广东诗莞市2023_2024学年高三数学上学期10月月考试题含解析

这是一份广东诗莞市2023_2024学年高三数学上学期10月月考试题含解析，共18页。试卷主要包含了 已知集合，，则， 已知，是实数，则“”是“”的， 在的展开式中，的系数是， 《九章算术》“竹九节”问题， 函数的大致图象为， 已知,,，则， 已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先化简集合B，再利用交集定义去求
【详解】由，解得，则，
所以.
故选：C.
2. 已知，是实数，则“”是“”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】由充分条件和必要条件的定义求解即可.
【详解】由可得：，
对两边同时平方可得，所以，
所以”是“”的充要条件.
故选：C.
3. 下列函数既是偶函数，又在上单调递增的是（）
A. B.
CD.
【答案】C
【解析】【分析】根据偶函数定义，结合函数的单调性逐一判断即可.
【详解】对于A，定义域为，故是非奇非偶函数，A错，
对于B，当时，在上为减函数，∴B不对，
对于C，∵定义域为，且为偶函数，
设，∵在上为增函数，在上为增函数，
∴在上为增函数，∴C对.
对于D，∵为奇函数，∴D不对.
故选：C.
4. 在的展开式中，的系数是（）
A. B. 8C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用二项式定理计算即可.
【详解】的展开式通项为，
取，则，系数为.
故选：A
5. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为（）
A. 升B. 升C. 升D. 升
【答案】C
【解析】
【分析】设此等差数列为，公差为，由题意列方程求出，进而得解.
【详解】设此等差数列为，公差为，
由题意可得：则，联立解得
故选：C．
6. 函数的大致图象为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合函数的奇偶性及函数特殊值，逐项判断，即可得到本题答案.
【详解】因为，所以函数为奇函数，排除A，B选项，
因为，排除C选项，
故选：D
7. 已知,,，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】由得，，由得，从而可得.
【详解】因为，，，
所以，，
又因为，，
所以，即.
故.
故选：D
8. 已知函数图像关于原点对称，其中，，而且在区间上有且只有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角函数的图象与性质计算即可.
【详解】因为函数图像关于原点对称，且，
即函数为奇函数，所以，
故，
当时，，有且只有一个最大值和一个最小值，
由正弦函数的图象与性质可得.
故选：B.
二、多项选择题：
9. 已知函数，则（）
A. 的最小正周期为B. 点是图象的一个对称中心
C. 在上单调递增
D. 将的图象上所有的点向右平移个单位长度，可得到的图象
【答案】BC
【解析】
【分析】求正弦型函数最小正周期判断A；代入法验证是否为对称中心判断B；由函数在上递增求自变量x的对应区间判断C；根据平移写出平移后的解析式判断D.
【详解】的最小正周期为，故A错误．
，
所以是图象的一个对称中心，故B正确．
由，
所以在上单调递增，C正确．
的图象上所有的点向右平移个单位长度得到，故D错误．
故选：BC
10. 一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，则下列说法正确的是（）
A. 从中任取3球，恰有2个白球的概率是；
B. 从中有放回的取球6次，每次任取一球，设取到红球次数为X，则；
C. 现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为；
D. 从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到白球的概率为.
【答案】AD
【解析】【分析】根据古典概型的概率公式可判断A，根据二项分布的期望公式可判断C，根据条件概率的计算可判断C，根据对立重复事件的概率可求D.
【详解】对于A，从中任取3球，恰有2个白球的概率是,故A正确，
对于B, 从中有放回取球6次，每次任取一球，设取到红球次数为X服从二项分布，即，故B错误，
对于C ,第一次取到红球后，第二次取球时，袋子中还有3个红球和2个白球，再次取到红球的概率为，故C错误，
对于D，有放回的取球，每次取到白球的概率为，没有取到白球的概率为，
所以取球3次没有取到白球的概率为，
.所以至少有一次取到白球的概率为，故D正确，
故选：AD
11. 已知函数存在极值点，则实数a的值可以是（）
A. 0B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由题意可知，令，换元后可得，即，则实数的取值范围为函数在上的值域且满足，由此可求得实数的取值范围.
【详解】函数的定义域为，且，
由题意可知，函数在定义域上存在极值点，
得在有两个解，
由可得，令，则，
则实数的取值范围为函数在上的值域且满足，
对于二次函数，当时，，
对于二次方程，即，，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：ABD.
12. 生态学研究发现：当种群数量较少时，种群近似呈指数增长，而当种群增加到一定数量后，增长率就会随种群数量的增加而逐渐减小，为了刻画这种现象，生态学上提出了著名的逻辑斯谛模型：，其中，，是正数，表示初始时刻种群数量，叫做种群的内秉增长率，是环境容纳量.可以近似刻画时刻的种群数量.下面给出四条关于函数的判断正确的有（）
A. 如果，那么存在，；
B. 如果，那么对任意，；
C. 如果，那么存在，在点处的导数；
D. 如果，那么的导函数在上存在最大值.
【答案】ABD
【解析】
【分析】解方程得到A正确，计算得到B正确，求导得到恒成立，C错误，构造，求导得到导函数，计算函数的单调区间，计算最值得到答案.
【详解】对选项A：，解得，，正确；
对选项B：，，故，
，故，即，正确；
对选项C：，，故任意的，在处的导数，错误；
对选项D：令，
则，，
令得，解得，
令得，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
那么的导函数在上存在极大值，也是最大值，正确；
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数求函数的最值，函数的应用，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中构造新函数，求导得到函数的单调区间进而求最值是解题的关键.
三、填空题：
13. 在中，，，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用正弦定理计算作答.
【详解】在中，，，，
由正弦定理，得.
故答案为：
14. 某中学为庆祝建校130周年，高二年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名老师参加“130周年办学成果展”活动，活动结束后5名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有__________种(用数字作答)．
【答案】24
【解析】
【分析】应用捆绑、插空法，结合分步计数及排列数求不同的排法数.【详解】将丙、丁捆绑排列有种，再把他们作为整体与戊排成一排有种，
排完后其中有3个空，最后将甲、乙插入其中的两个空有种，
综上，共有种排法.
故答案为：
15. 已知角的大小如图所示，则的值为________
【答案】
【解析】
【分析】先根据图像求出正切值，然后分子分母同除构造正切结构，最后代入即可.
【详解】由图可知，
所以
，
故答案为：
16. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图，第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则______；______.
【答案】 ①. 55 ②.
【解析】
【分析】依题意可得，利用累计法求出，即可求出，根据正方形数可知，即可得到当时，，利用裂项相消法求和即可.
【详解】根据三角形数可知，，则，，…，，
累加得，
所以，经检验也满足上式，
故，则；
根据正方形数可知，
当时，，
则
.
故答案为：；四、解答题：
17. 在中，内角，，所对的边分别为，，，，，．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由余弦定理计算可得；
（2）由正弦定理计算可得；
（3）由余弦定理求出，即可求出、，再由两角差的正弦公式计算可得.
【小问1详解】
由余弦定理知，，
所以，即，
解得或（舍负），所以．
【小问2详解】
由正弦定理知，，
所以，
所以．
【小问3详解】
由余弦定理知，，
所以，，所以
.
18. 已知等差数列的前项和为，，.
（1）求的通项公式；
（2）证明：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用等差数列通项和求和公式可构造方程组求得，由此可得；
（2）利用裂项相消法可求得，由可证得结论.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，
则，解得：，.
【小问2详解】
由（1）得：，
，
，.
19. 小家电指除大功率，大体积家用电器（如冰箱、洗衣机、空调等）以外的家用电器，运用场景广泛，近年来随着科技发展，智能小家电市场规模呈持续发展趋势，下表为连续5年中国智能小家电市场规模（单位：千亿元），其中年份对应的代码依次为1~5.
（1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合与的关系，请用样本相关系数加以说明（若，则线性相关程度较高，精确到0.01）；
（2）建立关于的经验回归方程.
参考公式和数据：样本相关系数，，，，，.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由题中数据求出样本相关系数，可得答案；
（2）由题中数据求出，，可得关于的经验回归方程.
【小问1详解】
由表知的平均数为，
所以，
，
因为与的相关系数近似为0.98，说明与的线性相关程度较高，从而可用线性回归模型拟合与的关系.
【小问2详解】年份代码
1
2
3
4
5
市场规模（单位：千亿元）
1.30
1.40
1.62
1.68
1.80
，
，
，，
所以，所以关于的经验回归方程为.
20. 设正项数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）记的前项和为，求证：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用、的关系，结合已知条件以及等差数列的通项公式即可求得结果；
（2）根据（1）中所求，利用错位相减法求得，即可证明.
【小问1详解】
因为，
当时，，又，则；
当时，，，两式相减，
整理可得，又为正项数列，即，
所以，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以.
【小问2详解】
由（1）可得，所以，
所以，
所以，
所以.
21. 哈六中举行数学竞赛，竞赛分为初赛和决赛两阶段进行.初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个学年派出两名同学，且每名同学都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的同学才具备参与决赛的资格.高三学年派出甲和乙参赛.在初赛中，若甲通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是，，乙通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是，，且每名同学所有轮次比赛的结果互不影响.
（1）若高三学年获得决赛资格的同学个数为，求的分布列和数学期望.
（2）已知甲和乙都获得了决赛资格.决赛的规则如下：将问题放入两个纸箱中，箱中有3道选择题和2道填空题，箱中有3道选择题和3道填空题.决赛中要求每位参赛同学在两个纸箱中随机抽取两题作答.甲先从箱中依次抽取2道题目，答题结束后将题目一起放入箱中，然后乙再抽取题目.已知乙从箱中抽取的第一题是选择题，求甲从箱中抽出的是2道选择题的概率.
【答案】（1）分布列见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据求分布列的步骤求出分布列，根据数学期望公式求出数学期望；
（2）根据贝叶斯公式可求出结果.
【小问1详解】
依题意得甲获得决赛资格概率为，乙获得决赛资格的概率为，
的所有可能取值为，
，，，
所以的分布列为：
所以.
【小问2详解】
记“甲从箱中抽出的是道选择题”，“乙从箱中抽取的第一题是选择题”，
则，，，，，，
所以
.
甲从箱中抽出的是2道选择题的概率为.
22. 已知函数，其中为常数．
（1）当时，判断在区间内的单调性；
（2）若对任意，都有，求的取值范围．
【答案】（1）判断见解析
（2）
【解析】
【分析】小问1：当时，求出导数，判断导数在上正负，即可确定在上的单调性；
小问2：由得，令，将参数区分为，，0
1
2
三种情况，分别讨论的单调性，求出最值，即可得到的取值范围.
【小问1详解】
当时，得，故，
当时，恒成立，故在区间为单调递增函数.
【小问2详解】
当时，，故，即，即.
令
①当时，因为，故，即，
又，故在上恒成立，故；
②当时，，，
故在上恒成立，在上单调递增，
故，即在上单调递增，
故，故；
③当时，由②可知在上单调递增，设时的根为，
则在时为单调递减；在时为单调递增
又，故，舍去；
综上：
【点睛】本题考查了利用导数判断函数的单调性，及利用恒成立问题，求参数的取值范围的问题，对参数做到不重不漏的讨论，是解题的关键.