四川省宜宾市2023_2024学年高二数学上学期期中试题含解析

这是一份四川省宜宾市2023_2024学年高二数学上学期期中试题含解析，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 经过点（4，-3），斜率为-2的直线方程是（）
A. 2x+y+2=0B. 2x-y-5=0
C. 2x+y+5=0D. 2x+y-5=0
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线的点斜式方程写出直线方程，再化成一般式方程即可.
【详解】由直线点斜式得，化为一般式得.
故选：D
2. 已知圆的方程是，其圆心和半径分别是（）
A. ，2B. ，4C. ，2D. ，4
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆的标准方程的特点即可求解.
【详解】因为圆的标准方程的圆心为，半径为，
所以圆的圆心和半径分别为，2.
故选：C.
3. 对高一（6）班的第一学月数学成绩进行抽样调查得到样本数据：10，21，23，24，27，37，41，47，52，57，据此估计该班数学成绩的第75百分位数为（）
A. 47B. 42C. 24D. 35.5
【答案】A
【解析】
【分析】根据百分位数的求解步骤，可得答案.
【详解】由题意，样本容量，则令，所以第百分位数为第个数据.
故选：A
4. 若直线是圆的一条对称轴，则（）
A. 0B. 1C. 2D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线经过圆心即可求解.
【详解】由题意可得，直线过圆心，则，解得.
故选：A
5. 某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，……，699，700.从中抽取70个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（）
A. 623B. 328C. 253D. 530
【答案】A
【解析】
【分析】结合随机数表的读法即可.
【详解】读取数据如下所示：
从表中第5行第6列开始向右读取数据，得到的数据中两个超出范围，一个数字重复，
所以抽取的6个样本编号分别是：253、313、457、007、328、623，
则得到的第6个样本编号是623，
故选：A.
6. 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点，则EF与CG所成角的余弦值是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求解.
【详解】建立如图示的空间直角坐标系：
由题意可得：，，，，，，，，，，.
所以,.
设EF与CG所成角为，则.
即EF与CG所成角的余弦值是.
故选：D
7. 同时抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，用x表示红色骰子的点数，y表示绿色骰子的点数，设事件“”，事件“为奇数”，事件“”，则下列结论正确的是（）
A. 与对立B.
C. 与相互独立D. 与相互独立
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意写出样本空间，分别表示出事件、事件和事件，求出对应概率，然后根据对立事件的概念以及事件独立性概念作出判断即可.
【详解】依题意，样本空间为：
共36种，
事件包含的基本事件为：共种，
，
事件包含的基本事件为：
共种，
，
事件包含的基本事件为：
共种，
对于A，事件与事件互斥，不对立，A错误；
事件与事件同时发生的基本事件为：，共种，
，B错误；
事件与事件同时发生的基本事件为：，共种，
，
对于C，，C正确；
对于D，，D错误.
故选C.
8. 人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设，，则曼哈顿距离，余弦距离，其中（O为坐标原点）．已知，，则的最大值近似等于（）
（参考数据：，．）
A. 0.052B. 0.104C. 0.896D. 0.948
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意分析可得在正方形的边上运动，结合图象分析的最大值，即可得结果.
【详解】设，
由题意可得：，即，
可知表示正方形，其中，
即点在正方形的边上运动，
因为，由图可知：
当取到最小值，即最大，点有如下两种可能：
①点为点A，则，可得；
②点在线段上运动时，此时与同向，不妨取，
则；
因为，
所以的最大值为.
故选：B.
【点睛】方法定睛：在处理代数问题时，常把代数转化为几何图形，数形结合处理问题.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 甲袋中有2个黑球，2个白球，乙袋中有2个黑球，1个白球，这些小球除颜色外完全相同.从甲、乙两袋中各任取1个球，则下列结论正确的是（ ）
A. 2个球都是黑球的概率为B. 2个球都是白球的概率为
C. 1个黑球1个白球的概率为D. 2个球中最多有1个黑球的概率为
【答案】ABD
【解析】
【分析】分别计算出从甲袋和乙袋中任取个球，该球为黑球或白球的概率，然后利用独立事件、互斥事件的概率公式可判断各选项.
【详解】从甲袋中任取个球，该球为黑球的概率为，该球为白球的概率为，
从乙袋中任取个球，该球为黑球的概率为，该球为白球的概率为.
对于A选项，2个球都是黑球的概率为，A对；
对于B选项，2个球都是白球的概率为，B对；
对于C选项，1个黑球1个白球的概率为，C错；
对于D选项，2个球中最多只有1个黑球的概率为，D对.
故选：ABD.
10. 已知直线：，则（）
A. 直线的倾斜角为B. 直线在轴上的截距为
C. 直线的一个法向量为D. 直线的一个方向向量为
【答案】BD
【解析】
【分析】将直线方程化简为一般式得到，截距为，的一个方向向量为，D正确，计算得到C错误，得到答案.
【详解】直线：，则，，，故，A错误，
直线在轴上的截距为，B正确.
，故直线的一个方向向量为，D正确；
，C错误.
故选：BD.
11. 已知方程，则下列说法正确的是（）
A. 当时，表示圆心为的圆B. 当时，表示圆心为的圆
C. 当时，表示的圆的半径为D. 当时，表示的圆与轴相切
【答案】BCD
【解析】
【分析】将圆的一般方程化为标准方程，结合选项，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，方程，可化为，
可圆的圆心坐标为，
A中，当时，此时半径为，所以A错误；
B中，当时，此时半径大于，表示圆心为的圆，所以B正确；
C中，当时，表示的圆的半径为，所以C正确；
D中，当时，可得，方程表示的圆半径为，
又圆心坐标为，所以圆心到轴的距离等于半径，所以圆与轴相切，所以D正确．
故选：BCD.
12. 如图，正方体的棱长为1，是的中点，则（ ）
A. 直线平面B.
C. 三棱锥的体积为D. 异面直线与所成的角为
【答案】ABD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一验证即可；
【详解】解：如图建立空间直角坐标系，，，，，，，，，，
，，，
所以，即，所以，故B正确；
，，，
设异面直线与所成的角为，则，又，所以，故D正确；
设平面的法向量为，则，即，取，
则，即，又直线平面，所以直线平面，故A正确；
，故C错误；
故选：ABD
【点睛】本题考查空间向量法在立体几何中的应用，属于中档题.
第II卷非选择题（90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 直线与直线垂直，则等于______________.
【答案】.
【解析】
【分析】利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出.
【详解】直线与直线垂直，，解得.
故答案为：.
【点睛】本题考查了根据直线垂直求参数，意在考查学生的计算能力.
14. 为庆祝冬奥会取得胜利，甲、乙两位同学参加知识竞赛.已知两人答题正确与否相互独立，且各一次正确的概率分别是0.4和0.3，则甲、乙两人各作答一次，至少有一人正确的概率为______
【答案】0.58####58%
【解析】
【分析】分两人都回答正确，甲回答正确，乙回答错误，以及甲回答错误，乙回答正确三种情况讨论即可.
【详解】由题意,设“甲答题正确”为事件,“乙答题正确”为事件,
则,
设“至少有一人正确”为事件，
，
故答案为：.
15. 若三条直线围成三角形，则k的取值范围是___________.
【答案】且且
【解析】
【分析】
先的斜率，然后求得与的交点坐标，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围.
【详解】的斜率为，的斜率为，
由解得，
所以与的交点坐标为.
当时，，即，此时直线不过点且与不平行，三条直线围成三角形，符合题意.
当时，要使三条直线能围成三角形，则须
，解得且且.
所以的取值范围是且且.
故答案为：且且
【点睛】本小题主要考查直线与直线的位置关系，属于中档题.
16. 方程只有一个解，则实数k取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】将方程的解的个数转化为两个函数的交点个数，利用数形结合即可得到结论.
【详解】解：设，
则对应的图像为圆的上半部分，
作出两个函数图像，当直线与半圆只有一个交点时，满足题意，
当直线与半圆相切时，直线与半圆只有一个交点
，解得，
当直线过点时，，得，
故实数k的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知三个顶点为，为的中点，所在的直线为，
（1）求一般式方程；
（2）若直线经过点，且，求在轴上的截距.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，求得点，得到，结合直线的点斜式方程，即可求解；
（2）根据题意，设直线的方程为，代入点的坐标，求得的值，即可求解.
【小问1详解】
解：由的三个顶点为，且为的中点，
可得，即，则，
所以直线的方程为，即.
【小问2详解】
解：由（1）知，直线的方程为，
因为，可设直线的方程为，
直线经过点，可得，解得，
所以直线的方程为，
18. 在平面直角坐标系中，，，，圆为△的外接圆．
（1）求圆M的标准方程；
（2）过点作圆M的切线，求切线方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）设出圆的一般方程，利用待定系数法求解；
（2）分为切线斜率存在和不存在两种情况分别计算，当切线斜率存在时利用点到直线的距离公式求解即可.
【小问1详解】
设圆M的方程为，
因为圆为△的外接圆,
所以,解得，
所以圆M的方程为，
故圆M的标准方程为．
【小问2详解】
当切线斜率不存在时，切线方程为，
当切线斜率存在时，设切线方程为，即，
由，解得
所以切线方程为，即．
综上所述，所求切线方程为或．
19. 甲、乙两人组成“九章队”参加青岛二中数学学科周“最强大脑”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
（1）求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率；
（2）求“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据相互独立事件的乘法概率公式计算即可；
（2）两人分别猜两次，总共四次中有一次没猜对，分四种情况计算可得答案.
【小问1详解】
设甲两轮至少猜对一个数学名词为事件，
.
【小问2详解】
设事A＝“甲第一轮猜对”，B＝“乙第一轮猜对”，C＝“甲第二轮猜对”，D＝“乙第二轮猜对”，E＝““九章队”猜对三个数学名词”，
所以，
则，
由事件的独立性与互斥性，得
，
故“九章队”在两轮活动中猜对三个数学名词的概率为．
20. 如图，四棱锥的底面是矩形，侧面是正三角形，，，分别为的中点．
（1）求证：；
（2）求平面与平面所成角的锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）由正三角形的性质可得，由矩形中的数据可得，从而有，由线面垂直的判定定理可得面，进而可证得；
（2）如图，取中点，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可
【详解】（1）证明：为正三角形，为中点，
为矩形，，，
．
根据勾股定理的逆定理得：，
因，
面，
平面，
．
（2）取中点，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
则，，，
设平面的法向量，
则
取，得
易知平面的法向量，
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
21. 2023年9月，第19届亚洲运动会将在中国杭州市举行，某调研机构为了了解人们对“亚运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“亚运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.
（1）根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和上四分位数；
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“亚运会”宣传使者：
（i）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲､乙两人至少有一人被选上的概率；
（ii）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差.
【答案】（1）31.75岁；36.25
（2）（i）；（ii）10
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图，利用平均数的计算公式求解可得平均数；上四分位数即第百分位数，根据定义可构造方程求得结果；
（2）（i）根据分层抽样原则可求得第四组和第五组抽取的人数，采用列举法可得样本点总数和满足题意的样本点个数，根据古典概型概率公式可求得结果；
（ii）由可求得第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数，由可求得第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差.
【小问1详解】
设这人的平均年龄为，则
（岁）
设上四分位数（第75百分位数）为，
，，
位于第四组：内；
方法一：由，解得.
方法二：由，解得.
【小问2详解】
（i）由题意得，第四组应抽取4人，记为，，，甲，第五组抽取2人，记为，乙，对应的样本空间为：
，
共15个样本点.
设事件“甲､乙两人至少一人被选上”，则
，
共有9个样本点.所以，.
（ii）设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为.
设第四组的宣传使者的年龄分别为，平均数为，方差为，
设第五组的宣传使者的年龄分别为，，平均数为，方差为，
则，，，
，
可得，，，，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为．
则，
即第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，
法一：
.
法二：
.
即第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为；
据此估计这人中年龄在岁的所有人的年龄的平均数为，方差约为．
22. 已知点和，圆与圆关于直线对称．
（1）求圆的方程；
（2）点是圆上任意一点，在轴上求出一点（异于点使得点到点与的距离之比为定值，并求的最小值．
【答案】（1）
（2）M为（1,0），最小值为5
【解析】
【分析】(1)设圆的圆心为，由题意可得关于，的方程组，解得，的值，则圆的方程可求；
(2)设点，，，，则，由为定值，可得，解出，得到M坐标，再由，可得的最小值．
【小问1详解】
设圆的圆心为，
由题意可得，，解得．
圆的方程为；
【小问2详解】
设点，，，，则．
，
为定值，是的倍数关系，且对任意的，成立，
，解得或(舍去)，，
此时为定值，
∴，
当且仅当、、三点共线时，的最小值为．