山东省滕州市2023_2024学年高二数学上学期10月月考试题含解析

这是一份山东省滕州市2023_2024学年高二数学上学期10月月考试题含解析，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷（共60分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1. 直线的倾斜角为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据直线的斜率，利用倾斜角的公式即可算出所求直线的倾斜角．
【详解】解：直线的斜率，
设直线的倾斜角为，则，
结合，，可得
故选：B．
2. 已知，，且，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量的坐标运算可求解.
【详解】因为,所以,即,解得,
故选:A.
3. 如图所示，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，M为OA中点，N为BC中点，则等于（）
AB.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量的加减运算，即可求得答案.
【详解】由题意得：，
故选：A.
4. 若向量在空间的的一组基底下的坐标是，则在基底下的坐标是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设的坐标为，得到，求得的值，即可求解.
【详解】因为在基底下的坐标是，所以，
设在基底下的坐标为，
则，
因此，所以，
即，
即向量在基底下的坐标为．
故选：C．
5. 已知直线的方向向量，直线的方向向量，且，则的值是（）
A. B. 6C. 14D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，结合向量平行的坐标运算，即可求解.
【详解】∵，∴，∴，∴，，∴.
故选：A．
6. 长方体中，，，是的中点，是的中点.则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成的角；
【详解】解：依题意，建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，设异面直线与所成的角为，则
故选：B
7. 一束光线自点发出，被平面反射后到达点被吸收，则光线所走的路程是（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据光的反射定律可知，入射光线必过点，代入两点间距离公式即可.
【详解】∵入射光线被平面反射后到达点且被吸收，根据光的反射定律可知入射光线必过点，故光经发射到吸收所走过的路程为.
故选：C.
8. 若直线与连接的线段总有公共点，则a的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】可得直线过定点，则数形结合可得或即可求出.
【详解】由直线可得直线的斜率为，且过定点，又，
则由图可得，要使直线与线段总有公共点，需满足或，
又，
或.
故选：B.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
9. 已知向量，则（）
A. 向量的夹角为B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】根据空间向量数量积的坐标运算，以及平行、垂直的坐标表示即可求解.
【详解】对于A，，，，
设向量的夹角为，
则，因为，则，故A不正确.
对于B，，，
则，故B不正确.
对于C，，，
，故C正确.
对于D，，，，故D正确.
故选：CD.
10. 若直线过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线方程可能为（）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】讨论直线过原点时和直线不过原点时，分别求出对应的直线方程即可．
【详解】当直线经过原点时，斜率为，所求的直线方程为y=2x，即；
当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y=k，把点A（1，2）代入可得1-2=k，或1+2=k，
求得k=-1，或k=3，故所求的直线方程为，或；
综上知，所求的直线方程为、，或．
故选：ABC．
【点睛】本题考查了利用分类讨论思想求直线方程的问题，是基础题．
11. 已知直线：，直线：，则（）
A. 当时，两直线的交点为B. 直线恒过点
C. 若，则D. 若，则或
【答案】ABC
【解析】
【分析】求出两直线的交点判断A，求出直线过定点坐标即可判断B，根据两直线垂直、平行求出参数，即可判断C、D.
【详解】对于A：当时直线：，直线：，由，
解得，所以两直线的交点为，故A正确；
对于B：直线：，令，解得，即直线恒过点，故B正确；
对于C：若，则，解得，故C正确；
对于D：若，则，解得或，
当时直线：，直线：两直线重合，故舍去，
当时直线：，直线：，两直线平行，
所以，故D错误；
故选：ABC
12. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，分别是的中点，是棱上的动点，则下列说法中正确的是（）
A.
B. 存在点，使平面
C. 存在点，使直线与所成的角为
D. 点到平面与平面的距离和为定值
【答案】ABD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】依题意可知两两相互垂直，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
设，
，设，，
所以，所以，A选项正确.
点到平面与平面的距离和为为定值，D选项正确.
，，
设平面法向量为，
则，故可设，
要使平面，平面，
则，
解得，所以存在点，使平面，B选项正确.
若直线与直线所成角为，
则，
，无解，所以C选项错误.
故选：ABD
第Ⅱ卷（共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．
13. 过点，的直线的倾斜角为60°，则的值为____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据直线的倾斜角为60°求出直线的斜率，再根据两点的斜率公式列出方程，即可得解.
【详解】∵直线的倾斜角为60°
∴直线的斜率为
∵直线过点，
∴，解得.
故答案为：.
14. 当为任意实数时，直线恒过定点，则点坐标为_________.
【答案】
【解析】
【分析】为任意实数时恒过定点，则令的所有系数之和恒为即可.
【详解】由，得，
令解得故.
【点睛】本题考查直线方程含参数时的过定点问题，解题方法是把方程整理为(为参数)，再令，解之即得定点坐标.
15. 在空间直角坐标系中，点的坐标分别是，，，，若四点共面，则___________.
【答案】6
【解析】
【分析】先由点的坐标求得向量，再利用共面向量定理得到，由此列出方程组即可求得.
【详解】由题意，得，
又四点共面，则存在，使得，
即，即，解得，
所以
故答案为：6.
16. 点2，，3，，4，，若的夹角为锐角，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据的夹角为锐角，可得，且不能同向共线解出即可得出．
【详解】1，，2，，
的夹角为锐角，，且不能同向共线．
解得，．则的取值范围为．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了向量夹角公式、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，共计70分．
17. 如图，在平行六面体中，，，，，，是的中点，设，，.
（1）用，，表示；
（2）求的长.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）由向量的首尾相连原则及图形可得答案；
（2）由（1）及计算模公式可得答案.
【小问1详解】
由图形及向量相加的首尾相连原则，；
【小问2详解】
由题可得，.
则
，则，即的长为.
18. 如图，已知三角形的三个顶点为，，，求：
（1）BC所在直线的方程；
（2）BC边上的高AD所在直线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由两点式求BC所在直线的方程；
（2）由垂直关系得斜率，点斜式求AD所在直线的方程.
【小问1详解】
因为，，
所以直线BC的方程为，
化简得；
【小问2详解】
因为，,
所以，
根据点斜式，得到直线AD方程为，即.
19. 已知直线的方程为，若直线过点，且.
（1）求直线和直线的交点坐标；
（2）已知直线经过直线与直线的交点，且在y轴上截距是在x轴上的截距的2倍，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）或.
【解析】
【分析】（1）求出直线的方程与方程联立求解交点坐标即可；
（2）分类讨论，截距都为0与截距都不为0两种情况求解的方程即可.
【小问1详解】
因为直线过点，且，
所以直线的方程为，即，
联立，解得，，
所以直线和直线的交点坐标为；
【小问2详解】
当直线在两坐标轴上的截距都为0时，此时直线方程为，
当直线在两坐标轴上的截距都不为0时，此时可设直线方程为，
因为直线过，
所以，
所以，此时直线方程为，即，
综上直线的方程为或.
20. 如图，在直三棱柱中，，点是线段的中点.请用空间向量的知识解答下列问题：
（1）求证：；
（2）试求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出，得到垂直关系；
（2）求出平面的法向量，得到二面角的余弦值.
【小问1详解】
该三棱柱是直三棱柱，且，
两两互相垂直，以为原点，以为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
，
，
.
【小问2详解】
，
，
易知是平面的一个法向量，设平面的法向量为，
则，取，则，
故，
，
二面角为锐二面角，
二面角的余弦值为.
21. 如图，在正四棱锥中，O为底面中心，，M为PO的中点，．
（1）求证：平面EAC；
（2）求直线DM到平面EAC的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）说明PO，AC，BD两两垂直，由此可建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，求出平面EAC的一个法向量，计算的值，结合线面平行的判定即可证明结论；
（2）由于平面EAC，所以直线DM到平面EAC的距离即为点D到平面EAC的距离，由此利用空间距离的向量形式的公式计算，可得答案.
【小问1详解】
证明：在正四棱锥中，连接BD，则O为BD的中点，且，
由于平面ABCD，AC，平面ABCD，
所以，，所以PO，AC，BD两两垂直．
以点O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，故E为PB靠近B的三等分点，
则，，，，，
所以，，，
设平面EAC的法向量为，
则,取，则，，
则为平面EAC的一个法向量，
因为，所以，
又因为平面EAC，所以平面EAC．
【小问2详解】
由（1）知平面EAC，所以直线DM到平面EAC的距离即为点D到平面EAC的距离．
由（1）知，平面EAC的一个法向量为，
所以点D到平面EAC的距离,
故直线DM到平面EAC的距离为．
22. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD为菱形，且，平面ABCD，E为BC的中点，F为棱PC上一点．
（1）求证：平面平面PAD；
（2）若G为PD的中点，，是否存在点F，使得直线EG与平面AEF所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）存在；或
【解析】
【分析】（1）根据底面菱形的特点得到，再由线面垂直得到，平面，进而得到面面垂直；
（2）建立空间坐标系得到线面角的表达式，求解即可.
【小问1详解】
证明：连接，
因为底面为菱形，，
所以是正三角形，
是的中点，
，
又，
平面，平面，
又平面，
又平面，
所以平面平面．
【小问2详解】
由（1）知AE，AD，AP两两垂直，以为坐标原点，直线AE，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，
所以，，．
设平面的法向量，则即
令，得平面的一个法向量．
设与平面所成的角为，则
，
解得或，
即存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，且或．