2023-2024学年山东省淄博市沂源县七年级(上)期中数学试卷（解析版）

这是一份2023-2024学年山东省淄博市沂源县七年级(上)期中数学试卷（解析版），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A 7，8，9B. 5，6，7
C. 5，12，13D. 21，25，28
【答案】C
【解析】A、，不能构成直角三角形，故不是勾股数，不符合题意；
B、，不能构成直角三角形，故不是勾股数，不符合题意；
C、，能构成直角三角形，且都是正整数，是勾股数，符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故不是勾股数，不符合题意.
故选：C．
2. 具备下列条件的中，不是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A、由及可得，不是直角三角形，故符合题意；
B、由及可得，是直角三角形，
故不符合题意；
C、由及可得，
是直角三角形，故不符合题意；
D、由及可得，是直角三角形，故不符合题意.
故选：A．
3. 随着人们物质生活的提高，玩手机成为一种生活中不可缺少的东西，手机很方便携带，但唯一的缺点就是没有固定的支点，为了解决这一问题，某工厂研制生产了一种如图所示的手机支架．把手机放在上面就可以方便地使用手机，这是利用了三角形的哪一个性质（ ）
A. 三角形两边之和大于第三边B. 三角形具有稳定性
C. 三角形的内角和是D. 直角三角形两个锐角互余
【答案】B
【解析】因为三角形具有稳定性，手机支架与桌面形成了一个三角形，所以是利用了三角形的稳定性．
故选：B．
4. 三角形按角分类可以分为（ ）
A. 锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
B. 等腰三角形、等边三角形、不等边三角形
C. 直角三角形、等边直角三角形
D. 以上答案都不正确
【答案】A
【解析】三角形按角分类可以分锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.
故选：A．
5. 如图，已知与关于直线l对称，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵与关于直线l对称，∴△ABC≌△A′B′C′，
∴∠A＝∠A′＝25°，
∵∠B＝110°，∴∠C＝180°−∠B−∠A＝180°−25°−110°＝45°．
故选：B．
6. 如图，添加以下哪一组条件仍不能判定的是（ ）
A. B.
C. D. 点与点关于直线对称
【答案】C
【解析】由题意可得：，
A、，通过可以判定，本选项不符合题意；
B、，通过可以判定，
本选项不符合题意；
C、，无法判定，本选项符合题意；
D、点与点关于直线对称，则，
则通过可以判定，本选项不符合题意.
故选：C．
7. 如图，点P是内的一点，分别作点P关于、的对称点，，连接交于M，交于N，若，则的周长为（ ）
A. 15B. 20C. 25D. 30
【答案】A
【解析】∵P点关于OA、OB的对称点P1，P2，∴P1M＝PM，P2N＝PN，
△PMN的周长=MN+PM+PN=MN+P1M+P2N=P1P2，
∵P1P2=15，∴△PMN的周长为15．
故选：A．
8. 如图，是等边三角形，为中线，，若，则的长为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】在等边三角形ABC中，为中线，
∴，，∴，
∵∴，∴，∴，
在中：，∴，
在中，∴，∴．
故选：C．
9. 如图，是一张直角三角形的纸片，两直角边，现将折叠，使点B点A重合，折痕为DE，则BD的长为（ ）
A. 7B. C. 6D.
【答案】B
【解析】∵将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，∴AD=BD，
设BD=x，则CD=8-x，
在Rt△ACD中，∵AC2+CD2=AD2，∴62+（8-x）2=x2，
解得x=，∴BD=．
故选：B．
10. 如图，点是内任意点，分别是射线OA，和射线OB上的动点，周长的最小值为8cm，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，
分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，
∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，
∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，
∵△PMN周长的最小值是8cm，∴PM+PN+MN=8，∴DM+CN+MN=8，
即CD=8=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，
∴∠AOB=30°.
故选：A．
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分，只要求填写最后结果．
11 Rt中，∠C=90°，∠B=2∠A，BC=3cm，AB=____cm．
【答案】6
【解析】如图：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∴∠A+∠B=90°，
∴∠A=30°，∠B=60°，
∴=，
∵BC=3cm，∴AB=2×3=6cm．
12. 如图，已知中，，分别是的角平分线．经过点，且，分别交于于，则的周长为______．
【答案】
【解析】∵分别是的角平分线，
∴，，
∵，∴，，
∴，
∴的周长为.
13. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为_____．
【答案】3
【解析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a－b，
∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，∴4×ab＋(a－b)2＝25，
∴(a−b)2＝25－16＝9，∴a－b＝3.
14. 一个门框尺寸如图所示，一块长2.5米，宽2.2米的长方形薄木板能否从门框内通过？答：______．（填“能”或“不能”）
【答案】能
【解析】连接，如图所示：
在中，根据勾股定理可得：，
又∵，∴木板的宽，∴木板能从门框内通过．
15. 如图，延长的边至点的平分线与的内角平分线交于点，若，则_____．
【答案】
【解析】延长，作，，，
设，
∵平分，∴，，
∵平分，∴，，∴，
∵，∴，
∴，∴，
在和中，，，
∴，∴.
三、解答题：本大题共8小题，共90分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 如图，在中，点是的中点，是边上一点，过点作交的延长线于点．求证：．
证明：∵，∴，，
∵点是的中点，∴，
在与中，∴.
17. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点三角形（三角形的顶点都在网格格点上），请在图中画出关于直线对称的（要求：点与点，点与点，点与点相对应）．
解：如图所示.
18. 为了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，求出空地的面积．
解：如图，连接，
在中，，
在中，，
而，即，为直角三角形，
，
，
答：空地的面积．
19. 在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．
（1）问是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：与是否垂直？）请通过计算加以说明；
（2）求原来的路线的长．
解：（1）是. 理由：
在中，∵，，
∴，∴为直角三角形，
∴，
所以是从村庄C到河边的最近路．
（2）设，
在中，由已知得，，，
由勾股定理得：，
∴，
解这个方程，得（负值舍去），
答：原来的路线的长为千米．
20. 如图，已知中，过点B作的平分线的垂线，垂足为D，作交于E．求证：．
证明：平分，，
，，，，
，，，
，，．
21. 如图，已知A，D，C，E在同一直线上，，，．
（1）求证：；
（2）连接，若，求的度数．
解：（1）证明：∵，∴，即，
∵，∴，
在和中，，∴.
（2）∵，∴，∴，∴，
∵，∴，∴．
22. 如图所示，中，，分别交于，分别以为边在的外部作等边和，连结与交于．试说明：
（1）；
（2）平分．
证明：（1）和均为等边三角形，
，，
，，
，，
，，，，
，
在与中，，，
.
（2），，，
即，，
由（1）可知，，
在与中，，，
，平分．
23. 已知：在中，，点是的中点，点是边上一点．
（1）直线垂直于于点，交于点（如图1）．请说明：；
（2）直线垂直于，垂足为，交的延长线于点（如图2）．那么图中是否存在与相等的线段？若存在，请写出来并证明；若不存在，请说明理由．
解：（1）点是的中点，
，
，
，
在和中，，.
（2）图中存在与相等的线段，．
理由：
．
．
在和中，，
．
．