福建省福州市闽侯县第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

这是一份福建省福州市闽侯县第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷，共13页。试卷主要包含了已知，则“成立”是“成立”的，设，，则下列不等式中正确的是，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答卡上.写在本试卷上无效.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合，则集合的真子集有（ ）个.
A.63B.31C.15D.7
2.命题，，则命题的否定是（ ）
A.，B.，
C.，D.，
3.下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的为（ ）
A.B.C.D.
4.已知，则“成立”是“成立”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
5.设，，则下列不等式中正确的是（ ）
A.B.C.D.
6.已知不等式对任意都成立，则实数的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.
7.已知是定义在上的奇函数，当时，，那么不等式的解集是（ ）
A.B.或
C.D.或
8.已知且，函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是（ ）
A.和表示同一个函数
B.函数的定义域为，则函数的定义域为
C.函数的值域为
D.定义在R上的函数满足，则
10.下列说法正确的是（ ）
A.若，则的最大值为
B.函数的最小值为2
C.已知，，，则的最小值为3
D.若正数x，y满足，则的最小值是4
11.已知函数的定义域为R，对任意实数x，y满足：，当时，，则下列选项正确的是（ ）
A.B.
C.为R上的减函数D.为偶函数
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知函数，则___________.
13.若幂函数在上单调递増，则实数___________.
14.已知定义在R上的奇函数与偶函数满足，，若，恒成立，则实数m的取值范围是___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题13分）（1）求值：；
（2）已知，求值：.
16.（本小题15分）已知集合，集合.
（1）当时，求，；
（2）若，求的取值范围.
17.（本小题15分）
函数是定义在上的奇函数，且.
（1）判断在上的单调性，并用定义证明；
（2）解关于的不等式.
18.（本小题17分）福建省人民政府办公厅在《关于深入开展消费扶贫助力打赢脱贫攻坚战的实施意见》中提出要打造区域性特色农产品品牌，推动市县或集中连片特殊困难地区制定区域性扶贫产品标识，合力打造区域性特色农产品品牌，提高贫困地区特色农产品辨识度，引导各类媒体通过新闻报道、公益广告等多种方式，广泛宣传贫困地区发展特色农产品的经验做法，推介农产品品牌，某地区在政策指导下，根据当地气候、土质等条件，推广种植某种市场畅销水果果树，经调研发现该果树的单株产量P（单位：千克）与施肥量x（单位：千克）满足函数关系：，且单株果树的肥料成本投入为16x元，其他成本投入（如培育管理、施肥人工费等费用）为元.已知这种水果的市场售价为21元/千克，且销路畅通供不应求，记该果树的单株利润为（单位：元）.
（1）求函数的解析式；
（2）当单株施肥量为多少千克时，该果树的单株利润最大？最大利润是多少？
19.（本小题17分）
“函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”.若函数的图像关于点对称，且当时，.
（1）求的值；
（2）设函数.
（i）证明：函数的图像关于点对称；
（ii）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围.
闽侯二中2024—2025学年度第一学期高一期中考试数学试卷
全解全析
1.【答案】B
【解析】【分析】根据题意求集合的元素个数，进而求真子集个数.
【详解】由题意可知：集合，共5个元素，所以集合的真子集有个.
故选：B.
2.【答案】C
【分析】根据特称命题的否定可直接得到结果.
【详解】由特称命题的否定知：命题的否定为，.故选：C.
3.【答案】D
【解析】
【分析】逐一判断奇偶性和单调性即可求解
【详解】对于A：的定义域为R，且，所以为偶函数，当时，由一次函数的性质可知，在上单调递减，即在上单调递减，故A错误；
对于B：的定义域为R，且，所以为奇函数，故B错误；
对于C：的定义域为，且，所以为偶函数，由幂函数的性质可知，在上单调递减，故D错误；
对于D：的定义域为R，且，所以为偶函数，当时，，由指数函数的性质可知，在上单调递增，故D正确：故选：D.
4.【答案】A
【解析】【分析】分别解出不等式以及，即可得出答案.
【详解】解可得，.
由可得，，解得.
所以，“成立”是“成立”的充分不必要条件.
故选：A.
5.【详解】对于A，由在上是增函数可得，故A错误；
对于B，由在上是减函数可得，故B错误；
对于C，，所以，故C正确；
对于D，当时，，故D错误；故选：C.
6.【答案】D
【解析】【分析】分和两种情况讨论，当时则，即可求出参数的取值范围，从而得解.
【详解】解：因为不等式对任意都成立，
当时恒成立，
当时，解得，
综上可得；故选：D
7.【答案】B
【分析】先根据奇函数的性质求出时，的解析式.进而分，，三种情况，结合奇函数的性质，求解不等式，即可得出答案.
【详解】，则，.
又是定义在R上的奇函数，
所以，，所以，.
由可得，，解得，所以；
当时，由可得，，解得，所以；
当时，根据奇函数的性质，可知，满足.
综上所述，不等式的解集是或.故选：B.
8.C【分析】先判断出函数的单调性，由此列不等式组来求得的取值范围.
【详解】由于对任意实数，都有成立，
所以在R上单调递增，所以，解得.故选：C
9.【答案】BCD
【详解】A选项，的定义域为，的定义域为R，不是同一个函数，A选项不正确；
对于B，对于，令，则，则，
所以，即的定义域为，B选项正确；
对于C，因为，所以，即函数的值域为，C选项正确；
对于D，由可得，
所以由可得，D选项正确；故选：BCD.
10.【答案】ACD
【详解】对于A：，，
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最大值为.故A正确；
对于B，因为，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，所以函数的最小值为3.故B错误；
对于C，因为，，，
所以，
当且仅当即时等号成立，所以的最小值为3.故C正确；
对于D，因为，，，所以，
则，
当且仅当即时等号成立，此时，
所以的最小值为4.故D正确.
故选：ACD.
11.【详解】令得，故A正确；
，故B正确；
设，则，所以，故C正确；
令，则，所以是奇函数，故D错误.故选：ABC
12.【答案】4【详解】，.故答案为：4.
13.【答案】3
【解析】【分析】根据幂函数的定义和单调性求得m.
【详解】是幂函数，所以，，解得或，
当时，在上单调递减，不符合题意.
当时，在上单调递增，符合题意.所以的值为3.
故答案为：3
14.【答案】
【解析】【分析】先由函数和的奇偶性得出函数和的解析式，代入将问题转化为.对恒成立，令，由单调性得出的范围，再由的单调性求得的最大值，根据恒等式的思想可求得实数m的取值范围.
【详解】因为是奇函数，所以，是偶函数，所以.
因为，所以，即，
所以，.
所以，对恒成立，
又因为，恒成立，因此将不等式整理得：，
令，则在上单调递增，
所以，所以，
根据基本不等式解得：，当且仅当时等号成立；
所以，所以，所以实数的取值范围是.
故答案为：.
15.【详解】（1）原式；
（2）由，而，
则，故.
16.【详解】（1）由题设，则，
或，则，
（2）由，
若时，，满足；
若时，；
综上，.
17.【答案】解：（1）因为函数是定义在上的奇函数，
所以，得，
经检验时，，
所以是定义在上的奇函数，满足题意，
因为，解得，
故，，在上为增函数.
证明如下：在上任取，，且，
则，
因为，，，，
所以，
即，所以在上为增函数；
（2）因为为奇函数，所以，
不等式可化为，即，
又在上是增函数，所以，解得，
所以关于的不等式解集为.
【解析】本题考查了函数的奇偶性和函数的单调性，函数单调性的判断方法，利用函数性质解不等式，属于中档题.
（1）根据函数的奇偶性和代入即可得a，b的值，从而利用单调性定义即可证明；
（2）利用函数的单调性和奇偶性即可得，从而即可得的取值.
18.【答案】（1）；
（2）5千克，最大利润是325元.
【分析】（1）利用利润公式直接求解即可；
（2）分段求解，时，利用二次函数的性质求解最值；时，利用基本不等式求解最值.
【详解】（1）根据题意知，
整理得；
（2）当时，，
由一元二次函数图象可知在时取得最大值，
当时，，
当且仅当，即时等号成立，
，的最大值是，
当单株施肥量为5千克时，该果树的单株利润最大，最大利润是325元.
19.【答案】解：（1）因为函数的图像关于点对称，
则，令，可得.
（2）（i）证明：由，
得，
所以函数的图像关于点对称.
（i），易知函数在上单调递增，所以，不妨设在上的值域为，
对任意，总存在，使得成立，则，
当时，，且，
当，即，函数在上单调递增，
由对称性可知，在上单调递增，所以在上单调递增，
因为，，所以，
所以，由，可得.
当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，
由对称性可知在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
结合对称性可得或，
因为，所以，，
又，，所以，，
所以当时，成立.
当，即时，函数在上单调递减，
由对称性可知在上单调递减，因为，，
所以，所以，
由，可得解得.
综上所述，实数的取值范围为.
【解析】本题考查函数的对称性、单调性、恒成立和存在性问题，属于较难题.
（1）利用函数的图像关于点对称即可求解；
（2）（i）求证即可得证；
（ii）求出，设在上的值域为，得，然后对进行分类讨论即可求解.