山西省部分学校2024-2025学年高二上学期期中质量检测数学试题（B卷）

这是一份山西省部分学校2024-2025学年高二上学期期中质量检测数学试题（B卷），共12页。试卷主要包含了 答题前，考生务必用直径0， 本卷命题范围， 已知点，直线l， 下列命题正确的是， 在正方体中，，，则等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1. 本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2. 答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4. 本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第三章第1节.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量，，若，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
2. 直线l：的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，在四面体中，，，，且，，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 若点在圆外，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图所示的几何体为两个正方体组成的正四棱柱，记集合，则集合A中元素个数为（ ）
A. 3B. 4C. 6D. 9
6. 已知点，直线l：，则A到l的距离的最大值为（ ）
A. 3B. C. D. 5
7. 已知实数a，b，c，d满足，，则的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
8. 椭圆是轴对称图形，亦是中心对称图形，因其对称性，受到一些艺术制品设计者的青睐.现有一工艺品，其图案的基本图形由正方形和内嵌其中的“斜椭圆”组成（如图）.在平面直角坐标系xOy中，将标准方程表示的椭圆绕着对称中心旋转一定角度，可得“斜椭圆”.已知一“斜椭圆”C的方程为，则该“斜椭圆”C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线均可用方程表示
B. 方程（m，n为常数）不能表示垂直于y轴的直线
C. 经过点的直线均可用方程（，不同时为0）表示
D. 经过两个不同的点，的直线均可用方程表示
10. 在正方体中，，，则（ ）
A. 若，则点P的轨迹为线段
B. 若，则点P的轨迹为连接棱AD的中点和棱中点的线段
C. 若，则三棱锥的体积为定值
D. 若，则BP与平面ABCD所成角的余弦值的最大值为
11. 已知圆C：，为圆C上一点，点，，则（ ）
A. 当最小时，B. 当最大时，
C. 的取值范围为D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知椭圆的焦距为2，则______.
13. 若圆C：与曲线有两个公共点，则r的取值范围为______.
14. 如图，在平行四边形ABCD中，，，沿AC将折起到的位置，使得点P到点B的距离为，则二面角的大小为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
（1）求两焦点分别为，，且过点的椭圆的标准方程；
（2）求与x轴相切，圆心在直线上，且截直线所得弦长为的圆的方程.
16.（本小题满分15分）
已知圆C：和点.
（1）过点M作一条直线与圆C交于A，B两点，且，求直线AB的方程；
（2）过点M作圆C的两条切线，切点分别为E，F，求EF所在的直线方程.
17.（本小题满分15分）
如图，在以P为顶点的圆锥中，点O是圆锥底面圆的圆心，AB是圆锥底面圆的直径，C，D为底面圆周上的两点，且为等边三角形，E是母线PB的中点，.
（1）求平面ADE与平面ACE的夹角的余弦值；
（2）设AE与PO交于点M，求直线CM与平面ADE所成角的正弦值.
18.（本小题满分17分）
已知点A，B是椭圆C：的上、下顶点，点P满足.
（1）求点P的轨迹方程；
（2）是否存在点P，使得过点P的动直线l交椭圆C于M，N两点，且BM与BN的斜率之和为定值？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.
19.（本小题满分17分）
如图，在多面体ABCDEF中，平面平面ADEF，四边形ADEF为平行四边形，，，，，，P为EC的中点.
（1）求证：；
（2）求点P到平面ABF的距离；
（3）在线段BC上是否存在一点H，使得平面DHP与平面BEF的夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
2024~2025学年高二期中质量检测卷·数学（B卷）
参考答案
1. B 因为，所以，所以，，所以.故选B.
2. D 由题意知l的斜率为，设l的倾斜角为，，则，所以.故选D.
3. C 由题意得，
.故选C.
4. B 由题意得，解得.故选B.
5. A 因为平面，平面，平面均与直线AB垂直，所以终点在这三个平面上的相应向量在向量上的投影向量分别相同，且互不相等，故共有3个不同的值.故选A.
6. D 将直线l的方程变形为，由，得，所以直线l过定点，当时，点P到l的距离最大，故最大距离为.故选D.
7. D 由题意知点和点分别是直线：和直线：上的点，表示，即两平行直线，上的两个点之间距离的平方，其最小值为与之间距离的平方，又与之间距离，所以的最小值为4.故选D.
8. A 由题知“斜椭圆”的中心为坐标原点，由椭圆的对称性得长半轴的长度为曲线上的点到原点距离的最大值，短半轴的长度为曲线上的点到原点距离的最小值，由基本不等式，得，故，当且仅当时，成立，当且仅当时，成立，所以椭圆的长半轴长为，短半轴长为，所以椭圆的离心率为.故选A.
9. BC 对于A，当时，不可以用方程表示，故A错误；对于B，无论实数m，n取何值，方程均不可以表示垂直于y轴的直线，故B正确；对于C，当直线垂直于x轴，则直线方程为时，此时存在，；当直线不垂直x轴时，此时存在，，故过点均可表示为，故C正确；对于D，过，的直线方程为，故D错误.故选BC.
10. BCD 若，因为，，则点P与D，三点共线，故点P的轨迹为线段，故A错误；若，则，故点P的轨迹为连接AD的中点和的中点的线段，故B正确；若，则点P在线段上，易知平面，且，所以三棱锥的体积为定值，故C正确；若，点P的轨迹为连接和的中点的线段，过P作，垂足为E，易证平面ABCD，连接BE，则BP与平面ABCD所成的角为，所以，所以当时，取得最大值为，故D正确.故选BCD.
11. ABD 当取得最大值或最小值时，直线AP与圆C相切，利用切线长相等的性质，这两种情况的切线长均等于，故A，B均正确；设，则点在直线上，又在圆C上，故直线与圆C有公共点，所以，所以，解得，故C错误；表示点与点P距离的平方，点与点P的最小距离为，故的最小值为，故D正确.故选ABD.
12. 5或7 由题意知，所以.当椭圆的焦点在x轴上时，且，解得；当椭圆的焦点在y轴上时，且，解得，故m的值为5或7.
13. 曲线为折线，如图所示，当时，圆C与折线有两个交点，当圆C与折线相切时，也有两个公共点，此时，故r的取值范围为.
14. 因为，所以，由题意知，，，，，所以，所以，设的大小为，则与互补，故，又，所以.
15. 解：（1）设椭圆的方程为，
则，……3分
所以，……4分
由题意知椭圆的半焦距，……5分
所以，
故所椭圆的标准方程为.……7分
（2）设所求圆的方程为，由题意得，……10分
解得，或，
故所求圆的方程为或.……13分
16. 解：（1）圆C：，则圆心，半径.……1分
①若直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为，即，
所以C到直线AB的距离，……3分
所以，故AB的方程为，即.……5分
②若直线AB的斜率不存在，则直线AB的方程为，代入圆C的方程，得，解得，，此时，满足题意.
综上所述，直线AB的方程为或.……8分
（2）连接CE，CF，则M，E，C，F四点在以线段MC为直径的圆上，
线段MC的中点为，，……10分
故过M，E，C，F四点的圆的方程为，
即，……13分
与圆C：的方程相减，得，
即直线EF的方程为.……15分
17. 解：（1）设AB交CD于点F，连接EF，
因为等边是圆锥底面圆O的内接三角形，AB为直径，所以，
所以，所以，……1分
所以，所以，所以F是OB的中点，
又E是母线PB的中点，所以.……2分
由题意知底面圆O，AB，底面圆O，所以，，
所以，.……3分
以F为坐标原点，直线CD，AB，FE分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图所示），
则，，，，
所以，，.……4分
设平面ADE的一个法向量，则，
即，令，解得，，所以.……6分
设平面ACE的一个法向量，则，即，
令，解得，，所以，……8分
设平面ADE与平面ACE的夹角为，
则.……10分
（2）由（1）知，因为AE与PO交于点M，，
所以，即，所以，所以，
所以，……12分
由（1）知平面ADE的一个法向量为，
设直线CM与平面ADE所成的角为，
则，
即直线CM与平面ADE所成角的正弦值为.……15分
18. 解：（1）由点A，B是椭圆C：的上、下顶点，则，，……1分
设，由，得，……2分
化简整理，得，
所以点P的轨方程为.……4分
（2）假设存在点P满足题意，由（1）知，设动直线l的方程为，，，由题意知，……6分
联立l和C的方程，得，消去y并整理，得，
所以，即，
，，……8分
所以.……10分
由题意知为定值，设为t，即，……11分
所以，所以，所以，
所以令，得，所以，……13分
所以直线l过定点，代入圆，得，解得，
故存在点P，其坐标为.……17分
19.（1）证明：在中，因为，，，
所以，
所以，所以，……2分
又平面平面ADEF，平面平面，平面ADEF，
所以平面ABCD，
又平面ABCD，所以.……5分
（2）解：由（1）可得，，又，所以DA，DC，DF两两垂直，以DA，DC，DF所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，
所以，，.……7分
设平面ABF的一个法向量，则，
则，令，则，，所以，
所以点P到平面ABF的距离.……9分
（3）解：假设存在，设，则，
所以，……10分
设平面DHP的一个法向量，因为，
所以，即，令，则，，
所以，……12分
设平面BEF的一个法向量，因为，，
所以，即，
令，则，，所以，……14分
设平面DHP与平面BEF的夹角为，
则，
解得或（舍），
所以存在点H，使得满足要求，此时，即.……17分