2024-2025学年云南省昆明市高二上学期11月期中数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年云南省昆明市高二上学期11月期中数学检测试题（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
3．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
4．已知命题p：，，命题q：，，则（ ）
A．p和q都是真命题B．和q都是真命题
C．p和都是真命题D．和都是真命题
5．已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知正方体的内切球半径为，则该正方体外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知为坐标原点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知，，，，则（ ）
A．B．直线AB的一个方向向量为
C．四点共面D．点到直线的距离为
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．点是图象的一个对称中心
B．的单调递增区间为，
C．在上的值域为
D．将的图象先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则
11．已知圆：与圆：，则下列结论正确的是（ ）
A．若圆与圆外切，则或
B．当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为
C．若圆与圆关于点对称，则
D．当时，对任意的，曲线W：恒过圆与圆的交点
三、填空题（本大题共3小题）
12．从1至5这5个整数中随机取2个不同的数，则这2个数的乘积为奇数的概率为 .
13．已知点，，，，若A，B，C，D四点共面，则 .
14．如图，在四棱台体中，平面ABCD，底面ABCD为正方形，，P为线段的中点，直线与平面所成角的大小为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知的三个顶点的坐标分别为，，.
(1)求过点且与直线平行的直线的方程；
(2)求边上的高所在直线的方程.
16．某社团为统计居民运动时长，调查了某小区100名居民平均每天的运动时长（单位：h），并根据统计数据分为，，，，，六个小组（所调查的居民平均每天的运动时长均在内），得到的频率分布直方图如图所示.
(1)求出图中m的值，并估计这100名居民平均每天的运动时长的中位数；
(2)按分组用分层随机抽样的方法从平均每天运动时长在，这两个时间段内的居民中抽出6人分享运动心得，若再从这6人中选出2人发言，求这2人来自不同分组的概率.
17．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求角A；
(2)若，求的面积的最大值
18．已知直线，圆.
(1)若直线与圆相切，求的值；
(2)记圆的圆心为，若直线与圆交于，两点，为等边三角形，求的值.
19．如图，在几何体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD，，.

(1)求异面直线EB与DF所成角的余弦值
(2)证明：平面平面BDF.
(3)若M是几何体ABCDEF内的一个动点，且（），点N满足，，求的最小值.
答案
1．【正确答案】A
【详解】由得：，即；
由得：，即，.
故选：A.
2．【正确答案】D
【详解】，
在复平面内对应的点为，位于第四象限.
故选：D.
3．【正确答案】C
【详解】由得，
所以直线的斜率，即，
又，所以倾斜角.
故选：C.
4．【正确答案】B
【详解】对于p而言，，故p是假命题，是真命题.
对于q而言，，，故q是真命题，是假命题.
综上，和q都是真命题.
故选：B.
5．【正确答案】D
【详解】由题意可得，圆的圆心坐标为，圆和圆的半径均为1，
设圆心关于直线的对称点为，
则，解得，所以圆的标准方程为.
故选：D
6．【正确答案】B
【详解】因为正方体的内切球半径为，所以正方体的棱长为．
设外接球的半径为R，则，所以，故外接球的体积为．
故选：B.
7．【正确答案】D
【详解】因为在上单调递减，所以，解得，则a的取值范围是.
故选：D
8．【正确答案】D
【详解】设，，则，，即，①.
因为点A在圆上运动，所以满足②.
把①代入②，得，即.
故线段OA的中点P的轨迹方程为.
故选：D
9．【正确答案】ACD
【详解】，A正确；
，B错误；
由题意得，则，所以四点共面，C正确；
，，，则点到直线的距离为，D正确.
故选：ACD.
10．【正确答案】AC
【详解】因为，所以点是图象的一个对称中心，A正确；
令（），则（），
故的单调递增区间为（），B错误；
因为，所以，故在上的值域为，C正确；
将的图象先向右平移个单位长度，可得函数的图象，
再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），可得的图象，D错误.
故选：AC
11．【正确答案】ABD
【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径．若圆与圆外切，则，解得或，A正确．
当时，圆：，圆：，将两圆的方程作差可得圆与圆的公共弦所在直线的方程为，B正确．
若圆与圆关于点对称，则解得，C错误．
当时，圆：，圆：，
则，所以对任意的，曲线W恒过圆与圆的交点，D正确．
故选：ABD.
12．【正确答案】/0.3
【详解】根据题意知样本空间，
所以，
事件为这2个数的乘积为奇数，所以，则，
所以，
故答案为.
13．【正确答案】
【详解】由题可知，，，因为A，B，C，D四点共面，所以（m，），，
即，解得，，所以.
故答案为.
14．【正确答案】
【详解】根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，
则A0,0,0，，，，，，，
，，设平面的法向量为，
则，则平面的一个法向量，
所以，即直线平面，
故直线与平面所成角的大小为.
故答案为.
15．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，可知，
故所求直线的方程为，
即.
（2）易知，
则所求直线的斜率为3，
故所求直线的方程为，
即.
16．【正确答案】(1)，2.4h
(2).
【详解】（1）由，解得.
因为，所以中位数在内，设中位数为x，则，得，
即估计这100名居民平均每天的运动时长的中位数为2.4h.
（2）由题知，平均每天运动时长在，内的频率分别为0.5，0.1，
则应从平均每天运动时长在，内的居民中分别抽出5人，1人.
记时间段内的5人分别为a，b，c，d，e，记时间段内的1人为M，则从这6人中选出2人的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，共15个，
2人来自不同分组的基本事件，，，，，共5个，
所以这2人来自不同分组的概率为.
17．【正确答案】(1)
(2).
【详解】（1）由，可得，即，
因为，所以，解得.
（2）由余弦定理可得，
因为，所以，则，
所以的面积，
当且仅当时，等号成立.
故的面积的最大值为.
18．【正确答案】(1)或.
(2)
【详解】（1）由圆的方程可知圆心，半径.
直线，即.
因为直线与圆相切，则.解得或.
（2）因为为等边三角形，所以圆心到直线的距离.
同样根据点到直线距离公式.
化简得.
解得.
19．【正确答案】(1)
(2)证明见解析
(3).
【详解】（1）以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.
，，，，则，，
，
故异面直线EB与DF所成角的余弦值为.
（2）

取BD的中点O，连接OE，OF，则，
所以，，，，
所以，，，则，
所以.
，，则，又为中点，
所以，，
所以平面BDF.
因为平面EBD，
所以平面平面BDF.
（3）因为（），
所以M在线段OE上.
因为，
所以，故N在平面BDF上.
；
设G为MN的中点，
所以，
因为，所以，
故，所以的最小值为.