广东省广州市海珠区中山大学附属实验学校2024-2025学年九年级上学期期中数学试题与答案

这是一份广东省广州市海珠区中山大学附属实验学校2024-2025学年九年级上学期期中数学试题与答案，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.如图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（ ）
A.B.C.D.
2.的半径为3，点..在外，点到圆心的距离为，则需要满足的条件（ ）
A.B.C.D.无法确定
3.用配方法解一元二次方程时，配方正确的是（ ）
A.B.C.D.
4.如图，在中，为直径，，为圆上的点，若，则..的大小为（ ）
A.51°B.49°C.40°D.39°
5.在平面直角坐标系中，抛物线如图所示，则关于的方程的根的情况为（ ）
A.有两个不相等的实数根B.没有实数根
C.有实数根D.有两个相等的实数根
6.抛物线的顶点坐标是（ ）
A.B.C.D.
7.若关于的一元二次方程有一个根为1，则的值为（ ）
A.3B.0C.D.
8.如图，将绕点顺时针方向旋转到的位置，使得点，，在同一条直线上，，那么旋转角等于（ ）
A.65°B.100°C.115°D.120°
9.某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11、12两个月营业额的月均增长率，设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为，则根据题意可列的方程为（ ）
A.B.
C.D.
10.当时，函数与的图象有且只有一个交点，其中为常数.则的取值为（ ）
A.或B.C.D.
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11.若关于的一元二次方程有整数根，则整数的值可以是______（写出一个即可）.
12.在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移1个单位，得到的抛物线表达式为______.
13.一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一个根，则此三角形的周长是______.
14.如图，、是的切线，点、为切点，是的直径，，则的大小是______度.
15.“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面.已知截面的半径为10cm，开口宽为12cm，这个水容器所能装水的最大深度是______cm.
16.抛物线交轴于点和（点在点左侧），抛物线的顶点为，下列四个结论：①抛物线过点；②当时，是等腰直角三角形；③；④抛物线上有两点和，若，且，则.其中结论正确的序号是______________.
三、解答题（共9小题，满分72分）
17.（4分）解方程：.
18.（4分）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，使点在的延长线上.求证：.
19.（6分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，.
（1）画出绕原点逆时针方向旋转90°后得到的；
（2）______；
20.（6分）如图，用篱笆围成一块矩形花圃，该花圃一侧靠墙，而且有一道隔栏（隔栏也用篱笆制作），已知所用篱笆的总长为24m，花圃的面积为，墙的最大可用长度为10m，求边的长.
21.（8分）如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接.
（1）求证：为的切线；
（2）若且，求的半径.
22.（10分）如图，在中，，.
（1）尺规作图：将绕点顺时针旋转得到，使得点的对应点在的延长线上（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接，判断点与直线的位置关系，并说明理由.
23.（10分）在平面直角坐标系中，点，点在抛物线上.设抛物线的对称轴为直线.
（1）当时，
①直接写出与满足的等量关系；②比较，的大小，并说明理由；
（2）已知点在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围.
24.（12分）如图1所示，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接、、，求证：.
【初步探索】小明同学思考如下：将与点顺时针旋转60°到，使点与点重合，可得、、三点在同一直线上，进而可以证明为等边三角形，根据提示，解答下列问题：
（1）根据小明的思路，请你完成证明.
（2）若圆的半径为8，则的最大值为_____________（直接写答案）.
【类比迁移】如图2所示，等腰内接于圆，，点是弧上任一点（不与、重合），连接、、，若圆的半径为8，试求周长的最大值.
【拓展延伸】如图3所示，等腰，点、在圆上，，圆的半径为8，连接，则的最小值为_____________（直接写答案）.
25.（12分）正方形的顶点在某抛物线上，称该正方形为该抛物线的“悬正方形”.若直线与“悬正方形”以为端点的一边相交，且点到直线的距离为，则称直线为该正方形的“悬割线”.
已知抛物线，其中，，，以为边作正方形（点在点的下方）.
（1）证明：正方形是抛物线的“悬正方形”；
（2）判断正方形是否还可能是抛物线的“悬正方形”，并说明理由；
（3）若直线是正方形的“悬割线”，现将抛物线及正方形进行相同的平移，是否存在直线为平移后正方形的“悬割线”的情形？若存在，请探究抛物线经过了怎样的平移；若不存在，请说明理由.
2024学年第一学期期中考试模拟考试卷参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
2.解：当时，；当时，；
当时，函数的图象如图一所示：
函数是由函数向上或向下平移得到的，
由图象可知，①时，当时，函数与的图象有且只两个一个交点，不符合题；
②把函数向下平移到过点时，得.解得，
在此过程中，函数与的图象有且只有一个交点；
③把函数向上平移到图象位置时，函数与的图象有且只有一个交点，此时，即，，解得.
综上所述，当或时，函数与的图象在范围内有且只有一个交点.故选：A.
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11.4（答案不唯一）. 12.. 13.14. 14.40. 15.18cm. 16.①②④.
16.解：①把代入得，，抛物线过点，故①正确；
②当时，抛物线与轴的两个交点坐标分别为、，对称轴为，
是等腰直角三角形，故②正确；
③抛物线交轴于点和（点在点左侧），
、是方程的两个根，，故③错误；
④观察二次函数图象可知：当，且，则.故④正确.故答案为：①②④.
三、解答题（共9小题，满分72分）
17.解：，
，，，
，
，，.
18.解：绕点逆时针旋转得到，，，
而点在的延长线上.，，
，.
19.解：（1）如图，即为所求.
（2），，.故答案为：45°.
20.解：设边边的长为，
由题意得：，
解得：（不符合题意，舍去），，
答：边的长为5m.
21.解：（1）证明：如图，连接，
，，
，，
，，，
即，，是半径，为的切线；
（2）解：设的半径，则，，
在中，由勾股定理得，，，
解得，或（舍去），
的半径为3.
22.解：（1）如图，为所作；
（2）点在直线上.理由如下：
绕点顺时针旋转得到，，，
，
，，
，
，
，
点、、共线，即点在直线上.
23.解：（1）①，
；
②抛物线中，，抛物线开口向上，
点，点在抛物线上，对称轴为直线，
点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
；
（2）由题意可知，点在对称轴的左侧，点，在对称轴的右侧，
，都有，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
，
解得，
的取值范围是.
24.解：初步探索：
（1）证明：由旋转得，，，，
，，
、、三点在同一条直线上，，
是等边三角形，，，
是等边三角形，，；
（2）是的弦，且的半径为8，
当经过圆心，即是的直径时，此时的值最大，最大值为16，
的最大值是16，故答案为：16；
类比迁移：如图2，
，，是的直径，且圆心在上，，，
将绕点顺时针旋转90°到，使点与点重合，则，，，
，，、、三点在同一条直线上，
，，
当经过圆心，即是的直径时，此时的值最大，最大值为16，
的最大值为，的最大值为，
周长的最大值是；
拓展延伸：如图3，连接，将线段绕点逆时针旋转90°到，连接，
，，，
连接、，
，，
，，，
，，，的最小值为，
故答案为：.
25.证明：（1）当时，
，
则点在抛物线上，故正方形是抛物线的“悬正方形”；
（2）正方形不可能是抛物线的“悬正方形”，理由如下：
假设点在抛物线上，则当时，，则，
整理得，解得，
与矛盾，假设不成立，所以点不在抛物线上，
故正方形不可能是抛物线的“悬正方形”；
解：（3）假设存在直线为平移后正方形的“悬割线”的情形，则平移后，正方形是抛物线的“悬正方形”，
抛物线及正方形进行相同的平移，平移前，正方形是抛物线的“悬正方形”，则点在抛物线上，
，，轴，
，，
在正方形中，，，则，
点在抛物线上，，
解得，（不合题意，舍去），，
那么平移前，，，，
直线与轴，轴分别交于，，，
直线与轴夹角为45°，
因为平移前，直线是正方形的“悬割线”，如图，设直线与，分别交于点，，
轴，，
在正方形中，，，
则，，
，，，，
点在直线上，，
设点平移后的坐标为，设直线与平移后正方形的边交于点，
如图，同理可得，则，
点在直线上，，，
抛物线及正方形进行相同的平移，
要使直线为平移后正方形的“悬割线”，则抛物线向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，其中为任意实数.