河北省石家庄市第四十四中学2024-2025学年九年级上学期期中数学试题

这是一份河北省石家庄市第四十四中学2024-2025学年九年级上学期期中数学试题，共11页。

1．已知关于x的一元二次方程x​2+2x+3c=0有一个解为x=1，则c的值为（ ）
A．-2B．-1C．1D．2
2．反比例函数y=kx的图象如图所示，则k的值可能是（ ）
A．0B．1C．2D．2
3．如图，⊙O中，若∠BAC=70​∘，则∠BOC的度数是（ ）
A．100​∘B．130​∘C．120​∘D．140​∘
4．如图，在8×4的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，则tan∠ACB的值为（ ）
A．1B．13C．12D．22
5．如图，在▱ABCD中，点E在DC边上，连接AE，交BD于点F，若DC:BC=3:2，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A．3:5B．9:4C．9:25D．3:2
6．去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的梨树中各采摘了10棵，产量的平均数及方差如下表所示：今年从四个品种中选出一种产量既高又稳定的进行种植，应选的品种是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
7．用配方法解方程x​2-4x-1=0，下列变形正确的是（ ）
A．(x-2)​2=5B．(x-4)​2=5C．(x-4)​2=3D．(x-2)​2=3
8．物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图1所示. 经测试，发现电流I(A)随着电阻R(Ω)的变化而变化，并结合数据描点，连线，画成图2所示的函数图象. 若该电路的最小电阻为1Ω，则该电路能通过的（ ）
A．最大电流是36AB．最大电流是27AC．最小电流是36AD．最小电流是27A
9．若关于x的一元二次方程x2+2x+p=0两根为x1、x2，且1x1+1x2=3，则p的值为（ ）
A．23B．23C．-6D．6
10．某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车后视镜C设计为整个车身黄金分割点的位置（如图），若该车车身总长AB约为4.14米，则车头A与后视镜C的水平距离约为（ ）
A．1.58米B．2.56米C．3.70米D．3.82米
11．“奇妙”手工课堂开采啦！一起动手试试吧：拿出一张正方形的纸片，在上面剪出一个扇形和一个圆，尝试后发现圆恰好是该圆锥的底面. （圆心O与圆锥顶点同在如图虚线上）测量后得知，圆锥母线长16cm，则以下这张正方形纸片的边长是（ ）cm.
A．162B．102+4C．20D．182
12．根据图①所示的程序，得到了y与x的函数图象，如图②. 若点M是y轴正半轴上任意一点，过点M作PQ平行x轴交图象于点P,Q，连接OP,OQ，则以下结论：①x<0时，y=2x；②△OPQ的面积为定值；③x>0时，y随x的增大而增大；④MQ=2PM，⑤∠POQ可以等于90​∘. 其中正确结论是（ ）
A．①②⑤B．②④⑤C．③④⑤D．②③⑤
二.填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．方程x​2=3x的解是________________________________________.
14．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接CE，若∠BAD=105​∘，则∠DCE=__​∘.
15．如图所示，已知在梯形ABCD中，AD//BC，S△ABDS△BCD=12，则S△BOCS△BCD=________.
16．点P是⊙O内一点，⊙O的半径为15，点P到圆心O的距离为9，通过点P，长度是整数的弦的条数是__条.
三.解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分8分）
（1）解方程：x2-1=2(x+1)；
（2）计算：2cs30∘-tan45∘-(1-tan60∘)2.
18．（本小题满分8分）
如图，在边长为1的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，以原点O为位似中心，在第一象限内将△OAB放大到原来的2倍后得到△OA​'B​'，其中A、B在图中格点上，点A、B的对应点分别为A​'、B​'.
（1）在第一象限内画出△OA​'B​'；
（2）求△OA​'B​'的面积；
（3）若点P(m,n)在边OB上，直接写出点P位似后的对应点P1的坐标____________________.
19．（本小题满分8分）
2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来. 某校为了解该校学生一周的课外劳动情况，随机抽取部分学生调查了他们一周的课外劳动时间，将数据进行整理并制成如一统计图.
请根据图中提供的信息，解答下列的问题：
（1）求图1中的m=__，本次调查数据的中位数是______h，本次调查数据的众数是______h；
（2）若该校共有2000名学生，请根据统计数据，估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数.
20．（本小题满分8分）
某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示:
（1）求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件售价；如果不能，说明理由.
21．（本小题满分9分）
如图，已知一次函数y1=kx+b的图像与函数y2=mx(x>0)的图像交于A(6,-12),B(12,n)两点，与y轴交于点C，将直线AB沿y轴向上平移t个单位长度得到直线DE，DE与y轴交于点F.
（1）求y1、y2的解析式；
（2）观察图像，直接写出y1（3）连接AD，CD，若△ACD的面积为6，则t的值为______.
22．（本小题满分9分）
实验是培养学生创新能力的重要途径. 如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处. 现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管AB=24cm,BE=13AB，试管倾斜角∠ABC为12∘.
（1）求试管B与铁杆DE的水平距离BC的长度；
（2）实验时，导气管紧靠水槽壁MN，延长BM边CN的延长线于点F，且MN⊥CF于点N（点C,D,N，F在一条直线上），经测得：DE=28cm,MN=8cm,∠ABM=147∘，求线段DN的长度.
（参考数据：sin12∘≈0.20；cs12∘≈0.98；tan12∘≈0.21）
23．（本小题满分11分）
问题呈现
（1）如图①，在△ABC中，∠A=120∘,AB=AC=5，则△ABC外接圆半径R为______；
问题探究
（2）如图②，⊙O的半径为13，弦AB=24，点M是AB的中点，点P是⊙O上一动点，则PM的最大值为__；
问题解决
（3）如图③所示，AB,AC，弧BC是某开发区的三条规划路，其中，AB=6km,AC=3km,∠BAC=60∘，弧BC所对的圆心角为60​∘. 开发区管理委员会想在弧BC路边修建物资总站点下P，在AB,AC路边分别修建物资分站点E、F，也就是说，分别在弧BC，线段AB和AC上选取点P,B,F. 由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站间按照P-E-F-P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE,EF和FP. 为了快捷、环保和节约成本，要使得线段PE,EF,FP之和最短，试求PE+EF+FP的最小值（各物资站点与所在道路之间的距离、宽度均忽略不计）.
24．（本小题满分11分）
问题呈现．如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD,CE，求证：BD=CE.
类比探究．如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90∘. 连接BD,CE，请直接写出BDCE的值.
拓展提升．如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC=∠ADB=90∘，且ABBC=ADDE=34，连接BD,CE.
①求BDCE的值；
②延长CE交BD于点F，交AB与点G，求sin∠BFC的值.
【参考答案】
2024-2025学年第一学期阶段二测试
九年级 数学
一.选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．B 2．C 3．D 4．B 5．C 6．B 7．A 8．A 9．A 10．A 11．B 12．B
二.填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．x1=0,x2=3
14．15
15．23
16．12
三.解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（1） x1=-1，x2=3；
（2） 0
18．（1） 如图，△OA​'B​'即为所求.
（2） △OA​'B​'的面积为12×(2+4)×6-12×4×2-12×2×4=18-4-4=10
（3） (2m,2n)
[解析]由题意得，点P位似后的对应点P1的坐标为(2m,2n).
故答案为：(2m,2n).
19．（1） 25； 3； 3
[解析]4÷10%=40，
∴参与调查的学生人数为40人，
∴m%=1040×100%=25%，
∴m=25，
∴参与调查的学生人数一共有40人，将他们的劳动时间从低到高排列，处在第20名和第21名的劳动时间分别为3h，3h
∴中位数为3+32=3h,
由条形统计图可知，劳动时间为3h的人数最多，
∴众数为3h，
故答案为：25，3，3；
（2） 2000×15+10+340=1400（人），
答：估计该校学生一周的课外劳动时间不小于3h的人数为1400人.
20．（1） 由题意，设一次函数的关系式为y=kx+b，又结合表格数据图象过(45,55)，(55,45)，
45k+b=5555k+b=45.
k=-1b=100
∴所求函数关系式为y=-x+100.
（2） 由题意，销售额=x(-x+100)=-x​2+100x，
又销售额是2600元，
∴2600=-x​2+100x.
∴x​2-100x+2600=0.
∴Δ=(-100)​2-4×2600
=10000-10400
=-400<0.
∴方程没有解，故该商品日销售额不能达到2600元.
21．（1） 将点A(6,-12)代入y2=mx中，
∴m=-3,
∴y2=-3x，
B(12,n)在y2=-3x中，可得n=-6,
∴B(12,-6)，
将点A、B代入y1=kx+b,
12k+b=-66k+b=-12，
解得k=1b=-132，
∴y1=x-132；
（3） 2
[解析]在y1=x-132中，令x=0，则y=-132，C(0,-132)，
直线AB沿y轴向上平移t个单位长度，
∴直线DE的解析式为y=x-132+t，
∴F点坐标为(0,-132+t)，
过点F作GF⊥AB于点G，连接AF，
直线AB与x轴交点为(132,0)，与y轴交点C(0,-132)，
∴∠OCA=45​∘，
∴FG=CG，
FC=t，
∴FG=22t，
∵A(6,-12)，C(0,-132)，
∴AC=62，
∵AB//DF，
∴S△ACD=S△ACF，
∴12×62×22t=6，
∴t=2，
故答案为：2.
22．（1） ∵AB=24cm，BE=13AB，
∴BE=13×24=8，
∵cs12∘=BG8，
∵BG=8cs12∘(cm)
（2） ∵sin12​∘=EGBE，
∴EG=8sin12∘(cm)，
延长GB，NM交于点H，
∴四边形DNHG是矩形，
∴NH=DG=DE-EG=28-8sin12​∘(cm)，
∴HM=NH-MN=20-8sin12​∘(cm)，
∵∠ABG=12​∘,∠ABM=147​∘，
∴∠FBG=135​∘，
∴∠MBH=45​∘，
∴BH=HM=20-8sin12∘(cm)，
∴DN=GH=BG+BH=8cs12∘+20-8sin12∘(cm)
23．（1） 5
解：∵AB=AC，∠BAC=120​∘，
∴∠C=30​∘.
设△ABC的外接圆圆心为点O，连接OA，OB，
则∠AOB=2∠C=60​∘.
又OA=OB，∴△OAB是等边三角形，
∴R=OA=AB=5.
（2） 18
[解析]如图（1），连接OM，OA，
∵M是弦AB的中点，
∴OM⊥AB，AM=12AB=12.
在Rt△AOM中，由勾股定理得OM=AO​2-AM​2=5.
延长MO交⊙O于点P​'，连接OP，
易知PM≤OM+OP=OM+OP'=MP'=18，
故当点P运动到点P​'时，PM取得最大值，最大值为18.
（3） 如图（2），P​'为BC⌢上任意一点，分别作点P​'关于直线AB，AC的对称点P1​'，P2​'，连接P1​'P2​'，分别与AB,AC相交于点E',F'，连接P'E',P'F'，
∴△P'E'F'的周长=P1'E'+E'F'+P2'F'=P1'P2'.
对于点P'及分别在AB,AC上的任意点E,F，
有△P'EF的周长≥△P'E'F'的周长=P1'P2'，
即△P'EF周长的最小值为P1'P2'的长.
连接AP1',AP',AP2'，
则AP1'=AP'=AP2',∠P1'AB=∠P'AB,∠P2'AC=∠P'AC，∴∠P1'AP2'=2∠BAC=120∘，
∴P1​'P2​'=3AP1​'=3AP​'，
∴要使P1​'P2​'最短，只要AP​'最短.
设点O为BC所在圆的圆心，连接OB,OC,OP',OA，且OA与BC⌢相交于点P，则AP​'+P​'O≥AO，
∴AP​'≥AP.
∴当P'位于P的位置时，AP'最短.
连接BC，易证，△ACB为直角三角形，且∠ABC=30​∘,∠ACB=90​∘,∴BC=AC⋅tan60​∘=33.
∵∠BOC=60​∘,OB=OC，
∴BO=BC=33,∠OBC=60∘,∠ABO=∠ABC+∠OBC=90∘. 在Rt△ABO中，AO=AB2+BO2=62+(33)2=37，
∴3AP=3(AO-OP)=3×(37-33)=321-9，
∴P1'P2'的最小值为3AP=321-9，
∴PE+EF+FP的最小值为(321-9)km.
24．问题呈现 证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD=AE,AB=AC，∠DAE=∠BAC=60∘，
∴∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≅△CAE(SAS)，
∴BD=CE；
类比探究 ∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AEAE=ABAC=12，∠DAE=∠BAC=45∘，
∴∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD-△CAE，
∴BDCE=ABAC=12=22；
拓展提升 ① ∵ABBC=ADDE=34，∠ABC=∠ADE=90​∘，
∴△ABC-△ADE，
∴∠BAC=∠DAE,ABAC=ADAE=35，
∴∠CAE=∠BAD，
∴△CAE-△BAD，
∴BDCE=ADAE=35；
② 由（1）得：△CAE-△BAD，
∴∠ACE=∠ABD，
∵∠AGC=∠BGF，
∴∠BFC=∠BAC，
∴sin∠BFC=BCAC=45.甲
乙
丙
丁
x
24
24
23
20
S2
2.1
1.8
2
1.9
每件售价x/元
…
45
55
65
…
日销售量y/件
…
55
45
35
…