2023_2024学年高二数学上学期期末复习专题1_6圆锥曲线中的10个常考二级结论与模型练习学生版

这是一份2023_2024学年高二数学上学期期末复习专题1_6圆锥曲线中的10个常考二级结论与模型练习学生版，共20页。试卷主要包含了点差法，椭圆双曲线第三定义，抛物线的焦点弦常见结论，焦点弦被焦点分成定比，阿基米德三角形等内容，欢迎下载使用。
一、点差法（弦中点）
椭圆垂径定理：已知A,B是椭圆上任意2点，且弦不平行轴，M为线段AB中点，则有
证明（点差法）：设，，则，
，，
∵A，B在椭圆上，代入A，B坐标得
① ②
两式相减得：，整理得
∴
二、椭圆双曲线第三定义
那么点差法是不是只能解决同时与中点和斜率有关的问题呢?其实不然．其实点差法的内核还是“设而不求、整体代换”的思想，建立的是曲线上两点横纵坐标和差之间的联系，这其实也是第三定义的体现.
第三定义：平面内与两个定点，的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含两个顶点)．其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时；当常数大于0时为双曲线，此时．
【第三定义推广】：平面内与两个关于原点对称的点，的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时；当常数大于0时为双曲线，此时．
【证明】是椭圆上的一组对称点，P为椭圆上任意点，则有
证明（点差法）：设，，，
，，
∵P，A在椭圆上，代入坐标得
①
②
两式相减得：，整理得
∴
法二：通过椭圆的垂径定理转换 中点弦和第三定义本质上是一样的

三、抛物线的焦点弦常见结论：
设AB是过抛物线焦点的弦，若，，则

(1)
(2)焦半径，(α为弦AB的与x轴夹角)
(3)弦长 (α为弦AB的倾斜角)．
(4)以弦AB为直径的圆与准线相切．
(5)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长度等于2p，通径是过焦点最短的弦．
(6) （定值）.
(7) 以AF或BF为直径的圆与y轴相切.
四、焦点弦被焦点分成定比
若AB是过焦点的弦，且，
则（其中θ不是倾斜角，而是AB与焦点所在轴的夹角，抛物线离心率为1）
五、阿基米德三角形
（1）阿基米德焦点三角形性质（弦AB过焦点F时）
性质1：MF⊥AB
性质2：MA⊥MB
性质3：MN∥x轴
性质4：S△ABM最小值为p²
对于点A，B:
①抛物线焦点弦与抛物线的交点
②由准线上一点向抛物线引两条切线所对应的切点
对于点M
③过焦点弦的一个端点所作的切线与准线的交点
④过焦点弦的两个端点所作两条切线的交点
满足以上①③或①④或②③或②④的三个点所组成的三角形即为“底边过焦点的阿基米德三角形”
（2）阿基米德三角形一般性质（弦AB不经过焦点F时）
【性质 1】阿基米德三角形底边上的中线PM平行于抛物对称轴．
【性质2】若阿基米德三角形的底边即弦AB过定点抛物线内部的定点，则点P的轨迹为直线
记，，，M为弦AB的中点，点C为抛物线内部的定点
半代入得出切线PA，PB的方程，再得出则，则，下略
【性质3】若P点轨迹为直线，且该直线与抛物线没有公共点，则定点.
设P点坐标，半代入得出切点弦AB的直线方程，进而得出定点C的坐标
【性质4】阿基米德三角形的面积的最大值为.
【性质5】，
六、椭圆，双曲线焦半径与焦点弦夹角公式
已知双曲线，求出2种情况下的焦半径,以及焦点弦
情况1：：AB两点同一支上，直线AB与x轴夹角为α
，，
情况2：AB两点不在同一支上，直线AB与x轴夹角为β
，，
题型一 点差法与第三定义（常规篇）
（2023上·广东佛山·高二统考期末）过点作斜率为1的直线，交双曲线于A，B两点，点M为AB的中点，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，P是C上任意一点，当点P与A，B两点不重合时，直线PA，PB的斜率之积为________
已知椭圆方程为，其右焦点为，过点的直线交椭圆与，两点．若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
（2022上·广东深圳·高二校考期末）已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为，证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值.
已知P是椭圆E：，若A，B是E上两点，且线段AB的中点坐标为，求的值．
已知椭圆的焦距为6，椭圆上一点与两焦点构成的三角形周长为16.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与交于，两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程.
题型二 点差法（提高篇）
设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A．B．C．D．
已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为（），那么的取值范围是（ ）
A．B．C．D．，或
题型三 椭圆与双曲线第三定义（提高篇）
椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
已知双曲线的左､右顶点分别为，抛物线与双曲线交于两点，记直线，的斜率分别为，则为 .
已知，是椭圆的左右顶点，是双曲线在第一象限上的一点，直线，分别交椭圆于另外的点，．若直线过椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为 ．
已知、是椭圆与双曲线的公共顶点，是双曲线上一点，，交椭圆于，.若过椭圆的焦点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
设椭圆的右焦点为，点在椭圆外，P，Q在椭圆上，且P是线段AQ的中点．若直线PQ，PF的斜率之积为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
题型四 抛物线焦半径与焦点弦结论
已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，则的最小值是 .
已知抛物线，过焦点F的弦交抛物线于A，B两点，且有，准线与x轴交于点C，作A到准线的垂线，垂足为，则当四边形的面积为时，p的值为 ．
（多选）已知抛物线的焦点为F，过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点（其中点A在x轴上方），则（ ）
A．B．弦AB的长度最小值为l
C．以AF为直径的圆与y轴相切D．以AB为直径的圆与抛物线的准线相切
已知是抛物线上两动点，为抛物线的焦点，则直线过焦点时，最小值为________，直线过焦点且倾斜角为时（点在第一象限），________，若中点的横坐标为3，则最大值为_______.
已知抛物线EQ y\S\UP6(2)＝16x的焦点为F，过点F作直线l交抛物线于M，N两点，则__________；的最小值为__________.
已知F为抛物线的焦点，过F作两条互相垂直的直线，直线与C交A，B两点，直线与C交于D，E两点，则|AB|+|DE|的最小值为 .
题型五 焦点弦被焦点分成定比
已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点且倾斜角为的直线与交于A，B两点．若的面积是面积的2倍，则的离心率为 ．
已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于，，，两点，且，则 ；若直线与抛物线相交于，两点，满足，则 ．
已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点且倾斜角为的直线与交于A，B两点（A在B点左侧）．若= ．
题型六 双曲线焦点三角形内切圆模型
双曲线的左，右焦点分别为，，右支上有一点M，满足，的内切圆与y轴相切，则双曲线C的离心率为 ．
已知点分别为双曲线的左､右焦点，过点的直线交双曲线的右支第一象限于点，若的内切圆的半径为1，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．1D．
重庆市巴蜀中学2023届高考适应性月考（七）数学试题
已知双曲线的左、右焦点分别为，过作直线与双曲线的右支交于两点，若内切圆与内切圆的半径的乘积为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（多选）双曲线的左、右焦点分别是，过的直线与双曲线右支交于两点，记和的内切圆半径分别为和，则（ ）
A．和的内切圆圆心的连线与轴垂直
B．为定值
C．若，则的离心率
D．若，则的渐近线方程为
题型七 阿基米德三角形
（黄冈中学月考）设抛物线的焦点为F,过F的直线交C于A,B两点,分别以A,B为切点作C的切线，，若与交于点P，且满足，则|AB|=()
A.5B.6C.7D.8
（武汉市武昌区五月质检）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线与交于A，B两点，C在A处的切线与C的准线交于P点，连接BP．若|PF|＝3，则的最小值为_____
已知点，从抛物线的准线上一点引抛物线的两条切线，，且，为切点，则点到直线的距离的最大值是（ ）
A．B．C．2D．3
（成都七中月考）过点作抛物线的两条切线，切点分别为和，又直线经过抛物线的焦点，那么= .
（多选）过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点（A在第一象限），M为线段AB的中点.M在抛物线的准线l上的射影为点N，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小值为4B.
C. △NAB面积的最小值为6D. 若直线AB的斜率为，则
（多选）已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线与交于、两点，且，，若过点、分别作的两条切线交于点，则下列各选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．以为直径的圆过点
（2024届·广东省四校第一次联考）过向抛物线引两条切线，切点分别为,又点在直线上的射影为，则焦点与连线的斜率取值范围是 .
（2023·深圳市二模）（多选）设抛物线C：的焦点为F，过抛物线C上不同的两点A，B分别作C的切线，两条切线的交点为P，AB的中点为Q，则（ ）
A．轴B．C．D．
题型八 椭圆双曲线焦点弦与焦半径公式
已知椭圆的左、右焦点分别为.若关于直线的对称点恰好在上，且直线与的另一个交点为，则__________.
已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，连接并延长交于点，连接，若存在点使成立，则的取值范围为 .
过双曲线 的右焦点作其中一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的左､右两支分别交于点，若，则双曲线的离心率是___________.
2023届·山东省新高考3月联合质量测评
过双曲线的左、右焦点作两条相互平行的弦，其中在双曲线的左支上，在轴上方，则的最小值为 ．当的倾斜角为时，四边形的面积为 ．（提示：参考焦半径公式与焦点弦公式）
2023届·青岛三模T8——2个二级结论
已知O为坐标原点，双曲线的左，右焦点分别为，过C的右焦点且倾斜角为的直线交C于A，B两点，AB中点为W，，则离心率e＝________；的周长等于12，则a＝________．
题型九 椭圆双曲线大题·面积相关问题（韦达化处理与弦长公式）
已知椭圆C：的离心率为，且椭圆长轴长为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点的直线l（不过原点O）与C交于AB，两点，求面积的最大值．
已知椭圆：（）的焦距为4，且经过点，过点且斜率为的直线与轴相交于点，与椭圆相交于，两点.
(1)求椭圆的离心率；(2)若，求的值.
（2023上·福建龙岩·高二统考期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点，点M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)是否存在过点的直线l与曲线C交于不同的两点A、B﹐满足．若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．
（2023上·广东惠州·高二统考期末）已知抛物线经过点是抛物线上异于点的不同的两点，其中为原点.
(1)求抛物线的方程；(2)若，求面积的最小值.
已知椭圆：，四点，，，中恰有三点在椭圆上.
(1)求的方程；
(2)若斜率存在且不为0的直线经过C的右焦点F，且与C交于A、B两点，设A关于x轴的对称点为D，证明：直线BD过x轴上的定点.
（2023上·湖北·高二校联考期末）已知双曲线C：的左右焦点分别为，，右顶点为，点，，．
(1)求双曲线的方程；
(2)直线经过点，且与双曲线相交于，两点，若的面积为，求直线的方程．
（2023上·福建宁德·高二统考期末）在平面直角坐标系中，焦点在x轴上的椭圆过点，离心率.
(1)求椭圆的方程；(2)设直线与椭圆相交于两点，求的面积最大值.
题型十 平移+齐次化解决定点与斜率和积定值问题
已知椭圆，设直线不经过点且与相交于，两点．若直线与直线的斜率的和为，证明：过定点．
如图，椭圆，经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点P，Q(均异于点，证明:直线AP与AQ的斜率之和为2．
如图，已知抛物线C：，圆E：，直线OA，OB分别交抛物线于A，B两点，且直线OA与直线OB的斜率之积等于，则直线AB被圆E所截的弦长最小值为 ．
已知椭圆：的离心率为，椭圆的短轴长等于4．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设，，过且斜率为的动直线与椭圆交于，两点，直线，分别交：于异于点的点，，设直线的斜率为，直线，的斜率分别为．
①求证：为定值； ②求证：直线过定点.