2023-2024学年江西省宜春市丰城市高一（上）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年江西省宜春市丰城市高一（上）期末数学试卷，共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高一数学
一、单选题
1．已知，，，则，，的大小关系是（ ）.
A．B．C．D．
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3．函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
4．以下选项为“”的一个必要不充分条件的是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知函数由下表给出，则等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是（ ）
A． B．y＝0.957 6100x
C．y＝D．y＝1－
7．若一次函数有一个零点，则函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）
A．B．C．0D．2
二、多选题
9．如图为我国2020年2月至10月的同城快递量与异地快递量的月统计图：根据统计图，下列结论正确的是（ ）
A．异地快递量逐月递增
B．同城快递量，9月份多于10月份
C．同城和异地的月快递量达到峰值的月份相同
D．同城和异地的快递量的月增长率达到最大的月份相同
10．下列函数中，与是同一个函数的是（ ）
A．B．C．D．
11．某校1500名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的竞赛成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则（ ）

A．频率分布直方图中a的值为0.005B．估计这40名学生的竞赛成绩的第60百分位数为75
C．估计这40名学生的竞赛成绩的众数为80D．估计总体中成绩落在内的学生人数为225
12．设甲袋中有2个红球和1个白球，乙袋中有1个红球和2个白球，现从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取1球，记事件“从甲袋中任取1球是红球”，记事件“从乙袋中任取1球是白球”，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
13．函数定义域为 ．
14．若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则 ．
15．抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件“向上的点数是偶数”，事件“向上的点数超过4”，则概率 ．
16．已知函数有一个零点在区间内，则实数的取值范围是 .
四、解答题
17．已知函数.
（1）判断的单调性并用定义证明；
（2）若，求实数的取值范围.
18．已知函数.
(1)求的解析式；
(2)求的值域.
19．从某脐橙果园随机选取200个脐橙，已知每个脐橙的质量（单位：）都在区间内，将这200个脐橙的质量数据分成这4组，得到的频率分布直方图如图所示.
(1)试问这200个脐橙中质量不低于的个数是多少？
(2)若每个区间的值以该区间的中间值为代表，估计这200个脐橙的质量的平均数.
20．为了备战第33届夏季奥林匹克运动会（2024法国巴黎奥运会），中国奥运健儿刻苦训练，成绩稳步提升．射击队的某一选手射击一次，其命中环数的概率如下表：
求该选手射击一次：
(1)命中9环或10环的概率；
(2)至少命中8环的概率；
(3)命中不足8环的概率．
21．已知函数为奇函数，为常数.
(1)求的值；
(2)若实数满足，求的取值范围.
22．已知幂函数的图象过点．
(1)求出函数的解析式，
(2)判断并证明在的单调性；
(3)函数是R上的偶函数，当时，，求满足的实数的取值范围．
1
2
3
4
3
2
4
1
命中环数
10环
9环
8环
7环
概率
0.32
0.28
0.18
0.12
参考答案：
1．D
【解析】先由对数与指数的性质，判定，，再比较，，即可得出结果.
【详解】因为，，，
又，，所以，因此，
所以.
故选：D.
【点睛】本题主要考查比较对数与指数的大小，属于基础题型.
2．A
【分析】根据交集的定义运算即可.
【详解】因为，，所以.
故选：A
3．A
【分析】根据图象变换可得函数的图象是由函数的图象向左平移1个单位长度得到的，由此可得出结论
【详解】因为函数的图象是由函数的图象向左平移1个单位长度得到的，
而的图象过点，且在上是增函数，
所以的图象过点，且在上是增函数，
故选：A
4．A
【分析】解得对数不等式，利用包含关系结合充分、必要条件分析判断.
【详解】因为，则，解得，
结合选项可知只有使得是的真子集，
所以选项为“”的一个必要不充分条件的是，故A正确，BCD错误.
故选：A.
5．D
【分析】根据复合函数求函数值的运算法则计算即可．
【详解】解：由题干中表格可知
，
．
故选：D．
6．A
【分析】根据镭的放射规律可知，设镭的衰变率为，x，y的函数关系是，当时，，可计算出的值，即可得到x，y的函数关系．
【详解】设镭的衰变率为，则x，y的函数关系是，
当时，，即，解得．
即有．
故选：A．
【点睛】本题主要考查函数模型的应用，掌握镭的放射规律选择合适的函数模型是解题的关键，意在考查学生的数学建模能力，属于基础题．
7．B
【分析】依题意可得（），再令，求出的零点，即可判断.
【详解】因为一次函数有一个零点，
所以（），即，
对于，令，则，则，
即，解得或，
所以的两个零点为和，故符合题意的只有B选项.
故选：B
8．B
【分析】利用函数的解析式以及函数的奇偶性的性质求解函数值即可．
【详解】根据题意得，，
又因为已知是定义在上的奇函数，当时，，
，
故选：B.
9．BD
【分析】根据统计图中数据分析得到BD正确.
【详解】由我国2020年2月至10月的同城快递量与异地快递量的月统计图，知：
对于A，异地快递量2月到6月逐月递增，6月到7月递减，7月到10月逐月递增，故A正确；
对于B，月同城快递量113215.1万件，10月同城快递量97454.2万件，9月份多于10月份，故B正确；
对于C，同城的月快递量达到峰值的月份是6月，异地的月快递量达到峰值的月份是10月，故C错误；
对于D，同城和异地的快递量的月增长率达到最大的月份相同，都是3月，故D正确.
故选：BD.
10．AC
【解析】从函数的定义域是否相同及函数的解析式是否相同两个方面判断．
【详解】的定义域为，值域为，
对于A选项，函数的定义域为，故是同一函数；
对于B选项，函数，与解析式、值域均不同，故不是同一函数；
对于C选项，函数，且定义域为，故是同一函数；
对于D选项，的定义域为，与函数定义域不相同，故不是同一函数.
故选：AC．
【点睛】本题考查同一函数的概念，解答的关键点在于判断所给函数的定义域、解析式是否相同.
11．AD
【分析】先根据频率之和为1可得，进而可求每组的频率，再结合统计相关知识逐项分析判断即可.
【详解】由，可得，故A正确；
前三个矩形的面积和为，
所以这名学生的竞赛成绩的第百分位数为，故B错误；
由成绩的频率分布直方图易知，这名学生的竞赛成绩的众数为，故C 错误；
总体中成绩落在内的学生人数为，故D正确.
故选：AD
12．ABD
【分析】根据古典概型公式及互斥事件概率加法公式逐项求解判断即可.
【详解】从甲袋中任取1球是红球的概率为，故A正确；
，故C错误；
，故D正确；
，故B正确.
故选：ABD.
13．
【分析】利用函数解析式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域.
【详解】对于函数，有，解得且，
因此，函数的定义域为.
故答案为：.
14．
【分析】根据奇函数的性质即可求解.
【详解】由题可知，
由于为奇函数，所以.
故答案为：
15．
【分析】确定事件的可能情况，根据古典概型的概率公式即可求得答案.
【详解】由题意可知抛掷一枚质地均匀的骰子，点数有共6种可能，
事件为“向上的点数是”，
故，
故答案为：
16．
【分析】分类讨论为一次函数和二次函数，当为二次函数时再分类讨论存在一个零点和两个零点两种情况，一个零点时，两个零点时满足题意需用零点存在性定理求出实数的取值范围.
【详解】，函数的零点为，不满足题意；
当时，若二次函数只有一个零点，则，解得，此时的零点为，不满足题意；
若二次函数有两个零点，有且只有一个零点在区间中，则，解得
检验：当时，，即两个零点异号
因此当，时，函数有且只有一个零点在区间中
当若二次函数有两个零点，两个零点在区间中时
，无解，故不存在两个零点在区间中；
故答案为：
17．（1）函数是上的减函数，证明见解析；（2）或．
【解析】（1）根据单调性定义证明；
（2）由单调性化简不等式后由对数函数性质得出结论．
【详解】（1）函数是上的减函数，证明如下：
设，则，
∵，∴，即，又，
∴，即，
∴是上的减函数．
（2）由已知，即为，
∵是上的减函数．∴，解得或．
18．(1)
(2).
【分析】（1）换元法求解析式；
（2）求复合函数的值域，先由内层二次函数配方法求值域，再由幂函数的性质可得函数值域.
【详解】（1）令，则，
所以，
故.
（2）由（1）知，
设，图象开口向上，
由，
，的值域为，
令，则的值域即函数的值域，
由函数在单调递增，则，的值域为.
故的值域为.
19．(1)
(2)
【分析】（1）先求得频率，进而求得正确答案.
（2）根据平均数的求法求得正确答案.
【详解】（1）不低于的频率为，
所以这200个脐橙中质量不低于的个数是.
（2）平均数为.
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据互斥事件概率加法得结果；
（2）根据互斥事件概率加法得结果；
（3）根据对立事件概率关系求结果.
【详解】（1）记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，
由互斥事件的加法公式得 .
（2）设“射击一次，至少命中8环”的事件为B，
由互斥事件概率的加法公式得.
（3）由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B：“射击一次，至少命中8环”的对立事件，
即表示事件“射击一次，命中不足8环”，根据对立事件的概率公式得
.
21．(1)
(2).
【分析】（1）由函数是奇函数得，代入函数式整理可得的值；
（2）将函数式变形，结合反比例函数和对数函数单调性可确定函数的单调性，将不等式变形，据单调性列不等式组即可求出实数的取值范围.
【详解】（1）因为函数为奇函数，
所以,即
所以，
则，即，解得，
则，经检验，当时，不满足题意，
所以.
（2）由（1）得，，由解得，
所以的定义域为.
又，
而在上单调递增，且在上单调递增，
所以函数在上单调递增.
不等式可变为，
所以，解得，即，
所以的取值范围是.
22．(1)；
(2)幂函数在上是增函数，证明见解析；
(3).
【分析】（1）设幂函数的解析式为，将点代入求解即可；
（2）按照函数单调性的定义证明即可；
（3）由题意可得在上是增函数，在上是减函数，原不等式等价于，，求解即可.
【详解】（1）解：根据题意，设幂函数的解析式为，
将点代入解析式中得，解得，
所以所求幂函数的解析式为
（2）解：幂函数在上是增函数．
证明：任取，，且，
则
，
因为，，
所以，
即幂函数在上是增函数．
（3）解：当时，，
而幂函数在上是增函数，
所以当时，在上是增函数．
又因为函数是上的偶函数，
所以在上是减函数．
，由，可得．
即，
所以满足的实数的取值范围为．
参考答案：
1．D
【解析】先由对数与指数的性质，判定，，再比较，，即可得出结果.
【详解】因为，，，
又，，所以，因此，
所以.
故选：D.
【点睛】本题主要考查比较对数与指数的大小，属于基础题型.
2．A
【分析】根据交集的定义运算即可.
【详解】因为，，所以.
故选：A
3．A
【分析】根据图象变换可得函数的图象是由函数的图象向左平移1个单位长度得到的，由此可得出结论
【详解】因为函数的图象是由函数的图象向左平移1个单位长度得到的，
而的图象过点，且在上是增函数，
所以的图象过点，且在上是增函数，
故选：A
4．A
【分析】解得对数不等式，利用包含关系结合充分、必要条件分析判断.
【详解】因为，则，解得，
结合选项可知只有使得是的真子集，
所以选项为“”的一个必要不充分条件的是，故A正确，BCD错误.
故选：A.
5．D
【分析】根据复合函数求函数值的运算法则计算即可．
【详解】解：由题干中表格可知
，
．
故选：D．
6．A
【分析】根据镭的放射规律可知，设镭的衰变率为，x，y的函数关系是，当时，，可计算出的值，即可得到x，y的函数关系．
【详解】设镭的衰变率为，则x，y的函数关系是，
当时，，即，解得．
即有．
故选：A．
【点睛】本题主要考查函数模型的应用，掌握镭的放射规律选择合适的函数模型是解题的关键，意在考查学生的数学建模能力，属于基础题．
7．B
【分析】依题意可得（），再令，求出的零点，即可判断.
【详解】因为一次函数有一个零点，
所以（），即，
对于，令，则，则，
即，解得或，
所以的两个零点为和，故符合题意的只有B选项.
故选：B
8．B
【分析】利用函数的解析式以及函数的奇偶性的性质求解函数值即可．
【详解】根据题意得，，
又因为已知是定义在上的奇函数，当时，，
，
故选：B.
9．BD
【分析】根据统计图中数据分析得到BD正确.
【详解】由我国2020年2月至10月的同城快递量与异地快递量的月统计图，知：
对于A，异地快递量2月到6月逐月递增，6月到7月递减，7月到10月逐月递增，故A正确；
对于B，月同城快递量113215.1万件，10月同城快递量97454.2万件，9月份多于10月份，故B正确；
对于C，同城的月快递量达到峰值的月份是6月，异地的月快递量达到峰值的月份是10月，故C错误；
对于D，同城和异地的快递量的月增长率达到最大的月份相同，都是3月，故D正确.
故选：BD.
10．AC
【解析】从函数的定义域是否相同及函数的解析式是否相同两个方面判断．
【详解】的定义域为，值域为，
对于A选项，函数的定义域为，故是同一函数；
对于B选项，函数，与解析式、值域均不同，故不是同一函数；
对于C选项，函数，且定义域为，故是同一函数；
对于D选项，的定义域为，与函数定义域不相同，故不是同一函数.
故选：AC．
【点睛】本题考查同一函数的概念，解答的关键点在于判断所给函数的定义域、解析式是否相同.
11．AD
【分析】先根据频率之和为1可得，进而可求每组的频率，再结合统计相关知识逐项分析判断即可.
【详解】由，可得，故A正确；
前三个矩形的面积和为，
所以这名学生的竞赛成绩的第百分位数为，故B错误；
由成绩的频率分布直方图易知，这名学生的竞赛成绩的众数为，故C 错误；
总体中成绩落在内的学生人数为，故D正确.
故选：AD
12．ABD
【分析】根据古典概型公式及互斥事件概率加法公式逐项求解判断即可.
【详解】从甲袋中任取1球是红球的概率为，故A正确；
，故C错误；
，故D正确；
，故B正确.
故选：ABD.
13．
【分析】利用函数解析式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域.
【详解】对于函数，有，解得且，
因此，函数的定义域为.
故答案为：.
14．
【分析】根据奇函数的性质即可求解.
【详解】由题可知，
由于为奇函数，所以.
故答案为：
15．
【分析】确定事件的可能情况，根据古典概型的概率公式即可求得答案.
【详解】由题意可知抛掷一枚质地均匀的骰子，点数有共6种可能，
事件为“向上的点数是”，
故，
故答案为：
16．
【分析】分类讨论为一次函数和二次函数，当为二次函数时再分类讨论存在一个零点和两个零点两种情况，一个零点时，两个零点时满足题意需用零点存在性定理求出实数的取值范围.
【详解】，函数的零点为，不满足题意；
当时，若二次函数只有一个零点，则，解得，此时的零点为，不满足题意；
若二次函数有两个零点，有且只有一个零点在区间中，则，解得
检验：当时，，即两个零点异号
因此当，时，函数有且只有一个零点在区间中
当若二次函数有两个零点，两个零点在区间中时
，无解，故不存在两个零点在区间中；
故答案为：
17．（1）函数是上的减函数，证明见解析；（2）或．
【解析】（1）根据单调性定义证明；
（2）由单调性化简不等式后由对数函数性质得出结论．
【详解】（1）函数是上的减函数，证明如下：
设，则，
∵，∴，即，又，
∴，即，
∴是上的减函数．
（2）由已知，即为，
∵是上的减函数．∴，解得或．
18．(1)
(2).
【分析】（1）换元法求解析式；
（2）求复合函数的值域，先由内层二次函数配方法求值域，再由幂函数的性质可得函数值域.
【详解】（1）令，则，
所以，
故.
（2）由（1）知，
设，图象开口向上，
由，
，的值域为，
令，则的值域即函数的值域，
由函数在单调递增，则，的值域为.
故的值域为.
19．(1)
(2)
【分析】（1）先求得频率，进而求得正确答案.
（2）根据平均数的求法求得正确答案.
【详解】（1）不低于的频率为，
所以这200个脐橙中质量不低于的个数是.
（2）平均数为.
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据互斥事件概率加法得结果；
（2）根据互斥事件概率加法得结果；
（3）根据对立事件概率关系求结果.
【详解】（1）记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，
由互斥事件的加法公式得 .
（2）设“射击一次，至少命中8环”的事件为B，
由互斥事件概率的加法公式得.
（3）由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B：“射击一次，至少命中8环”的对立事件，
即表示事件“射击一次，命中不足8环”，根据对立事件的概率公式得
.
21．(1)
(2).
【分析】（1）由函数是奇函数得，代入函数式整理可得的值；
（2）将函数式变形，结合反比例函数和对数函数单调性可确定函数的单调性，将不等式变形，据单调性列不等式组即可求出实数的取值范围.
【详解】（1）因为函数为奇函数，
所以,即
所以，
则，即，解得，
则，经检验，当时，不满足题意，
所以.
（2）由（1）得，，由解得，
所以的定义域为.
又，
而在上单调递增，且在上单调递增，
所以函数在上单调递增.
不等式可变为，
所以，解得，即，
所以的取值范围是.
22．(1)；
(2)幂函数在上是增函数，证明见解析；
(3).
【分析】（1）设幂函数的解析式为，将点代入求解即可；
（2）按照函数单调性的定义证明即可；
（3）由题意可得在上是增函数，在上是减函数，原不等式等价于，，求解即可.
【详解】（1）解：根据题意，设幂函数的解析式为，
将点代入解析式中得，解得，
所以所求幂函数的解析式为
（2）解：幂函数在上是增函数．
证明：任取，，且，
则
，
因为，，
所以，
即幂函数在上是增函数．
（3）解：当时，，
而幂函数在上是增函数，
所以当时，在上是增函数．
又因为函数是上的偶函数，
所以在上是减函数．
，由，可得．
即，
所以满足的实数的取值范围为．