2023_2024学年高二数学上学期期末复习专题1_10数列放缩通项证明不等式与数列不等式恒成立问题练习学生版

这是一份2023_2024学年高二数学上学期期末复习专题1_10数列放缩通项证明不等式与数列不等式恒成立问题练习学生版，共7页。试卷主要包含了常见的裂项公式等内容，欢迎下载使用。
1．常见的裂项公式：必须记
例如：或者等
2.一个重要的指数恒等式：
次方差公式
这样的话，可得：，就放缩出一个等比数列.
3.糖水不等式
分子分母同加常数：
常见放缩公式：（太多了，不一定要全部记，自行选择）
一、等差型
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
二、根式型
（5）；
（7）；
（8）
；
（9）
；
三、指数型
（10）；
（11）；
（12）；
（13）．
（14）．
题型一 求和后放缩
已知，设，为数列的前项和.证明：
已知为，证明：．
已知，设，记，证明：.
已知数列中，，，数列满足.
(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，证明.
题型二 放缩通项再裂项相消求和
已知，若数列的前n项和为，求证：.
已知数列前n项积为，且，设，求证：．
设求证：
已知，设，数列的前项和为，求证：
已知，记，，．证明：当时，．
已知，若，为的前n项和，证明：．
已知数列，设，求证：
已知，的前项和为，，，数列的前项和为，证明：.
【详解】，则，.
，则.
∴
.
∴
题型三 放缩成等比数列
（2014全国2卷）已知，证明：.
已知，证明：
已知，记，求证：．
【解析】当时，；
当时，
，
所以．
记，证明：．
已知，数列，证明：.
已知数列，，求证：对任意的且，有
已知，求证：对任意的，．
题型四 根式的放缩
的整数部分是（ ）
A．3B．4C．5D．6
2023届·广东省综合素质测试（光大联考）
已知正项数列的前n项和为，且满足.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设数列的前n项和为，证明：
已知数列的前项和，设数列的前项和，且满足，求证：
（2021浙江卷）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ）
A．B．C．D．
题型五 跳过第一项再放缩求和
已知，设数列，证明：．
已知数列满足且，求证：．
已知，若，数列的前n项和为，证明：.
已知，证明：．
题型六 利用重要不等式放缩
设求证
题型七 通过糖水不等式进行放缩
求证
题型八 放缩后错位相减求和
2024届·广州·仲元中学校考
已知是公差为2的等差数列，其前8项和为是公比大于0的等比数列，，
(1)求和的通项公式：
(2)记，证明：
题型九 数列恒成立问题
已知等差数列的前n项和记为（），满足,数列为单调递减数列，求的取值范围.
已知数列满足：，.设，若对于任意的，恒成立，则实数的取值范围为
已知数列{an}对任意m，n∈N*都满足am+n=am+an，且a1=1，若命题“∀n∈N*，λan≤+12”为真，则实数λ的最大值为 .
数列满足，若对任意，所有的正整数n都有成立，则实数k的取值范围是 .
已知，若对于任意恒成立，则实数的取值范围是 ．
设是数列的前项和，，若不等式对任意恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
已知数列的前n项和为，满足：，且，为方程的两根，且.若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
已知，，设数列前项和，求使得不等式成立的的最小值.
已知数列中，，满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设为数列的前项和，若不等式对任意正整数恒成立，求实数的取值范围.