2023_2024学年高二数学上学期期末复习专题1_3直线与圆的方程20类题型汇总练习教师版

这是一份2023_2024学年高二数学上学期期末复习专题1_3直线与圆的方程20类题型汇总练习教师版，共45页。试卷主要包含了直线的5种方程，两点关于某直线对称，其它公式，阿波罗尼斯圆等内容，欢迎下载使用。

一、直线的5种方程
二、两点关于某直线对称
三、其它公式
两点距离公式：
斜率的2个公式：
点到直线距离公式：
四、阿波罗尼斯圆
定义：已知平面上两点A，B，则所有满足，的动点P的轨迹是一个以定比m：n内分和外分定线段AB的两个分点的连线为直径的圆
模块一：直线方程
【题型1】求直线方程
（2023上·广东深圳·高二翠园中学校考期中）过点且在轴，轴上截距相等的直线方程为
【答案】和
【分析】根据斜率是否为0，分两种情况，结合直线的截距式方程即可求解.
【详解】当直线经过原点时，此时直线方程为，且在轴，轴的距离均为0，符合题意，
当直线在轴，轴均不为0时，设直线方程为，
将代入得，解得，故直线方程为
（2023上·浙江嘉兴·高二统考期末）已知直线与直线和的交点分别为，若点是线段的中点，则直线的方程为 .
【答案】
【详解】因为直线与直线和的交点分别为，
设，
因为点是线段的中点，由中点公式可得，
解得，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即
（2023上·江苏苏州·高二统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形满足.
(1)求直线的方程；
(2)求点的坐标.
【答案】(1)；(2).
【详解】（1）由图知，则直线的倾斜角为，直线的斜率，点，
所以直线的方程为，即.
（2）因为，则直线的方程为，而，则直线的倾斜角为，斜率，
直线的方程为，由解得，即点，
又，则有直线斜率，因此直线的方程为，即，
由解得，即点
【题型2】由两直线的平行垂直关系求参数（易错）
若直线和直线平行，则的值为（ ）
A．B．C．或D．
【答案】A
【分析】由题知两直线平行，直接列出()即可求得
【详解】直线和直线平行，
可得，得.
（多选）已知直线，直线，则下列命题正确的有（ ）
A．直线恒过点
B．直线的方向向量为，则
C．若，则
D．若，则
【答案】BD
【分析】根据已知直线方程，逐个验证直线过的定点、方向向量和垂直平行所需的条件.
【详解】把代入直线的方程，等式不成立，A选项错误；
直线的方向向量为，则直线斜率，得，B选项正确；
直线方向向量为，直线的方向向量为，若，则有，解得，当时，与重合，C选项错误；
若，则有，即，D选项正确
【题型3】三角形的三线问题
（2023上·广东广州·高二统考期末）（多选）△ABC的三个顶点坐标为A(4，0)，B(0，3)，C(6，7)，下列说法中正确的是（ ）
A．边BC与直线平行
B．边BC上的高所在的直线的方程为
C．过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为
D．过点A且平分△ABC面积的直线与边BC相交于点D(3，5)
【答案】BD
【分析】由直线斜率判断A，求出相应的直线方程判断BC，求出边中点坐标判断D．
【详解】直线的斜率为，而直线的斜率为，两直线不平行，A错；
边上高所在直线斜率为，直线方程为，即，B正确；
过且在两坐标轴上的截距相等的直线不过原点时方程为，过原点时方程为，C错；过点A且平分△ABC面积的直线过边BC中点，坐标为，D正确
【题型4】直线与已知线段相交求斜率范围
（2023上·广东深圳·高二统考期末）已知、，若直线经过点，且与线段有交点，则的斜率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】作出图形，数形结合可得出直线的斜率的取值范围.
【详解】过点作，垂足为点，如图所示：
设直线交线段于点，设直线的斜率为，且，，
当点在从点运动到点（不包括点）时，直线的倾斜角逐渐增大，
此时；
当点在从点运动到点时，直线的倾斜角逐渐增大，此时.
综上所述，直线的斜率的取值范围是.
已知点，.若直线与线段AB恒相交，则k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】由直线方程，令，解得，故直线过定点，如下图：
则直线的斜率，直线的斜率，由图可知：.
【题型5】点，直线的对称，光的反射相关问题汇总
直线关于点对称的直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据直线关于直线外一点的对称直线互相平行可知其斜率，再取上一点求其关于点的对称点，即可求出的方程.
【解答过程】由题意得，故设，
在l上取点，则点关于点的对称点是，
所以，即，故直线的方程为.
点关于直线的对称点Q的坐标为（ ）．
A．B．C．D．
【解题思路】利用中点和斜率来求得点坐标.
【解答过程】设点关于直线的对称点的坐标为，
则，解得，所以点Q的坐标为.
直线关于轴对称的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】利用对称性质可得原直线上的点关于轴的对称点，代入对称点，即可得到答案.
【解答过程】设点是所求直线上任意一点，则关于轴的对称点为，且在直线上，代入可得，即.
一条光线从点射出，倾斜角为，遇轴后反射，则反射光线的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】根据对称关系可求得反射光线斜率和所经过点，利用点斜式可得直线方程.
【解答过程】点关于轴的对称点为，
又反射光线倾斜角为，斜率，
反射光线所在直线方程为：，即.
唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 （ ）
A．B．C．D．
【解题思路】求出点关于直线的对称点的坐标，数形结合可得出“将军饮马”的最短总路程为，利用平面内两点间的距离公式可求得结果.
【解答过程】点关于直线的对称点为，如下图所示：
在直线上任取一点，由对称性可知，
所以，，
当且仅当点为线段与直线的交点时，等号成立，
故“将军饮马”的最短总路程为.
点关于直线的对称点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据点关于线对称的特点，利用中点坐标公式及两直线垂直的斜率的关系即可求解.
【解答过程】设点关于直线的对称点的坐标为，
则，解得，所以点的坐标为
求直线x＋2y－1＝0关于直线x＋2y＋1＝0对称的直线方程（ ）
A．x＋2y－3＝0B．x＋2y＋3＝0
C．x＋2y－2＝0D．x＋2y＋2＝0
【解题思路】结合两平行线间的距离公式求得正确选项.
【解答过程】设对称直线方程为，
，解得或（舍去）.
所以所求直线方程为.
一条沿直线传播的光线经过点和，然后被直线反射，则反射光线所在的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】首先根据两点式求得入射光线的直线方程，求得入射光线和直线的交点，再根据反射光线经过入射点的对称点，结合点关于直线对称求得对称点，再利用两点式即可得解.
【解答过程】入射光线所在的直线方程为，即，
联立方程组解得即入射点的坐标为．
设P关于直线对称的点为，
则解得即．
因为反射光线所在直线经过入射点和点，所以反射光线所在直线的斜率为，
所以反射光线所在的直线方程为，即．
“将军饮马”问题，在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】先求点关于直线对称的点，再根据两点之间线段最短，即可得解.
【解答过程】
如图，设关于直线对称的点为，则有 ，可得，可得，
依题意可得“将军饮马”的最短总路程为，此时
已知椭圆C：（），过点且方向向量为的光线，经直线反射后过C的右焦点，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设过点且方向向量为的光线，经直线的点为，右焦点为C，根据方向向量的直线斜率为，结合反射的性质可得，再结合等腰直角三角形的性质列式求解即可.
【详解】设过点且方向向量为的光线，经直线的点为，右焦点为C.
因为方向向量的直线斜率为，则，，又由反射光的性质可得，故，所以为等腰直角三角形，且到的距离为，又，故，，则，故，离心率.
（2023上·湖北黄冈·高二统考期末）已知直线，，且.
(1)求与之间的距离；
(2)一束光线从出发经反射后平行于轴射出，求入射光线所在的直线方程.
【答案】(1)，(2)
【详解】（1）由可得：，解得：或
当时，，，此时与重合，舍去
当时，，，此时，符合题意
故与之间的距离为.
（2）设关于的对称点为，则
解得：，∴
联立，解得：，∴入射点为.
故入射光线所在的直线方程为，即
模块二 直线与圆
【题型6】求圆的方程
矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，所在直线的方程为.
(1)求边所在直线的方程；(2)求经过，，三点的圆的方程.
【答案】(1),(2)
【详解】（1）由，得，则，
因为矩形ABCD两条对角线相交于M，所以C与A关于点M对称，
设，所以，得，则，
因为边所在直线的方程为，斜率为，
与垂直，所以直线的斜率为，
则边所在直线的方程为，即；
（2）由，解得，故点的坐标为，
设所求圆的方程为，且，
则，得，则所求圆的方程为：
（2023上·广东深圳·高二统考期末）已知：圆过点，，，是直线上的任意一点，直线与圆交于、两点.
（1）求圆的方程；（2）求的最小值.
【答案】（1）；（2）．
【详解】（1）设圆的一般方程为，依题意可得，
．
所以圆的方程为：．
（2）联立或，
不妨设，，则，
∴．
故的最小值为
（2023上·广东深圳·高二统考期末）已知，．
(1)求线段的垂直平分线的直线方程；
(2)若一圆的圆心在直线上，且经过点，求该圆的方程．
【答案】(1),(2)
【详解】（1）因为，，
所以的中点为，斜率，
所以线段的垂直平分线的斜率为，
即的直线方程为，化简得.
（2）联立解得，，即圆心为，
所以圆的半径，
所以所求圆的标准方程为
（2023上·福建福州·高二校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，点，.
(1)求直线BC的方程；(2)求的外接圆M的方程.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）过点作轴，垂足为，
由题意可得：，则，
故点，
延长交轴于点，
由题意可得：，则为等边三角形，
可得，即点，
则直线的斜率，
所以直线BC的方程为，即.
（2）由（1）可得：，
设的外接圆M的方程为，
则，解得，
故的外接圆M的方程为，即.
（2023上·江苏南京·高二统考期中）在平面直角坐标系中，已知圆C的圆心在上，且圆C与x轴相切，直线，．
(1)若直线与圆C相切，求a的值；
(2)若直线与圆C相交于A，B两点，将圆C分成的两段弧的弧长之比为，且，求圆C的方程．
【答案】(1)，(2)或
【分析】（1）由题意设圆心，，分析可得，且，进而求解即可；
（2）结合题设和圆的性质可得圆心C到的距离d等于圆C半径的倍，进而列出方程可得或，再由可得AB的垂直平分线经过和圆心，进而结合斜率关系列出方程求解即可.
【详解】（1）因为圆心C在直线l上，可设圆心，．
因为圆C与x轴相切，所以，
又因为直线与圆C相切，所以，
即，解得.
（2）因为A，B把圆C分成的两段弧长之比为，
所以弦AB所对劣弧圆心角为，
所以圆心C到的距离d等于圆C半径的倍，
则，即，解得或，
又因为，所以AB的垂直平分线经过和圆心，
所以，
当时，，圆C方程为；
当时，，圆C方程为.
综上所述，圆C方程为或.

（2023上·湖北武汉·高二华中师大一附中校考期末）已知圆的圆心坐标为，且圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于两点，点为的中点.
(1)求圆的标准方程；(2)求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用点到直线距离公式求出圆C的半径；
（2）求出点P的运动轨迹，再确定 的最大值.
【详解】（1）由题意知点到直线的距离为 ，也是圆C的半径，
圆的半径为，
则圆的标准方程为；
（2）
依题意作上图，为弦的中点，由垂径定理知： ，又过定点A，
点的轨迹为以为直径的圆，圆心为A，C的中点，半径为 ，
；
综上，圆的标准方程为， 的最大值为
已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是 ．
【答案】
【分析】设，，根据中点坐标公式可得，代入圆的方程，整理即可得到的轨迹方程.
【详解】设，，则由已知可得.
又是线段的中点，所以有，所以，
所以有，整理可得.
所以的轨迹方程是.
已知直线与圆交于A，B两点，.
(1)求实数a的值；
(2)若点P在圆C上运动，O为坐标原点，动点M满足，求动点M的轨迹方程.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）由题意得圆心到直线的距离，再列式求解即可.
（2）设，，由可得，结合点在圆上，即可得动点的轨迹方程．
【详解】（1）圆，即，，
则圆心，半径，记为圆心到直线的距离，
由，得，而，因此，
所以.
（2）设，，由，得，解得，
由点在圆上，得，于是，
所以动点的轨迹方程为.

已知圆的圆心在轴上，并且过，两点.
(1)求圆的方程；
(2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹方程.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）求出圆心的坐标和圆的半径，即得解；
（2）设点，，由得，代入圆的方程即得解.
【详解】（1）由题意可知，的中点为，，所以的中垂线方程为，
它与轴的交点为圆心，又半径，所以圆的方程为；
（2）设，，由，得，
所以，又点在圆上，故，
所以，化简得的轨迹方程为
【题型7】圆的切线性质以及求切线方程
（多选）过点作圆：的切线，切点分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．四边形的外接圆方程为
C．直线方程为
D．三角形的面积为
【答案】BCD
【详解】对于，由题意可得：，由勾股定理可得，，故选项错误；
对于，由题意知，，则为所求圆的直径，所以线段的中点为，半径为，则所求圆的方程为，化为一般方程为，故选项正确；
对于，由题意，其中一个切点的坐标为，不妨设为点，则，又，所以，所以直线的方程为，故选项正确；
对于，因为，且直线的方程为，直线的方程为，联立方程组，解得，所以两条直线的交点坐标为，则，，
故的面积为，所以的面积为，故选项正确
（2023上·高二华中师大一附中期末）（多选）设圆，直线为上的动点，过点作圆的两条切线，切点为为圆上任意两点，则下列说法中正确的有（ ）
A．的取值范围为
B．四边形的最大值为
C．满足的点有两个
D．的面积最大值为
【答案】AC
【详解】圆心到直线的距离，
所以，因为圆的半径为，
根据切线长公式可得，
当时取得等号，
所以的取值范围为，A正确；
因为，
所以四边形的面积等于，
四边形的最小值为，故B错误；
因为，所以，
在直角三角形中，，所以，
设，因为，
整理得，
则有，所以满足条件的点有两个，C正确；
因为
所以当，即，面积有最大值为，
此时四边形为正方形，则，满足要求，故D错误
（2023上·江苏连云港·高二统考期末）已知圆经过两点，且圆心在直线上.
(1)求圆的标准方程；(2)过点作圆的切线，求该切线的方程.
【答案】(1)，(2)或.
【详解】（1）由题意，，圆心在线段的垂直平分线，即上.
由，解得，即，从而，
所以圆的标准方程为.
（2）i.当切线的斜率不存在时，即，满足题意；
ii.当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即，
则，解得，所以切线方程为.
综上所述，该切线方程为或.
【题型8】已知直线方程求弦长和已知弦长求直线方程
（2023上·广东深圳·高二校考期末）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为，，．
(1)求BC边上的中线AD的所在直线方程；
(2)求△ABC的外接圆O被直线l：截得的弦长．
【答案】(1)，(2)
【详解】（1）∵，
∴BC边的中点D的坐标为，
∴中线AD的斜率为，
∴中线AD的直线方程为：，即
（2）设△ABC的外接圆O的方程为，
∵A、B、C三点在圆上，
∴
解得：
∴外接圆O的方程为，即，
其中圆心O为，半径,
又圆心O到直线l的距离为,∴被截得的弦长的一半为
（2023上·江苏徐州·高二统考期末）已知圆，圆.
(1)判断与的位置关系；
(2)若过点的直线被、截得的弦长之比为，求直线的方程.
【答案】(1)外切，(2)或
【分析】（1）计算出，利用几何法可判断两圆的位置关系；
（2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直线验证即可；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用勾股定理结合点到直线的距离公式可得出关于的方程，解出的值，即可得出直线的方程.
【详解】（1）解：圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为.
因为，所以圆与圆外切.
（2）解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，直线与圆相离，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设的方程为，即，
则圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为，
所以，直线被圆截得的弦长为，
直线被圆截得的弦长为，
由题意可得，
即，解得或，
经检验，或均符合题意.
所以直线的方程为或
（2023上·福建龙岩·高二统考期末）已知圆的圆心在轴上，且经过和两点．
(1)求圆的方程；
(2)过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的斜率．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）设出圆的方程，代入已知点，列方程组求解即可；
（2）设出直线方程，利用垂径定理，列方程求出直线的斜率.
【详解】（1）由圆的圆心在轴上，设圆的方程为，
，解得，
所以圆的方程为；
（2）由（1）得圆的标准方程为，圆心，半径，
设直线的斜率为，则直线的方程为，即，
直线被圆截得的弦长为，则，解得或.
【题型9】直线与圆的位置关系
（2023上·广东深圳·高二深圳大学附属中学校考期末）圆上到直线的距离为1的点有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．0个
【答案】C
【详解】化为，得圆心坐标为，半径为圆心到直线的距离直线与圆相交.注意到，可知圆上有3个点到直线的距离为1.
（2023上·广东广州·高二统考期末）（多选）已知点在圆：上，直线，则（ ）
A．直线与圆相交B．直线与圆相离
C．点到直线距离最大值为D．点到直线距离最小值为
【答案】BC
【详解】解：圆：，即，圆心为，半径，
则圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，
又点在圆上，所以点到直线距离最大值为，点到直线距离最小值为，故正确的有B、C
（2023上·广东惠州·高二统考期末）已知圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1，请写出满足上述条件的一条直线方程 .（写出一个正确答案即可）
【答案】（答案不唯一）
【详解】圆的圆心为，半径为2，
若要使圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1，则圆心到直线的距离应该为1，
则直线可以为：，
此时由圆得圆心为：，半径为2，
则如图所示：
由图可知圆上只有点到直线的距离为1，
故答案为：（答案不唯一）.
（2023上·湖北黄冈·高二统考期末）已知圆被直线所截得的两段圆弧的弧长之比为，且圆上恰有三个不同的点到直线的距离为，则直线被圆所截得的弦长为 .
【答案】
【详解】设圆的半径为，因为圆被直线所截得的两段圆弧的弧长之比为，
则劣弧所对的圆心角为，所以，圆心到直线的距离为，
将直线平移，使得平移后的直线与直线之间的距离为，如下图所示：
假设平移后的直线为、，则这两条直线一条与圆相切，一条与圆相交，
不妨设直线与圆相切，则直线与之间的距离为，可得，
所以，直线截圆所得弦长为.
（2023·湖南·衡阳市八中高二期末）已知圆的圆心为，且有一条直径的两个端点分别在两坐标轴上，若直线与交于两点，，则实数 ．
【答案】或
【详解】圆的一条直径的两个端点分别在两坐标轴上，该圆一定过原点，半径为，
又圆心为，故圆的方程为
圆心到直线的距离为即，解得或．
（2023上·浙江台州·高二期末）从①②这两个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并解答该题．①经过点；②圆心C在直线上．
已知圆心为C的圆经过两点，且___________．
(1)求该圆的标准方程；
(2)若过点的直线与该圆有交点，求直线的斜率的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)条件选择见解析，，(2)
【详解】（1）若选①：令圆方程为，则，
解得．
圆方程为，标准方程为．
若选②：圆过，，中点为，
则垂直平分线为，即，故圆心在上，
又知圆心在直线上，，解得圆心．
可得半径为，圆的标准方程为．
（2）因为直线l与圆有交点，所以圆心到直线l的距离小于等于半径．
当直线l的斜率不存在时，不符合题意，
当直线l的斜率存在时，令直线，即．
圆心到直线的距离，解得
所以直线l的斜率取值范围为．
已知圆心为，且经过点的圆.
(1)求此圆C的方程；
(2)直线与圆相交于、两点.若为等边三角形，求直线的方程.
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可；
（2）根据等边三角形的性质，结合点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】（1）因为圆心为，
所以圆的方程设为，该圆过，
所以有，所以圆C的方程为；
（2）由（1）可知该圆的半径为
因为为等边三角形，且边长为，
所以该等边三角形的高为，
所以圆心到直线的距离为，即，
所以直线的方程为或
【题型10】圆与圆的位置关系：公切线，公共弦
（2023上·浙江台州·高二期末）已知圆，圆，则两圆公共弦所在直线的方程为 ．
【答案】
【分析】利用两圆相减即可得出两圆公共弦所在直线的方程.
【详解】依题意，
①
②
①②得：，
故公共弦方程为：
设圆，圆，则圆，的公切线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】B
【分析】先根据圆的方程求出圆心坐标和半径，再根据圆心距与半径的关系即可判断出两圆的位置关系，从而得解．
【详解】由题意，得圆，圆心，圆，圆心，∴，∴与相交，有2条公切线
（长沙雅礼中学月考）（多选）圆和圆的交点为A，B，则有（ ）
A．公共弦AB所在直线方程为
B．公共弦AB的长为
C．线段AB中垂线方程为
D．P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为
【答案】AC
【分析】A选项，两圆方程作差即可求出公共弦方程；
B选项，求出一个圆的圆心到公共弦的距离，利用垂径定理计算即可；
C选项，线段AB的中垂线即为两圆圆心的连线，利用点斜式求解即可；
D选项，求出到公共弦的距离，加上半径即可求出最值.
【详解】因为圆：和圆：的交点为A，B，
作差得，
所以圆与圆的公共弦AB所在的直线方程为，故A正确；
因为圆心，，所在直线斜率为，
所以线段AB的中垂线的方程为，即，故C正确；
圆：的圆心为，半径，圆心到直线的距离，所以P到直线AB的距离的最大值为，圆与圆的公共弦AB的长为，故B,D错误
（2023上·江苏苏州·高二统考期末）在平面直角坐标系中，已知圆，写出满足条件“过点且与圆相外切”的一个圆的标准方程为 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】设满足条件的圆的标准方程为（），由点在圆上及外切关系可得方程组，化简取值即可得其中一个符合的结果.
【详解】设满足条件的圆的标准方程为（），则有，即，两式相减化简得.
不妨取，则，故满足条件的圆的标准方程为
【题型11】直线与圆的综合问题
（2023上·广东深圳·高二校考期末）已知圆C：，直线l：，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，直线的倾斜角为
B．当时，直线与圆相交所得弦长为
C．圆与圆：相外切
D．当，时，过直线上任意一点作圆的两条切线、，切点分别为、，则弦长度的最小值为
【答案】ACD
【详解】因为圆：，化为标准方程：.
对于，当时，直线l：可化为，直线的斜率为，所以直线的倾斜角为，故选项正确；
对于，当时，直线的方程为：，圆心到直线的距离，由垂径定理可得：弦长为，故选项错误；
对于，圆与圆的圆心距，因为，所以两圆相外切，故选项正确；
对于，当，时，直线的方程为：，设直线上任意一点，过圆外一点引圆的切线，
设切点坐标为，因为，所以切点的轨迹是以的中点为圆心，以为直径的圆上，因为，，
所以切点的轨迹方程为：，也即，
又因为圆：，
两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程，，
则圆心到直线的距离，
由垂径定理可知：，要使弦长度最小，则最大，
当时，取最大值，
此时弦长，故选项正确
（2023上·江苏连云港·高二统考期末）（多选）设为实数，若方程表示圆，则（ ）
A．
B．该圆必过定点
C．若直线被该圆截得的弦长为2，则或
D．当时，该圆上的点到直线的距离的最小值为
【答案】BCD
【详解】对A，，由方程表示圆，则有，A错；
对B，将代入方程，符合，B对；
对C，圆心为，则圆心到直线的距离为，故直线被该圆截得的弦长为或，C对；
对D，，则圆半径为1，圆心到直线的距离为，故该圆上的点到直线的距离的最小值为，D对
在平面直角坐标系中，已知圆，点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，已知直线关于直线对称，则（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】先根据题目意思画出图像，结合图像和条件关于直线对称得到，再求出，最后根据二倍角公式求解即可.
【详解】如图所示，
，
设直线分别交轴于点，连接，
因为是圆的两条切线，所以≌，
所以，
又因为直线关于直线对称，所以，
所以，即，
所以为点到直线的距离，即，
又且，所以，
所以，所以
【题型12】与基本不等式结合，乘“1”法求最值
（2023上·广东深圳·高二统考期末）若直线（，）平分圆，则的最小值是（ ）
A．2B．5C．D．
【答案】C
【分析】直线平分圆，得到a,b关系，再根据基本不等式，即可求解.
【详解】解：直线平分圆，则直线过圆心，即，
所以(当且仅当时，取等号)
若直线（，）平分圆，则的最小值是________
【答案】2
【详解】由题意可知，直线过圆过圆心，即，
所以，即a=2b时，等号成立，的最小值是2．
【题型13】阿波罗尼斯圆
（2023上·广东惠州·高二统考期末）已知，，为平面内的一个动点，且满足，求点的轨迹方程.
【答案】(1),(2)
【分析】(1)首先设点，利用两点间距离表示，化简求轨迹方程；
【详解】（1）由题意可设点的坐标为，由及两点间的距离公式可得
，整理得.
（2023上·广东广州·高二统考期末）数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个定点距离之比是常数的点的轨迹是圆.若两定点，动点满足，点的轨迹围成区域的面积为 ，面积的最大值为 .
【答案】
【分析】设出，利用两点间距离公式列出方程，求出的轨迹方程，从而得到的轨迹为以为圆心，半径为的圆，求出点的轨迹围成区域的面积，数形结合得到点到轴的距离的最大值，从而求出面积的最大值.
【详解】设，则，，
化简得：，
的轨迹为以为圆心，半径为的圆，
故点的轨迹围成区域的面积为；
设点到轴的距离为，则，
故面积的最大值为.
两定点A，B的距离为3，动点M满足，则M点的轨迹长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意建立坐标系，由题意可得点M的轨迹方程，进而可得M点的轨迹长．
【详解】以点A为坐标原点，直线AB为x轴，建立直角坐标系，如图，

则，设点，
由，得，化简并整理得：，
于是得点M的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，其周长为，
所以M点的轨迹长为.
已知平面内两定点，，点满足，则动点的轨迹方程为 ；若平面内两动点，（）满足，则的最大值为 .
【答案】
【分析】设，用两点间距离公式表示，化简可得动点的轨迹方程；使用向量垂直表示，由几何意义求解的最大值即可.
【详解】设动点，则，，
∵点满足，
∴，化简，整理得.
∴动点的轨迹方程为.
若平面内两动点，（）满足，则，
∴，，
∴，∴，
∵，∴，
∴的几何意义为点到原点的距离，
∵动点的轨迹为圆心为，半径为的圆，
∴如图，当点位于处时，到原点距离最大值为，
即的最大值为.
故答案为：，.
（2023上·河北邢台·高二统考期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy中，，，P是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为 ；若点Q为抛物线上的动点，抛物线C的焦点为F，则的最小值为 ．
【答案】 2
【分析】设点坐标，根据题意写出关于与的关系式化简即可；利用抛物线的定义可知等于Q到抛物线准线的距离，进而转化为点到准线的距离，即可求得.
【详解】设，则，即，化简得．
②抛物线的准线为，因为等于Q到抛物线准线的距离，
所以的最小值转化为点到准线的距离，又P是阿氏圆上的任一点，
所以点到准线的距离的最小，最小值为2．
即的最小值为2.
故答案为：①；②2
故直线过定点，点到直线的距离最大值为，D正确.
已知N为抛物线上的任意一点，M为圆上的一点，，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据题意画出示意图，由图中几何关系取线段中点，中点，连接，可证得所以，即，可得，即可将转化为，然后根据当、、三点不共线时，，当、、三点共线时，，将问题转化为的最小值即为的最小值，再根据两点间距离公式求出的最小值即可.
【详解】
根据题意可得抛物线与圆都关于轴对称，且圆的圆心坐标为，半径为.
因为，圆下方与轴交点坐标为，
取线段中点，中点，可得，连接，画出示意图如上图所示.
因为、分别为和的中点，
所以，，所以，
又因为，，
所以，所以，
因为，所以，
所以，
当且仅当、、三点共线时取到等号，此时点为线段与圆的交点.
所以的最小值即为的最小值.
因为N为抛物线上的任意一点，设，，
因为，
则，
当时，，即的最小值为
【题型14】直线与圆的双切线模型
已知直线与圆，过直线上的任意一点作圆的切线，切点分别为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】D
【分析】由题意可知，当点到圆心的距离最小时，最大.利用点到直线距离公式.
【详解】由题意可知，当点到圆心的距离最小时，最大.
圆心原点到直线的距离为.所以点到圆心的距离最小值为.
所以，的最大值为.
（2023四川外国语附属学校月考）已知是直线上一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，当直线AB与l平行时，（ ）
A．B．C．D．4
【答案】A
【分析】根据跟定条件，利用圆的切线的性质，结合面积法求解作答.
【详解】
连接，由切圆于A，B知，，
因为直线AB与l平行，则，
，而圆半径为1，于是，
由四边形面积，得，所以.
过直线上的点P作圆的两条切线，，当直线，关于直线对称时，两切点间的距离为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】D
【分析】由两条切线关于直线对称，可确定与直线互相垂直，即可求得得长，再结合直角三角函数和垂径定理，即可求解.
【详解】依题意，设两切点分别为、，并连接交于点，作出示意图：

当直线，关于直线对称时，则两条直线，与直线的夹角相等，且与直线互相垂直，
的长为圆心到直线的距离，即，
又圆的半径，在中，，故，
结合垂径定理得，即两切点间的距离为
（多选）已知圆，过直线上一点P作圆O的两条切线，切点分别为，则（ ）
A．若点，则直线AB的方程为
B．面积的最小值为
C．直线AB过定点
D．以线段AB为直径的圆可能不经过点O
【答案】ABCD
【分析】根据直线与圆的位置关系、圆的几何性质、三角形的面积、直线过定点、圆的方程等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，若，则直线的方程为，
，以为圆心，为半径的圆的方程为，
即，
由，两式相减得，所以A选项正确.

B选项，到直线的距离为，
而，所以的最小值为，
所以三角形面积的最小值为，所以B选项正确.

C选项，设，，
线段的中点坐标为，
所以以为直径的圆的方程为，
，
由，两式相减得，
由，解得，所以直线过定点，C选项正确.
D选项，由A选项，
由，解得或，
即，，
即此时以线段为直径的圆可能不经过点，D选项正确.
故选：ABCD
21．（2023上·广东佛山·高二佛山市南海区九江中学校考阶段练习）（多选）已知圆：，过直线：上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则（ ）
A．若点，则直线的方程为
B．面积的最小值为
C．直线过定点
D．以线段为直径的圆可能不经过点
【答案】BCD
【分析】对A：计算出过、、三点的圆的方程，再两圆方程相减即可得到；
对B：当最小时，的面积会有最小值；
对C：设出点坐标，再计算出直线的方程，求定点即可得到；
对D：可寻找特殊点，如A选项中，计算发现不经过点即可得到.
【详解】A选项，若，则直线的方程为，，以P为圆心，4为半径的圆的方程为，即，

由，两式相减得，，故A错误；
B选项，到直线：的距离为，
而，所以的最小值为，
所以面积的最小值为，故B正确；
C选项，设，，
线段的中点坐标为，
所以以为直径的圆的方程为，
化简得：，
由，两式相减得，
即，
由，解得，
所以直线过定点，故C正确；
D选项，由A选项，由，
解得或,
即，，，
即此时以线段为直径的圆不经过点，故D正确．
22．（2023上·河南·高二漯河高中校联考阶段练习）（多选）已知圆O：，过点M作圆O的两条切线，切点分别为A，B，且直线恒过定点，则（ ）
A．点M的轨迹方程为
B．的最小值为
C．圆O上的点到直线AB的距离的最大值为
D．
【答案】CD
【分析】设，以OM为直径的圆的方程，结合已知圆的方程求直线的方程，进而确定M的轨迹方程，由直线所过定点、圆的性质求最短弦长、圆上点到直线距离的最大值，讨论M的位置，结合圆的切线性质研究角的范围.
【详解】设，以OM为直径的圆的方程为，化简得，与联立，
两式相减得：直线的方程为．直线恒过定点，
所以M的轨迹方程为，即，A错误．
因为，即时弦长最小，所以，B错误．
因为直线恒过定点，所以圆O上点到直线距离的最大值为，C正确．
如图，圆心O到直线的距离为，记l：，
当M运动到时，，，则．
当M位于直线l其他位置时，，，，则．
综上，，D正确．

已知直线l：x+y-6=0，过直线上一点P作圆x2+y2=4的切线，切点分别为A，B，则四边形PAOB面积的最小值为 ，此时四边形PAOB外接圆的方程为 ．
【答案】 2 （x-）2+（y-）2=
【分析】求出O到直线l的最短距离即可得出四边形的最小面积，求出此时P的坐标，得出OP的中点坐标，从而得出外接圆方程．
【详解】圆x2+y2=4的半径为2，圆心为（0，0），
由切线性质可知OA⊥AP，，
又△OAP的面积，
∴当OP取得最小值时，△OAP的面积取得最小值，
又OP的最小值为O到直线l的距离d=3．
∴四边形PAOB面积的最小值为：．
此时，四边形PAOB外接圆直径为d=3．
∵OP⊥直线l，
∴直线OP的方程为x-y=0．联立方程组，解得P（3，3），∴OP的中点为，
∴四边形PAOB外接圆的方程为（x-）2+（y-）2=．
故答案为，（x-）2+（y-）2=．
41．（2023·重庆九龙坡·统考二模）已知直线l：与x轴相交于点A，过直线l上的动点P作圆的两条切线，切点分别为C，D两点，则直线CD恒过定点坐标为 ；记M是CD的中点，则的最小值为 .
【答案】
【分析】利用圆的性质，结合图像，把问题转化为跟圆有关的最值问题进行处理.
【详解】由题意设点，，，
因为，是圆的切线，所以，，
所以在以为直径的圆上，其圆的方程为:
，又在圆上，
将两个圆的方程作差得直线的方程为：，
即，所以直线恒过定点，
又因为，，，，四点共线，所以，
即在以为直径的圆上，
其圆心为，半径为，如图所示:
所以，所以的最小值为.
模块三：直线与圆的最值问题
【题型15】定点到含参直线距离最短问题
点到直线距离的最大值为
A．1B．C．D．2
【解答】解：方法一：因为点到直线距离；
要求距离的最大值，故需；
，当且仅当时等号成立，
可得，当时等号成立．
方法二：由可知，直线过定点，
记，则点到直线距离．
点到直线的距离的最大值为（ ）
A．B．C．3D．
【解题思路】由题意，求得直线所过定点，由两点之间距离公式，可得答案.
【解答过程】由直线，整理可得，
令，解得，
点到直线距离的最大值为点到定点的距离，则，
【题型16】过定点的弦长最短
（2023上·广东惠州·高二统考期末）直线l：与圆C：交于A，B两点，则当弦AB最短时直线l的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据直线方程，求所过定点，探究弦在垂直时取的最短，结合垂直直线斜率乘积为，由点斜式方程，可得答案.
【详解】由，，则令，解得，故直线过定点，由，则圆心，半径，
当时，弦最短，直线的斜率，则直线的斜率，
故直线为，则
若直线与圆分别交于M、N两点. 则弦MN长的最小值为 .
【答案】4
【详解】由圆可得圆心，半径为3，
直线，即，
直线过定点P，
又因为，
所以点在圆的内部，
当圆心到直线MN距离最大时，弦长MN最小，此时，
此时
已知直线：和圆C：.
(1)直线恒过一定点M，求出点M坐标；
(2)当m为何值时，直线被圆C所截得的弦长最短，求出弦长.
【答案】(1)
(2)当时，直线被圆C所截得的弦长最短，弦长为
【分析】（1）将直线化为，联立，即可求解定点坐标；
（2）根据圆的性质知时，直线l被圆C所截得的弦长最短，利用几何法求解弦长即可.
【详解】（1）由得，
因为，所以有，解得，所以直线l恒过一定点， 即；
（2）由得，
所以，半径，当时，直线l被圆C所截得的弦长最短，
所以有即，解得，
化为，
所以，所以，此时直线l的方程为即，
所以点到直线l的距离，
因此直线l被圆所截得的弦长最短为.
直线被圆截得的最短弦长为 .
【答案】
【分析】求出直线过定点，当时直线被圆截得的最短弦长，从而求出最短弦长.
【详解】直线，即，
令，解得，所以直线恒过点，
又圆的圆心为，半径，
因为，
当时直线被圆截得的最短弦长，
最短弦长为.

【题型17】点圆型最值
设是圆上任意一点，则的最大值为
A．6B．25C．26D．36
【答案】D
【解答】解：表示圆上的点到点的距离的平方，
圆的圆心，半径为1，
圆心到点的距离为，
的最大值是．
若直线：，：（）相交于点，过作圆的切线，切点为，则的最大值为 ．
【答案】7
【分析】根据已知确定的轨迹为，再由圆切线性质将问题转化为求的最大值，结合圆与圆的位置关系求其最大值，即可确定的最大值.
【详解】由题设，，即，
又、分别恒过、，故交点在以线段为直径的圆上，
圆心为，半径为，故的轨迹为，
由到的距离为，即两圆相离，如下图，
由圆切线性质，，
要使的最大值，只需最大，且为，
所以.
已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为
A．4B．5C．6D．7
【解答】解：如图示：
半径为1的圆经过点，可得该圆的圆心轨迹为为圆心，1为半径的圆，
故当圆心到原点的距离的最小时，
连结，在上且，此时距离最小，
由，得，
即圆心到原点的距离的最小值是4
在平面直角坐标系中，从点向直线作垂线，垂足为，则点与点的距离的最小值是
A．B．C．D．17
【答案】A
【解答】解：直线过定点，
，
可知点是在以为直径的圆上，
又，
可得：
【题型18】直线与圆上的点距离最值
已知，，直线：与直线：相交于点，则的面积最大值为（ ）
A．10B．14C．18D．20
【答案】B
【分析】根据直线和的方程得到点为以为直径的圆上的点，然后根据三角形面积公式得到当点到直线的距离最大时，的面积最大，然后求最大值即可.
【详解】
直线的方程可整理为，令，解得，
所以直线恒过定点，
直线的方程可整理为，令，解得，
所以直线恒过定点，
因为，所以，
所以点为以为直径的圆上的点，
，中点为，
则点的轨迹方程为，
，
所以当点到直线的距离最大时，的面积最大，
，直线的方程，即，
设点到直线的距离为，圆心直线的距离为，半径为，
则，
所以的面积最大值为.
【题型19】由直线与圆心的距离求参数的范围
（2023上·湖北黄冈·高二统考期末）已知，，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意分析可得直线与圆：有公共点（公共点不能是、），结合直线与圆的位置关系分析运算.
【详解】若，则点在以，为直径的圆上（点不能是、），
∵以，为直径的圆的圆心为，半径，则圆的方程为，
即直线与圆：有公共点（公共点不能是、），
当直线与圆：有公共点时，则，解得；
当直线与圆：的公共点为A或B时，则直线即为x轴，即；
综上所述：实数的取值范围为.
（2023上·福建福州·高二校联考期末）已知圆，点是直线上任意一点，若以为圆心，半径为的圆与圆没有公共点，则整数的值可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】由题意可得圆心到直线的距离大于，利用点到直线的距离公式求得的范围，可得结论.
【详解】圆即，则圆心为，半径，
依题意圆心到直线的距离大于，即，
解得，又，所以或或
古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知，，若动点P满足，设点的轨迹为，过点作直线，上恰有三个点到直线的距离为1，则满足条件的一条直线的方程为 .
【答案】或（写出一条即可）
【分析】结合定义应用直译法求得圆方程，结合点到直线的距离即可求解.
【详解】因为，点满足，设，
则，化简得，
因为圆上恰有三个点到直线的距离为1，
所以圆心到直线的距离为1.
若直线的斜率不存在，
直线的方程为;
若直线的斜率存在,
设直线的方程为，
即， ，解得,
直线的方程为:.
故答案为：或（写出一条即可）

【题型20】三角换元求最值
已知，直线：过定点A，：过定点B，与交于点M，则下列结论正确的是（ ）
A．B．的最大值是25
C．点M的轨迹方程是D．的最大值为
【答案】AD
【分析】根据直线垂直求参判断A选项，应用基本不等式判断B选项，根据两条线垂直及求轨迹方法判断C选项，应用三角换元及辅助角公式判断D选项.
【详解】对于A，，∴，A正确；
对于B，恒过定点，恒过定点，
由选项A正确可推得，时等号成立，∴的最大值是，B错误；
对于C，设，则，
化简有，C错误；
对于D，设，，则，，
∴，即的最大值为，D正确.
已知、是圆上的两个不同的动点，且，则的最大值为 ．
【答案】15
【详解】由已知，圆的参数方程为：（为参数），
因为、是圆上的两个不同的动点，
可令，；，，且，
所以、，
由可得：，
又因为，所以，
所以
，
其中，，所以，当时，取得最大值15.
已知实数，满足方程．
（1）求的最大值和最小值；
（2）求的最大值和最小值；
（3）求的最大值和最小值．
【解答】解：（1）圆，圆心，半径为，
令，即，的最值，就是圆心到直线的距离等于半径时的的值，
，解得，的最大值为，最小值为．
（2）圆，圆心，半径为，
，
，
的最大值是，最小值是．
（3），
的最大值为，最小值为．斜截式
一般式
方程
l1:y=k1x+b1
l2 :y=k2x+b2
相交
k1≠k2
（当时，记为）
垂直
k1·k2=-1
（当时，记为）
平行
k1=k2且b1≠b2
或
（当时，记为）
重合
k1=k2且b1=b2
A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0)
（当时，记为）