2025吕梁高三上学期11月期中考试数学含解析

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（本试题满分150分，考试时间120分钟．答案一律写在答题卡上）
注意事项：
1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．
2．答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先解二次不等式化简集合，再利用集合的交集运算即可得解.
【详解】因为，
又，所以.
故选：D.
2. 已知复数，则（ ）
A. 2B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的乘方运算求出，再利用复模的运算即可得解.
【详解】复数，所以.
故选：A.
3. 下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据奇偶性、单调性的定义判断．
【详解】选项A中是偶函数，BCD三选项中函数都是奇函数；
在和上都是减函数，但在定义域内不是减函数，B错；
结合幂函数性质知是减函数，C正确；
中，设，则，而，
因此，即，是增函数，D错．
故选：C．
4. 已知数列的各项均不为0，设甲：；乙：数列是等比数列，则甲是乙的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】先验证甲是否能推出乙，再验证乙是否能推出甲求解.
【详解】验证甲是否能推出乙，甲的意思是该数列隔项成等比数列，
甲可构造数列，
显然甲推不出乙，验证乙是否能推出甲，
因为数列是等比数列，所以，，
所以，
所以乙能推出甲，所以甲是乙的必要不充分条件.
故选：B.
5. 已知满足，，且向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】令，过作于，利用投影向量的意义求出，再利用垂直关系的向量表示，结合数量积的运算律求出，由给定向量等式确定点的位置即可求解.
【详解】在中，令，过作于，，
由向量在向量上的投影向量为，得，
解得，则，由，得
，解得，由，
得，即，因此，
在中，.
故选：C

6. 如图，设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，记的周长为，面积为，则的最大值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意设，利用三角形全等得到的周长为4，再利用勾股定理得出关于的表达式，进而得到关于的表达式，利用换元法与基本不等式即可得解.
【详解】因为矩形的周长为，
设，则，故，得，
因为，，，
所以，设，则，
所以的周长为，
在直角中，由勾股定理得，解得，
则，所以，
令，则，，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最大值为.
故选：A.
7. 已知函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据条件得到的周期和对称轴，对A，根据周期可得到，再根据对称轴得到，结合解析式即可求解；对B，根据周期可得到，再根据对称轴得到，结合解析式即可求解；对C，D，结合函数在上的单调性和的对称性即可判断.
【详解】偶函数，，即，
即函数关于对称，
又为奇函数，，
故，即的最小正周期为4，
对A，的最小正周期为4，，
又关于对称，，
当时，，则，
即，故A错；
对B，的最小正周期为4，，
又关于对称，，
当时，，
即，故，故B错；
对C，当时，，易知在上单调递增，
又关于对称，，
，，即，
故，故C错误；
对D，，
且，
故，故D对.
故选：D.
8. 当时，曲线与的交点个数为4个，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意分别作出与的图象，可得，从而可求解.
【详解】由，如图所示，画出在时的图象，
对于，，，
令，得，，得，，
由与的图象有个交点，
由图知，解得，故B正确.
故选：B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列命题正确的是（ ）
A.
B.
C. 在等差数列中，，，，则
D. 在等差数列中，为其前项和，若，，则
【答案】AC
【解析】
【分析】对于AB，由弦切互化结合三角恒等变换公式即可计算求解；对于CD，由等差数列通项公式和前n项和公式即可计算求解.
【详解】A选项，
，A选项正确.
B选项，
，所以B选项错误.
C选项，在等差数列an中，，，，
设等差数列的公差为，则，
两式相减得，所以，
则，所以，C选项正确.
D选项，设等差数列an的公差为，则，
即，两式相减得，
所以，所以D选项错误.
故选：AC
10. 若实数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】将等式变形为，利用可得选项A正确；通过配方得，利用可得选项B错误；
等式可变形为，利用可得选项C正确；通过配方可得，利用可得选项D正确.
【详解】对于A，可化为，，
∵（当且仅当时取等号），
∴，
∴，
∴，选项A正确.
对于B，由得，
∴，
∴，选项B错误.
对于C，由得，
∴，
∵（当且仅当时取等号），
∴，
∴，
∴，选项C正确.
D. 由得，
∴，
∴.
由得，
∴，
∴，选项D正确.
故选：ACD.
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则
B. 有两个零点
C.
D. 若，，，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项，求出定义域，求导，得到函数在上单调递减，举出反例得到A错误；B选项，在A选项基础上，结合零点存在性定理进行求解；C选项，计算出，C正确；D选项，计算得到，在C选项基础上求出D正确.
【详解】A选项，定义域为，
，
故在上单调递减，
不妨取，此时满足，但，
，，A错误；
B选项，由A选项知，上单调递减，
其中，，
，，
由零点存在性定理可知，存在，使得，
故有两个零点，B正确；
C选项，，
而，
故，C正确；
D选项，，
又，，
且，，，结合C选项知，，
则，D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：互为倒数关系，从而研究得到，并由此得出D选项的思路，由求出.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，，且，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用向量共线的坐标表示即可求解.
【详解】由向量，，
则，
又，则，解得，
故答案为：
13. 对于数列，定义数列为数列的“和数列”，若，数列的“和数列”的通项公式为，则数列的前21项和______．（结果保留指数形式）
【答案】．
【解析】
【分析】利用等比数列求和公式求解即可．
【详解】因为，数列an的“和数列”的通项公式为，
所以数列，
，
故答案为：．
14. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题根据余弦定理与正弦定理进行化简，得到为，求出的范围，结合对勾函数的特点，即可求得.
【详解】由题意，因为，即
由正弦定理可得，，
所以或，，
又，，，
，
，解得，
，
又因为，
令，则，，
根据对勾函数的性质，函数在上单调递增，
所以，
所以则的取值范围为，
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题综合考查了余弦定理、正弦定理以及对勾函数性质，较为综合.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数，且的最小正周期为．
（1）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若是偶函数，求的最小值；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）化简的解析式，根据的最小正周期求得，利用三角函数图象变换的知识求得，再根据是偶函数来求得的最小值.
（2）根据三角恒等变换的知识求得.
【小问1详解】
，
由于的最小正周期为，所以，
所以，
将函数的图象向右平移个单位长度，
得到函数，
由于是偶函数，所以，
由于，所以时，取得最小值为.
【小问2详解】
，
由于，
所以，
所以
.
16. 已知函数．
（1）证明：曲线是轴对称图形；
（2）若函数在上有三个零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）证明，即可说明曲线y=fx是轴对称图形；
（2）首先求出，然后将问题转化为与的图象在上有三个交点，结合hx的图象即可求出实数的取值范围.
【小问1详解】
由函数，定义域为，
则，
因此可得，
故函数y=fx的图象关于，即曲线y=fx是轴对称图形.
【小问2详解】
由，
若函数在上有三个零点，
则方程在上有三个实根，
即在上有三个实根，
令，则与hx的图象在上有三个交点，
又，
当或时，h′x0，则hx在上单调递增，
又，，
，，
因此可得hx的图象如图所示，
结合图象，要使与hx的图象在上有三个交点，
则实数的取值范围为.
17. 民族要复兴，乡村需振兴．为响应国家号召，我市城市规划管理局拟将某乡村一三角形区域规划成休闲度假区，通过文旅赋能乡村经济发展．度假区按如图所示规划为三个功能区：区域规划为露营区，区域规划为休闲垂钓区，区域规划为自由活动区．为安全起见，预在鱼塘四周围筑护栏．已知，，，为内一点，．

（1）当时，求护栏的长度（的周长）；
（2）若，求；
（3）为了容纳更多游客，露营区的面积要尽可能大，求露营区面积的最大值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）在中，利用正弦定理求出，在中，利用余弦定理即可求解得答案.
（2）设锐角，在与中，利用正弦定理建立关系，再利用差角的正弦公式计算即得.
（3）设，利用正弦定理求出，利用三角形面积公式建立关系，借助三角恒等变换及正弦函数的性质求出最大值.
【小问1详解】
在中，由正弦定理得，即，
解得，而为锐角，则，
在中，由余弦定理得，即，
所以的周长，即护栏的长度为.
【小问2详解】
令锐角，则，
在中，由正弦定理得，则，
在中，由正弦定理得，则，
于是，即，
整理得，因此，所以.
【小问3详解】
设，则，
在中，由正弦定理得，则，
于是的面积
，而，
则当，即时，，
所以露营区面积的最大值为.
18. 已知函数．
（1）令，求的单调区间；
（2）若存在使得，求证：．
【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减
（2）证明见详解
【解析】
【分析】（1）求出，分、和三种情况讨论；
（2）求出的极值点，求出，令，求出，求出，求出，求出，求出，说明只需证明，只需证明，令，利用导数即可证明.
【小问1详解】
，，
当时，恒成立，
所以在单调递增；
当时，恒成立，
所以在上单调递增；
当时，，存在两根，，
因为，所以，
所以时，，所以单调递增，时，，单调递减，
所以当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减
【小问2详解】
，解得，解得，
则在上单调递减，在上单调递增，所以，
因，令，，
所以，所以，
所以，所以，
所以，
所以，所以只需证明即可，
所以只需证明，
令，，
令，函数定义域为，
，当时，，当时，
在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，所以，
所以，
所以在上单调递增，所以，得证.
【点睛】关键点点睛：本题（2）关键在于令，求出，说明只需证明.
19. 对于无穷数列，“若存在，必有”，则称数列具有性质．
（1）若数列满足判断数列是否具有性质？是否具有性质？
（2）把（1）中满足性质的从小到大一一列出，构成新的数列，若，求证：；
（3）对于无穷数列，设，若数列具有性质，求集合中元素个数的最大值．（写出表达式即可，结论不需要证明）
【答案】（1）数列不具有性质，具有性质；
（2）证明见解析； （3）集合中元素个数的最大值为.
【解析】
【分析】（1）结合an的通项公式，利用定义分别判断an是否具有性质和性质；
（2）先证明不可能为奇数，由此可得，由此证明，结合等比数列求和公式证明结论；
（3）根据数列具有性质，得到数列的元素个数，从而证得结果；
【小问1详解】
因为 ，
当时，均为奇数，
故若存在，
由题意可得，与为偶数矛盾，
所以数列an不具有性质；
因为，，且，，
故数列an具有性质；
【小问2详解】
因为，
，为偶数,
时, 均为奇数，故由题设条件知不可能为奇数，
又，，
令，
则；
【小问3详解】
因为数列an具有性质，所以一定存在一组最小的，且，
满足，即，
由性质的定义可得，， ，，，
所以数列an中，从第项开始的各项呈现周期性规律为一个周期中的各项，
所以数列an中最多有个不同的项，
所以中最多有个元素.
又若当，，且数列an为周期数列，最小正周期为，
则，，，，
该数列具有性质，
若，，时，，
不妨设，则，所以，
此时等式右侧为奇数，左侧为偶数，矛盾，
所以若或，则，
所以集合中含有个元素.
所以集合中元素个数的最大值为.
【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.