2025烟台高三上学期期中学业水平诊断数学试题含解析

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注意事项：
1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.
2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.
3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 已知集合，，则（ ）
A B. C. D.
2. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3. 已知，，，则向量在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D. 3
6. 已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知定义在R上的函数满足，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
8. 魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中一题是测海岛的高.如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，若，，，，则海岛的高为（ ）
A. 16B. 24C. 32D. 40
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
10. 已知函数相邻两条对称轴之间的距离为，则（ ）
A. 函数的图象关于点对称
B. 是函数图象的一条对称轴
C. 若，则
D. 将图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到的图象
11. 设在区间上可导函数，其导函数为，函数的导函数为.若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”；又当函数在区间上单调递减时，称函数为区间上的“上凸函数”.则（ ）
A. 任何一个三次函数均有“拐点”
B. 函数为区间上的“上凸函数”
C. 若函数的“拐点”在轴的右侧，则函数在区间上单调递减
D. 若函数存在拐点，且为定义域上“上凸函数”，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则的值为___________.
13. 已知平行四边形ABCD中，，，，P是BC边上的动点，则的取值范围为______.
14. 函数，，.若时，函数为偶函数，试写出满足条件b的一个值为_____；若当时，对，，，则a的取值范围为___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，，函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）当时，，求实数取值范围.
16. 已知函数.
（1）当时，求过点且与函数图象相切的直线方程；
（2）当时，讨论函数的单调性.
17. 如图，某地一公园ABCD为等腰梯形，其中，，，（单位：百米），公园出入口分别为C，D和AB的中点Q，公园管理部门准备在公园内部（不含边界）距离C，D两点相等的一点P处修建连接三个出口的道路PQ，PC，PD.设，，道路总长度为y.（单位：百米）
（1）分别求y关于x和y关于θ的函数关系式；
（2）请选用（1）中的一个关系式，求：当点P在何位置时三条道路的总长度最小.
18. 在中，角所对的边分别为，满足，是边上的点，.
（1）求；
（2）若，求面积的最大值.
19. 已知函数，，.
（1）证明：当时，曲线与有且只有两条公切线；
（2）若函数与的图象有两个交点，求的取值范围.