2023_2024学年高二数学上学期期末复习专题1_1空间向量与立体几何12类选填小题专练学生版

这是一份2023_2024学年高二数学上学期期末复习专题1_1空间向量与立体几何12类选填小题专练学生版，共18页。试卷主要包含了空间向量的基本定理，共面向量，投影向量，夹角问题，极化恒等式等内容，欢迎下载使用。

一、空间向量的基本定理
1.如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
2．基底：我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
二、共面向量
1．共线向量与共面向量的区别
2．直线l的方向向量
如图O∈l，在直线l上取非零向量a，设P为l上的任意一点，则∃λ∈R使得＝λa.
定义：把与a平行的非零向量称为直线l的方向向量．
3．解决向量共面的策略
(1)若已知点P在平面ABC内，则有eq \(AP,\s\up7(―→))＝xeq \(AB,\s\up7(―→))＋yeq \(AC,\s\up7(―→))或eq \(OP,\s\up7(―→))＝xeq \(OA,\s\up7(―→))＋yeq \(OB,\s\up7(―→))＋zeq \(OC,\s\up7(―→))
(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．
(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示．
4．证明空间四点P，M，A，B共面的等价结论
(1) eq \(MP,\s\up7(―→))＝xeq \(MA,\s\up7(―→))＋yeq \(MB,\s\up7(―→))；
(2)对空间任一点O，eq \(OP,\s\up7(―→))＝eq \(OM,\s\up7(―→))＋xeq \(MA,\s\up7(―→))＋yeq \(MB,\s\up7(―→))；
(3)对空间任一点O，eq \(OP,\s\up7(―→))＝xeq \(OA,\s\up7(―→))＋yeq \(OB,\s\up7(―→))＋zeq \(OM,\s\up7(―→)) (x＋y＋z＝1)；
(4)eq \(PM,\s\up7(―→))∥eq \(AB,\s\up7(―→)) (或eq \(PA,\s\up7(―→))∥eq \(MB,\s\up7(―→))或eq \(PB,\s\up7(―→))∥eq \(AM,\s\up7(―→)))．
三、投影向量
(1)向量a在向量b上的投影
先将向量a与向量b平移到同一平面α内，如图①向量c称为向量a在向量b上的投影向量．
(2)向量a在直线l上的投影
如图②向量c称为向量a在直线l上的投影．
(3)向量a在平面β上的投影
如图③分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，
则向量eq \(A′B′,\s\up7(――→)) (a′)称为向量a在平面β上的投影向量．
四、夹角问题
1.两异面直线所成的角
设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cs θ＝|cs〈u，v〉|＝eq \f(|u·v|,|u||v|).
注意：两异面直线所成角的范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，两异面直线所成的角与其方向向量的夹角是相等或互补的关系．
2.直线和平面所成的角
设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，
则sin θ＝|cs〈u，n〉|＝eq \f(|u·n|,|u||n|).
注意：(1)直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角．
(2)线面角的范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
(3)直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角．
3.两个平面的夹角
（1）两个平面的夹角与二面角的平面角的区别？
区别：二面角的范围是[0，π]，而两个平面的夹角的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
（2）平面与平面所成的夹角与两平面的法向量所成夹角有何关系？
提示 两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角．
设平面α，β的法向量分别是n1，n2，平面α与平面β的夹角为θ，
则cs θ＝|cs〈n1，n2〉|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(n1·n2,|n1||n2|)))＝eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|).
注意：(1)求两平面的夹角问题转化为两平面法向量的夹角问题．
(2)两平面的夹角的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
(3)二面角与两平面的夹角不是相同的概念．
五、极化恒等式
在三角形ABC中（M为BC的中点），则
A
B
C
M
证明（基底法）：因为，
所以
题型一 通过基底表示目标向量
在四面体中，设，为的中点，为的中点，则（ ）

A．B．
C．D．
在正四面体ABCD中，F是AC的中点，E是DF的中点，若，，，则
A．B．C．D．
如图，已知空间四边形，分别是的中点，且，，，用表示向量为（ ）

A．B．
C．D．
如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，E是MN的三等分点，且，用向量表示为（ ）

A．B．
C．D．
在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，点满足，则（ ）
A．B．
C．D．
如图所示，已知空间四边形ABCD各边长为2，连接AC、BD，M、G分别是BC、CD的中点，若，则______．
题型二 空间向量的基底
给出下列命题:
①若可以作为空间的一组基，与共线，，则也可作为空间的一组基；
②已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一组基；
③是空间四点，若不能构成空间的一组基，那么共面；
④已知是空间的一组基，若，则也是空间的一组基.
其中真命题的个数是（ ）.
A．1B．2
C．3D．4
设，，，且是空间的一组基，则不能作为空间一组基的向量组是（ ）
A．B．
C．D．
已知是不共面的三个向量，则能构成空间的一组基底的向量是（ ）
A．B．
C．D．
已知O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则一定有（ ）
A．，，共线B．O，A，B，C中至少有三点共线
C．与共线D．O，A，B，C四点共面
已知是空间的一个基底，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则
B．两两共面，但不共面
C．一定存在x，y，使得
D．一定能构成空间的一个基底
已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ）
A．B．C．D．
已知，，，若不能构成空间的一个基底，则实数的值为（ ）
A．0B．C．9D．
题型三 空间向量共面问题
下列条件能使点与点一定共面的是（ ）
A．
B．
C．
D．
（多选）下列各组向量中共面的有（ ）
A．=（1，2，3），=（3，0，2），=（4，2，5）
B．=（1，2，-1），=（0，2，-4），=（0，-1，2）
C．=（1，1，0），=（1，0，1），=（0，1，-1）
D．=（1，1，1），=（1，1，0），=（1，0，1）
已知，若三向量共面，则实数等于（ ）
A．4B．3C．2D．1
已知是空间的一组基底，其中，，.若A，B，C，D四点共面，则λ=（ ）
A．B．C．D．
已知三点不共线，是平面外任意一点，若，则四点共面的充要条件是（ ）
A．B．C．D．
已知，，，四点在平面内，且任意三点都不共线，点在外，且满足，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
已知三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点与三点共面，则等于（ ）
A．B．C．D．
设向量不共面，空间一点满足，则四点共面的一组数对是（ ）
A．B．C．D．
题型四 空间向量平行或垂直
已知m，n是实数，若点，在同一直线上，则的值为（ ）
A．B．C．D．
如图，在棱长为的正方体中，是底面正方形的中心，点在上，点在上，若，则（ ）
A．B．C．D．
题型五 投影问题
已知，为空间单位向量，，则在方向上投影的模为_______．
已知直线l的方向向量为，点在l上，则点到l的距离为（ ）
A．B．1C．3D．2
四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为A．B．C．D．
题型六 夹角问题
已知向量，若，则与的夹角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
若，若与的夹角是锐角，则的值的取值范围为__________.
已知，．若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是_____．
（2023秋·广东深圳·高二统考期末）在三棱锥中，平面，，，则直线与夹角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
如图，在直三棱柱中，，且，已知E为BC的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
如图，在直三棱柱中，，，点E是棱上一点，且，则异面直线与AE所成角的余弦值为________.
在如图所示的正方体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为___________.
正方体的棱长为2，E，F，G分别为，AB，的中点，则直线ED与FG所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
在两条异面直线，上分别取点，E和点A，F，使，且.已知，，，，则两条异面直线，所成的角为（ ）
A．B．C．D．
已知在大小为的二面角中，，，于点，于点，且，则直线与所成角的余弦为（ ）
A．B．C．D．
题型七 空间向量数量积
设、为空间中的任意两个非零向量，有下列各式：
①；②；③；④.
其中正确的个数为（ ）
A．B．C．D．
设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（ ）
A．B．
C．D．
已知空间中非零向量，，且，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
在棱长为1的正方体中，为上任意一点，则（ ）
A．B．C．1D．
已知，则的最小值是（ ）
A．1B．C．D．
设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（ ）

A．B．C．D．
平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，求的值是__________．
已知，，，，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是______
题型八 利用空间向量求模长
已知三棱柱的侧棱长为2，底面是边长为2的正三角形，，若和相交于点M.则（ ）
A．B．2C．D．
平行六面体中，，，则的长为（ ）
A．10B．C．D．
平行六面体中，， ，，，则向量 的模长__________ .
已知空间向量的模长分别为，且两两夹角均为.点为的重心，若，，则___________.
题型九 立体图形中的极化恒等式
已知MN是正方体内切球的一条直径，点Р在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
如图，半径为1的球是圆柱的内切球，线段是球的一条直径，点是圆柱表面上的动点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
已知是棱长为的正方体外接球的一条直径，点在正方体表面上运动，则的最小值为 .
已知正方体的棱长为，球是正方体的内切球，是球的直径，点是正方体表面上的一个动点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
已知正方体的棱长为2，球是正方体的内切球，点是内切球表面上的一个动点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
正四面体的棱长为1，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，点到的距离为 .
题型十 点到平面距离问题
是正四棱锥，是正方体，其中，，则到平面的距离为
将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则点到平面的距离为______．
题型十一 利用空间向量求最值与范围
如图所示，在正方体中，点是底面内（含边界）的一点，且平面，则异面直线与所成角的取值范围为____________
正方体的棱长为2，若动点在线段上运动，则的取值范围是___________．
如图，在正方体中，动点在线段上，异面直线和所成的角为，则的取值范围是 .（用区间表示）
在正方体中，，点是线段上靠近点的三等分点，在三角形内有一动点（包括边界），则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
题型十二 综合性问题
（多选）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面交于点O，M是棱上的动点，则（ ）
A．三棱锥体积的最大值为
B．存在点M，使平面
C．点M到平面的距离与点M到平面的距离之和为定值
D．存在点M，使直线与所成的角为
（多选）如图，在棱长为1的正方体中，O为面的中心，E、F分别为BC和的中点，则（ ）
A．平面B．平面与平面相交
C．点О到直线的距离为D．点O到平面的距离为
（多选）如图，棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，为面对角线上一个动点，则（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．线段上存在点，使平面//平面
C．当时，直线与平面所成角的正弦值为
D．三棱锥的外接球半径的最大值为
（多选）如图，直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，点是棱的中点，点在底面内运动（包括边界），则下列说法正确的有（ ）
A．存在点使得平面
B．当时，存在点使得直线与平面所成的角为
C．当时，满足的点有且仅有两个共线(平行)向量
共面向量
定义
表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，这些向量叫做共线向量或平行向量
平行于同一个平面的向量叫做共面向量
充要条件
对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb
若两个向量a，b不共线，则向量p与a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb