2023学年广东省佛山市禅城区四校联考中考三模数学试题

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列实数中，最小的数为（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据负指数幂进行计算，再根据实数的大小比较法则比较数的大小，即可得到答案．
【详解】解：，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，负指数幂，熟练掌握：正数都大于0，负数都小于0，正数都大于负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
2. 如图，，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据两直线平行，内错角相等可直接得到答案．
【详解】∵，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等．
3. 当前随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业正进入加速发展的新阶段.下列图案是我国的一些国产新能源车企的车标，车标图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】A、该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、该图形既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；
D、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题关键．
4. 下列各式中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的加法、乘法、除法逐项判断即可解答．
【详解】解：A、和不是同类二次根式，无法合并，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的加法、乘法、除法等知识点，熟练掌握二次根式的相关运算法则是解题的关键．
5. 在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位后，得到点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把点的横坐标加2，纵坐标不变，据此即可解答．
【详解】解：点向右平移2个单位长度后得到的点的坐标为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移．掌握平移的规律“左右横,上下纵,正加负减”是解答本题的关键．
6. 如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线上．这样做应用的数学知识是（ ）
A. 两点之间，线段最短B. 两点确定一条直线
C. 垂线段最短D. 三角形两边之和大于第三边
【答案】B
【解析】
【分析】由直线公理可直接得出答案．
【详解】解：建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种做法用几何知识解释应是：两点确定一条直线．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了直线的性质，要想确定一条直线，至少要知道两点．
7. 如图是一个可以自由转动的转盘．转动转盘，当指针停止转动时，指针落在红色区域的概率是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】用红色区域的圆心角除以周角度数即可．
【详解】解：转动转盘，当指针停止转动时，指针落在红色区域的概率是，
故选：D．
【点睛】本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
8. 如图，以点为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的面积是2，则四边形的面积是（ ）

A. 3B. 6C. 9D. 18
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用位似图形的性质得出面积比进而得出答案．
【详解】解：以点为位似中心，作四边形的位似图形，，
，
四边形的面积是2，
四边形的面积是18，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了位似变换，正确得出面积比是解决此题的关键．
9. 如图，在中，，按如下步骤作图．
第一步：作的平分线交于点；
第二步：作的垂直平分线，交于点，交于点；
第三步：连接．则下列结论正确的是（ ）

A. B. 平分C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】如图，由角平分线和垂直平分线的性质可得，进而得到，最后运用平行线的判定定理即可说明B选项正确．
【详解】解：如图：

∵是的角平分，是的中垂线，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、垂直平分线的性质以及平行线的判定，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
10. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（ ）
A. 当时，B. I与R的函数关系式是
C. 当时，D. 当时，I的取值范围是
【答案】D
【解析】
【分析】设I与R的函数关系式是，利用待定系数法求出，然后求出当时， ，再由，得到随增大而减小，由此对各选项逐一判断即可．
【详解】解：设I与R的函数关系式是，
∵该图象经过点，
∴，
∴，
∴I与R的函数关系式是，故B不符合题意；
当时， ，
∵，
∴随增大而减小，
∴当时，，当时，，当时，I的取值范围是，故A、C不符合题意，D符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确求出反比例函数解析式是解题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 若实数，满足，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据非负数的性质列出算式求出，的值，代入计算即可得到答案．
【详解】解：，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是非负数的性质，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键．
12. 如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程的两个实数根，那么这个三角形的第三边的长可能是20吗？__________．（填“可能”或“不可能”）
【答案】不可能
【解析】
【分析】先求出方程的解，再根据三角形三边关系定理判断即可得到答案．
【详解】解：，
，
或，
即三边为6、11、20，
，不符合三角形三边关系定理，
这个三角形的第三边的长不可能是20，
故答案为：不可能．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系定理的应用，能求出一元二次方程的解是解此题的关键．
13. 化学中直链烷烃的名称用“碳原子数+烷”来表示，当碳原子数为时，依次用天干——甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸——表示，其中甲烷、乙烷、丙烷，丁烷的分子结构式如图所示，则第7个庚烷分子结构式中“”的个数是_________．

【答案】16
【解析】
【分析】根据题目中的图形，可以发现“”的个数的变化特点，然后即可写出第7个庚烷分子结构式中“”的个数．
详解】解：由图可得：
甲烷分子结构中“”的个数是：，
乙烷分子结构中“”的个数是：，
丙烷分子结构中“”的个数是：，
……
庚烷分子结构中“”的个数是：，
故答案为：16．
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现“”的个数的变化特点．
14. 如图，在四边形中，、分别是、的中点，、分别是、的中点，依次连接、、、得到四边形是__________．
【答案】平行四边形
【解析】
【分析】根据中位线性质和平行四边形的判定条件，即可解答；
【详解】解：、分别是、的中点，、分别是、的中点，
，且，
且，
四边形为平行四边形，
故答案为：平行四边形．
【点睛】本题考查了中位线的性质，平行四边形的判定，能判断出是的中位线，是的中位线是解题的关键．
15. 如图，是一根cm的绳子，一端拴在柱子（点A）上，另一端（点）拴着一只羊，为一道围墙，cm，cm，，则羊最大的活动区域的面积是__________．（结果保留）
【答案】
【解析】
【分析】羊最大的活动区域的面积是一个扇形+一个小扇形的面积．
详解】解：如图所示：
大扇形的圆心角是90度，半径是3，
∴面积，
小扇形圆心角是，半径是1，
∴面积，
则羊最大的活动区域的面积是，
故答案为：．
【点睛】本题关键是从图中找出小羊的活动区域是由哪几个图形组成的．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
16. 求不等式组的解集，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．
【答案】不等式组的解集为，图见解析
【解析】
【分析】先分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式组解集的确定方法：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找，即可得到解集，在数轴上画出解集即可．
【详解】解：，
解不等式①可得：，
，
，
，
，
解不等式②可得：，
，
，
，
不等式组的解集为，
在数轴上表示为：
．
【点睛】本题主要考查了解不等式组，熟练掌握不等式组解集的确定方法：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找，是解题的关键．
17. 在“世界读书日”到来之际，学校开展了课外阅读主题周活动，活动结束后，调查统计了部分学生一周的课外阅读时长（单位：小时），整理数据后绘制出如下的统计图①和图②．

请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受调查的学生人数为__________，图①中的值为__________；
（2）求统计的这部分学生一周课外阅读时长的平均数、众数和中位数．
【答案】（1）20；30
（2）统计的这部分学生一周课外阅读时长的平均数、众数和中位数分别为8，9，8
【解析】
【分析】（1）用条形统计图中的数据除以扇形统计图中对应的占比，即可得到总人数；再用学生一周的课外阅读时长为9小时的人数除以总人数，即可得到m的值；
（2）按照平均数，众数和中位数的概念，依次求出即可．
【小问1详解】
解：本次接受调查的人数为（人）；
根据条形统计图，学生一周的课外阅读时长为9小时的人数为6人，故学生一周的课外阅读时长为9小时的人数占比为，
，
故答案为：20；30
【小问2详解】
解：，
观察条形统计图，9出出现的次数最多，故众数为9；
将这组数据从小到大排列，其中位于中间的两个数都是8，故中位数为8，
统计的这部分学生一周课外阅读时长的平均数、众数和中位数分别为8，9，8．
【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图，平均数，众数，中位数的概念，熟知相关概念是解题的关键．
18. 按下列程序计算，把答案填写在表格内，并回答下列问题：
（1）根据上述计算你发现了什么规律？
（2）你能说明你发现的规律是正确的吗？
【答案】（1）输入除0以外的数，输出结果都为1；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）输入-2时，输出结果为1，输入时，输出结果为1，即可得；
（2）结合题意可将程序表示：，进行计算即可得．
【详解】解：（1）输入-2时，输出结果为1，输入时，输出结果为1，
故可得规律：输入除0以外的数，输出结果都为1；
（2）结合题意可将程序表示为：，
，
所以发现的规律是正确的．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算的顺序和运算法则．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19. 佛山奇龙大桥犹如一架巨大的竖琴，横跨于东平水道上，是禅城区的“东大门”，大桥采用独塔斜拉桥结构，全长395米，已知主塔垂直于桥面于点，其中两条斜拉索、与桥面的夹角分别为和，两固定点、之间的距离约为，求主塔的高度．（结果保留整数，参考数据：，）
【答案】
【解析】
【分析】在中，利用正切的定义求出，然后根据得出，列方程求出即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴m，
∴m．
答：主塔的高度约为．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握正切的定义是解题的关键．
20. 某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图（1）所示，成本y2与销售月份之间的关系如图（2）所示（图（1）的图象是线段图（2）的图象是抛物线）
（1）分别求出y1、y2的函数关系式（不写自变量取值范围）；
（2）通过计算说明：哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？
【答案】（1）y1＝;y2＝x2﹣4x+13；（2）5月出售每千克收益最大，最大为．
【解析】
【分析】（1）观察图象找出点的坐标，利用待定系数法即可求出y1和y2的解析式；
（2）由收益W=y1-y2列出W与x的函数关系式，利用配方求出二次函数的最大值．
【详解】解：（1）设y1＝kx+b，将（3，5）和（6，3）代入得，，解得．
∴y1＝﹣x+7．
设y2＝a（x﹣6）2+1，把（3，4）代入得，
4＝a（3﹣6）2+1，解得a＝．
∴y2＝（x﹣6）2+1，即y2＝x2﹣4x+13．
（2）收益W＝y1﹣y2，
＝﹣x+7﹣（x2﹣4x+13）
＝﹣（x﹣5）2+，
∵a＝﹣＜0，
∴当x＝5时，W最大值＝．
故5月出售每千克收益最大，最大为元．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题关键，掌握配方法是求二次函数最大值常用的方法
21. 如图，在△ABC中，以边AB为直径作⊙O，交AC于点D，点E为边BC上一点，连接DE．给出下列信息：①AB＝BC；②∠DEC=90°；③DE是⊙O的切线．
（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，剩下的一条作为结论，组成一个命题．你选择的两个条件是______，结论是______（只要填写序号）．判断此命题是否正确，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，若CD=5，CE=4，求⊙O的直径．
【答案】（1）①和②，③，真命题，证明见解析；（答案不唯一）
（2）
【解析】
【分析】（1）选择①和②为条件，③为结论，连接OD，由等边对等角可得出∠A＝∠C，∠A＝∠ODA，即可推出∠C＝∠ODA，从而可证明，再根据平行线的性质和∠DEC=90°，可证明∠ODE=∠DEC=90°，即，说明DE是⊙O的切线；
（2）连接BD，由直径所对圆周角为直角得出．再结合等腰三角形三线合一的性质可得出AD=CD=5．又易证，即得出，代入数据即可求出AB的长．
【小问1详解】
解：选择①和②为条件，③为结论，且该命题为真命题．
证明：如图，连接OD，
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C．
∵OA=OD，
∴∠A＝∠ODA，
∴∠C＝∠ODA，
∴．
∵∠DEC=90°，
∴∠ODE=∠DEC=90°，即，
∴DE是⊙O的切线．
故答案为：①和②，③；（答案不唯一）
【小问2详解】
解：如图，连接BD，
∵AB为直径，
∴，即．
∵AB=BC，
∴AD=CD=5．
在和中，
∴，
∴，即，
∴．
故圆O的直径为．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线的判定和性质，圆周角定理以及三角形相似的判定和性质．解题的关键是连接常用的辅助线．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
22. 在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“不动点”，例如、、都是“不动点”，已知双曲线．
（1）求双曲线上的“不动点”；
（2）若抛物线（、为常数）上有且只有一个“不动点”．
①当时，求的取值范围；
②如果，过双曲线图象上第一象限的“不动点”作平行于轴的直线，若抛物线上有四个点到的距离为，直接写出的取值范围．
【答案】（1）双曲线上的“不动点”为和；
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）根据定义设“不动点”为，即可求解；
（2）①设抛物线（、为常数）上的“不动点”为，根据抛物线上有且只有一个“不动点”，列不等式求解；②根据题意先求出抛物线解析式和直线，设直线r在直线下方且到直线的距离为m，直线交直线于点A，交直线r于点C，可得即可求出答案．
【小问1详解】
解：设双曲线上的“不动点”为，
则，解得：，，
∴双曲线上的“不动点”为和；
【小问2详解】
解：①设抛物线（、为常数）上的“不动点”为，
则，
∵抛物线上有且只有一个“不动点”，
∴关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴；
②当时，则，
解得：，
∴抛物线为，
由（1）得：双曲线在第一象限上的“不动点”为，
∴直线即直线，
∵，
∴抛物线顶点坐标为，对称轴为直线，
设直线r在直线下方且到直线的距离为m，直线交直线于点A，交直线r于点C，
∴，，
∴，
设直线t与直线r关于直线l对称,
∵当点C在点B上方时，抛物线上四个点到l的距离为m，
∴；
【点睛】本题考查反比例函数图像与性质、二次函数的图像与性质、新定义问题的求解等，综合性强、难度大．
23. 如图1，在矩形中，，，点在线段上运动，设，现将纸片折叠，使点与点重合，得折痕（点为折痕与或的交点，点为折痕与或的交点），再将纸片还原．

（1）①当时，折痕的长为__________；
②当__________时，点与点重合．
（2）当点与点重合时，在图2中画出四边形，求证：四边形为菱形，并求出菱形的周长；
（3）如图3，若点在边上，点在边上，线段与相交于点；连接，，用含的代数式表示四边形的面积．
【答案】（1）①5；②3
（2）证明见解析，周长为
（3）
【解析】
【分析】（1）①当时，折痕的长正好等于矩形的长为5；②当点与点重合时，画出符合要求的图形，根据折叠的性质即可得到答案；
（2）由由折叠的性质可得：，由矩形的性质可得，从而得到，则，从而得到，即可得证，设，则，，
在中，，解方程即可得到答案；
（3）作，交于，在中，，由勾股定理可得，，则，通过证明，可得，即，可得，最后由即可得到答案．
【小问1详解】
解：①折叠纸片，使点与点重合，得折痕，
当时，点与点重合，即为重合，重合，
，
故答案为：5；
②当点与点重合时，如图所示：

由折叠的性质可得：，
当时，点与点重合，
故答案为：3；
【小问2详解】
证明：根据题意画出图如图所示：
，
由折叠性质可得：，
四边形为矩形，
，
，
，
，
四边形为菱形，
设，则，，
在中，，
，
解得：，
菱形的周长为；
【小问3详解】
解：如图所示，作，交于，
，
则四边形为矩形，
，
由折叠的性质可得：，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
，，
，
，
，
，
，即，
，
．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练在掌握折叠的性质、矩形的性质、菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．
输入x
3
2
-2
…
输出答案
1
1
…