2023-2024学年河北省石家庄市赵县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省石家庄市赵县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列分式中，属于最简分式的是( )
A. 1113xB. x+1x2−1C. 1−xx−1D. 2xx2+1
2.计算(−b2)3的结果正确的是( )
A. −b6B. b6C. b5D. −b5
3.下列计算正确的是( )
A. a2+a3=a5B. a2⋅a3=a6C. (a2)3=a6D. (ab)2=ab2
4.若分式x2+x−6x−2的值为零，则x的值为( )
A. 2B. 3C. −3D. 2或−3
5.若a+b=−1，ab=−5，则a2+b2的值为( )
A. −9B. 11C. 23D. 27
6.如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是(a,b)，则经过第2014次变换后所得A点坐标是( )
A. (a,−b)B. (−a,−b)C. (−a,b)D. (a,b)
7.如图，数学课上，老师让学生尺规作图画∠MON的角平分线OB.小明的作法如图所示，连接BA、BC，你认为这种作法中判断△ABO≌△CBO的依据是( )
A. SSS
B. SAS
C. ASA
D. AAS
8.当|a|=4时，代数式(1−2a−2)÷a−4a2−4的值为( )
A. 6B. −2C. 6或−2D. 0
9.在平面直角坐标系中，点P(−4,6)关于x轴对称点的坐标在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
10.如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且PM=HN，已知MH=3，PQ=2，则PN的长为( )
A. 5
B. 7
C. 8
D. 11
11.某同学在解关于x的分式方程x−4x−5−3=ax−5时产生了增根，则增根为( )
A. x=6B. x=5C. x=4D. x=3
12.已知5x=3，5y=2，则52x-3y=( )
A. 34B. 1C. 23D. 98
13.当n为自然数时，(n+1)2−(n−3)2一定能( )
A. 被5整除B. 被6整除C. 被7整除D. 被8整除
14.下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是( )
A. (x+a)(x−a)B. (a+b)(−a−b)C. (−x−b)(x−b)D. (b+m)(m−b)
15.(x+2)(x+a)=x2−bx−8，则ab的值是( )
A. −8B. −4C. 18D. 16
16.为了践行“绿色生活”的理念，甲、乙两人每天骑自行车出行，甲匀速骑行40千米的时间与乙匀速骑行35千米的时间相同，已知甲每小时比乙每小时多骑行2千米，设甲每小时骑行x千米，根据题意列出的方程正确的是( )
A. 40x=35x−2B. 40x=35x+2C. 40x+2=35xD. 40x−2=35x
二、填空题：本题共3小题，共12分。
17.已知x2+2(m−1)x+9是一个完全平方式，则m的值为______
18.如图，CD是等边△ABC的中线，DE⊥AC，垂足为点E.若DE的长度为3cm，则点D到BC的距离为______cm．
19.如图，某小区有一块长为(3a+b)米，宽为(2a−b)米的长方形地块，物业公司计划在小区内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，将阴影部分进行绿化，则阴影部分的面积S= ______(用含有a，b的式子表示).若a=3，b=2时，绿化的面积S= ______．
三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题9分)
完成下列各题．
(1)因式分解a3b−ab3．
(2)先化简，再求值：a2+aa2−2a+1÷(2a−1−1a)，其中a=2．
(3)解分式方程：xx−1=32x−2−2．
21.(本小题8分)
如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD.求证：DB=DE．
22.(本小题8分)
如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，顶点A，B，C在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出△ABC关于直线L成轴对称的△A′B′C′；
(2)在直线L上找一点P，使BP+PC的长最短，标出点P(保留作图痕迹)．
23.(本小题9分)
甲乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料，两次饲料的价格有变化，第一次的价格为m元/千克，第二次的价格为n元/千克(m,n是正数，且m≠n)，甲每次购买800千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料．
(1)甲、乙所购饲料的平均单价各是多少元？
(2)谁的购买方式平均单价较低？
24.(本小题10分)
常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2−4y2−2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程如下：
x2−4y2−2x+4y
=(x+2y)(x−2y)−2(x−2y)
=(x−2y)(x+2y−2)
这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
(1)分解因式m2−4m+4−n2；
(2)若△ABC三边a，b，c满足a2−ab−ac+bc=0，判断△ABC的形状．
25.(本小题10分)
在“双十二”期间，A，B两个超市开展促销活动，活动方式如下：
A超市：购物金额打9折后，若超过2000元再优惠300元；
B超市：购物金额打8折．
某学校计划购买某品牌的篮球做奖品，该品牌的篮球在A，B两个超市的标价相同，根据商场的活动方式：
(Ⅰ)若一次性付款4200元购买这种篮球，则在B商场购买的数量比在A商场购买的数量多5个，请求出这种篮球的标价；
(Ⅱ)学校计划购买100个篮球，请你设计一个购买方案，使所需的费用最少．(直接写出方案)
26.(本小题12分)
【问题初探】
如图(1)，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC上一点，连接AD，以AD为一边作△ADE，使∠DAE=90°，AD=AE，连接BE，BE和CD有怎样的数量关系______(直接写出答案，不写过程)．
【类比再探】
如图(2)，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M是AB上一点，点D是BC上一点，连接MD，以MD为一边作△MDE，使∠DME=90°，MD=ME，连接BE，则∠EBD=______.(直接写出答案，不写过程，但要求作出辅助线)
【方法迁移】
如图(3)，△ABC是等边三角形，点D是BC上一点，连接AD，以AD为一边作等边三角形ADE，连接BE，则BD、BE、BC之间有怎样的数量关系？______(直接写出答案，不写过程)．
【拓展创新】
如图(4)，△ABC是等边三角形，点M是AB上一点，点D是BC上一点，连接MD，以MD为一边作等边三角形MDE，连接BE.猜想∠EBD的度数，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、1113x=37x，故A选项不合题意．
B、x+1x2−1=1x−1，故B选项不合题意．
C、1−xx−1=−1，故C选项不合题意．
D、2xx2+1是最简分式，不能化简，故D选项符合题意，
故选：D．
最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
本题主要考查了最简分式的概念，解题时要注意对分式进行化简．
2.【答案】A
【解析】解：(−b2)3=−b6．
故选：A．
直接利用积的乘方运算法则计算得出答案．
此题主要考查了积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．
3.【答案】C
【解析】解：(A)a2与a3不是同类项，故A错误；
(B)原式=a5，故B错误；
(D)原式=a2b2，故D错误；
故选：C．
根据整式的运算法则即可求出答案．
本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
4.【答案】C
【解析】解：∵分式x2+x−6x−2的值为零，
∴x2+x−6=0且x−2≠0，
解得x=−3或x=2且x≠2，
∴x=−3．
故选：C．
分式的值为零的前提是分式有意义，即分式的分母不能为零．根据分式x2+x−6x−2的值为零，得到x2+x−6=0且x−2≠0，得到x=−3．
本题主要考查了分式的值为零的条件，熟练掌握分式的值为零时，需满足分子为零而分母不为零两个条件是解决问题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵a+b=−1，ab=−5，
∴a2+b2=(a+b)2−2ab=(−1)2−2×(−5)=1+10=11，
故选：B．
根据a2+b2=(a+b)2−2ab进行求解即可．
本题主要考查了完全平方公式，熟知完全平方公式的形式是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，
∴对应图形4次循环一周，
∵2014÷4=503…2，
∴经过第2014次变换后所得A点坐标与第2次变换后的坐标相同，故其坐标为：(a,−b)．
故选：A．
利用已知得出图形的变换规律，进而得出经过第2014次变换后所得A点坐标与第2次变换后的坐标相同求出即可．
此题主要考查了关于坐标轴以及原点对称点的性质，得出A点变化规律是解题关键．
7.【答案】A
【解析】解：由作图可知，OA=OC，AB=CB，
在△AOB和△COB中，
OA=OCAB=CBOB=OB，
∴△AOB≌△COB(SSS)，
∴∠BOA=∠BOC，
故选：A．
根据SSS证明三角形全等可得结论．
本题考查作图−复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
8.【答案】B
【解析】解：原式=a−2−2a−2⋅(a+2)(a−2)a−4
=a+2，
当|a|=4时，
∴a=±4，
由分式有意义的条件可知：a=−4，
∴原式=−4+2
=−2．
故选：B．
根据分式的加减运算进行化简，然后将a的值求出并代入即可求出答案．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
9.【答案】C
【解析】解：在平面直角坐标系中．点P(−4,6)关于x轴的对称点的坐标是(−4,−6)，
∴点P(−4,6)关于x轴对称点的坐标(−4,−6)在第三象限内．
故选：C．
先根据关于x轴对称点的坐标特征，求出点P(−4,6)关于x轴对称点的坐标，再根据各象限内点的坐标特征判定点所在象限即可．
本题考查了关于x轴对称的点的坐标，判定点所在象限．解答本题的关键在于熟练掌握关于x轴对称的点，x值相同，y值互为相反数
10.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．根据AAS证明△PMQ与△HNQ全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】
解：∵H是高MQ和NR的交点，
∴∠P+∠PMQ=90°，∠PMQ+∠RHM=90°，∠QHN+∠HNQ=90°，
∵∠RHM=∠QHN，
∴∠P=∠QHN，
在△PMQ与△HNQ中，
∠P=∠QHN∠PQM=∠HQN=90°PM=HN，
∴△PMQ≌△HNQ(AAS)，
∴PQ=HQ，MQ=QN，
∵MH=3，PQ=2，
∴MQ=NQ=MH+HQ=MH+PQ=3+2=5，
∴PN=PQ+QN=2+5=7，
故选：B．
11.【答案】B
【解析】解：∵最简公分母是x−5，原方程有增根，
∴最简公分母x−5=0，
∴增根是x=5．
故选：B．
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．确定增根的可能值，让最简公分母x−5=0即可．
本题考查了分式方程的增根问题，只需让最简公分母为0即可．
12.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查了同底数幂的除法法则，以及幂的乘方与积的乘方，同底数幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可以是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
首先根据幂的乘方的运算方法，求出52x、53y的值；然后根据同底数幂的除法的运算方法，求出52x−3y的值为多少即可．
【解答】
解：∵5x=3，5y=2，
∴52x=32=9，53y=23=8，
∴52x−3y=52x53y=98．
故选D．
13.【答案】D
【解析】解：(n+1)2−(n−3)2=n2+2n+1−n2+6n−9=8n−8=8(n−1)，
∴能被8整除，
故选：D．
将所求式子用完全平方公式展开可得原式=8(n−1)，即可进行求解．
本题考查因式分解的应用；理解题意，将已知式子进行合理的变形，再由数的整除性求解是解题的关键．
14.【答案】B
【解析】解：A、C、D符合平方差公式的特点，故能运用平方差公式进行运算；
B、两项都互为相反数，故不能运用平方差公式进行运算．
故选B．
根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数解答．
本题主要考查了平方差公式的结构．注意两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，并且相同的项和互为相反数的项必须同时具有．
15.【答案】D
【解析】解：∵(x+2)(x+a)
=x2+(2+a)x+2a
=x2−bx−8，
∴2a=−8，2+a=−b，
解得a=−4，b=2，
∴ab=(−4)2=16，
故选：D．
运用多项式乘以多项式的计算方法进行求解．
此题考查了多项式乘以多项式的计算能力，关键是能准确理解并运用该法则进行正确地计算．
16.【答案】A
【解析】解：设甲每小时骑行x千米，则乙每小时骑行(x−2)千米，根据题意得：
40x=35x−2，
故选：A．
题目已经设甲每小时骑行x千米，则乙每小时骑行(x−2)千米，根据题意可得等量关系：甲匀速骑行30千米的时间=乙匀速骑行25千米的时间，再根据路程、速度、时间之间的关系和题目中的等量关系列出方程即可．
本题考查由实际问题抽象出分式方程的建模能力，能够根据路程、速度、时间之间的关系和题目中的等量关系列出方程是解题的关键．
17.【答案】4或−2
【解析】解：∵x2+2(m−1)x+9是一个完全平方式，
∴2(m−1)=±6，
解得：m=4或m=−2，
故答案是：4或−2．
利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
18.【答案】3
【解析】解：过点D作DF⊥BC，垂足为F，
∵CD是等边△ABC的中线，
∴CD平分∠ACB，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DE=DF=3cm，
∴点D到BC的距离为3cm，
故答案为：3．
过点D作DF⊥BC，垂足为F，利用等腰三角形的三线合一性质可得CD平分∠ACB，然后利用角平分线的性质即可解答．
本题考查了等边三角形的性质，角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
19.【答案】4a2−b2 32m2
【解析】解：由题意可知：平行四边形的面积为a(2a−b)平方米，长方形的面积为(3a+b)(2a−b)平方米，
∴S阴影=S长方形−S平行四边形
=(3a+b)(2a−b)−a(2a−b)
=6a2−3ab+2ab−b2−2a2+ab
=6a2−2a2+2ab+ab−3ab−b2
=4a2−b2，
当a=3，b=2时，
绿化面积S=4×32−22
=4×9−4
=36−4
=32(m2)，
故答案为：4a2−b2，32m2．
先根据平行四边形和长方形的面积公式求出它们的面积，然后再根据阴影部分面积=长方形面积−平行四边形的面积，列出算式进行化简，最后再把a，b的值代入化简后的式子进行计算即可．
本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是理解题意，列出正确的算式．
20.【答案】解：(1)a3b−ab3
=ab(a2−b2)
=ab(a+b)(a−b)．
(2)a2+aa2−2a+1÷(2a−1−1a)
=a(a+1)(a−1)2÷a+1a(a−1)
=a(a+1)(a−1)2⋅a(a−1)a+1
=a2a−1．
当a=2时，原式=222−1=4．
(3)方程两边同时乘以2(x−1)，得
2x=3−4(x−1)
解得：x=76．
检验：把x=76代入2(x−1)得2×76=73≠0，
∴x=76是原方程的解．
∴原方程的解为x=76．
【解析】(1)先提同公因式ab，再用平方差公式分解即可；
(2)先根据分式混合运算法则化简分式，再把a=2代入化简式计算即可，
(3)先去分式转化成整式方程求解，再检验即可求解．
本题考查因式分解，分式化简求值，解分式方程，解题的关键是掌握基本知识，属于中考常考题型．
21.【答案】证明：因为△ABC是等边三角形，BD是中线，
所以∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°．
又因为CE=CD，
所以∠CDE=∠CED．
又因为∠BCD=∠CDE+∠CED，
所以∠CDE=∠CED=12∠BCD=30°．
所以∠DBC=∠DEC．
所以DB=DE(等角对等边)．
【解析】【分析】
此题主要考查等边三角形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质等知识，利用三角形外角的性质得到∠CED=30°是正确解答本题的关键．
根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°，再根据等腰三角形的性质求得∠DBC=∠CED，根据等角对等边即可得到DB=DE．
22.【答案】解：(1)如图所示，△A′B′C′即为所求；
(2)如图所示，连接B′C交L于P，点P即为所求．

【解析】(1)根据轴对称的特点找到A、B、C对应点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接A′、B′、C′即可；
(2)如图所示，连接B′C交L于P，点P即为所求．
本题主要考查了画轴对称图形，掌握轴对称最短路径问题是解题的关键．
23.【答案】解：(1)甲的平均价格是800m+800n1600=m+n2(元)，
乙的平均价格是：1600800m+800n=2mnm+n(元)；
(2)甲−乙 即m+n2−2mnm+n=m2+n2+2mn−4mn2(m+n)=(m−n)22(m+n)，
因为(m≠n)，
所以(m−n)2>0，
所以(m−n)22(m+n)>0，即m+n2−2mnm+n>0，
所以m+n2>2mnm+n．
所以乙的购买方式平均单价低．
【解析】(1)表示出甲乙两人的总千克数与总钱数，用总钱数除以总千克数，即可表示出甲、乙两名采购员两次购买饲料的平均单价；
(2)由表示出的甲、乙两名采购员两次购买饲料的平均单价相减，通分并利用同分母分式的减法法则计算，整理后根据完全平方式大于等于0，判断其差的正负，即可得到乙的购货方式合算．
此题考查了列代数式，分式的混合运算的应用，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时，分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．
24.【答案】解：(1)m2−4m+4−n2
=(m2−4m+4)−n2
=(m−2)2−n2
=(m−2+n)(m−2−n)；
(2)a2−ab−ac+bc=0，
a(a−b)−c(a−b)=0，
(a−b)(a−c)=0，
a−b=0或a−c=0，
a=b或a=c，
∵a，b，c是△ABC的三边，
∴△ABC是等腰三角形．
【解析】(1)先将三项分一个组，运用完全正确平方公式分解，再运用平方差公式分解即可；
(2)先运用因式分解，将等式变形为(a−b)(a−c)=0，从而得出a=b或a=c，再根据等腰三角形的定义，即可求解．
此题主要考查了分组分解法分解因式以及等腰三角形的判定，正确分组分解得出是解题关键．
25.【答案】解：(Ⅰ)设这种篮球的标价为x元．
由题意：42000.8x−4200+3000.9x=5，
解得：x=50，
经检验：x=50是原方程的解．
答：这种篮球的标价为50元．
(Ⅱ)购买购买100个篮球，所需的最少费用为3850元．
方案：在A超市分两次购买，每次45个，费用共为3450元，在B超市购买10个，费用400元，两超市购买100个篮球，所需的最少费用为3850元．
【解析】(Ⅰ)设这种篮球的标价为x元．根据一次性付款4200元购买这种篮球，则在B商场购买的数量比在A商场购买的数量多5个，构建方程即可解决问题；
(Ⅱ)在A超市分两次购买，每次45个，费用共为3450元，在B超市购买10个，费用400元，两超市购买100个篮球，所需的最少费用为3850元．
本题考查分式方程的应用，解题的关键是学会正确寻找等量关系，构建分式方程解决问题，注意解分式方程必须检验，所以中考常考题型．
26.【答案】BE=CD 90° BC=BD+BE
【解析】解：问题初探：BE=CD，
理由：∵∠DAE=∠BAC=90°，
∴∠BAE=∠CAD，
∵AB=AC，AE=AD，
∴△BAE≌△CAD(SAS)，
∴BE=CD，
故答案为：BE=CD；
类比再探：如图(2)，过点A作AG//MD交BC于G，则△BDM∽△BGA，
∴DMAG=BMAB，
过点A作AF//ME交BE的延长线于F，则△BME∽△BAF，
∴MEAF=BMAB，
∴DMAG=MEAF，
∵MD=ME，
∴AF=AG，
∵AG//DM，
∴∠BMD=∠BAG，
∵ME//AF，
∴∠BME=∠BAF，
∵∠DME=90°，
∴∠BMD+∠BME=90°，
∴∠BAG+∠BAF=90°，
∴∠FAG=90°，
在Rt△ABC中，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=45°，
同问题初探的方法得，△BAF≌△CAG(SAS)，
∴∠ABF=∠C=45°，
∴∠EBD=∠ABF+∠ABC=90°，
故答案为：90°；
方法迁移：BC=BD+BE；
理由：∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠DAE=∠BAC=60°，
∴∠BAE=∠CAD，
∵AB=AC，AE=AD，
∴△BAE≌△CAD(SAS)，
∴BE=CD，
∴BC=BD+CD=BD+BE，
故答案为：BC=BD+BE；
拓展创新：如图(4)，过点A作AQ//MD交BC于Q，
则∠BAQ=∠BMD，∠BQA=∠BDM，
过点A作AP//ME交BE的延长线于P，
则∠BME=∠BAP，∠BDE=∠BGP，
∴∠PAQ=∠BAP+∠BAQ=∠BME+∠BMD=∠DME=60°，
∠AQP=∠AQB−∠BQP=∠BDM−∠BDE=∠EDM=60°，
∴∠APQ=180°−∠AQP−∠PAQ=60°−∠PAQ=∠AQP，
∴△AFG是等边三角形，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠C=60°，
同方法迁移的方法得，△BAP≌△CAQ(SAS)，
∴∠ABF=∠C=60°，
∴∠EBD=∠ABP+∠ABC=120°，
即∠EBD的度数为120°．
问题初探：先判断出∠BAE=∠CAD，进而判断出△BAE≌△CAD(SAS)，即可得出结论；
类比再探：先构造出△BDM∽△BGA，得出DMAG=BMAB，再构造出△BME∽△BAF，得出MEAF=BMAB，即DMAG=MEAF，进而得出AF=AG，再判断出∠FAG=90°，进而同问题初探的方法得出△BAF≌△CAG(SAS)，得出∠ABF=∠C=45°，即可得出结论；
方法迁移：同问题初探的方法，即可得出结论；
拓展创新：同类比再探的方法，即可得出结论．
此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判断和性质，相似三角形的判断和性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质，构造相似三角形是解本题的关键．