2023-2024学年山东省青岛市市南区八年级(上)期中数学试卷（解析版）

这是一份2023-2024学年山东省青岛市市南区八年级(上)期中数学试卷（解析版），共23页。试卷主要包含了 下列各组数中，是勾股数的是， 下列计算正确的是， 点P等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1. 下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A. 6，8，12B. ，1C. 8，15，16D. 9，12，15
【答案】D
【解析】A、∵，∴6，8，12不是一组勾股数，本选项不符合题意；
B、∵不是正整数，∴，1不是一组勾股数，本选项不符合题意；
C、∵，∴8，15，16不是一组勾股数，本选项不符合题意；
D、∵，∴9，12，15是一组勾股数，本选项符合题意；
故选：D．
2. 下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】，，
，
△ABC是直角三角形，
故A不符合题意；
，
△ABC是直角三角形，
故B不符合题意；
，变形可得，
△ABC是直角三角形，
故C不符合题意；
，，
，，，
△ABC不是直角三角形，
故D符合题意，
故选：D．
3. 如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形组成的一个大正方形，已知大正方形面积为25，，用a、b表示直角三角形的两直角边，下列选项中正确的是（ ）

A. 小正方形的面积为4B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据题意可得：，故B错误，
，
，故D错误，
，故A错误，
，
∴，
，故C正确；
故选：C．
4. 如图,数轴上点A所表示的实数是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由勾股定理，得斜边的长为，
由圆的性质可知，点A到-1的距离为，
故点A表示的数为，
故选B．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，故A计算错误，不符合题意；
和不是同类二次根式，不能合并，故B计算错误，不符合题意；
，故C正确，符合题意；
为有理数，为二次根式，不能合并，故D计算错误，不符合题意；
故选C．
6. 点P（a-2，a+1）在x轴上，则a的值为（ ）
A. 2B. 0C. 1D. -1
【答案】D
【解析】∵点P（a-2，a+1）在x轴上，
∴a+1=0，
解得：a=-1，
故选：D．
7. 一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲、乙两人骑自行车分别从A村、B村同时出发前往C村，甲、乙之间的距离s（km）与骑行时间t（h）之间的函数关系如图所示，下列结论：①A，B两村相距10km；②甲出发2h后到达C村；③甲每小时比乙多骑行8km；④相遇后，乙又骑行了30min或55min时两人相距4km．其中正确的是（ ）
A ①③④B. ①②③C. ①②④D. ①②③④
【答案】D
【解析】由图象可知，当时，，
则两村相距，结论①正确；
由函数图象可知，甲的速度大于乙的速度，在时两人相遇，然后在时，甲到达村，之后两人之间的距离开始减小，则结论②正确；
甲每小时比乙多骑行的路程为，则结论③正确；
乙的速度为，甲的速度为，
当两人相遇后，甲未到达村时，，
当两人相遇后，甲已到达村时，，
综上，相遇后，乙又骑行了或时两人相距，结论④正确；
综上，正确的是①②③④，
故选：D．
8. 已知直线经过一、二、四象限，则直线的图象只能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】直线经过一、二、四象限，
，，
，
直线的图象经过一、二、三象限，
选项B中图象符合题意．
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
9. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________．
【答案】5或
【解析】①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时，
第三边的长为：；
②长为3、4的边都是直角边时，
第三边的长为：；
∴第三边的长为：或5，
故答案为：或5．
10. 有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为时，输出的y值是_______．
【答案】
【解析】当输入是时，取算术平方根是，是有理数；
再把输入，的算术平方根是，是有理数；
再把输入，的算术平方根是是无理数，
所以输出是．
故答案为：．
11. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则______．

【答案】
【解析】根据实数a、b在数轴上的位置可以确定，
∴，．
∴，
故答案为：．
12. 已知是一次函数，则m=_______.
【答案】3
【解析】由题意得，，解得，
又∵，所以
故答案为3.
13. 如图，在桌面上的长方体中，长为8米，宽为6米，高为4米，点在棱上，且．一只蚂蚁从点出发沿长方体的表面爬到点，则它爬行的最短路程为______米．
【答案】
【解析】∵长方体中，长为8米， ，
∴，
如图，把长方体沿前面与上面展开，过作于，
则，
∴，
如图，把长方体沿左边面与上面展开，
则，
∴，
如图，把长方体沿左边面与后面展开，过作于，
则，
∴，
而，
∴一只蚂蚁从点出发沿长方体的表面爬到点，则它爬行的最短路程为米，
故答案为：．
14. 如图，平面直角坐标系中，点都在轴上，点都在直线上，，且，分别是以为直角顶点的等腰直角三角形，则的面积是_______．
【答案】
【解析】∵OA1=1，
∴点A1的坐标为（1，0），
∵△B1A1A2是等腰直角三角形，
∴A1B1= A1A2 =OA1=1，
∴B1（1，1），B1A2= ，
∵△B2B1A2为等腰直角三角形，
∴A2A3=2，B2（2，2），
同理可得，B3（22，22），B4（23，23），…B10（29，29），
∴，
∴.
故答案为．
三．解答题（共9小题，满分78分）
15. 计算
（1）；
（2）
（3）
（4）
解：（1）原式=．
（2）原式=．
（3）原式= ．
（4）原式= ．
16. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是______；
（2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为______；
（3）已知P为x轴上一点，若
△ABP的面积为1，求点P的坐标．
解：（1）∵、、．
∴在平面直角坐标系中画出△ABC如下；
；
故答案为：4；
（2）点D与点关于y轴对称，则点D的坐标为；
故答案为：；
（3）∵P为x轴上一点，△ABP的面积为1，
即，
∴，
∴，
∵，所以点的横坐标为：或，
故P点坐标为：或．
17. 如图，点在△ABC中，，，，

（1）求的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
解：（1）∵，，，
，
（2）∵，，
，
是直角三角形，，
．
故图中阴影部分的面积为．
18. 已知的立方根是4，的算术平方根是5，c是9的算术平方根，
（1）求a，b，c的值
（2）求的平方根．
解：（1）∵，∴，∴；
∵，∴，∵，∴；
∵，∴；
（2）把：代入得：
，
∵，
∴的平方根是：．
19. 甲、乙两家体育用品商店出售相同的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球每盒定价20元，乒乓球拍每副定价100元．现两家商店都搞促销活动，甲店每买一副球拍赠两盒乒乓球，乙店按八折优惠．某俱乐部需购球拍4副，乒乓球盒．
（1）若在甲店购买付款（元），在乙店购买付款（元），分别写出，与x的函数关系式．
（2）若该俱乐部需要购买乒乓球30盒，在哪家商店购买合算？
解：（1）由题意，在甲店购买需付款：（元），
在乙店购买需付款：（元）；
（2）当时，（元），
当时，（元），
，
选乙家比较合算．
20. 甲、乙两车早上从A城车站出发匀速前往B城车站，在整个行程中，两车离开A城的距离s与时间t的对应关系如图所示：
（1）A，B两城之间距离是多少？
（2）求甲、乙两车的速度分别是多少？
（3）乙车出发多长时间追上甲车？
（4）从乙车出发后到甲车到达B城车站这一时间段，在何时间点两车相距？
解：（1）由图象可知A、B两城之间距离是300km；
（2）由图象可知，甲的速度==60（km/h），
乙的速度==100（km/h），
∴甲、乙两车的速度分别是60km/h和100km/h；
（3）设乙车出发xh追上甲车，
由题意：60（x+1）=100x，
解得：x=1.5，
∴乙车出发1.5h追上甲车；
（4）设乙车出发后到甲车到达B城车站这一段时间内，甲车与乙车相距40km时甲车行驶了mh，
①当甲车在乙车前时，
得：60m-100（m-1）=40，
解得：m=1.5，
此时是上午6：30；
②当甲车在乙车后面时，
100（m-1）-60m=40，
解得：m=3.5，
此时是上午8：30；
③当乙车到达B城后，
300-60m=40，
解得：m=，
此时是上午9：20．
∴分别在上午6：30，8：30，9：20这三个时间点两车相距40km．
21. 小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律.
下面是小丽的探究过程，请补充完整：
（1）具体运算，发现规律，
特例：
特例：
特例：
特例：______填写一个符合上述运算特征的例子；
（2）观察、归纳，得出猜想.
如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为：______；
（3）证明你的猜想；
（4）应用运算规律化简：______.
解：（1）由题意得：，
故答案为：；
（2）特例
特例
特例

用含的式子表示为：，
故答案为：；
（3）等式左边右边，
故猜想成立；
（4）

.
故答案为：.
22. （1）如图1，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．求该长方体中能放入木棒的最大长度；
（2）如图2，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程．
（3）若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？
解：（1）由题意得：如图，该长方体中能放入木棒的最大长度是：
；
（2）①如图，，
②如图，，
③如图，，
∵
∴最短路程为；
（3）高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部点处有一饭粒，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点处，
，，
将容器侧面展开，作关于的对称点，
连接，则即为最短距离，
．
23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点A，直线过点A，与x轴交于点C，点P是x轴上方一个动点．

（1）求直线的函数表达式；
（2）若点P在线段上，且，求点P的坐标；
（3）当 时，动点M从点B出发，先运动到点P，再从点P运动到点C后停止运动．点M的运动速度始终为每秒1个单位长度，运动的总时间为t（秒），请直接写出t的最小值．
解：（1）∵点A在y轴上，直线过点A，
∴点A坐标为，
将点和点代入直线，
得，
解得，
∴直线AB的函数表达式为；
（2）设点P坐标为，

令，得，
∴点C坐标为，
∵点，点，
∴，，，
∴，
∵点P在线段上，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴点P坐标为；
（3）设点P纵坐标为，
∵，点P是x轴上方的一个动点，
∴，
解得，
作点B关于直线的对称点，连接，交直线于点P，连接，

则的最小值即为的长，
∵点B坐标为，
∴点B′坐标为，
∴，
∵点M的运动速度始终为每秒1个单位长度，
∴s，
∴t的最小值为．
四．附加题（共2小题，满分0分）
24. 我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，，，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求的算术平方根．
解：，的算术平方根是．
你看明白了吗？请根据上面的方法化简：
（1）
（2）
（3）．
解：（1）原式

；
（2）原式


；
（3）
．
25. 在如图的平面直角坐标系中，直线n过点A（0，﹣2），且与直线l交于点B（3，2），直线l与y轴交于点C．
（1）求直线n的函数表达式；
（2）若△ABC的面积为9，求点C的坐标；
（3）若△ABC是等腰三角形，求直线l的函数表达式．
解：（1）设直线n的解析式为：y＝kx+b，
∵直线n：y＝kx+b过点A（0，﹣2）、点B（3，2），
∴ ，解得： ，
∴直线n的函数表达式为：y＝x﹣2；
（2）∵△ABC的面积为9，
∴9＝•AC•3，
∴AC＝6，
∵OA＝2，
∴OC＝6﹣2＝4或OC＝6+2＝8，
∴C（0，4）或（0，﹣8）；
（3）分四种情况：
①如图1，当AB＝AC时，
∵A（0，﹣2），B（3，2），
∴AB＝＝5，
∴AC＝5，
∵OA＝2，
∴OC＝3，
∴C（0，3），
设直线l的解析式为：y＝mx+n，
把B（3，2）和C（0，3）代入得： ，
解得： ，
∴直线l的函数表达式为：y＝x+3；
②如图2，AB＝AC＝5，
∴C（0，﹣7），
同理可得直线l的解析式为：y＝3x﹣7；
③如图3，AB＝BC，过点B作BD⊥y轴于点D，
∴CD＝AD＝4，
∴C（0，6），
同理可得直线l的解析式为：y＝x+6；
④如图4，AC＝BC，过点B作BD⊥y轴于D，
设AC＝a，则BC＝a，CD＝4﹣a，
根据勾股定理得：BD2+CD2＝BC2，
∴32+（4﹣a）2＝a2，
解得：a＝ ，
∴OC＝﹣2＝ ，
∴C（0，），
同理可得直线l的解析式为：y＝x+；
综上，直线l的解析式为：y＝x+3或y＝3x﹣7或y＝x+6或y＝x+．