2023_2024学年高二数学上学期期末复习专题1_10数列放缩通项证明不等式与数列不等式恒成立问题练习教师版

这是一份2023_2024学年高二数学上学期期末复习专题1_10数列放缩通项证明不等式与数列不等式恒成立问题练习教师版，共20页。试卷主要包含了常见的裂项公式等内容，欢迎下载使用。

1．常见的裂项公式：必须记
例如：或者等
2.一个重要的指数恒等式：
次方差公式
这样的话，可得：，就放缩出一个等比数列.
3.糖水不等式
分子分母同加常数：
常见放缩公式：（太多了，不一定要全部记，自行选择）
一、等差型
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
二、根式型
（5）；
（7）；
（8）
；
（9）
；
三、指数型
（10）；
（11）；
（12）；
（13）．
（14）．
题型一 求和后放缩
已知，设，为数列的前项和.证明：
【解析】，则，
故，又，
所以，即，又是单调递增数列，则
综上，.
已知为，证明：．
【解析】，
所以，
随着的变大，变大，故当时，取得最小值，
最小值为，且，
故.
已知，设，记，证明：.
【解析】，
，
，
两式相减得，
所以
.
已知数列中，，，数列满足.
(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，证明.
【解析】(1)当时，，
当时，，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以数列通项公式为.
(2)因为，
所以
，
因为，
所以.
题型二 放缩通项再裂项相消求和
已知，若数列的前n项和为，求证：.
【详解】证明：由（1）得，
所以，
所以
已知数列前n项积为，且，设，求证：．
【详解】．
所以
．
又因为，
所以．
设求证：
解析 又（只将其中一个变成，进行部分放缩），，
于是
已知，设，数列的前项和为，求证：
解： ，
可知当时，

，不等式得证
已知，记，，．证明：当时，．
【解析】，
，
，
所以，当时，．
已知，若，为的前n项和，证明：．
【解析】,,,
，
，
.
已知数列，设，求证：
解：思路：，无法直接求和，所以考虑放缩成为可求和的通项公式（不等号：），若要放缩为裂项相消的形式，那么需要构造出“顺序同构”的特点。观察分母中有，故分子分母通乘以，再进行放缩调整为裂项相消形式。
解：
而
所以


已知，的前项和为，，，数列的前项和为，证明：.
【详解】，则，.
，则.
∴
.
∴
题型三 放缩成等比数列
（2014全国2卷）已知，证明：.
解析：，因为当时，，所以
于是.
所以.
注：此处便是利用了重要的恒等式：次方差公式：
当然，利用糖水不等式亦可放缩：，请读者自行尝试.
已知，证明：
【详解】
，
所以
已知，记，求证：．
【解析】当时，；
当时，
，
所以．
记，证明：．
【解析】，
，
，．
已知，数列，证明：.
【分析】当时，验证所证不等式成立，当时，由放缩法可得出，再结合等比数列求和公式可证得原不等式成立，综合可得出结论.
【详解】解：由，所以，，
所以，，
当时，，
当时，.
综上所述，对任意的，.
已知数列，，求证：对任意的且，有
解：证明：
已知，求证：对任意的，．
【解析】，故，
所以．
题型四 根式的放缩
的整数部分是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】注意到
，
，
据此可得答案.
【详解】
因，
则
.
又
，则
.故，即整数部分为4.
2023届·广东省综合素质测试（光大联考）
已知正项数列的前n项和为，且满足.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设数列的前n项和为，证明：
【详解】（1）当时，由，
所以数列是等差数列；
（2），由（1）可知数列是等差数列，且公差为，
所以，又因为数列是正项数列，
所以，即，
.
已知数列的前项和，设数列的前项和，且满足，求证：
解：，

（2021浙江卷）已知数列满足.记数列的前n项和为，则（ ）
A．B．C．D．
解析：由
，即根据累加法可得，，当且仅当时取等号，.
一方面：. 另一方面，由累乘法可得，当且仅当时取等号，由裂项求和法得：所以
，即．故选：A．
题型五 跳过第一项再放缩求和
已知，设数列，证明：．
【解析】，
则当时，，
．
从而得证．
已知数列满足且，求证：．
【解析】数列满足且，所以当时，，故，
所以
．
已知，若，数列的前n项和为，证明：.
【解析】，则.
先证：当时，，，满足；
当时，，
所以.
故得证.
再证：因为，
所以.
故不等式成立.
已知，证明：．
【解析】当时，，不等式成立；
当时，，所以，不等式成立；
当时，，
所以，
，
所以，得证．
题型六 利用重要不等式放缩
设求证
解析 此数列的通项为
，，
即
注： = 1 \* GB3 ①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放成则得，就放过“度”了！
= 2 \* GB3 ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里

其中，等的各式及其变式公式均可供选
题型七 通过糖水不等式进行放缩
求证
利用假分数的一个性质可得

即
题型八 放缩后错位相减求和
2024届·广州·仲元中学校考
已知是公差为2的等差数列，其前8项和为是公比大于0的等比数列，，
(1)求和的通项公式：
(2)记，证明：
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）由等差数列与等比数列的性质求解，
（2）由放缩法与错位相减法求和证明．
【详解】（1）对于等差数列，，而，解得，故，
对于等比数列，，则，而公比，解得，故
（2），则
令，则，
两式相减得，
得，故，原式得证
题型九 数列恒成立问题
已知等差数列的前n项和记为（），满足,数列为单调递减数列，求的取值范围.
【答案】
【分析】设等差数列的公差为，由已知可得，求得，由数列的单调性列不等式即可得的取值范围；
【详解】设等差数列的公差为，由于，
所以，解得，
所以，
若数列为单调递减数列，则对于恒成立，
所以在上恒成立，
则，所以，又数列为递增数列，所以，即，
故的取值范围为
已知数列满足：，.设，若对于任意的，恒成立，则实数的取值范围为
【答案】
【分析】由，可得，进而得到，结合，分和分类讨论，确定数列的单调性，求出最大值，进而得解.
【详解】由数列满足、得：是首项为，公比为的等比数列，
∴，∴，
∴，
当时，，∴，当且仅当时取等号，，
当时，，∴，
当时，数列单调递增，当时，数列单调递减，
则当或时，，
而任意的，恒成立，则，
∴实数的取值范围为.
已知数列{an}对任意m，n∈N*都满足am+n=am+an，且a1=1，若命题“∀n∈N*，λan≤+12”为真，则实数λ的最大值为 .
【答案】7
【分析】先求出的通项公式，然后参变分离转化为求最值
【详解】令m=1，则an+1=an+a1，an+1－an=a1=1，所以数列{an}为等差数列，首项为1，公差为1，所以an=n，
所以λan ≤+12⇒λn≤n2+12⇒λ≤n+，
又函数在上单调递减，在上单调递增，
当或时，
所以
数列满足，若对任意，所有的正整数n都有成立，则实数k的取值范围是 .
【答案】
【分析】先由题设求得，然后利用数列的单调性求得其最大值，把对任意，所有的正整数n都有成立转化为对任意恒成立，再利用基本不等式求得的最小值，即可得到答案.
【详解】由，
当时，，
两式相减可得：，
∴，由，显然成立，
设，
∴当时，，当时，，
因此，，数列单调递增，当时，数列单调递减，
由，，故当或时，数列取最大值，且最大值为，
对任意，所有的正整数n都有成立，可得，
因此，，即对任意恒成立，
由，当且仅当，即时取最小值，则，
∴实数k的取值范围是.
已知，若对于任意恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先分离参数将问题转化为对于任意恒成立，进而转化为，构造，再作差判定单调性求出数列的最值，进而求出的取值范围.
【详解】因为，且对于任意恒成立，
所以对于任意恒成立，即，
令，则，
因为，，，
且对于任意恒成立，
所以，即，
所以实数的取值范围是
设是数列的前项和，，若不等式对任意恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用，得到，，变形后得到是等差数列，首项为6，公差为4，从而求出，故代入整理得，利用作差法得到单调递减，最小值为，列出不等式求出答案.
【详解】当时，，解得：，
当时，，
整理得，
方程两边同除以，得，
又，故是等差数列，首项为6，公差为4，
所以，
故，经验证，满足要求，
所以为，
故，对任意恒成立，
，当时，，
故，
单调递减，当时，取得最大值，
故，解得：，
则的最小值为
已知数列的前n项和为，满足：，且，为方程的两根，且.若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】先利用等差数列通项公式求解，再利用数列的单调性求解数列的最大值，进而解决不等式恒成立问题即可.
【详解】由可知数列是等差数列，设其公差为，
解方程得或，又，
，，
.
由得，
，设，
则，
由对于任意恒成立，所以只考虑的符号，
设，，
令解得，即在上单调递增，
令解得，即在上单调递减，
，，，
当，，
当，时，，即，，
当，，即，
即从，开始单调递减，
即，，即，
的取值范围为.
已知，，设数列前项和，求使得不等式成立的的最小值.
【答案】5.
解：，
则，
则，
两式相减得：
于是得，
由得：，即，令，，
显然，，，，，，
由，解得，即数列在时是递增的，
于是得当时，即，，则，
所以不等式成立的n的最小值是5.
已知数列中，，满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设为数列的前项和，若不等式对任意正整数恒成立，求实数的取值范围.
解析：(1)，
所以是以为首项，公比为的等比数列，
所以，所以.
(2) ，
若对于恒成立，即，
可得即对于任意正整数恒成立，
所以，令，则，
所以，可得，所以，
所以的取值范围为