山东省济宁市第一中学2024-2025学年高一上学期11月阶段性学业检测数学试题

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2024.11
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回．
4．本试卷考试时间为120分钟，满分为150分．
一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题“，使”的否定是（ ）
A．，使B．不存在，使
C．，使D．，使
2．图中的是全集，是的两个子集，则表示的阴影部分是（ ）
A．B．
C．D．
3．“函数的定义域为”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．函数的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
5．已知，且，则的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．9
6．设，则的大小关系是
A．B．C．D．
7．定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知幂函数在上单调递增，函数时，总存在使得，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，满分18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．在上单调递减
C．函数的最大值是2
D．设，则方程有两个负实数根的充要条件是
10．已知函数，则（ ）
A．B．的定义域为
C．的值域为D．的最小值为
11．对于任意的表示不超过的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于原点对称
B．函数的值域为
C．对于任意的，不等式恒成立
D．不等式的解集为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．______．
13．已知函数为奇函数，则______．
14．若定义在上的函数满足：对任意的，都有：，当时，还满足，则不等式的解集为______．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知集合．
（1）当时，求和；
（2）若是成立的充分不必要条件，这样的实数是否存在？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
16．（15分）已知幂函数在区间上单调递增．
（1）求的值；
（2）若，求的值；
17．（15分）已知函数．
（1）若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围；
（2）解关于的不等式；
18．（17分）某企业为进一步增加市场竞争力，计划在2024年利用新技术生产某款新手机，通过市场调研发现，生产该产品全年需要投入研发成本200万元，每生产（千部）手机，需另外投入成本万元，其中，已知每部手机的售价为5000元，且生产的手机当年全部销售完．
（1）求2024年该款手机的利润关于年产量的函数关系式；
（2）当年产量为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？
19．（17分）设函数且．
（1）若，证明是奇函数，并判断单调性（不需要证明）；
（2）若，求使不等式恒成立时，实数的取值范围；
（3）若，且在上的最小值为-2，求实数的值．
济宁市第一中学2024-2025学年度阶段性学业检测
高一数学试题解析
1．【答案】D
【知识点】含有一个量词的命题的否定的应用
【分析】由存在量词命题的否定是全称量词命题即可得出答案．
【详解】命题“，使”的否定是“，使”．
故选：D．
2．【答案】C
【知识点】交并补混合运算、利用Venn图求集合
【分析】根据集合运算的定义，结合Venn图分析即可得解．
【详解】对于A，图中阴影部分表示，故A错误；
对于B，图中阴影部分表示，故B错误；
对于C，图中阴影部分表示，故C正确；
对于D，图中阴影部分表示，故D错误．
故选：C．
3．【答案】A
【知识点】判断命题的充分不必要条件
【分析】由函数的定义域为，即对任意恒成立，可得的范围，则可得“函数的定义域为”是“”的充分不必要条件．
【详解】因为函数的定义域为，
所以对任意恒成立，
①当时，对任意恒成立；
②当时，只需，解得：；
所以．
记集合．
因为是的真子集，所以“函数的定义域为”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
4．【答案】C
【知识点】判断指数型函数的图象形状
【分析】根据函数奇偶性以及指数函数性质，利用排除法即可得出结论．
【详解】易知函数定义域为，
且满足，可得其为偶函数，图象关于轴对称；
又当时，，因此排除A，
又，
利用指数函数图象性质可知其在上单调递增，即排除BD，
故选：C．
5．【答案】A
【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】将所求式子变形为，利用“1”的代换结合基本不等式求解．
【详解】，
则
，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为5．
故选：A．
6．答案】B
【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小
【分析】根据指数函数和幂函数的单调性即可依次判断的大小即得．
【详解】因为是增函数，所以，是减函数，所以，
故
又函数在第一象限内为增函数，故，
又为减函数，故，
综上可得．
故选：B．
7．【答案】C
【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式
【分析】首先根据函数的奇偶性、单调性，判断在上单调递增，且，再结合函数的单调性解不等式即可．
【详解】由题意可得，在上单调递增，且，由，得，或，
时，，或，
又，即，或，
故，解得，
时，，或，
又，即，
故，解得，或，
则不等式的解集为：，故选：C．
8．【答案】B
【知识点】利用函数单调性求最值或值域、根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数
【详解】由已知，得或．当时，，当时，．
又在单调递增，在上的值域为在上的值域为，，即．故选B．
考点：1、幂函数的定义和性质；2、函数的单调性及值域．
二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，满分18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．【答案】CD
【知识点】判断命题的必要不充分条件、充要条件的证明、求解函数的单调区间以及复合型指数函数的最值
【详解】对于A，由“”能得出“”，反之不成立，故“”是“”的充分不必要条件，故A错误；
对于B，在上单调递减，此处不能用“”连接，故B错误；
对于C，，当且仅当时取等号，而函数在R上递减，则，所以函数在处取得最大值2，故C正确；
对于D，若方程有两个负实数根，则，解得：，故D正确；
故选：CD．
10．【答案】BC
【知识点】抽象函数的定义域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域、已知求解析式、求二次函数的值域或最值
【分析】根据给定条件，利用配凑法求出函数的解析式，再逐项判断即得答案．
【详解】由，而，
所以，故A错误；
在函数中，，即，
所以函数的定义域为，故B正确；
，由，即，
所以，所以的值域为，故C正确．
当时，，因此的最小值为0，故D错误；
故选：BC．
11．【答案】BCD
【知识点】函数新定义、全称命题的否定及其真假判断、函数奇偶性的定义与判断、解不含参数的一元二次不等式
【分析】结合取整函数的定义，利用奇偶性的定义可判断A选项；由取整函数的定义得到，进而可判断B，C选项；先解一元二次不等式，然后取整函数的定义可判断D选项．
【详解】对于A：当时，，当时，，
所以不是奇函数，即函数的图象不是关于原点对称，故A错误；
对于B：由取整函数的定义知，，所以，
函数的值域为，故B正确；
对于C：由取整函数的定义知，，
所以，故C正确；
对于D：由得，解得，所以，
结合取整函数的定义可得，故D正确．故选：BCD．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．【答案】
【知识点】指数幂的化简、求值
【分析】利用幂的运算法则化简计算即得．
【详解】
．
13．【答案】
【知识点】函数奇偶性的应用、由奇偶性求函数解析式、求分段函数解析式或求函数的值
【分析】考查分段函数奇偶性，先根据函数奇偶性求出函数解析式即可求出函数值．
【详解】令，则由题意为奇函数，
所以当时，，
此时，
故，所以．故答案为：．
14．【答案】
【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、定义法判断或证明函数的单调性
【分析】先用赋值法得到，判断出函数为偶函数，然后利用判断单调性，最后分类讨论计算的解集即可．
【详解】因为对任意的，都有：
令，可知
令，可知
令，得
故函数为偶函数，
令
要使
则
显然函数为偶函数；
因为当时，
所以当时函数单调递减，
此时也单调递减
因为需要
故
因为为偶函数
所以当时，的解为
故不等式的解集为
故答案为：
【点睛】做一些抽象函数相关的习题时，我们一定需要去找抽象函数的一些性质，如单调性、奇偶性、对称性、周期性；然后再利用他们的关系来求解；通常还需要用赋值法得到一些函数值．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．【答案】（1）
（2）存在实数，实数的取值范围是
【知识点】交并补混合运算、根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数、分式不等式
【分析】（1）解不等式得到，再计算交集和补集即可．
（2）确定，故集合是集合的真子集，得到不等关系，解得答案．
【详解】（1）得，故集合，
把代入得，解得，故集合，
故；
（2），且，得集合，
是成立的充分不必要条件，故集合是集合的真子集，
则有解得，故实数的取值范围是．
16．【答案】（1）；（2）0．
【知识点】求幂函数的值、根据函数是幂函数求参数值、求与幂函数有关的复合函数值域、由幂函数的单调性求参数
【分析】（1）由幂函数的定义可得，再利用在上单调递增，即可求解；
（2）根据（1）可知，将转化为有关的式子即可求解
【详解】（1）由已知，得或，
又因为在区间上单调递增，所以．
（2），
，
又，
又，所以，所以，
所以．
17．【答案】（1）
（2）答案见解析
【知识点】一元二次不等式的恒成立问题，解含有参数的一元二次不等式
【分析】（1）
（2）先把二次不等式化为，然后分类讨论解不等式即可；
【详解】（1）由，即对一切实数恒成立，当时，，有，即，不满足题意；
当时，则满足，即，解得．
综上所述，的取值范围为
（2）由．
得，所以，
若，即，上式可化为：，解得；
若，即，上式可化为：，解得；
若，即，上式可化为：，
当，所以，所以：或；
当时，，所以：；
当时，，所以，所以：或；
综上可知：当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
18．【答案】（1）
（2）当年产量为52（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是5842万元．
【分析】（1）根据利润等于收入减去成本即可求出结果；
（2）根据（1）求出的函数关系式直接求最大值即可．
【详解】（1）当时，，
当时，，
所以．
（2）当时，，
当时，，
当时，
，
当且仅当，即时，，
因此当年产量为52（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是5842万元
19．【答案】（1）证明见解析，是减函数；（2）；（3）2．
【知识点】根据函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题、判断指数型复合函数的单调性
【分析】（1）定义域为R关于原点对称，判断与的关系，以此确定奇偶性；的单调性可以通过单调性的性质进行判断；
（2）利用条件，得到．在R上单调递减，从而将转化为，进而得，研究二次函数得到结论；
（3）令，得到二次函数，分类讨论研究得到，得到结论．
【详解】（1）证明：的定义域为R，关于原点对称，
且，
为奇函数，
递减，递减，故是减函数；
（2）且，
，
又，且，
，
故在R上单调递减，
不等式化为，
，即恒成立，
，
解得，
故的取值范围是．
（3），即，
解得或（舍去），
，
令递增，递增，故是增函数；
，
令，
若，当时，；
若时，当时，，解得，不符合题意；
综上，．