2023年广东省广州市实验中学中考二模数学试题

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1. 下列四个数中，属于有理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】整数和分数统称为有理数，根据定义解答．
【详解】解：属于有理数；、、都属于无理数，
故选：A．
【点睛】此题考查了有理数的定义，熟记定义并正确区分有理数与无理数是解题的关键．
2. 单项式的次数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据单项式次数定义，即单项式所含字母的指数和为单项式的次数，据此即可解答．
【详解】解：单项式的次数为：，
故选：C．
【点睛】本题考查了单项式次数的定义，熟练掌握和运用单项式次数的定义是解决本题的关键．
3. 若正数的两个平方根是与，则为（ ）
A. 0B. 1C. D. 1或
【答案】C
【解析】
【分析】根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数即可求解．
【详解】解：∵正数的两个平方根是与，
∴，
解得：，
故选C．
【点睛】本题主要考查了平方根，掌握平方根的性质是解题的关键．
4. 下列运算正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据绝对值的定义，积的乘方的计算法则，完全平方公式，实数的计算分别解答．
【详解】解：，故选项A错误；
，故选项B正确；
，故选项C错误；
，故选项D错误；
故选：B．
【点睛】此题考查了绝对值的定义，积的乘方的计算法则，完全平方公式，实数的计算，正确掌握各知识点是解题的关键．
5. 在一次科技作品制作比赛中，某小组八件作品的成绩（单位：分）分别是7，10，9，8，7，9，9，8，对这组数据，下列说法正确的是（ ）
A. 中位数是8B. 众数是9C. 平均数是8D. 方差是0
【答案】B
【解析】
【分析】根据中位数、众数、平均数及方差的计算方法分别求解即可得到答案．
【详解】解：A、按照从小到大的顺序排列为7，7，8，8，9，9，9，10，由中位数的求解方法得到这组数据的中位数为，该选项错误，不符合题意；
B、这组数据中众数为，该选项正确，符合题意；
C、这组数据平均数为，该选项错误，不符合题意；
D、这组数据的平均数为，则方差为，该选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查统计综合，熟练掌握中位数、众数、平均数及方差的计算方法是解决问题的关键．
6. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 有一个角是直角的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 对角形互相垂直平分且相等的四边形是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形，矩形，菱形和正方形的的判定定理判断即可．
【详解】解：A选项有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，所以此项错误；
B选项有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以此项错误；
C选项对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以此项错误；
D选项对角形互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以此项正确；
故选D．
【点睛】本题主要考查平行四边形，矩形，菱形以及正方形的判定定理，熟练掌握平行四边形，矩形，菱形以及正方形的判定定理是解决本题的关键．
7. 已知a，b满足方程组则a+b的值为（ ）
A. ﹣4B. 4C. ﹣2D. 2
【答案】B
【解析】
【详解】解：，
①+②：4a+4b=16
则a+b=4．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法——加减消元法、代入消元法是解题的关键．
8. 如图，在中，，，，则的内切圆的半径r是（ ）

A. 2B. 3C. 4D. 无法判断
【答案】A
【解析】
【分析】根据等积法求内切圆半径，进行求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
如图：设的内切圆与各边的切点分别为点，连接，则：，

∵，
∴，即：，
∴；
故选A．
【点睛】本题考查求三角形内切圆的半径．熟练掌握等积法求内切圆的半径，是解题的关键．
9. 如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax2＋（b－1）x＋c的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，得出方程ax2+（b-1）x+c=0有两个不相等的根，进而得出函数y=ax2+（b-1）x+c与x轴有两个交点，根据方程根与系数的关系得出函数y=ax2+（b-1）x+c的对称轴x=-＞0，即可进行判断．
【详解】点P在抛物线上，设点P（x，ax2+bx+c），又因点P在直线y=x上，
∴x=ax2+bx+c，
∴ax2+（b-1）x+c=0；
由图象可知一次函数y=x与二次函数y=ax2+bx+c交于第一象限的P、Q两点，
∴方程ax2+（b-1）x+c=0有两个正实数根．
∴函数y=ax2+（b-1）x+c与x轴有两个交点，
又∵-＞0，a＞0
∴-=-+＞0
∴函数y=ax2+（b-1）x+c的对称轴x=-＞0，
∴A符合条件，
故选A．
10. 如图,AB为O直径,点C为圆上一点,将劣弧ACˆ沿弦AC翻折交AB于点D,连接CD,若点D与圆心O不重合,∠BAC=20°,则∠DCA的度数是()
A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°
【答案】C
【解析】
【分析】连接BC，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB，根据直角三角形两锐角互余求出∠B，再根据翻折及圆内接四边形的性质得到所对的圆周角，然后根据三角形内角和，计算即可得解．
【详解】如图，连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=20°，
∴∠B=90°－∠BAC=90°－20°=70°，
根据翻折的性质，所对的圆周角为∠B, 所对的圆周角为∠ADC，
∴∠ADC+∠B=180°，
∴∠ADC=180°－∠B=110°，
∴∠DCA=180°－∠BAC－∠ADC=180°－20°－110°=50°.
故选C.
【点睛】本题考查的是翻折变换，圆周角定理，圆内接四边形的性质，难度适中，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11. 点关于原点对称的点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据点的对称性，关于原点对称的两个点的各个坐标互为相反数即可得到答案．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题考查点的对称，熟记点的对称的坐标特征是解决问题的关键．
12. 因式分解：__________．
【答案】
【解析】
【分析】首先提取公因数3，进而利用平方差公式进行分解即可．
【详解】解：原式=3(x2−4)=3(x+2)(x−2)；
故答案为：3(x+2)(x−2)．
【点睛】此题主要考查了提取公因式以及公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
13. 中，，，则______．

【答案】##110度
【解析】
【分析】根据三角形内角和定理以及图形中的各角之间的关系进行计算即可．
【详解】解：如图，，，，
，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形内角和，掌握三角形内角和是是正确解答的前提．
14. 计算：______．
【答案】
【解析】
【分析】根据积的乘方运算的逆运算及乘方运算法则求解即可得到答案．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查有理数运算，涉及积的乘方运算的逆运算及乘方运算法则，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．
15. 一元二次方程有两个相等的实数根，点、是反比例函数上的两个点，若，则______（填“”或“”或“”）．
【答案】
【解析】
【分析】先根据一元二次方程有两个相等的实数根则求出m的取值，再由反比例函数的性质得出结论．
【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根，
，
，
反比例函数经过一、三象限，
又，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及一元二次方程根的判别式，解题的关键是根据一元二次方程有两个相等的实数根求出m值，再由反比例函数的性质求解．
16. 如图，在矩形中，，点E，F分别在边上，且，按以下步骤操作：第一步，沿直线翻折，点A的对应点恰好落在对角线上，点B的对应点为，则线段的长为_______；第二步，分别在上取点M，N，沿直线继续翻折，使点F与点E重合，则线段的长为_______．
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【分析】第一步：设EF与AA’交于点O，连接AF，易证明△AOE△ADC，利用对应边成比例可得到OA=2OE，由勾股定理可求出OE=，从而求得OA及OC；由AD∥BC，易得△AOE∽△COF，由对应边成比例可得AE、FC的关系式，设BF=x，则FC=8-x，由关系式可求得x的值；
第二步：连接NE，NF，根据折叠的性质，得到NF=NE，设B’N=m，分别在Rt△和Rt△中，利用勾股定理及NF=NE建立方程，可求得m，最后得出结果．
【详解】如图所示，连接AF，
设EF与AA’交于点O，由折叠的性质得到AA’⊥EF，
∵四边形ABCD是矩形
∴∠ADC=90°，CD=AB=4 ，AD∥BC
∵∠AOE=∠ADC，∠OAE=∠DAC
∴△AOE△ADC，
∴ ，
∴OA=2OE，
在直角△AOE中，由勾股定理得： ，
∴OE=，
∴OA=，
在Rt△ADC中，由勾股定理得到：AC= ，
∴OC=，
令BF=x，则FC=8-x，
∵AD∥BC，
∴△AOE∽△COF，
∴ ，
即7AE=3FC
∴3(8-x)=7×3
解得：,
∴的长为1．
连接NE，NF，如图，
根据折叠性质得：BF=B’F=1，MN⊥EF，NF=NE，
设B’N=m，
则 ，
解得：m=3，则NF= ，
∵EF=，
∴MF=，
∴MN=，
故答案为：1，．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、三角形相似的判定与性质，矩形的性质等知识，熟练运用这些知识是解决本题的关键，本题还涉及到方程的运用．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算，
【答案】
【解析】
【分析】先化简各式，再进行加减运算．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算．熟记特殊角的三角函数值，掌握零指数幂和二次根式的性质，是解题的关键．
18. 如图，已知，，若，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】根据平行线的性质与判定可进行求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
19. 已知T．
（1）化简T；
（2）若正方形ABCD的边长为a，且它的面积为9，求T的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可求出值；
（2）由正方形的面积求出边长a的值，代入计算即可求出T的值．
【详解】（1）T；
（2）由正方形的面积为9，得到a＝3，则T．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20. 为传承中华优秀传统文化，深入挖掘中华经典诗词中所蕴含的民族正气、爱国情怀、道德品质和艺术魅力，引领诗词教育发展，我校举办诗词大赛，第一轮为经典诵读参赛者从《短歌行》《将进酒》《观沧海》《木兰辞》（分别用A、B、C、D表示）中随机抽取一首进行朗诵：第二轮为诗词讲解，参赛者从《蒹葭》《沁园春·雪》《念奴娇·赤壁怀古》（分别用E、F、G表示）中随机抽取一首进行讲解，小明和晓慧都参加了诗词大赛．
（1）小明第一轮抽到《将进酒》的概率是______．
（2）利用树状图或列表法，求晓慧第一轮抽中《木兰辞》且第二轮抽中《沁园春·雪》的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用概率公式进行求解即可；
（2）列出表格进行求解即可．
【小问1详解】
解：第一轮随机抽取一首诗词共有4种等可能的结果，其中抽到《将进酒》的结果有1种，
∴；
故答案为：．
【小问2详解】
列表如下：
共有12种等可能的结果，其中晓慧第一轮抽中《木兰辞》且第二轮抽中《沁园春·雪》只有1种结果；
∴．
【点睛】本题考查列表法求概率．正确列出表格，熟练掌握概率公式，是解题的关键．
21. 电灭蚊器的电阻随温度变化的大致图像如图所示，通电后温度由室温上升到时，电阻与温度成反比例函数关系，且在温度达到时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加．

（1）当时，求y与x之间的关系式；
（2）电灭蚊器在使用过程中，温度x在什么范围内时，电阻不超过?
【答案】（1）当时，y与x的关系式为：．
（2）温度x取值范围是时，电阻不超过．
【解析】
【分析】（1）设y与x之间的关系式为，把点和点代入求得m的值即可解答；
（2）当时，设y与x的关系式为，然后求得解析，然后分别求出时，两函数的函数值即可求解解答．
【小问1详解】
解：当时，设y与x之间关系式为，
根据题意得：该函数图像过点和点，
∴，
解得：，
∴当时，y与x的关系式为：．
【小问2详解】
解：∵，
∴当时，，
根据题意得：该函数图像过点，
∵温度每上升，电阻增加．
当时，设y与x的关系式为，
∴该函数图像过点，
∴，解得：，
∴当时，y与x的关系式为：；
对于，当时，；
对于，当时，．
答：温度x取值范围是时，电阻不超过．
【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的实际应用，求出两函数解析式是解题的关键．
22. 便捷的交通为经济发展提供了更好的保障，桥梁作为公路的咽喉，左右着公路的生命．通过对桥梁的试验监测，可以了解其使用性能和承载能力，同时也为桥梁的养护、加固和安全使用提供可靠的资料．某综合与实践活动小组对其自制的桥梁模型的承重开展了项目化学习活动，下面是此活动的设计方案．
请你参与该项目化学习活动，并完成下列问题：
（1）该综合与实践活动小组在设计桥梁模型时，选用了三角形结构作为设计单元，这样设计依据的数学原理是__________．
A．三角形具有稳定性 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短
（2）在水桶内加入一定量的水后，桥梁发生了如图2所示的形变．若其他因素忽略不计，测得，请计算此时水桶下降的高度．（参考数据：）
【答案】（1）A （2）
【解析】
【分析】（1）根据三角形的稳定性解答即可；
（2）设，先是等腰直角三角形，再在中利用锐角三角函数的关系即可求解．
【小问1详解】
综合与实践活动小组在设计桥梁模型时，选用了三角形结构作为设计单元，这样设计依据的数学原理是三角形具有稳定性．
故选A．
【小问2详解】
设，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
∵，，
∴，
∴．
即．
【点睛】本题考查了三角形的稳定性，等腰直角三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解答本题的关键．
23. 如图，已知中，；以为直径作，与边相切于点，交边于点，为中点，连接．

（1）求证，是的切线；
（2）尺规作图，点是线段上一动点，当最小时，请在图中西出点的位置（不写作法，保留作图痕迹），
（3）在（2）的条件下，若，，求出的长度．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）连接，根据题中条件证明即可证明；
（2）过D作垂线，交于，则与D关于对称，连接交于P，此时最小，则点P即为所求作；
（3）在中，利用锐角三角函数求出，然后在中，利用三角函数设，，根据的长即可求出k，证明即可求出．
【小问1详解】
证明：连接，如图所示，

∵为的直径，
∴，，
∴，，
∵为中点，
∴，
∴，
∵，
∴,
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：解：过D作垂线，交于，则与D关于对称，连接交于P，此时最小，则点P即为所求作；
【小问3详解】
解：设与的交点M，连接，如图所示，

∵，
∴，
在中，，，
∴，则，
在中，，
∵E为中点，
则，
在中，，
设，，则，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴；
【点睛】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、直角三角形斜边中线性质、等腰三角形 的性质、最短路径问题、垂径定理、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数及勾股定理等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握切线的判定与性质，会利用相似三角形的性质和锐角三角函数解决问题是解答的关键．
24. 平面直角坐标系中，抛物线，与轴交于点．
（1）时，过点作直线垂直于轴，与抛物线的另一个交点记为点．求的长；
（2）拋物线的开口方向和开口大小均与抛物线相同，顶点在上，的顶点横坐标为，且解析式记为．
①与直线l交于点、两点，若，求的范围；
②若，当抛物线与抛物线的交点始终在定直线（为常数）上时，求此时的最小值（用含的代数式表示）．
【答案】（1）
（2）①，②
【解析】
【分析】（1）当时，抛物线，由题意知，过点作直线垂直于轴，即直线与抛物线的另一个交点记为点，得到，即，解得或，即可求出；
（2）①由（1）知过点作直线垂直于轴，即直线，再由题意可得解析式，根据与直线l交于点、两点，得到，从而由列出不等式，求解即可得到答案；②根据题意，联立，求出抛物线与抛物线的交点横坐标为，从而由，根据二次函数最值求法，将其化为顶点式，得到当时，有最小值，为；进而由变形为，将化为，即可知当时，有最小值的最小值为，进而求出答案．
【小问1详解】
解：当时，抛物线，
抛物线与轴交于点，
当时，，即，
过点作直线垂直于轴，即直线与抛物线的另一个交点记为点，
当时，，即，解得或，
，即；
【小问2详解】
解：拋物线的开口方向和开口大小均与抛物线相同，
两个抛物线表达式中相同为，
顶点在上，的顶点横坐标为，
的顶点坐标为，即解析式，
①与直线l交于点、两点，
当时，，解得或，当，即时才能满足题意，
，
，
，解得，
综上所述，若，的范围；
②，，
联立方程得，当抛物线与抛物线的有交点时，得①②得，
由可知，
抛物线与抛物线的交点横坐标为，
抛物线与抛物线的交点始终在定直线（为常数）上，
，
，
，
当时，有最小值，为，
，即，
，
当时，有最小值的最小值为，
即的最小值为．
【点睛】本题考查二次函数图像与性质，涉及待定系数法求二次函数表达式、二次函数最值、二次函数交点问题等，综合性较强，熟练掌握二次函数的图像与性质，根据题意灵活运用恒等变形是解决问题的关键．
25. 如图1，在钝角中，，，点、分别为边、上的点，且，，将绕点逆时针方向旋转度．

（1）求的长；
（2）如图2，当时，连接．求证：；
（3）如图3，在旋转的过程中，直线交于点．
①______；
②将从图1位置绕点逆时针方向旋转，求点的运动路程．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）①，②
【解析】
【分析】（1）根据题意，由相似三角形的判定可知，从而利用相似比即可得到的长；
（2）根据旋转性质得到，由题中条件得到，由相似三角形的判定可知；
（3）①如图所示，利用相似三角形的性质证明即可；②由“定弦定角”模型可知点的运动轨迹是以为圆心，为半径上的弧，再由旋转过程知道运动路程是长的两倍，求出圆心角，利用弧长公式计算即可得到答案．
【小问1详解】
解：，，
，
在和中，，则由两个三角形相似的判定定理得到，
，
，
；
【小问2详解】
证明：将绕点逆时针方向旋转度，
，
，，
，
；
【小问3详解】
解：①设交于点，如图所示：

由（2）知，
，
，，，
，
故答案为：；
②由，这个角所对的弦为，根据“定弦定角”模型可知，点的轨迹是以为边向左侧作等边，连接，，以为圆心，为半径作上弧，且轨迹是从往上方运动，由①知，则四点共圆，以为圆心，为半径作，如图所示：

当与相切时，即时，直线交点位于轨迹的最高点，
，
，
在中，，即，
，
的长，
当与相切时，位于轨迹的最高点；当继续旋转时，会从轨迹的最高点运动到点，
点的运动路程是的长的两倍为．
【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，弧长公式，等边三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会正确寻找点的运动轨迹，难度较大，属于中考压轴题．E
F
G
A
B
C
D
项目主题
桥梁模型的承重试验
活动目标
经历项目化学习的全过程，引导学生在实际情境中发现问题，并将其转化为合理的数学问题
驱动问题
当桥梁模型发生不同程度的形变时，水桶下降的高度
方案设计
工具
桥梁模型、量角器、卷尺、水桶、水杯、绳子、挂钩等
实物图展示
示意图
状态一（空水桶）
状态二（水桶内加一定量的水）
说明：C为的中点
…
…