2023_2024学年高二数学上学期期末复习专题1_5抛物线15类常考题型汇总练习学生版

这是一份2023_2024学年高二数学上学期期末复习专题1_5抛物线15类常考题型汇总练习学生版，共14页。试卷主要包含了抛物线标准方程的几种形式，圆锥曲线第二定义，抛物线的简单几何性质，抛物线的焦点弦等内容，欢迎下载使用。
一、抛物线标准方程的几种形式
二、圆锥曲线第二定义
结论：动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为一个常数，即eq \f(|MF|,|MA|)＝e.
(1)当0＜e＜1时，动点M的轨迹是椭圆；
(2)当e＝1时，动点M的轨迹是抛物线；
(3)当e＞1时，动点M的轨迹是双曲线．此时定点F为圆锥曲线的一个焦点，定直线l叫做圆锥曲线对应该焦点F的一条准线x＝eq \f(a2,c)，常数e就是该圆锥曲线的离心率，此结论称为圆锥曲线的统一定义(也称为第二定义)．
三、抛物线的简单几何性质
四、抛物线的焦点弦
1．已知AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq \f(p2,4)；
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2θ)(θ为直线AB的倾斜角)；
(3)S△ABO＝eq \f(p2,2sin θ)(θ为直线AB的倾斜角)；
(4)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)；
(5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
2．当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p
模块一 抛物线的概念与基本性质
【题型1】抛物线的焦半径相关计算
（2023·雅礼中学高二期中）抛物线焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且，的面积为，则抛物线方程为
A．B．C．D．
若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2，则点P到抛物线的焦点F的距离为（ ）
A．4B．5C．6D．7
(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，直线的斜率为eq \r(3)且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝4，则以下结论正确的是( )
A．p＝2B．F为AD中点
C．|BD|＝2|BF|D．|BF|＝2
【题型2】抛物线的焦点弦
过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|＝________.
已知AB是抛物线2x2＝y的焦点弦，若|AB|＝4，则AB的中点的纵坐标为________．
【题型3】抛物线的轨迹问题
若动点到点的距离和它到直线的距离相等，则动点的轨迹是（ ）
A．椭圆B．抛物线C．直线D．双曲线
设圆与y轴交于A，B两点（A在B的上方），过B作圆O的切线l，若动点P到A的距离等于P到l的距离，则动点P的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
（多选）已知抛物线的焦点为F，定点和动点A，B都在抛物线C上，且（其中O为坐标原点）的面积为4，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．抛物线的标准方程为
C．设点R是线段AF的中点，则点R的轨迹方程为
D．若，则弦AB的中点N的横坐标的最小值为3
若动点到点的距离比它到直线的距离大1，则的轨迹方程是 ．
若动圆M经过双曲线的左焦点且与直线x＝2相切，则圆心M的坐标满足的方程是 ．
【题型4】抛物线的光学性质
探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口的直径为60 cm，灯深40 cm，则抛物线的标准方程可能是( )
A．y2＝eq \f(25,4)xB．y2＝eq \f(45,4)x
C．x2＝－eq \f(45,2)yD．x2＝－eq \f(45,4)y
抛物线的光学性质：经焦点的光线由抛物线反射后的光线平行于抛物线的对称轴（即光线在曲线上某一点处反射等效于在这点处切线的反射），过抛物线上一点作其切线交准线于点，，垂足为，抛物线的焦点为，射线交于点，若．则 ， ．

抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则 ．
根据抛物线的光学性质，从抛物线的焦点发出的光，经抛物线反射后光线都平行于抛物线的轴，已知抛物线，若从点Q（3，2）发射平行于x轴的光射向抛物线的A点，经A点反射后交抛物线于B点，则 .
【题型5】抛物线的实际应用问题
如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有，已知行车道总宽度，那么车辆通过隧道的限制高度为（ ）

A．B．C．D．
石城永宁桥，省级文物保护单位，位于江西省赣州市石城县高田镇.永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥.当石拱桥拱顶离水面1.6m时，水面宽6.4m，当水面下降0.9m时，水面的宽度为（ ）
A．7mB．7.5mC．8mD．8.5m
为落实“二十大”不断实现人民对美好生活的向往，某小区在园区中心建立一座景观喷泉．如图所示，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状．现要求水流最高点B离地面4m，点B到管柱OA所在直线的距离为2m，且水流落在地面上以O为圆心，6m为半径的圆内，则管柱OA的高度为（ ）
A．2mB．3mC．2.5mD．1.5m
如图是一座拋物线形拱桥，当桥洞内水面宽时，拱顶距离水面，当水面上升后，桥洞内水面宽为（ ）
A．B．C．D．
图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，水面宽4m，水面下降2m后，水面宽8m，则桥拱顶点O离水面l的距离为 .
一抛物线型的拱桥如图所示：桥的跨度米，拱高米，在建造时每隔4米用一个柱子支撑，则支柱的长度 米．
【题型6】利用几何性质计算求值
已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于点A、B，与直线交于点D，若且，则 .
在平面直角坐标系中，已知抛物线C：的焦点为F，过的直线l与C交于A，B两点．若的面积等于的面积的2倍，则 ．
已知F是抛物线的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若，则
已知抛物线：的焦点为，点在轴上，线段的延长线交于点，若，则 ．
焦点为的抛物线上有一点，为坐标原点，则满足的点的坐标为 ．
模块二 抛物线中最值问题
【题型7】对称轴上的点到抛物线距离最小问题
已知A(2,0)，B为抛物线y2＝x上的一点，则|AB|的最小值为________．
已知抛物线，点A的坐标为，则抛物线上距离点A最近的点P的坐标为 ，距离＝ ，
已知抛物线，圆，为上一点，为上一点，则的最小值为（ ）
A．5B．C．2D．3
已知点在抛物线上，且为焦点，若为上的一个动点，设点的坐标为，则的最小值为 .
【题型8】直线到抛物线距离最小问题
（2023上·广东广州·高二统考期末）若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为（ ）
A．B．C．D．
已知抛物线y2＝2x，直线l的方程为x－y＋3＝0，点P是抛物线上的一动点，则点P到直线l的最短距离为________，此时点P的坐标为________．
已知直线和直线，则抛物线上的动点到直线和的距离之和的最小值为 .
【题型9】抛物线中的线段和差最值问题
已知P是抛物线x2＝4y上的动点，点P在x轴上的射影是点Q，点A的坐标是(8,7)，
则|PA|＋|PQ|的最小值为________．
已知抛物线的焦点为F，点P在C上，若点，则周长的最小值为（ ）．
A．13B．12C．10D．8
已知点为抛物线上任意一点，点为圆上任意一点，点，则的最小值为 .
【题型10】其它最值问题
知抛物线的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，且AB的中点到x轴的距离为6，则的最大值为 ．
已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值 .
点A，B是抛物线上的两点，F是抛物线C的焦点，若，中点D到抛物线C的准线的距离为d，则的最小值为 ．
已知抛物线C：的焦点为F，直线l与C交于，两点，其中点A在第一象限，点M是的中点，作垂直于准线，垂足为N，若以为直径的圆M经过焦点F，则的最小值为________
已知抛物线的焦点为，准线为，、是上异于点的两点（为坐标原点），若，过的中点作于点，则的最小值为 ．
已知点是抛物线上的动点，则的最小值为 .
模块三 抛物线与直线联立韦达化运算
【题型11】焦点弦中点相关运算与证明
已知抛物线 的焦点为 F，直线与该抛物线交于A、B 两点，过的中点Q作y轴的垂线与抛物线交于点P，若，则 ．
直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是________．
已知抛物线 的焦点为 F，直线与该抛物线交于A、B 两点，过的中点Q作y轴的垂线与抛物线交于点P，若，则 ．
已知为坐标原点，过抛物线的焦点的直线交于两点．若为线段的中点，且，则 ．
设抛物线W：y2＝4x的焦点为F，直线l：y＝x＋m与抛物线W相交于A，B两点，点Q为线段AB的中点．
(1)求m的取值范围；(2)求证：点Q的纵坐标为定值．
物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的标准方程．
【题型12】抛物线的焦点弦韦达化计算
（2023上·广东广州·高二统考期末）已知抛物线，直线过抛物线的焦点，直线与抛物线交于两点，弦长为12，则直线的方程为 .
（2022上·广东深圳·高二校考期末）已知点是抛物线C：上的点，F为抛物线的焦点，且，直线l：与抛物线C相交于不同的两点A，B.
（1）求抛物线C的方程；（2）若，求k的值.
过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且A，B两点的纵坐标之积为，求抛物线C的方程．
已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为eq \f(π,4)的直线被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线的标准方程．
【题型13】不过焦点的弦长相关计算
过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为( )
A．2eq \r(13)B．2eq \r(15)
C．2eq \r(17)D．2eq \r(19)
设点P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy内的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))的距离比点P到x轴的距离大eq \f(1,2).
(1)求点P的轨迹方程；
(2)若直线l：y＝kx＋1与点P的轨迹相交于A，B两点，且|AB|＝2eq \r(6)，求实数k的值．
【题型14】垂直关系的处理
若抛物线y2＝4x与直线y＝x－4相交于不同的两点A，B，求证OA⊥OB.
过抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若抛物线C上存在点M(－2，y0)，使得MA⊥MB，求直线l的方程．
【题型15】向量数量积的处理
已知抛物线C：的焦点为F，直线l与C交于，两点，其中点A在第一象限，若直线l经过焦点F，且，则________
已知抛物线y2＝2px(p＞0)上点T(3，t)到焦点F的距离为4.
(1)求t，p的值；
(2)如图所示，设A，B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且
(其中O为坐标原点)．求证直线AB必过定点，并求出该定点的坐标．
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2＝2px(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
x＝－eq \f(p,2)
y2＝－2px(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
x＝eq \f(p,2)
x2＝2py(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
y＝－eq \f(p,2)
x2＝－2py(p>0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
y＝eq \f(p,2)
类型
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图象
性质
焦点
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
准线
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0
x∈R，y≤0
对称轴
x轴
y轴
顶点
O(0,0)
离心率
e＝1
开口方向
向右
向左
向上
向下