为已知的问题。
第31讲 图形的轴对称、平移、旋转
目 录
TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc158497700" 一、考情分析
二、知识建构
\l "_Tc158497701" 考点一 轴对称
\l "_Tc158497702" 题型01 轴对称图形的识别
\l "_Tc158497703" 题型02 根据成轴对称图形的特征进行判断
\l "_Tc158497704" 题型03 根据成轴对称图形的特征进行求解
\l "_Tc158497705" 题型04 轴对称中的光线反射问题
\l "_Tc158497706" 题型05 折叠问题
\l "_Tc158497707" 类型一 三角形折叠问题
\l "_Tc158497708" 类型二 四边形折叠问题
\l "_Tc158497709" 类型三 圆的折叠问题
\l "_Tc158497710" 类型四 抛物线与几何图形综合
\l "_Tc158497711" 题型06 求对称轴条数
\l "_Tc158497712" 题型07 画轴对称图形
\l "_Tc158497713" 题型08 设计轴对称图案
\l "_Tc158497714" 题型09求某点关于坐标轴对称点的坐标
\l "_Tc158497715" 题型10 与轴对称有关的规律探究问题
\l "_Tc158497716" 题型11 轴对称的综合问题
\l "_Tc158497717" 考点二 图形的平移
\l "_Tc158497718" 题型01 生活中的平移现象
\l "_Tc158497719" 题型02 利用平移的性质求解
\l "_Tc158497720" 题型03 利用平移解决实际生活问题
\l "_Tc158497721" 题型04 作平移图形
\l "_Tc158497722" 题型05 求点沿x轴、y轴平移后的坐标
\l "_Tc158497723" 题型06 由平移方式确定点的坐标
\l "_Tc158497724" 题型07 由平移前后点的坐标判断平移方式
\l "_Tc158497725" 题型08 已知图形的平移求点的坐标
\l "_Tc158497726" 题型09 与平移有关的规律问题
\l "_Tc158497727" 题型10 平移的综合问题
\l "_Tc158497728" 考点三 图形的旋转
\l "_Tc158497729" 题型01 找旋转中心、旋转角、对应点
\l "_Tc158497730" 题型02 根据旋转的性质求解
\l "_Tc158497731" 题型03 根据旋转的性质说明线段或角相等
\l "_Tc158497732" 题型04 画旋转图形
\l "_Tc158497733" 题型05 求旋转对称图形的旋转角度
\l "_Tc158497734" 题型06 旋转中的规律问题
\l "_Tc158497735" 题型07 求绕原点旋转90°点的坐标
\l "_Tc158497736" 题型08 求绕某点（非原点）旋转90°点的坐标
\l "_Tc158497737" 题型09 求绕原点旋转一定角度点的坐标
\l "_Tc158497738" 题型10 旋转综合题
\l "_Tc158497739" 类型一 线段问题
\l "_Tc158497740" 类型二 面积问题
\l "_Tc158497741" 类型三 角度问题
\l "_Tc158497742" 题型11 判断中心对称图形
\l "_Tc158497743" 题型12 画已知图形关于某点的对称图形
\l "_Tc158497744" 题型13 根据中心对称的性质求面积、长度、角度
\l "_Tc158497745" 题型14 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案
考点一 轴对称
轴对称与轴对称图形
常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形等.
做轴对称图形的一般步骤：
1）作某点关于某直线的对称点的一般步骤：
①过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足，并延长；
②在延长线上从垂足出发截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点.
2）作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤：
①找.在原图形上找特殊点（如线段的端点、线与线的交点）
②作.作各个特殊点关于已知直线的对称点
③连.按原图对应连接各对称点
折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．
【解题思路】凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．解决折叠问题时，首先清楚折叠和轴对称能够提供我们隐含的且可利用的条件，分析角之间、线段之间的关系，借助勾股定理建立关系式求出答案，所求问题具有不确定性时，常常采用分类讨
1. 对称轴是一条直线，不是一条射线，也不是一条线段.
2. 轴对称图形的对称轴有的只有一条，有的存在多条对称轴（例：正方形有四条对称轴，圆有无数条对称轴等）.
3. 成轴对称的两个图形中的任何一个都可以看作由另一个图形经过轴对称变换得到的，一个轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础,经轴对称变换得到的.
4. 轴对称的性质是证明线段相等、线段垂直及角相等的依据之一,例如:若已知两个图形关于某直线成轴对称,则它们的对应边相等,对应角相等.
论的数学思想方法．
题型01 轴对称图形的识别
【例1】（2022·江苏盐城·校联考一模）北京2022年冬奥会会徽如图所示，组成会徽的四个图案中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2022·广东深圳·南山实验教育麒麟中学校联考模拟预测）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-2】（2022·广东·统考模拟预测）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
题型02 根据成轴对称图形的特征进行判断
【例2】（2023·天津·校联考一模）如图，△ABC与△A1B1C1，关于直线MN对称，P为MN上任一点（P不与AA1共线），下列结论不正确的是（ ）
A．AP=A1PB．△ABC与△A1B1C1的面积相等
C．MN垂直平分线段AA1D．直线AB,A1B1的交点不一定在MN上
【变式2-1】（2023·广东深圳·统考二模）如图，这条活灵活现的“小鱼”是由若干条线段组成的，它是一个轴对称图形，对称轴为直线l，则下列结论不一定正确的是（ ）
A．点C和点D到直线l的距离相等B．BC=BD
C．∠CAB=∠DABD．四边形ADBC是菱形
【变式2-2】（2019·湖北武汉·统考模拟预测）每个网格中均有两个图形，其中一个图形关于另一个图形轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
题型03 根据成轴对称图形的特征进行求解
【例3】（2021·山东临沂·统考一模）如图，在锐角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°， BD平分∠ABC，交AC于点D，M、N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是（ ）
A．3B．2C．23D．4
【变式3-1】（2023·山东枣庄·统考三模）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，G是AD的中点，线段EF在边AB上左右滑动；若EF=1，则GE+CF的最小值为 ．
【变式3-2】（2022·山东聊城·统考一模）如图，在菱形ABCD中，BC=2，∠C=120°，Q为AB的中点，P为对角线BD上的任意一点，则AP+PQ的最小值为 ．
【变式3-3】（2020·新疆乌鲁木齐·校考一模）如图，在矩形ABCD中，BC=10，∠ABD=30°，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则AM+MN的最小值为 ．
题型04 轴对称中的光线反射问题
【例4】（2023·河北廊坊·校考一模）通过光的反射定律知道，入射光线与反射光线关于法线成轴对称（图1）．在图2中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是（ ）
A．点AB．点BC．点CD．点D
【变式4-1】（2022·陕西咸阳·统考三模）如图，在水平地面AB上放一个平面镜BC，一束垂直于地面的光线经平面镜反射，若反射光线与地面平行，则平面镜BC与地面AB所成的锐角α为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【变式4-2】（2022·浙江台州·统考一模）根据光学中平面镜光线反射原理，入射光线、反射光线与平面镜所夹的角相等．如图，α,β是两面互相平行的平面镜，一束光线m通过镜面α反射后的光线为n，再通过镜面β反射后的光线为k．光线m与镜面α的夹角的度数为x°，光线n与光线k的夹角的度数为y°．则x与y之间的数量关系是 ．
题型05 折叠问题
类型一 三角形折叠问题
【例5】（2023·新疆·统考一模）“做数学”可以帮助我们积累数学活动经验．如图，已知三角形纸片ABC，第1次折叠使点B落在BC边上的点B'处，折痕AD交BC于点D；第2次折叠使点A落在点D处，折痕MN交AB'于点P．若BC=12，则MP+MN= ．
【变式5-1】（2022·浙江衢州·统考模拟预测）如图，三角形纸片ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，BF＝4，CF＝6，将这张纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合．若DE∥BC，AF＝EF，则四边形ADFE的面积为 ．
【变式5-2】（2022·广东珠海·珠海市文园中学校考三模）如图所示，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点B落在点B′处，若EB′恰好与BC平行，且∠B＝80°，则∠CDE＝ °．
【变式5-3】（2020·浙江丽水·统考模拟预测）如图，在△ABC中，AB=42，∠B=45°，∠C=60°．
（1）求BC边上的高线长．
（2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF．
①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数．
②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长．
【变式5-4】（2023·新疆和田·统考一模）如图，在ΔABC巾，∠ABC=30°，AB=AC，点O为BC的中点，点D是线段OC上的动点（点D不与点O，C重合），将△ACD沿AD折叠得到ΔAED，连接BE．
(1)当AE⊥BC时，∠AEB=___________°；
(2)探究∠AEB与∠CAD之间的数量关系，并给出证明；
(3)设AC=4，△ACD的面积为x，以AD为边长的正方形的面积为y，求y关于x的函数解析式．
类型二 四边形折叠问题
【例6】（2019·山东菏泽·统考三模）如图，将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F，若∠ABD=48°，∠CFD=40°，则∠E为( )
A．102°B．112°C．122°D．92°
【变式6-1】（2022·山东枣庄·统考一模）如图，在四边形纸片ABCD中，AD//BC，AB=10，∠B=60°．将纸片折叠，使点B落在AD边上的点G处，折痕为EF．若∠BFE=45°，则BF的长为（ ）
A．5B．35C．53D．35
【变式6-2】（2022·浙江台州·模拟预测）如图，把一张矩形纸片ABCD按所示方法进行两次折叠，得到△ECF．若BC＝1，则△ECF的周长为（ ）
A．2B．2+12C．5+12D．43
【变式6-3】（2021·广东深圳·校联考一模）如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D'，C'的位置．若∠AED'=50°，则∠EFC等于（ ）
A．65°B．110°C．115°D．130°
【变式6-4】（2022·河南郑州·一模）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在▱ABCD中，BE⊥AD，垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明；
独立思考：（1）请解答老师提出的问题；
实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将▱ABCD沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为C'，连接DC'并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明；
问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将▱ABCD沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点为A'，使A'B⊥CD于点H，折痕交AD于点M，连接A'M，交CD于点N．该小组提出一个问题：若此▱ABCD的面积为20，边长AB=5，BC=25，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．
【变式6-5】（2021·江苏常州·统考二模）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12．将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．
（1）如图①，若点P恰好在边BC上，连接AP，求APDE的值；
（2）如图②，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．
类型三 圆的折叠问题
【例7】（2023·山东济宁·校考二模）将一个半径为1的圆形纸片，如下图连续对折三次之后，用剪刀沿虚线①剪开，则虚线①所对的圆弧长和展开后得到的多边形的内角和分别为（ ）
A．π2，540°B．π4，720°C．π4，1080°D．π3，2160°
【变式7-1】（2023·广东广州·统考一模）如图，AB为⊙O的直径，点C为圆上一点，∠BAC=20°，将劣弧AC沿弦AC所在的直线翻折，交AB于点D，则∠ACD的度数等于( )．
A．40°B．50°C．80°D．100°
【变式7-2】（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校联考二模）如图，AC、AD是⊙O中关于直径AB对称的两条弦，以弦AC、AD为折线将弧AC，弧AD折叠后过圆心O，若⊙O的半径r=4，则圆中阴影部分的面积为 ．
【变式7-3】（2023·河北邯郸·统考一模）如图所示，在扇形AOB中，半径OA=4，点P在OA上，连接PB，将△OBP沿PB折叠得到△O1BP．若∠O=75°，且BO1与弧AB所在的圆相切于点B．
(1)求∠APO1的度数；
(2)求AP的长．
【变式7-4】（2023·安徽合肥·校考一模）如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在AB上的点C处，图中阴影部分的面积为（ ）
A．3π−33B．3π−932C．2π−33D．6π−932
类型四 抛物线与几何图形综合
【例8】（2021·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝−13x2+233x+3的图象与x轴交于点A、点B．与y轴交于点C．
（1）求抛物线与x轴的两交点坐标．
（2）连接AC、BC．判断△ABC的形状，说明理由．
（3）过点C作直线l//x轴，点P是抛物线上对称轴右侧一动点，过点P作直线PQ//y轴交直线l于点Q，连接CP．若将△CPQ沿CP对折，点Q的对应点为点M．是否存在这样的点P，使点M落在坐标轴上？若存在，求出此时点Q的坐标．若不存在，请说明理由．
【变式8-1】（2021·江苏常州·常州实验初中校考二模）如图，二次函数y=−x2+bx+2的图象与y轴交于点C，抛物线的顶点为A，对称轴是经过点H（2，0）且平行于y轴的一条直线．点P是对称轴上位于点A下方的一点，连接CP并延长交抛物线于点B，连接CA、AB．
（1）填空：b=______，点A的坐标是______；
（2）当∠ACB=45°时，求点P的坐标；
（3）将△CAB沿CB翻折后得到△CDB（点A的对应点为点D），问点D能否恰好落在坐标轴上?若能，请直接写出点P的坐标，若不能，请说明理由．
【变式8-2】（2023·江苏苏州·校考二模）如图，二次函数y=12x2+bx+c与x轴交于O0,0，A4,0两点，顶点为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A'的位置，线段A'C与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合．
(1)求二次函数的表达式；
(2)①求证：△OCD∽△A'BD；②DBBA的最小值；
(3)当S△OCD=8S△A'BD时，求直线A'B的解析式．
【变式8-3】（2023·陕西渭南·统考二模）如图，抛物线y=ax2+bx−6与x轴正半轴交于点A6,0，与y轴交于点B，点C在直线AB上，过点C作CD⊥x轴于点D2,0，将△ACD沿CD所在直线翻折，点A恰好落在抛物线上的点E处．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点P是抛物线上的点，是否存在点P，使∠PEA=∠BAE？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
题型06 求对称轴条数
【例9】（2023·广东广州·统考一模）图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（ ）
A．1B．2C．3D．5
【变式9-1】（2022·山东青岛·统考一模）下列图形中，是轴对称图形且对称轴条数最多的是（ ）
A．B．C．D．
【变式9-2】（2020·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）下列图形：
其中是轴对称图形且有两条对称轴的是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．③④
【变式9-3】（2023·北京海淀·校联考模拟预测）下列图形中，对称轴条数最少的是（ ）
A．B．C．D．
题型07 画轴对称图形
【例10】（2021·广东中山·校联考一模）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点和线段EF的端点均在小正方形的顶点上．
(1)在方格纸中面出△ADC，使△ADC与△ABC关于直线AC对称（点D在小正方形的顶点上）；
(2)在方格纸中画出以线段EF为一边的平行四边形EFGH（点G，点H均在小正方形的顶点上），且平行四边形EFGH的面积为4．连接DH，请直接写出线段DH的长．
【变式10-1】（2023·陕西西安·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标为A2，4，B1，2，C4，1，△DEF各顶点的坐标为D4，−4，E5，−2，F2，−1．
(1)在图中作出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'；
(2)若△ABC与△DEF关于点P成中心对称，则点P的坐标是___．
【变式10-2】（2022·福建莆田·统考二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为斜边AB中点．
(1)尺规作图：求作一点E，使得点B，E关于直线CD对称；（不要求写作法，保留作图痕迹）
(2)连接DE，求证：∠CDE=2∠A．
【变式10-3】（2022·广西南宁·统考二模）如图，在直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(3,3)，B(4,0)，C(0,2)．
(1)请画出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．
(2)以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的12，得到△A2B2C2，请在y轴的右侧画出△A2B2C2．
(3)在y轴上存在点P，使得△OA1P的面积为6，请直接写出满足条件的点P的坐标．
题型08 设计轴对称图案
【例11】（2020·河北·模拟预测）如图，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为（ ）
A．10B．6C．3D．2
【变式11-1】（2022·安徽合肥·统考二模）如图，在4×4正方形网络中，选取一个白色的小正方形并涂黑，使构成的黑色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是 ．
【变式11-2】（2020·山东枣庄·统考二模）在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分）
请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，例图除外）
【变式11-3】（2022·山西大同·统考二模）阅读理解，并解答问题：
观察发现：
如图1是一块正方形瓷砖，分析发现这块瓷砖上的图案是按图2所示的过程设计的，其中虚线所在的直线是正方形的对称轴．
问题解决：
用四块如图1所示的正方形瓷砖按下列要求拼成一个新的大正方形，并在图3和图4中各画一种拼法．
(1)图3中所画拼图拼成的图案是轴对称图形，但不是中心对称图形；
(2)图4中所画拼图拼成的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形．
【变式11-4】（2022·浙江宁波·统考一模）在4×4的方格中，选择6个小方格涂上阴影，请仔细观察图1中的六个图案的对称性，按要求回答．
(1)请在六个图案中，选出三个具有相同对称性的图案．选出的三个图案是 （填写序号）；它们都是 图形（填写“中心对称”或“轴对称”）；
(2)请在图2中，将1个小方格涂上阴影，使整个4×4的方格也具有（1）中所选图案相同的对称性．
题型09求某点关于坐标轴对称点的坐标
【例12】（2022·湖南岳阳·统考一模）在平面直角坐标系xOy中，点M(−4,2)关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．(−4,2)B．(4,2)C．(−4,−2)D．(4,−2)
【变式12-1】（2023·浙江湖州·模拟预测）在平面直角坐标系中，将点A(-3，-2)向右平移5个单位长度得到点B，则点B关于y轴对称点B'的坐标为（ ）
A．(2，2)B．(-2，2)C．(-2，-2)D．(2，-2)
【变式12-2】（2019·四川成都·校联考一模）若点A（1+m，1﹣n）与点B（﹣3，2）关于y轴对称，则m+n的值是（ ）
A．﹣5B．﹣3C．3D．1
题型10 与轴对称有关的规律探究问题
【例13】（2022·云南·云大附中校考一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A（﹣1，3）、B（1，1）、C（5，1）．规定“把▱ABCD先沿y轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2022次变换后，▱ABCD的顶点D的坐标变为（ ）
A．（3，﹣2019）B．（﹣3，﹣2019）
C．（3，﹣2018）D．（﹣3，﹣2018）
【变式13-1】（2022·河南商丘·校考一模）如图，等边△ABC的顶点A1,1，B3,1，规定把△ABC“先沿x轴翻折，再向右平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2022次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为（ ）
A．2023,3+1B．2023,−3−1
C．2024,3+1D．2024,−3−1
【变式13-2】（2021·河北·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是(1,2)，则经过第2021次变换后点A的对应点的坐标为（ ）
A．(1,−2)B．(−1,−2)C．(−1,2)D．(1,2)
【变式13-3】（2021·山东青岛·山东省青岛实验初级中学校考模拟预测）如图，已知正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点M，顶点A、B、C的坐标分别为(1,3)、(1,1)、(3,1)，规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向右平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2020次变换后，点M的坐标变为（ ）
A．(2022,2)B．(2022,−2)
C．(2020,2)D．(2020,−2)
题型11 轴对称的综合问题
【例14】（2023·广西玉林·一模）如图，已知直线y=kx+2k交x、y轴于A、B两点，以AB为边作等边△ABC(A、B、C三点逆时针排列)，D、E两点坐标分别为(−6,0)、(−1,0)，连接CD、CE，则CD+CE的最小值为（ ）
A．6B．5+3C．6.5D．7
【变式14-1】（2022·江苏镇江·统考模拟预测）△ABC是边长为4的等边三角形，其中点P为高AD上的一个动点，连接BP，将BP绕点B顺时针旋转60°得到BE，连接PE、DE、CE，则△BDE周长的最小值是（ ）
A．2+23B．2+3C．4+3D．4+23
【变式14-2】（2022·广东·校联考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝6，点P是线段AC上一动点，点M在线段AB上，当AM＝13AB时，PB＋PM的最小值为（ ）
A．33B．27C．23＋2D．33＋3
【变式14-3】（2022·福建厦门·福建省厦门第二中学校考模拟预测）如图，在正五边形ABCDE中，点F是CD的中点，点G在线段AF上运动，连接EG，DG，当△DEG的周长最小时，则∠EGD=（ ）
A．36°B．60°C．72°D．108°
【变式14-4】（2023·安徽蚌埠·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点Q是直线y=3x上的一个动点，以AQ为边，在AQ的右侧作等边△APQ，使得点P落在第一象限，连接OP，则OP+AP的最小值为（ ）
A．6B．43C．8D．63
考点二 图形的平移
平移的概念：在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移．平移不改变图形的形状和大小．
平移的三大要素：1）平移的起点，2）平移的方向，3）平移的距离．
平移的性质：
1）平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置，因此平移前后的两个图形全等.
2）平移前后对应线段平行且相等、对应角相等.
3）任意两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等，对应点之间的距离就是平移的距离.
作图步骤：
1）根据题意，确定平移的方向和平移的距离；
2）找出原图形的关键点；
3）按平移方向和平移距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点；
4）按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形．
题型01 生活中的平移现象
【例1】（2022·贵州贵阳·统考二模）下列现象中属于平移的是（ ）
①方向盘的转动；②打气筒打气时，活塞的运动；③钟摆的摆动；④汽车雨刷的运动
A．①②B．②③C．①②④D．②
【变式1-1】（2023·江苏宿迁·统考三模）数学来源于生活，下列图案是由平移形成的是（ ）
A． B． C． D．
题型02 利用平移的性质求解
【例2】（2022·福建·统考模拟预测）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中∠ABC=90°，∠CAB=60°，AB＝8，点A对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到△A'B'C'，点A'对应直尺的刻度为0，则四边形ACC'A'的面积是（ ）
A．96B．963C．192D．1603
【变式2-1】（2023·河北廊坊·统考二模）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形A'B'C'D'，形成一个“方胜”图案，则点D，B'之间的距离为（ ）
A．1cmB．2cmC．(2－1)cmD．(22－1)cm
【变式2-2】（2023·湖北孝感·校考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2cm．把△ABC沿AB方向平移1cm，得到△A'B'C'，连结CC'，则四边形AB'C'C的周长为 cm．
【变式2-3】（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，4），将△ABO向右平移到△CDE位置，A的对应点是C，O的对应点是E，函数y=kx(k≠0)的图像经过点C和DE的中点F，则k的值是 ．
【变式2-4】（2023·江苏徐州·统考一模）如图，△ABC的边BC长为4cm．将△ABC平移2cm得到△A′B′C′，且BB′⊥BC，则阴影部分的面积为 cm2．
题型03 利用平移解决实际生活问题
【例3】（2023·山东淄博·统考二模）如图，在长为37米，宽为26米的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为1米，其它部分均种植花草，则种植花草的面积 平方米．
【变式3-1】（2023·河北沧州·校考模拟预测）在长方形ABCD中，放入6个形状，大小都相同的长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分面积是 cm2；若平移这六个长方形，则图中剩余的阴影部分面积 （填“有变化”或“不改变”）．
【变式3-2】（2022·河北秦皇岛·统考一模）某景区有一座步行桥（如图），需要把阴影部分涂刷油漆．
(1)求涂刷油漆的面积；
(2)若a=901，b=1，请用科学记数法表示涂刷油漆的面积．
【变式3-3】（2023·贵州遵义·统考一模）如图1，计划在长为30米、宽为20米的矩形地面上修筑两条同样宽的道路①、②（图中阴影部分），设道路①、②的宽为x米，剩余部分为绿化．
(1)道路①的面积为___________平方米；道路②的面积为___________平方米（都用含x的代数式表示）．
(2)如图2，根据实际情况，将计划修筑的道路①、②改为同样宽的道路③（图中阴影部分），若道路的宽依然为x米，剩余部分为绿化，且绿化面积为551平方米，求道路的宽度．
题型04 作平移图形
【例4】（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，在2×6的方格纸中，已知格点P，请按要求画格点图形（顶点均在格点上）．
(1)在图1中画一个锐角三角形，使P为其中一边的中点，再画出该三角形向右平移2个单位后的图形．
(2)在图2中画一个以P为一个顶点的钝角三角形，使三边长都不相等，再画出该三角形绕点P旋转180°后的图形．
【变式4-1】（2022·安徽·二模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）．
（1）把△ABC向左平移4个单位后得到对应的△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1；
（2）把△ABC绕原点O旋转180°后得到对应的△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2；
（3）观察图形可知，△A1B1C1与△A2B2C2关于点（ ， ）中心对称．
【变式4-2】（2023·陕西铜川·统考一模）如图，△ABC的顶点坐标分别为A(−2，3)，B(−3，0)，C(−1，−1)．将△ABC平移后得到△A'B'C'，且点A的对应点是A'(2，3)，点B、C的对应点分别是B'，C'．
(1)点A、A'之间的距离是__________；
(2)请在图中画出△A'B'C'．
题型05 求点沿x轴、y轴平移后的坐标
【例5】（2023·湖南长沙·校考二模）在平面直角坐标系中，将点A(a,b)向右平移3单位长度，再向上平移2个单位长度正好与原点重合，那么点A的坐标是（ ）
A．(3,2)B．(3,−2)C．(−3,−2)D．(−3,2)
【变式5-1】（2022·河北秦皇岛·统考一模）将点A（-3，-2）沿水平方向向左平移5个单位长度得到点A'，若点A'在直线y=x+b上，则b的值为（ ）
A．6B．4C．-6D．-4
题型06 由平移方式确定点的坐标
【例6】（2023·广西·模拟预测）如图，点A(0,3)、B(1,0)，将线段AB平移得到线段DC，若∠ABC=90°,BC=2AB，则点D的坐标是（ ）
A．(7,2)B．(7,5)C．(5,6)D．(6,5)
【变式6-1】（2021·江西·统考一模）如图，P（m，n）为△ABC内一点，△ABC经过平移得到△A′B′C′，平移后点P与其对应点P'关于x轴对称，若点B的坐标为（﹣2，1），则点B的对应点B′的坐标为（ ）
A．（﹣2，1﹣2n）B．（﹣2，1﹣n）C．（﹣2，﹣1）D．（m，﹣1）
【变式6-2】（2021·广东中山·校联考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(1,2)，将线段OA向右平移4个单位长度，得到线段BC，点A的对应点C的坐标是 ．
【变式6-3】（2023·山东德州·统考一模）如图，四边形ABCD为平行四边形，则点B的坐标为 ．
【变式6-4】（2023·山东临沂·统考一模）如图，平面直角坐标系中，线段AB端点坐标分别为A−5,0，B0,−3，若将线段AB平移至线段A1B1，且A1−3,m，B12,1，则m的值为 ．
题型07 由平移前后点的坐标判断平移方式
【例7】（2022·山东淄博·统考二模）四盏灯笼的位置如图．已知A，B，C，D的坐标分别是 (−1，b)，(1，b)，(2，b)，(3.5，b)，平移y轴右侧的一盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是（ ）
A．将B向左平移4.5个单位B．将C向左平移4个单位
C．将D向左平移5.5个单位D．将C向左平移3.5个单位
【变式7-1】（2022·浙江台州·统考二模）如图，平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A1,1，B4,1，D2,3，要把顶点A平移到顶点C的位置，则其平移方式可以是：先向右平移 个单位，再向上平移 个单位．
题型08 已知图形的平移求点的坐标
【例8】（2021·河北·模拟预测）如图，在ΔABC中，∠ACB=90°．边BC在x轴上，顶点A,B的坐标分别为−2,6和7,0．将正方形OCDE沿x轴向右平移当点E落在AB边上时，点D的坐标为（ ）
A．32,2B．2,2C．114,2D．4,2
【变式8-1】（2023·辽宁大连·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，平移△ABC至△A1B1C1的位置．若顶点A（﹣3，4）的对应点是A1（2，5），则点B（﹣4，2）的对应点B1的坐标是 ．
【变式8-2】（2023·吉林长春·校联考一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，B的坐标分别是A0,2，B2,−1．平移△ABC得到△A'B'C'，若点A的对应点A'的坐标为−1,0，则点B的对应点B'的坐标是 ．
题型09 与平移有关的规律问题
【例9】（2019·河南新乡·校联考二模）如图，等边△ABC的顶点A1,1，B3,1，规定把△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2019次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为（ ）
A．−2016,3+1B．−2016,3−1
C．−2017,3+1D．−2017,−3−1
【变式9-1】（2023·湖南娄底·校联考一模）定义：在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a个单位，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫作图形的γa,θ变换．如图，等边△ABC的边长为1，点A在第一象限，点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上，△A1B1C1就是△ABC经γ1,180°变换后所得的图形，若△ABC经γ1,180°变换后得到△A1B1C1，△A1B1C1经γ2,180°变换后得到△A2B2C2，△A2B2C2经γ3,180°变换后得到△A3B3C3，依此类推••••••，△An−1Bn−1Cn−1经γn,180°变换后得到△AnBnCn，点A2023的坐标为 ．
【变式9-2】（2018·青海·统考一模）如图，等边三角形的顶点A（1，1）、B（3，1），规定把等边△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如果这样连续经过2018次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为 ．
题型10 平移的综合问题
【例10】（2022·内蒙古呼和浩特·统考三模）如图，△ABC和△A'B'C'是边长分别为5和2的等边三角形，点B'、C'、B、C都在直线l上，△ABC固定不动，将△A'B'C'在直线l上自左向右平移．开始时，点C'与点B重合，当点B'移动到与点C重合时停止．设△A'B'C'移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，请写出y与x之间的函数关系式 ．
【变式10-1】（2023·天津·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6,0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO=30°．矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD=2.．
（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；
（Ⅱ）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C'O'D'E'，点C，O，D，E的对应点分别为C'，O'，D'，E'．设OO'=t，矩形C'O'D'E'与ΔABO重叠部分的面积为S．
①如图②，当矩形C'O'D'E'与ΔABO重叠部分为五边形时，C'E'，E'D'分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当3⩽S⩽53时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．
【变式10-2】（2023·吉林长春·东北师大附中校考三模）如图①，直线y=−x−1交x轴于点A，经过点A的抛物线y1=−x2+bx+c交直线y=−x−1于另一点B(4,−5)，交x轴于点C．点P是抛物线y1=−x2+bx+c对称轴上的点．
(1)求抛物线的解析式及点C的坐标．
(2)当PA=PB时，求点P的纵坐标m的值．
(3)过点P作x轴的平行线，交抛物线y1=−x2+bx+c于点E、F，交线段AB于点Q，当点Q将线段AB分得的两段线段长度比为2：3时，直接写出点P的纵坐标的值．
(4)将线段AC先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，若抛物线y2=a(−x2+bx+c)(a≠0)与线段MN只有一个交点，请直接写出a的取值范围．
【变式10-3】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A，B1，0两点，与y轴交于C点，其对称轴为直线x=−1．
(1)直接写出抛物线的解析式；
(2)如图1，D为线段AC上的点，过点D的直线EF∥OC，交抛物线于E点，交AO于F点，设点D的横坐标为t，且−3
考点三 图形的旋转
定义：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角．
三大要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度．
性质：
1）对应点到旋转中心的距离相等；
2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
3）旋转前后的图形全等．
作图步骤：
1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角；
2）找出原图形的关键点；
3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点；
4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形．
1. 图形的旋转由旋转中心、旋转方向与旋转的角度所决定.
2. 旋转中心可以是图形外的一点，也可以是图形上的一点，还可以是图形内的一点.
3. 对应点之间的运动轨迹是一段圆弧，对应点到旋转中心的线段就是这段圆弧所在圆的半径.
4. 旋转是一种全等变换，旋转改变的是图形的位置，图形的大小关系不发生改变，所以在解答有关旋转的问题时，要注意挖掘相等线段、角，因此特殊三角形性质的运用、锐角三角函数建立的边角关系起着关键的作用．
中心对称与中心对称图形：
中心对称的性质：1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；
中心对称的两个图形是全等图形.
作与已知图形成中心对称的图形的一般步骤：
1）作已知图形各顶点（或决定图形形状的关键点）关于对称中心的对称点——连接关键点和对称中心，并延长一倍确定关键点的对称点.
2）把各对称点按已知图形的连接方式依次连接起来，则所得到的图形就是已知图形关于对称中心对称的图形.
找对称中心的方法和步骤：
方法1：连接两个对应点，取对应点连线的中点，则中点为对称中心.
方法2：连接两个对应点，在连接两个对应点，两组对应点连线的交点为对称中心.
题型01 找旋转中心、旋转角、对应点
【例1】（2019·山东·山东省青岛第二十六中学校考中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格线的格点上，将三角形ABC绕点P旋转90°，得到△A′B′C′，则点P的坐标为（ ）
A．（0，4）B．（1，1）C．（1，2）D．（2，1）
【变式1-1】（2023·辽宁鞍山·统考一模）如图，△ADE是由△ABC绕点A旋转得到的，若∠C=40°，∠B=90°，∠CAD=10°，则旋转角的度数为（ ）
A．60°B．50°C．40°D．10°
【变式1-2】（2022·四川泸州·统考一模）如图，△ABC绕点C旋转，点B转到点E的位置，则下列说法正确的是（ ）
A．点B与点D是对应点B．∠BCD等于旋转角
C．点A与点E是对应点D．△ABC≌△DEC
【变式1-3】（2023·江苏镇江·统考一模）第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图，这个图案绕着它的中心旋转角α0°<α<360°后能够与它本身重合，则角α可以为 度．（写出一个即可）
题型02 根据旋转的性质求解
【例2】（2023·辽宁沈阳·模拟预测）如图，△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，使点B的对应点D恰好落在AB边上，AC、ED交于点F．若∠BCD=α，则∠EFC的度数是（用含α的代数式表示）（ ）
A．90°+12αB．90°−12αC．180°−32αD．32α
【变式2-1】（2023·辽宁沈阳·统考三模）如图，在△ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AB=ANB．AB∥NC C．∠AMN=∠ACND．MN⊥AC
【变式2-2】（2023·山东菏泽·统考二模）如图，在ΔABC中，AB
【变式2-3】（2023·山东枣庄·校联考二模）如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正确的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【变式2-4】（2021·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）如图，在ΔABC中，∠BAC=108°，将ΔABC绕点A按逆时针方向旋转得到ΔAB'C'．若点B'恰好落在BC边上，且AB'=CB'，则∠C'的度数为（ ）
A．18°B．20°C．24°D．28°
题型03 根据旋转的性质说明线段或角相等
【例3】（2022·广西贺州·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，将△ABC绕点A逆时针转60°得到△AB'C'，则BC'的长是（ ）
A．3+1B．23+2C．32D．23
【变式3-1】（2022·河南安阳·统考一模）如图，矩形ABCD的顶点A1,0，D0,2，B5,2，将矩形以原点为旋转中心，顺时针旋转75°之后点C的坐标为（ ）
A．4,−2B．42,−22C．42,−2D．26,−22
【变式3-2】（2021·江苏泰州·校考一模）如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把ΔADE绕点A顺时针旋转90°到ΔABF的位置．若四边形AECF的面积为20，DE=2，则AE的长为（ ）
A．4B．25C．6D．26
【变式3-3】（2022·黑龙江哈尔滨·统考一模）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转80°得△DBE，点D，E分别为点A，C的对应顶点，连接AD，若AD∥BC，则∠DBE为（ ）
A．80°B．50°C．55°D．100°
题型04 画旋转图形
【例4】（2023·新疆·二模）如图，在方格纸中，将Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到Rt△A'O'B，则下列四个图形中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-1】（2022·广东韶关·统考一模）在如图所示的直角坐标系中，解答下列问题：
(1)分别写出A、B两点的坐标；
(2)将△ABC绕点A顺时针旋转90°，画出旋转后的△AB1C1
【变式4-2】（2023·陕西·模拟预测）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A1,−1，B2,−5，C5,−4．
(1)将△ABC先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到△A1B1C1，画出两次平移后的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
(2)画出△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°后得到△A2B2C1，并写出点A2的坐标；
(3)在（2）的条件下，求点A1旋转到点A2的过程中所经过的路径长（结果保留π）．
【变式4-3】（2023·广东深圳·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A−1,1，B−4,0，C−2,2．将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1．
(1)请写出A1、B1、C1三点的坐标：A1_________，B1_________，C1_________
(2)求点B旋转到点B1的弧长．
题型05 求旋转对称图形的旋转角度
【例5】（2023·广东珠海·校考一模）美丽的冬奥雪花呈现出浪漫空灵的气质．如图，雪花图案是一个中心对称图形，也可以看成自身的一部分围绕它的中心依次旋转一定角度得到的，这个角的度数可以是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【变式5-1】（2020·吉林·统考三模）如图，该图案绕它的中心至少旋转m度能与自身完全重合，则m的值是（ ）
A．45B．90C．135D．180
【变式5-2】（2023·江苏镇江·校联考一模）如图，点A、B、C、D、E是圆O上的五等分点，该图形绕点O至少旋转 度后与自身重合．
题型06 旋转中的规律问题
【例6】（2021·山东济宁·统考一模）如图，矩形ABCD中AB是3cm，BC是2cm，一个边长为1cm的小正方形沿着矩形ABCD的边AB→BC→CD→DA→AB连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，小正方形箭头的方向是（ ）
A．B．C．D．
【变式6-1】（2023·辽宁阜新·阜新实验中学校考二模）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=3x+3与两坐标轴交于A、B两点，以AB为边作等边△ABC，将等边△ABC沿射线AB方向作连续无滑动地翻滚．第一次翻滚：将等边三角形绕B点顺时针旋转120°，使点C落在直线l上，第二次翻滚：将等边三角形绕点C顺时针旋转120°，使点A落在直线l上……当等边三角形翻滚2023次后点A的对应点坐标是（ ）
A．2023,20233B．2022,20243C．2021,20223D．2021,20243
【变式6-2】（2022·山东菏泽·统考二模）如图，在正方形ABCD中，顶点A−5,0，C5,10，点F是BC的中点，CD与y轴交于点E，AF与BE交于点G，将正方形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点G的坐标为（ ）
A．4,3B．3,4C．−4,−3D．−3,−4
【变式6-3】（2022·江苏常州·校考二模）如图，一个机器人最初面向北站立，按程序：每次移动都向前直走5m，然后逆时针转动一个角度，每次转动的角度增加10°．第一次直走5m后转动10°，第二次直走5m后转动20°，第三次直走5m后转动30°，如此下去．那么它在移动过程中第二次面向西方时一共走了 米．
【变式6-4】（2020·河北·统考模拟预测）如图，正六边形ABCDEF的边AB与x轴重合，点F在y轴的正半轴上，已知，正六边形的边长为1，沿x轴向右无滑动滚动，当边BC落到x轴上时，我们记为一次滚动完成，此时正六边形记为A1B1C1D1E1F1，请回答：
（1）点D的坐标为 ；
（2）当正六边形滚动2020次后，点D运动过的轨迹长 ．
【变式6-5】（2021·贵州铜仁·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为：A(−2,0)，B(1,2)，C(1,−2)．已知N(−1,0)，作点N关于点A的对称点N1，点N1关于点B的对称点N2，点N2关于点C的对称点N3，点N3关于点A的对称点N4，点N4关于点B的对称点N5，…，依此类推，则点N2020的坐标为 ．
【变式6-6】（2022·江苏淮安·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，AB⊥y轴，垂足为B，将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1的位置，使点B的对应点B1落在直线y=−34x上，再将△AB1O1绕点B1逆时针旋转到△A1B1O2的位置，使点O1的对应点O2也落在直线y=−34x上，以此进行下去……若点B的坐标为0,3，则点B21的纵坐标为 ．
题型07 求绕原点旋转90°点的坐标
【例7】（2020·安徽黄山·黄山市徽州区第二中学校考一模）如图，Rt△OAB的顶点A（-2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（ ）
A．(2,2)B．(2,2)C．(2,2)D．(2,2)
【变式7-1】（2023·安徽马鞍山·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，△OAB为等腰三角形，OA=AB=5，点B到x轴的距离为4，若将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA'B'，则点B'的坐标为 ．
题型08 求绕某点（非原点）旋转90°点的坐标
【例8】（2021·山东淄博·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣12x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点Q'，连接OQ'，则OQ'的最小值为( )
A．455B．5C．523D．655
【变式8-1】（2022·山东济南·统考二模）如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中A点的坐标是−1,0，现将△ABC绕A点按逆时针方向旋转90°，则旋转后点C的坐标是（ ）
A．2,−3B．−2,3C．−2,2D．−3,2
【变式8-2】（2023·山东淄博·统考一模）规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它绕原点顺时针旋转90°，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：如图，点O(0,0)按序列“011…”作变换，表示点O先向右平移一个单位得到O1(1,0)，再将O1(1,0)绕原点顺时针旋转90°得到O2(0,−1)，再将O2(0,−1)绕原点顺时针旋转90°得到O3(−1,0)…依次类推．点(0,1)经过“011011011”变换后得到点的坐标为 ．
题型09 求绕原点旋转一定角度点的坐标
【例9】（2022·河南·模拟预测）如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标为A（0，2），B（﹣1，0），将△ABO绕点O按顺时针旋转得到△A1B1O，若AB⊥OB1，则点A1的坐标为（ ）
A．（255,455）B．（455,255）C．（23,43）D．（45,85）
【变式9-1】（2021·河南南阳·统考一模）如图，矩形OABC的顶点O（ 0，0），B（－2，23），若矩形绕点O逆时针旋转，每秒旋转60°，则第145秒时，矩形的对角线交点D的坐标为（ ）
A．（－1，3）B．（－1，－3）C．（－2，0 ）D．（1，－3）
题型10 旋转综合题
类型一 线段问题
【例10】（2022·安徽·校联考三模）如图，已知正方形ABCD的边长为4，以点C为圆心，2为半径作圆，P是⊙C上的任意一点，将点P绕点D按逆时针方向旋转90°，得到点Q，连接BQ，则BQ的最大值是（ ）
A．6B．42+2C．22+4D．23+4
【变式10-1】（2022·江苏无锡·校联考一模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20，点P是AC边上的一个动点，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BQ，连接CQ．则在点P运动过程中，线段CQ的最小值为（ ）
A．43B．53C．10D．5
【变式10-2】（2023·陕西·模拟预测）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为 ．
【变式10-3】（2022·湖北武汉·统考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=9，E是边AB上一点，AE=2，F是直线BC上一动点，将线EF绕点E逆时针旋转90°得到线段EG，连接CG，DG，则CG+DG的最小值是 ．
类型二 面积问题
【例11】（2021·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）如图所示，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AC=AD=3，AB=AE=5，连接BD、CE，将△ADE绕点A旋转一周，在旋转的过程中，当∠DBA最大时，S△ACE= ．
【变式11-1】（2022·浙江宁波·校联考一模）如图，一副三角板如图1放置，AB=CD=6，顶点E重合，将△DEC绕其顶点E旋转，如图2，在旋转过程中，当∠AED=75°，连接AD，BC，此时四边形ABCD的面积是 ．
【变式11-2】（2023·河南南阳·校联考三模）如图，点P是正方形ABCD内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为22、1、10，则正方形ABCD的面积为 ．
【变式11-3】（2022·辽宁鞍山·模拟预测）如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别为边AB，BC，AD上的点，且AE=BF=DG，连接EF，GE，GF．
(1)△BEF可以看成是△AGE绕点M逆时针旋转α角所得，请在图中画出点M，并直接写出α角的度数；
(2)当点E位于何处时，△EFG的面积取得最小值？请说明你的理由；
(3)试判断直线CD与△EFG外接圆的位置关系，并说明你的理由．
类型三 角度问题
【例12】（2023·广东广州·执信中学校考一模）如图，等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，将BC绕点B顺时针旋转θ0<θ<90°，得到BP，连结CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连结AP，则∠PAH的度数（ ）
A．30°B．45°C．60°D．随若θ的变化而变化
【变式12-1】（2022·山东烟台·统考一模）如图，正方形ABCD中∠PAQ分别交BC，CD于点E，F，连接EF．
(1)如图①，若∠1=28°，∠2=73°，试求∠3的度数；
(2)如图②，以点A为旋转中心，旋转∠PAQ，旋转时保持∠PAQ=45°．当点E，F分别在边BC，CD上时，AE和AF是角平分线吗？如果是，请说出是哪两个角的平分线并给予证明；如果不是，请说明理由；
(3)如图③，在②的条件下，当点E，F分别在BC，CD的延长线上时，②中的结论是否成立？只需回答结论，不需说明理由．
【变式12-2】（2022·山东济南·统考一模）图1是边长分别为a和ba>b的两个等边三角形纸片△ABC和△CDE叠放在一起（C与C'重合）的图形．
(1)操作：固定△ABC，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转20°，连结AD，BE，如图2，则∠ECA=______度，并直接写出线段BE与AD的数量关系____．
(2)操作：若将图1中的△CDE，绕点C按顺时针方向旋转120°，使点B、C、D在同一条直线上，连结AD、BE，如图3．
①线段BE与AD之间是否仍存在（1）中的结论？若是，请证明；若不是，请直接写出BE与AD之间的数量关系；
②求∠APB的度数．
(3)若将图1中的△CDE，绕点C按逆时针方向旋转一个角α0<α<360°，当α等于多少度时，△BCD的面积最大？请直接写出答案．
【变式12-3】（2022·山东烟台·统考二模）问题背景：
如图，已知△ABC中，AB=AC=m，BC=n，∠BAC=α0°<α<180°，点P为平面内不与点A，C重合的任意一点，连接CP，将线段CP绕点P顺时针旋转α，得线段PD，连接CD，AP．点E，F分别为BC，CD的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为β，探究EFAP的值AB和β的度数．
(1)【问题发现】如图1，α=60°时，EFAP= ，β= ；
(2)如图2，α=90°时，EFAP= ，β= ．
(3)【类比探究】如图3，α=120°时，请探究出EFAP的值和β的度数并证明；
(4)【拓展延伸】通过以上的探究请直接写出你发现的规律：EFAP= （用含m、n的式子表示）；β= （用含α的式子表示）．
题型11 判断中心对称图形
【例13】（2023·河南焦作·统考一模）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【变式13-1】（2023·四川绵阳·统考一模）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【变式13-2】（2021·北京丰台·统考二模）下列交通标志中，是中心对称图形的是（ ）
A．禁止驶入B．靠左侧道路行驶
C．向左和向右转弯D． 环岛行驶
题型12 画已知图形关于某点的对称图形
【例14】（2021·浙江宁波·统考模拟预测）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，作△ABC关于点O对称的△A'B'C'；
（2）在图2中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△A'B'C'．
【变式14-1】（2022·安徽安庆·校考一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点是网格线的交点)．
(1)画出△ABC关于点C成中心对称的△A'B'C（其中A'是点A的对应点，B'是点B的对应点）；
(2)用无刻度的直尺作出一个格点O，使得OA=OB．
【变式14-2】（2017·山东枣庄·统考一模）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
(1) 请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△ABC；
(2) 请画出△ABC关于原点对称的△ABC；
(3) 在轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出P的坐标．
题型13 根据中心对称的性质求面积、长度、角度
【例15】（2022·河北秦皇岛·统考一模）如图，已知点A与点C关于点O对称，点B与点D也关于点O对称，若BC=3，OD=4．则AB的长可能是（ ）
A．3B．4C．7D．11
【变式15-1】（2019·山东德州·校联考二模）点O是平行四边形ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F分别是AB边上的点，且EF＝12AB；G、H分别是BC边上的点，且GH＝13BC；若S1,S2分别表示∆EOF和∆GOH的面积，则S1,S2之间的等量关系是
【变式15-2】（2022·陕西·校联考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E，F分别为AD，BC上的点，AE＝2，且EF过矩形ABCD的对称中心O．若点P，Q分别在AB，CD边上，且EF，PQ将矩形ABCD的面积四等分，则BP的长为 ．
【变式15-3】（2022·广西·统考二模）如图，四边形ABCD是菱形，点O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，当菱形的两条对角线长分别为12和16时，则阴影部分面积为 ．
题型14 利用平移、轴对称、旋转、中心对称设计图案
【例16】（2022·吉林长春·校考一模）如图，在4×4的方格纸中，ΔABC的三个顶点都在格点上．
图1 图2 图3
(1)在图1中，画出一个与ΔABC成中心对称的格点三角形；
(2)在图2中，画出一个与ΔABC成轴对称且与ΔABC有公共边的格点三角形；
(3)在图3中，选择格点D，画出以A，B，C，D为顶点的平行四边形．
【变式16-1】（2022·山西大同·统考二模）阅读理解，并解答问题：
观察发现：
如图1是一块正方形瓷砖，分析发现这块瓷砖上的图案是按图2所示的过程设计的，其中虚线所在的直线是正方形的对称轴．
问题解决：
用四块如图1所示的正方形瓷砖按下列要求拼成一个新的大正方形，并在图3和图4中各画一种拼法．
(1)图3中所画拼图拼成的图案是轴对称图形，但不是中心对称图形；
(2)图4中所画拼图拼成的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形．
【变式16-2】（2023·浙江金华·校联考模拟预测）规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度α（0°＜α≤180°）后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度α称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O旋转90°或180°后，能与自身重合（如图1），所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．根据以上规定，回答问题：
（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是________；
A．矩形 B．正五边形 C．菱形 D．正六边形
（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：________（填序号）；
（3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形，其中真命题的个数有（ ）个；
A．0 B．1 C．2 D．3
（4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充完整．
考点要求
新课标要求
命题预测
轴对称
通过具体实例理解轴对称的概念，探索它的基本性质:成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分.
能画出简单平面图形(点、线段、直线、三角形等)关于给定对称轴的对称图形.
理解轴对称图形的概念;探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质.
认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形.
该板块知识以考查平面几何的三大变换的基本运用为主，年年都有考查，分值在8-12分左右．预计2024年各地中考还将继续考查这些知识点，考查形式主要有选填题、作图题、也可能综合题结合出现．在三种变换中，平移相对较为简单，多以选择题形式考察，偶尔也会考察作图题:对称和旋转则难度较大，通常作为选择、填空题的压轴题出现，在解答题中，也会考察对称和旋转的作图，以及与特殊几何图形结合的综合压轴题，此时常需要结合几何图形或问题类型去分类讨论.
平移
通过具体实例认识平移，探索它的基本性质:一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等.
认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用.
运用图形的轴对称、旋转、平移进行图案设计.
旋转
通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转.探索它的基本性质:一个图形和旋转得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等.
了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它们的基本性质:成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分.
探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质.
认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形.
轴对称
轴对称图形
图形
定义
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.
区别
1）轴对称是指两个图形折叠重合.
2）轴对称对称点在两个图形上.
3）轴对称只有一条对称轴.
1）轴对称图形是指本身折叠重合.
2）轴对称图形对称点在一个图形上.
3）轴对称图形至少有一条对称轴.
联系
1) 定义中都有一条直线,都要沿着这条直线折叠重合.
2) 如果把轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形；反过来, 如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分(即看成两个图形),那么这两个图形就关于这条直线成轴对称.
性质
1）关于某条直线对称的两个图形是全等形.
2）两个图形关于某直线对称那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.
判定
1）两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称.
2）两个图形关于某条直线成轴对称,那么对称轴是对折重合的折痕线.
中心对称
中心对称图形
图形
定义
如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称.
如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心.
区别
中心对称是指两个图形的关系
中心对称图形是指具有某种特性的一个图形
联系
两者可以相互转化，如果把中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这“一个图形”就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形相互对称的两部分看成两个图形，那么这“两个图形”中心对称.
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