2023_2024学年高二数学上学期期末复习专题1_7数列求通项13类题型汇总练习教师版

这是一份2023_2024学年高二数学上学期期末复习专题1_7数列求通项13类题型汇总练习教师版，共31页。试卷主要包含了前n项积，因式分解型，累加法，累乘法，构造法，倒数型，隔项等差数列，隔项等比数列等内容，欢迎下载使用。

1、与
2、前n项积
3、因式分解型
如果式子中出现了2次项或者正项数列这些条件，可能需要因式分解
例：设正项的前项和为
（1）若满足,,数列的通项公式为__________
（2）若，，的通项公式为_____________
（3）若，，的通项公式为____________
【答案】（1）；（2）；（3）
4、累加法（叠加法）
若数列满足，求数列的通项时，利用累加法求通项公式。
具体步骤：
，将这个式子相加（左边加左边，右边加右边）得：=
5、累乘法（叠乘法）
若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法
具体步骤：
，
将这个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得：
整理得：
6、构造法
类型1： 用“待定系数法”构造等比数列
形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，从而求出数列的通项公式.
类型2：用“同除法”构造等差数列
（1）形如，可通过两边同除，将它转化为，从而构造数列为等差数列，进而可求得的通项公式.
（2）形如，可通过两边同除，将它转化为，换元令：，则原式化为：，先利用构造法类型1求出，再求出的通项公式.
（3）形如的数列，可通过两边同除以，变形为的形式，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，便可求得的通项公式.
7、倒数型
用“倒数变换法”构造等差数列
类型1：形如：（为常数，）的数列，通过两边同除“倒”过来，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得.
类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边同除“倒”过来，变形为，可通过换元：，化简为：（可用“待定系数法”构造等比数列）
8、隔项等差数列（和为等差）
已知数列，满足，（k≠0）
则；
；或则称数列为隔项等差数列，其中：
①构成以为首项的等差数列，公差为；
②构成以为首项的等差数列，公差为；
9、隔项等比数列（积为等比）
已知数列，满足，
则；
（其中为常数）；或则称数列为隔项等比数列，其中：
①构成以为首项的等比数列，公比为；
②构成以为首项的等比数列，公比为；
10、和为等比数列（和为等比）
已知数列，满足，
则
，再通过累加法和错位相减求出的通项公式
【题型1】Sn与an
已知数列满足：对任意，有，求数列的通项公式
【答案】(1)
【分析】当时，易知，当时，有递推关系可知，将其与与原递推关系作差，即可得到结果，再检验是否满足，进而得到结果；
【详解】（1）解：当时，，故，
当时，，则
，
故，
当时，上式亦满足；
综上，
（湖南师大学附中月考）已知数列的前项和为，若，，则有（ ）
A．为等差数列B．为等比数列
C．为等差数列D．为等比数列
【答案】D
【分析】根据得到，即可判断AB选项；根据，得到即可判断CD选项.
【详解】由题意，数列的前项和满足，
当时，，两式相减，可得，
可得，即，又由，当时，，所以，
所以数列的通项公式为，故数列既不是等差数列也不是等比数列，所以AB错.
当时，，又由时，，适合上式，
所以数列的前项和为；又由，所以数列为公比为3的等比数列，故D正确，C错.
已知数列的前项和为，若，，则数列的通项公式________
【答案】
【解析】当时，，作差得，即当时，是公比为3的等比数列，而，则，故
（重庆实验外国语学校月考）（多选）若数列满足（为正整数），为数列的前项和则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】直接代入递推公式求得，可知A正确；根据递推式求，构造数列为常数列，求得数列的通项，得，B正确；代入等差数列求和公式可得，C错误；先放缩，再利用裂项相消求和可证明D正确.
【详解】，故A正确；
由知，，
两式相减得，
故，故当时，为常数列，
故，故，故，故B正确；
，故C错误；
，
故，故D正确
设为数列的前项和，已知，求
【详解】由题意知，，
又，得．
当时，由，得，得．
则数列是首项为，公差为1的等差数列．
所以．
又，则．
当时，，
又满足上式，
所以．
【题型2】前n项积
对于数列，前项积记为； ①；②
则①②：
已知数列的前n项和为，在数列中，，，，求数列，的通项公式
【详解】（1）由已知得，当时
.
∴
当时，，也满足上式．所以
当时，，∴
当时，，符合上式
当时，，所以，也符合上式，综上，
∴，.
（江苏连云港，南通调研）已知数列的前项积为，且，求的通项公式
【答案】；
【详解】（1）由数列的前项积为，得，又，
所以，当时，，整理得，即，
所以，当时，为定值，
因为，令，得，，故，
所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，所以，得.
所以，当时，，显然符合上式，所以.
2021·全国高考乙卷（理）——前n项积，消求
记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;（2）求的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列;
（2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得.
【详解】（1）[方法一]：
由已知得,且，,
取,由得,
由于为数列的前n项积，
所以,
所以，
所以,
由于
所以，即,其中
所以数列是以为首项，以为公差等差数列;
[方法二]【最优解】：
由已知条件知 ①
于是． ②
由①②得． ③
又， ④
由③④得．
令，由，得．
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
[方法三]：
由，得，且，，．
又因为，所以，所以．
在中，当时，．
故数列是以为首项，为公差的等差数列．
（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
,
,
当n=1时，,
当n≥2时,,显然对于n=1不成立,
∴.
【题型3】因式分解型（正项数列）
正项递增数列的前项和为，，求的通项公式；
【答案】或
【详解】当时，，解得或.
当时，，即，解得或，∴.
当时，，即，解得.
由，
当时，，
两式相减得，即，
当时，，所以，即，
∴或.
已知各项都是正数的数列，前项和满足，求数列的通项公式.
【答案】
【详解】当时，，所以或（舍去），
当时，有
两式相减得，
整理得，
因为的各项都是正数，所以，
所以是首项为1，公差为1的等差数列，
所以
已知为数列的前n项和，，,求数列的通项公式.
【答案】
【详解】当时,，,则,
当时，，则,
两式相减得：
即
即
∵，∴,
∴数列是2为首项，公差为2的等差数列，∴.
【题型4】已知等差或等比求通项
注意与消Sn的方法进行区分
（湖北省黄冈市9月调研）设等差数列前项和，，满足，，求数列的通项公式
【答案】
【详解】依题意有，
，，
又为等差数列，设公差为，
，
（苏州市期初调研）已知等比数列中，，求数列的通项公式及它的前n项和.
【答案】
【详解】设等比数列公比为q，∵，
∴，解得，，
∴，
（佛山二模）已知各项均为正数的等比数列，其前项和为，满足，求数列的通项公式
【答案】.
【详解】设的公比为，则，又，
当时，，当时，，
两式相减可得，，所以，
所以或(舍去)，
所以，即，
所以等比数列的通项公式为
（潍坊一模）已知数列为等比数列，其前项和为，且满足，求的值及数列的通项公式.
【答案】，
【分析】当时，，两式相减得，由，可求出的值
【详解】因为，所以时，，所以.
又由数列为等比数列，所以.又因为，所以，
综上
【题型5】累加法（叠加法）
在数列中，，，则
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】试题分析：在数列中，
已知数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意可得，
所以，，…，，
上式累加可得
，
又，所以.
已知数列满足，且，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【详解】由，且，根据累加法可得：
，
所以，则
已知数列满足，，，且，求数列的通项公式.
【详解】因为，，，，
可得，，
又，
则当时，
，
上式对也成立，所以，
【题型6】累乘法（叠乘法）
数列满足，，则
【答案】
【分析】由已知整理得，先利用累乘法求数列的通项，再利用错位相减法求其前2021项的和，从而得到结果.
【详解】由得：，
；
设，
则，
，
，
，即，，，
.
已知数列的首项为1，前n项和为，且，则数列的通项公式 .
【答案】n
【详解】解：∵，∴
当时，，
当时，成立，
∴，
当时，，
当时，满足上式，
∴.
（2022·新高考1卷）为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列，求的通项公式.
【答案】(1)
【详解】（1）∵，∴,∴,又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，∴的通项公式
已知数列的前n项和为，且满足，求的通项公式.
【答案】(1)，
【详解】解：时，，解得.
当时，，故，
所以，
故.
符合上式
故的通项公式为，.
【题型7】构造：等差、等比，常数列
（2020·全国Ⅲ卷）设数列{an}满足a1=3，，求an.
【详解】［方法一］【最优解】：通性通法
由题意可得，，由数列的前三项可猜想数列是以为首项，2为公差的等差数列，即．
证明如下：
当时，成立；
假设时，成立.
那么时，也成立.
则对任意的，都有成立；
［方法二］：构造法
由题意可得，．由得．，则，两式相减得．令，且，所以，两边同时减去2，得，且，所以，即，又，因此是首项为3，公差为2的等差数列，所以．
［方法三］：累加法
由题意可得，．
由得，即，，……．以上各式等号两边相加得，所以．所以．当时也符合上式．综上所述，．
［方法四］：构造法
，猜想．由于，所以可设，其中为常数．整理得．故，解得．所以．又，所以是各项均为0的常数列，故，即．
【点评】方法一：通过递推式求出数列的部分项从而归纳得出数列的通项公式，再根据数学归纳法进行证明，是该类问题的通性通法，对于此题也是最优解；
方法二：根据递推式，代换得，两式相减得，设，从而简化递推式，再根据构造法即可求出，从而得出数列的通项公式；
方法三：由化简得，根据累加法即可求出数列的通项公式；
方法四：通过递推式求出数列的部分项，归纳得出数列的通项公式，再根据待定系数法将递推式变形成，求出，从而可得构造数列为常数列，即得数列的通项公式
已知数列的前n项和为，且，求数列的通项公式；
【详解】（1）当时，，即.
当时，①，
②，
由①-②，得，即.
所以，且，所以数列为常数列，
所以，即.
已知数列的前n项和为，，且，求通项公式．
【解答】
又
是以2为公比和首项的等比数列
，即
已知数列中，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】
所以所以数列是一个以2为首项，以4为公比的等比数列，
所以.
数列{an}满足，，则数列{an}的通项公式为 .
【答案】．
【分析】已知式两边同除以，构造一个等差数列，由等差数列的通项公式可得结论．
【详解】∵，所以，即，
∴是等差数列，而，
所以，
所以．
在数列中，，且对任意的，都有，求数列的通项公式；
【答案】
【详解】由，可得
又，，
所以.
所以首项为，公比为的等比数列.
所以.
所以.
又满足上式，所以
广东省广州市2023届高三综合测试（一）
已知数列的前项和为，且，求.
【答案】(2)
【详解】（1）由，得，
当时，，所以，
当时，，
两式相减得，即，
所以，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以
2023·广东惠州一模
已知数列的前项和为，且，求数列的通项公式；
【答案】
【详解】当时，，解得，
当时，．
可得，
整理得：，
从而，
又，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列；
所以，
所以，经检验，满足，
综上，数列的通项公式为.
已知数列满足，，则=（ ）
A．80B．100C．120D．143
【答案】C
【分析】根据，可得，从而可证得数列是等差数列，从而可求得数列的通项，即可得解.
【详解】解：因为，
所以，即，
等式两边开方可得：，即，
所以数列是以首项为，公差为1的等差数列，
所以，所以，
所以.
【题型8】取倒数型
已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ．
【答案】
【详解】由两边取倒数可得，即．
所以数列是首项为2，公差为3等差数列.
所以，所以．
在数列中，若，则 .
【答案】
【分析】通过取倒数的方法，证得数列是等差数列，求得，进而求得.
【详解】取倒数得:，
所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，
所以，所以.
已知数列满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】对所给式子化简、变形，构造新数列，通过等比数列的定义求出新数列的通项公式，再用累加法求出，进而得到数列的通项公式，即可得到答案.
【详解】因为，由递推知，，所以，
则，有，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，所以
则，所以.
【题型9】取倒数后进行构造
已知数列满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】对所给式子化简、变形，构造新数列，通过等比数列的定义求出新数列的通项公式，再用累加法求出，进而得到数列的通项公式，即可得到答案.
【详解】因为，由递推知，，所以，
则，有，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，所以
则，所以.
在数列中，，，且满足，则 .
【答案】
【分析】由递推公式两边同除得到，即可得到，即可得到是以为首项、为公比的等比数列，则，再利用累加法求出，即可得到数列的通项公式；
【详解】解：因为，，，显然，所以，同除得，所以，所以，所以是以为首项、为公比的等比数列，所以，所以
所以
重庆市巴蜀中学校高三下学期高考适应性月考（九）
（多选）已知数列的前n项和为，，且（，2，…），则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】对于A选项，只需判断；
对于B选项，通过通项公式可求得；
对于C选项，将条件转化为，可判断错误；
对于D选项，将数列放缩成等比数列求和，可判断正确.
【详解】由条件，两边同时除以，得，
∴∴，∴，
对于A选项，∵，∴，∴，故A选项正确；
，，所以B选项错误；
对于C选项，，等价于，由极限思想知，当时，，故C选项错误；
对于D选项，，
∴
，又∵，所以D选项正确.
【题型10】隔项等差数列求通项（和为等差）
已知,求的通项公式．
【答案】；
思路点拨：根据题意： ，可推出 ，两式作差 ，判断为隔项等差数列
解答过程
由 ，可推出 ，两式作差
所以 是隔项等差数列：
① 构成以 为首项的等差数列，公差为
② 构成以 为首项的等差数列，公差为
下结论
求通项
当 为奇数： 为第 项：
求通项
当 为偶数： 为第 项：
综上：无论 为奇数还是偶数： .
已知各项均为正数的数列满足：，,求数列的通项公式.
【答案】
【详解】解：由，
当时，，
∴，又，，∴。
当时，，
∴为奇数时， ；当时，，
∴为偶数时，，∴
已知数列中，对任意的,都有，，求的通项公式．
【答案】
【解析】由条件，可得：
两式相减得： ……7分
因为，所以，数列的奇数项是首项为3，公差为4的等差数列；
……8分
偶数项是首项为1公差为4的等差数列． ……9分
综上： ……10分
【题型11】隔项等比数列求通项（积为等比）
已知正项等比数列对任意的均满足，，求的通项公式；
【答案】
思路点拨：根据题意： ，可推出 ，两式作商 ，判断为隔项等比数列
解答过程：
由 ，可推出 ，两式作商
所以 是隔项等比数列：
① 构成以 为首项的等比数列，公比为 ；
② 构成以 为首项的等比数列，公比为 ；
下结论
求通项
当 为奇数： 为第 项：
求通项
当 为偶数： 为第 项：
综上： .
山东省济南市二模
（多选）已知数列中，，，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．是等比数列
C．D．
【答案】ABC
【详解】，，，即，则，A正确；
显然有，于是得，
因此数列，分别是以1，2为首项，2为公比的等比数列，B正确；
于是得，，
则，，C正确，D不正确.
2023·广东深圳二模
已知数列满足，，，.
(1)求数列的通项公式；(2)证明:数列中的任意三项均不能构成等差数列.
【答案】(1)；(2)证明见解析
【分析】(1) 由 得,分奇偶项分别求通项，最后写出通项公式；
(2) 假设数列中存在三项数列 (其中）成等差数列，应用反证法得出矛盾证明即可.
【详解】（1）由 ，得
以上两式相比，得,
由，得,
所以，数列是首项为3，公比4为的等比数列，,
数列是首项为6，公比为4的等比数列，,
综上，数列的通项公式为 .
（2）假设数列中存在三项数列 (其中）成等差数列，则 .
由（1）得，即,两边同时除以，得(*)
(*）式左边为奇数，右边为偶数
(*）等式不成立，假设不成立.
所以，数列中得任意三项均不能构成等差数列
【题型12】和为等比数列求通项
已知数列中，，求数列的前n和.
【答案】
思路点拨：根据题意： ，可推出 ，两式作差
变换下标，写成
所以 ， ，．．．．．．．
累加，得
累加
求通项
所以数列 的前n和为
求和
（2023·重庆巴南·一模）在数列中，已知，，求的通项公式．
【答案】
【分析】通过凑配法证得是等比数列.
【详解】（由，得，
即，
所以是首项为，公比为的等比数列.
.
已知数列满足，，．
(1)求的通项公式．
(2)若数列的前项和为，且恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）将两边同时加，结合等比数列的定义证明可得，再构造数列，求解首项分析即可；
（2）根据等比数列的前项公式可得，参变分离可得，再根据的单调性求解最大值即可.
【详解】（1）由可得，且，
故是以2为首项，3为公比的等比数列，故，
所以，又，
故，即.
（2）由（1）为等比数列，故，
故即恒成立，求的最大值即可.
设，则，
令有，故当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小.
又，故为的最大值，为，所以，
2023·浙江杭州·统二模
设公差不为0的等差数列的前n项和为，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，，求数列的前n项和．
【答案】(1)，；(2)
【分析】（1）根据等差数列性质设出公差和首项，代入题中式子求解即可；
（2）列出通项公式，根据通项求出的前n项和，再根据通项求出的前2n项和，两式相减解得的通项公式，最后分组求和求出数列的前n项和.
【详解】（1），设公差为d，首项为
，因为公差不为0，所以解得，
，数列的通项公式为，.
（2）
①
②
得，解得
【题型13】奇偶数列：奇偶项递推公式不同
2021·新高考1卷T17（1）
已知数列满足，，记，写出，，并求数列的通项公式
【答案】
【详解】解：（1）[方法一]【最优解】：
显然为偶数，则，
所以，即，且，
所以是以2为首项，3为公差的等差数列，
于是．
[方法二]：奇偶分类讨论
由题意知，所以．
由（为奇数）及（为偶数）可知，
数列从第一项起，
若为奇数，则其后一项减去该项的差为1，
若为偶数，则其后一项减去该项的差为2．
所以，则．
[方法三]：累加法
由题意知数列满足．
所以，
，
则
．
所以，数列的通项公式．
已知数列满足，，记，求证：为等比数列
【分析】由可知结合可得进而可证为等比数列；
【详解】证明：且
，
又
，为以4为首项，2为公比的等比数列.
2023·巴蜀中学高三校考
已知数列满足：①；②，求的通项公式
【答案】
【详解】当为奇数时，令，则，
当为偶数时，令，则，
则，
当时，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以，则，
当为奇数时，由，则，所以，
当为偶数时，由，则，所以，
所以
福建师范大学附属中学高三上学期第二次月考
大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列满足，，求的通项公式
【答案】
【详解】当为奇数且时
，
累加可得
，时也符合；
当为偶数且时，
累加可得
；
则
山东省聊城市高三下学期第一次模拟
已知数列满足，，数列满足,求数列和的通项公式．
【答案】，
【分析】由题意先求出，再根据，得，从而可得，再利用构造法求出的通项，从而可得的通项公式；
【详解】，得，
因为，即，解得，
由，得，
又，
故，所以，即，
所以，
又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，
则，故，
所以
已知数列满足，，，令，写出，，并求出数列的通项公式；
【答案】，，
【详解】因为，，所以，，
又，所以，，，
当，时，；
当，时，，
当时，，即，
则，，
数列是以为首项，3为公比的等比数列，
故.与同时存在
角度1：已知与的关系；或与的关系
用，得到
例：已知，求
角度2：已知与的关系；或与的关系
替换题中的
例：已知；
已知
角度3：等式中左侧含有：
作差法
（类似）
例子：已知求
前n项积
角度1：已知和的关系
角度1：用，得到
例子：的前项之积.
角度2：已知和的关系
角度1：用替换题目中
例子：已知数列的前n项积为，且.