北师大版（2024）比例的应用学案及答案

这是一份北师大版（2024）比例的应用学案及答案，共16页。学案主要包含了选择题，填空题，判断题，解答题，计算题等内容，欢迎下载使用。

第一部分
知识清单
1. 根据比例的基本性质，将比例转化成乘积式（等积式），然后求比例中的未知数x的过程叫作解比例。
2. 对于一些具体的实际问题可以列算式求解，也可以根据比例的意义，列出比例（方程），然后解比例，求出实际问题的答案，其关键是理解题意，正确地列出比例。
第二部分
典型例题
例1：一个圆锥和一个圆柱体积的比是 SKIPIF 1 < 0 ，圆柱的底面积比圆锥的底面积多 SKIPIF 1 < 0 ，如果圆锥的高是36cm，那么圆柱的高是（ ）cm。
A．10B．20C．30D．40
答案：A
分析：圆柱的底面积比圆锥的底面积多 SKIPIF 1 < 0 ，圆柱的底面积等于圆锥的底面积×（1＋ SKIPIF 1 < 0 ）；即圆柱的底面积＝ SKIPIF 1 < 0 圆锥的底面积；圆柱的体积公式：体积＝底面积×高；圆锥的体积公式：体积＝底面积×高× SKIPIF 1 < 0 ；由此可知，圆柱的体积＝ SKIPIF 1 < 0 圆锥底面积×高；圆锥的体积＝圆锥底面积×36× SKIPIF 1 < 0 ；圆锥的体积与圆柱的体积比是4∶5，进而求出圆柱的高，据此解答。
详解：设圆柱的高是hcm；圆锥的底面积是scm2。
圆柱的底面积：（1＋ SKIPIF 1 < 0 ）s＝ SKIPIF 1 < 0 s（cm2）
s×36× SKIPIF 1 < 0 ∶ SKIPIF 1 < 0 s×h＝4∶5
SKIPIF 1 < 0 s×4×h＝12×s×5
6h＝60
h＝60÷6
h＝10
一个圆锥和一个圆柱体积的比是4∶5，圆柱的底面积比圆锥的底面积多 SKIPIF 1 < 0 ，如果圆锥的高是36cm，那么圆柱的高是10cm。
故答案为：A
例2：某人从A地到B地平均速度为3米/秒，按原路返回时每秒行7米，那么此人一个来回的平均速度是（ ）米/秒。
A．4.2B．4.8C．5D．5.4
答案：A
分析：首先根据速度×时间＝路程，可得路程一定时，速度和时间成反比，所以这个人去时和返回时用的时间的比是7：3，然后设去时用的时间是7t秒，则返回用的时间是3t秒；最后根据路程÷时间＝速度，用两地之间的距离的2倍除以来回用的时间，求出此人一个来回的平均速度是多少即可。
详解：因为这个人去时和返回时的速度的比是 SKIPIF 1 < 0 ，
所以这个人去时和返回时用的时间的比是 SKIPIF 1 < 0 ，
设去时用的时间是7t秒，则返回用的时间是3t秒，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 （米/秒）
此人一个来回的平均速度是4.2米/秒。
故答案为：A
例3：当x＝( )时，0.9∶x和3∶4能组成比例；0.5∶ SKIPIF 1 < 0 的比值是( )。
答案： 1.2 SKIPIF 1 < 0
分析：表示两个比相等的式子叫做比例；比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积；求比值用比的前项除以后项即可。
详解：0.9∶x＝3∶4
解：3x＝0.9×4
3x＝3.6
x＝3.6÷3
x＝1.2
0.5÷ SKIPIF 1 < 0
＝0.5× SKIPIF 1 < 0
＝ SKIPIF 1 < 0
当x＝1.2时，0.9∶x和3∶4能组成比例；0.5∶ SKIPIF 1 < 0 的比值是 SKIPIF 1 < 0 。
例4：甲的 SKIPIF 1 < 0 和乙的 SKIPIF 1 < 0 相等，甲∶乙＝( )∶( )，当甲数是0.8时，乙数是( )。
答案： 8 15 SKIPIF 1 < 0
分析：根据题意，甲的 SKIPIF 1 < 0 和乙的 SKIPIF 1 < 0 相等，即甲× SKIPIF 1 < 0 ＝乙× SKIPIF 1 < 0 ，根据比例的基本性质：比例的两个内项之积等于两个外项之积，求出甲和乙的最简比；再利用方程计算出当甲数是0.8时，乙数的值。
详解：甲× SKIPIF 1 < 0 ＝乙× SKIPIF 1 < 0
甲∶乙＝ SKIPIF 1 < 0 ∶ SKIPIF 1 < 0
＝（ SKIPIF 1 < 0 ×20）∶（ SKIPIF 1 < 0 ×20）
＝8∶15
当甲数等于0.8时，
解：设乙数为x。
0.8∶x＝8∶15
8x＝0.8×15
8x＝12
x＝12÷8
x＝ SKIPIF 1 < 0
甲的 SKIPIF 1 < 0 和乙的 SKIPIF 1 < 0 相等，甲∶乙＝8∶15，当甲数是0.8时，乙数是 SKIPIF 1 < 0 。
：基础过关练
一、选择题
1．观察图，（ ）的面积∶（ ）的面积＝a∶b。
A．上面；左面B．前面；左面C．左面；左面D．后面；左面
2．十四运会是于2021年9月15日－9月27日在陕西省西安市举办的全民运动会。其设置的大项和分项的数量比为 SKIPIF 1 < 0 ，已知设置的大项有34个，则分项有（ ）个。
A．126B．136C．85D．51
3．调制蜂蜜水，蜂蜜与水的质量比是3∶7，丽丽有蜂蜜360克，都用来调制蜂蜜水，需要（ ）克水。
A．840B．740C．770D．700
4．用5毫升的蜂蜜兑100毫升水调制成蜂蜜水，如果再加入10毫升的蜂蜜，为了使蜂蜜水的甜度不变，需要加入的水可以是（ ）。
A．10毫升B．200毫升C．原来的3倍D．原来的4倍
5．已知3∶5＝6∶a，那么a＝（ ）。
A．5B．6C．10D．12
二、填空题
6．淘气用10个饮料瓶换了4.5元钱，照这样计算，用30个饮料瓶可以换( )元钱，想换得18元钱，需要( )个饮料瓶。
7．在一个比例中，两个外项积是4，其中一个内项是 SKIPIF 1 < 0 ，另一个内项是( )。
8．王师傅加工一批零件，第一天加工了 SKIPIF 1 < 0 ，第二天又加工了30个，这时已加工的与未加工的个数比是2∶5，这批零件一共有( )个。
9．根据比例的基本性质，先把比例转化成( )乘积与( )乘积相等的方程，再通过解方程求出未知数的值。
10．像15∶5＝A∶6这样表示两个比相等的式子叫( )，其中15和6是它的( )项，这里的A＝( )。
三、判断题
11．淘气和爷爷的今年年龄的岁数比是 SKIPIF 1 < 0 ，淘气今年的年龄是4岁，爷爷今年的年龄是58岁。( )
12．2∶1.8和 SKIPIF 1 < 0 ∶ SKIPIF 1 < 0 可以组成比例。( )
13．一个比例的内项的积是最小的合数，其中一个外项是 SKIPIF 1 < 0 ，另一个外项是8。( )
14．甲、乙两数相差0.8，且甲∶乙＝4∶3，甲是3。( )
15．解比例10∶50＝x∶40得，x＝8。( )
：基础过关练
四、解答题
16．一铁路隧道长2000米，一列火车从车头进入隧道到车尾离开隧道用了1分钟，整列火车完全在隧道内的时间是40秒。求火车的车长及其行驶的速度。
17．淘气模仿“曹冲称象”来称体重。淘气站在船上，船下沉2厘米；爸爸站在船上，船下沉4厘米。淘气的体重是35.7千克，爸爸的体重是多少千克？
18．现有20千克的盐水，盐与盐水的质量比是3∶20。再加入多少千克水，盐与盐水的质量比是1∶10？
19．为了美化县城，永福县政府用同样的瓷砖铺人行道，铺16平方米需要200块瓷砖。如果铺24平方米，需要多少块瓷砖？（用比例知识解决）
20．作业本上的15个小星星可以换5面小红旗，淘气的作业本上有x个小星星可以换8面小红旗。根据以上给出的信息写出比例，并求出比例中的未知数。
21．二维码支付因其简便、安全、快捷的性能，在生活中很受大家欢迎。卖早餐的王阿姨根据需求，在摊位边上贴了收款二维码，某天早上，通过二维码收款和现金收款的比是3∶2，其中通过二维码收款219元，这天早上通过现金收款多少元？（用比例解答）
五、计算题
22．解方程。
45%x＋25%x＝ SKIPIF 1 < 0 0.9∶2＝2.25∶x 1－ SKIPIF 1 < 0 x＝ SKIPIF 1 < 0
1．A
分析：根据长方形的面积公式：S＝ab，把数据代入公式，计算出上面、左右、前面、后面的面积，然后进行计算即可。
详解：前面的面积＝后面的面积＝a×b＝ab；
左面的面积＝b×c＝bc；
上面的面积＝a×c＝ac；
前面的面积∶左面的面积为
ab∶bc
＝（ab÷b）∶（bc÷b）
＝ a∶c
上面的面积∶左面的面积为
ac∶bc
＝（ac÷c）∶（bc÷c）
＝ a∶b
观察图，上面的面积∶左面的面积＝a∶b。
故答案为：A
点睛：此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，以及长方形面积公式的灵活运用。
2．D
分析：已知大项和分项的比2∶3，大项为34个，求小项是多少，根据比例的关系，外项积＝内项积，设方程解答即可。
详解：解：设分项是x个。
2∶3＝34∶x
2x＝3×34
2x＝102
2x÷2＝102÷2
x＝51
分项有51个。
故答案为：D
点睛：考查了比例的应用，掌握比例的基本性质是解答本题的关键。
3．A
分析：设360克蜂蜜需要加水 SKIPIF 1 < 0 克，根据蜂蜜与水的质量比是3∶7，列比例解答即可求出加水的克数，据此回答即可。
详解：解：设360克蜂蜜需要加水 SKIPIF 1 < 0 克。
360∶ SKIPIF 1 < 0 ＝3∶7
3 SKIPIF 1 < 0 ＝2520
SKIPIF 1 < 0 ＝840
故答案为：A
点睛：此题是考查比和比例的应用。关键是根据蜂蜜与水的质量比是3∶7，其中蜂蜜用了360克，列比例求出加水的克数。
4．B
分析：根据蜂蜜水的甜度不变，即蜂蜜与水的比值一定，据此列比例解答即可。
详解：解：设需要加入x毫升水。
5∶100＝10∶x
5x＝100×10
5x＝1000
x＝200
故答案为：B
点睛：本题主要考查比例的实际应用，答题的关键是明确蜂蜜水的浓度不变，也就是蜂蜜与水的比值一定。
5．C
分析：根据比例的基本性质：两个外项之积等于两个内项之积；3∶5＝6∶a，化为：3a＝5×6；再根据等式的性质2，等式两边同时除以3，即可解答。
详解：3∶5＝6∶a
3a＝5×6
3a＝30
3a÷3＝30÷3
a＝10
故答案为：C
点睛：根据比例的基本性质，以及等式性质2，进行解答。
6． 13.5 40
分析：第一个空先算出现在饮料瓶的数量是原来的倍数：30÷10＝3，那么换得的钱数也是原来钱数的3倍，即现在可换：4.5×3＝13.5（元）；第二个空先算出现在换得的钱数是原来的倍数：18÷4.5＝4，那么现在需要饮料瓶的数量也是原来的4倍，即现在需要饮料瓶个数：10×4＝40（个）。
详解：由分析可知：
30÷10＝3
4.5×3＝13.5（元）
18÷4.5＝4
10×4＝40（个）
所以用30个饮料瓶可以换13.5元钱，想换得18元钱，需要40个饮料瓶。
点睛：本题考查比例的应用，注意：这两种交换的量的比始终不变。
7．6
分析：依据比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积，两个外项的积是4，则两个内项的积也是4，一个内项已知，用4除以这个内项即可求出另一个内项。
详解：4÷ SKIPIF 1 < 0 ＝4× SKIPIF 1 < 0 ＝6，另一个内项是6。
点睛：掌握比例的基本性质是解题的关键。
8．350
分析：根据题意，这时已加工的与未加工的个数比是2∶5，即此时已加工的占全部的 SKIPIF 1 < 0 ，又第一天加工了 SKIPIF 1 < 0 ，所以第二天加工了全部的 SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ，根据分数除法的意义，这批零件一共：30÷（ SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ）个。
详解：30÷（ SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ）
＝30÷（ SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ）
＝30÷（ SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ）
＝30÷ SKIPIF 1 < 0
＝30× SKIPIF 1 < 0
＝350（个）
王师傅加工一批零件，第一天加工了 SKIPIF 1 < 0 ，第二天又加工了30个，这时已加工的与未加工的个数比是2∶5，这批零件一共有350个。
点睛：首先根据两天后已加工的与未加工的个数比求出此时已加工的占全部的分率是完成本题的关键。
9． 外项 内项
分析：根据比例的基本性质：比例的两个外项之积等于两个内项之积；根据解比例的意义：如果已经知道比例中的任意三项，根据比例的基本性质，可以求出比例中另一个未知项。据此解答。
详解：根据分析可知，根据比例的基本性质，先把比例转化成外项乘积与内项乘积相等的方程，再通过解方程求出未知数的值。
点睛：熟练掌握比例的基本性质以及解比例的方法是解答本题的关键。
10． 比例 外 18
分析：比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例；组成比例的四个数，叫做比例的项，组成比例两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项；
根据比例的基本性质，在比例中，两内项之积等于两外项之积可知，已知三个项，可以求出另外一个项。
详解：A＝15×6÷5
＝90÷5
＝18
所以像15∶5＝A∶6这样表示两个比相等的式子叫比例，其中15和6是它的外项，这里的A＝18。
点睛：此题需要学生掌握比例的意义，以及比例的基本性质并灵活运用。
11．√
分析：可设爷爷今年的年龄是x岁，根据题意，可列出比例式：2∶29＝4∶x，解此比例即可知爷爷今年的年龄。再进行判断即可。
详解：解：设爷爷今年的年龄是x岁。
2∶29＝4∶x
2x＝29×4
2x÷2＝29×4÷2
x＝58
原题说法正确。
故答案为：√
点睛：本题考查了比例的应用，列出比例式2∶29＝4∶x是解答的关键。
12．√
分析：判断两个比是否能组成比例，可根据比例的性质：两内项之积等于两外项之积进行判断。
详解：由分析可得：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
所以2∶1.8和 SKIPIF 1 < 0 ∶ SKIPIF 1 < 0 符合比例的性质，可以组成比例。
故答案为：√
点睛：此题考查比例性质的运用，验证两个比能否组成比例，关键在于两内项的积是否等于两外项的积。
13．×
分析：根据比例的基本性质，两个外项的积等于两个内项的积，已知内项的积是最小的合数即4，用两个内项的积除以其中一个外项是 SKIPIF 1 < 0 ，即可求得另一个外项，据此判断。
详解：最小的合数是4
4÷ SKIPIF 1 < 0 ＝16
原题说法错误。
故答案为：×
点睛：熟练掌握比例的基本性质是解题的关键。
14．×
解析：略
15．√
解析：略
16．长是400米，车速是40米/秒
分析：设火车的长度为x米，一列火车从车头进入隧道到车尾离开隧道用了一分钟（即60秒），所行的路程为（2000＋x）米，则速度为 SKIPIF 1 < 0 米/秒；整列火车完全在隧道内的时间是40秒，所行的路程为（2000－x）米，则速度为 SKIPIF 1 < 0 米/秒，由于火车的速度是不变的， SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 解方程即可求得火车的长度，进而求得火车的速度。
详解：解：设火车的车长是x米。
1分钟＝60秒
SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0
60×（2000－x）＝40×（x＋2000）
120000－60x＝40x＋80000
120000－60x＋60x＝40x＋80000＋60x
120000＝100x＋80000
120000－80000＝100x＋80000－80000
100x＝40000
100x÷100＝40000÷100
x＝400
车速：（400＋2000）÷60
＝2400÷60
＝40（米/秒）
答：火车的车长是400米，车速是40米/秒。
17．71.4千克
分析：由题意可知，设爸爸的体重是x千克，根据体重与船下沉的高度的比值一定，可确定体重与下沉的高度成正比例，据此可列比例解答即可。
详解：解：设爸爸的体重是x千克。
35.7∶2＝x∶4
2x＝35.7×4
2x＝142.8
2x÷2＝142.8÷2
x＝71.4
答：爸爸的体重是71.4千克。
18．10千克
分析：根据题意，盐有3千克。将需要加的水的质量设为x千克，那么变化后的盐水是（20＋x）千克。根据变化后盐与盐水的质量比是1∶10，列出比例解比例即可。
详解：解：设加上x千克水后，盐与盐水的比是1∶10。
3∶（20＋x）＝1∶10
20＋x＝3×10
20＋x＝30
20＋x－20＝30－20
x＝10
答：再加入10千克水，盐与盐水的质量比是1∶10。
19．300块
分析：由题意可知，设需要x块瓷砖，根据铺1平方米需要的瓷砖的块数是一定的，则瓷砖的块数与铺的面积成正比例关系，据此列比例解答即可。
详解：解：设需要x块瓷砖。
SKIPIF 1 < 0
16x＝200×24
16x＝4800
16x÷16＝4800÷16
x＝300
答：如果铺24平方米，需要300块瓷砖。
点睛：本题考查用比例解决实际问题，明确瓷砖的块数与铺的面积成正比例关系是解题的关键。
20．15∶5＝x∶8；x＝24
分析：因为15÷5＝3（一定），是比值一定，所以小星星的总个数和小红旗的面数成正比例，据此列正比例式解答即可。
详解：15∶5＝x∶8
解：5x＝15×8
5x＝120
x＝120÷5
x＝24
答：淘气的作业本上有24个小星星。
点睛：解答此题的关键是，先判断题中的两种相关联的量成何比例，然后找准对应量列式解答。
21．146元
分析：根据题意可知，二维码收款和现金收款的比是3∶2，即二维码收款∶现金收款＝3∶2；设这天早上通过现价收款x元，二维码收款219元，列比例：219∶x＝3∶2，解比例，即可解答。
详解：解：设这天早上通过现金收款x元。
219∶x＝3∶2
3x＝219×2
3x＝438
x＝438÷3
x＝146
答：这天早上通过现金收款146元。
点睛：根据二维码收款与现金收款的比不变，设出未知数。找出相关的量，列比例，解比例。
22．x＝ SKIPIF 1 < 0 ；x＝5；x＝ SKIPIF 1 < 0
分析：（1）把原式化简为70%x＝ SKIPIF 1 < 0 ，再根据等式的性质，在方程两边同时除以70%即可；
（2）根据比例的基本性质，把比例式化为乘积式0.9x＝2×2.25，再根据等式的性质，在方程两边同时除以0.9即可；
（3）根据等式的性质，先在方程两边同时加上 SKIPIF 1 < 0 x，再同时减去 SKIPIF 1 < 0 ，最后再同时除以 SKIPIF 1 < 0 即可。
详解：45%x＋25%x＝ SKIPIF 1 < 0
解：70%x＝ SKIPIF 1 < 0
70%x÷70%＝ SKIPIF 1 < 0 ÷70%
x＝ SKIPIF 1 < 0
0.9∶2＝2.25∶x
解：0.9x＝2×2.25
0.9x＝4.5
0.9x÷0.9＝4.5÷0.9
x＝5
1－ SKIPIF 1 < 0 x＝ SKIPIF 1 < 0
解：1－ SKIPIF 1 < 0 x＋ SKIPIF 1 < 0 x＝ SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 x
SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 x＝1
SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 x－ SKIPIF 1 < 0 ＝1－ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 x＝ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 x÷ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ÷ SKIPIF 1 < 0
x＝ SKIPIF 1 < 0 ×3
x＝ SKIPIF 1 < 0