【广东卷】广东省广州外国语、广大附中、铁一中学等三校2024-2025学年高三上学期期中联考试题(11.12-11.13)数学试卷

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|ly = 4
2．A【详解】设z = x + yi ，x, y ∈ R 由 zi + z = 8 + 4i 得 · + x + yi = 8 + 4i 所以{〔| · + x = 8 ，解得x = 3, y = 4
∴ z = 3 + 4i .
3 ．C【详解】如图所示： 以A 为原点，建立平面直角坐标系，
因为正方形ABCD 的边长为 1 ，可得A(0, 0) ，B(1, 0) ， C(1, 1) ，D(0, 1) ，
-M--→ = λ-B-→ , - = μ- ， :M(λ, 0) ， N(0, μ) ， -M- = (λ- 1, -1) ， - = (-1, μ- 1) ，
: -M- . - = 1- λ+ 1- μ = 1 ，故λ+ μ = 1 ， :λ2 + 2μ2 = (1 -μ)2 + 2μ2 = 3μ2 - 2μ +1，
故μ = 时， 3μ2 - 2μ +1的最小值是 ，
4 ．D【详解】 由sinα + cs(π - α) = sinα - csα = ，
所以( sinα - csα)2 = 1 - 2sinαcsα = ，可得2sinαcsα = > 0 ，因为α ∈(0, π) ，所以sinα > 0, csα > 0 ，可 得sinα + csα > 0 ，又由(sinα + csα)2 = 1+ 2sinαcsα = ，可得sinα + csα = ，所以
sin|((α + ,)I = ) = .
5．C【详解】设球的半径为R ，则球的体积为πR3 ，圆柱底面积为 πR2 ，高为 2R ，故圆柱的体积为 πR2 . 2R = 2πR3 ， 故 球的表面积为4πR2 ，圆柱的表面积为2πR2 + 2πR . 2R = 6πR2 ，故n = = ，故 = 1，
展开式中的通项公式为Tr+1 = Cx6-r(-x-2 )r = (-1)r Cx6-3r ，令 6 - 3r = 0 ，解得r = 2 ，故常数项为
T3 = (-1)2 C = 15 .
6 ．D【详解】 由题意，将函数y = sin(|(2x + ),I 的图象向右平移m(m > 0) 个单位长度，
得到的图象对应的函数y = f (x ) = sin(2x - 2m + ) 的图象，因为f (x)在区间「|L- , 上单调递减，
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
C
D
C
D
B
C
CD
ABD
题号
11
答案
B
所以2× (- ) - 2m + ≥ 2kπ + 且2× - 2m + ≤ 2kπ + , k ∈ z ，解得-kπ - ≤ m ≤ -kπ - , k ∈ z ，即 m = -kπ - ，令k = -1 ，可得m 的最小值为 .
7．B【详解】S18 = = 9 ( a9 + a10) < 0 ，即a9 + a10 < 0 ，S19 = = 19 a10 > 0 ，即a10 > 0 ，故a9 < 0 ，
S 〔 S ) S
d > 0 ，①当1≤ n ≤9 ， n ∈ N* 时， an < 0 ， Sn < 0 ，故 > 0 ， Sn max = S9 ， an min = a9 ，故{l a ,}max = ；
S 〔 S ) S
②当10 ≤ n ≤ 18 ， n ∈ N* 时， an > 0 ， Sn < 0 ，故 a < 0 ， Sn max = S10 ， an min = a10 ，{l a ,}min = ；
③当n = 19 时， > 0 且 = = + 1< 1 ， = = + 1> 1 ，故 < ； 综上所述： , , . . ., , 中，最大项和最小项分别为 , .
8．C【详解】令x = 1，y = -1，f (-1) = f (1)+ f (-1)-1 ，所以f (1) = 1；令x= - 1，y = -1，f (1) = f (-1) + f (-1)-1 则f (-1) = 1 ．令y = -1 ，得f (-x ) = f (x ) ，故y = f (x)(x ≠ 0) 为偶函数．A 错误，
任取x1 ， x2 ∈ (0, +∞) ，x1 < x2 ，则 > 1 ，则f (x2 ) = f (x1 ) + f (|(),I-1 < f (x1 ) ，故y = f (x)(x ≠ 0) 在(0, +∞) 上为 减函数． 由已知f (2x +1) > 1 ，可得f( 2x +1) > f (1) ，故 2x +1 < 1 ，解得-1 < x < 0 ，且x ≠ - ．B 错误，
若f (2) = ，则f (1024) = f (210 )= f (29 )+ f (2 )-1 = 10f (2 )-9 = -4 ，C 正确，若f),I = 2 ，则
f |(( ),I = 2f |(( ,)I -1 = 3 ，f (|(,)I = 2 f (|( ),I-1 = 5，f ),I = f |(( ),I + f (|( ),I- 1= 6 ，所以f ),I = 2f ),I -1 = 11 ，
故 D 错误，
9 ．CD【详解】 由题意知， μ = 100，σ 2 = 100 ，A：标准差： σ2 = 10 ，故 A 错误；
B ： P(100 -10 < X ≤ 100 +10) = P(90 < X ≤ 110) = 0.6827，P (X < 90) = [1- P(90 < X ≤ 110)] = 0. 15865 ，
P (X ≥ 90) = 1- P(X < 90) = 0.84135 < 0.86 = 86% ，故 B 错误；
C ： P(100 - 30 < X ≤ 100 + 30) = P(70 < X ≤ 130) = 0.9973 ， :1000× 0.9973 ≈ 997 人，故 C 正确； D ： P(100 - 20 < X ≤ 100 + 20) = P(80 < X ≤ 120) = 0.9545 ，
因为成绩服从标准正态分布， : P(X < 80) = P (X ≥ 120) = [1- P(80 < X ≤ 120)] = 0.02275 ，故 D 正确.
10 ．ABD
【详解】 f (x ) = a (x - a )2 (x -b )（a ≠ 0) , : f, (x) = 2a (x - a)(x -b)+ a (x - a)2 = a (x - a)(3x - 2b- a) ,
令f, (x ) = 0 ，x = a 或x = , 由题意可知， ≠ a . 函数f (x ) = a (x - a )2 (x -b )（a ≠ 0) 的极大值点为x = a ，
: {〔2b0 或{〔2b0 . 即b > a > 0 或b < a < 0 . 所以a2 < b2 ，A 正确， a2 < ab ，B 正确，
l 3 > a l 3 < a
x1 +x2 = + a = ，b > a > 0 时， x1 +x2 > 0 正确，b < a < 0 时x1 +x2 > 0 错误，则 C 错误， x1x2 = . a > 0 ，D 正确.
11 ．ACD
【详解】平面内M(0, -2) 和N(0, 2)，动点P(x, y) 满足P--M- . P-- = m (m ≥ 4)，故 x2 + (y + 2)2 . x2 + (y - 2)2 = m ， A： (0, 0) 代入，可得m = 4 ，正确；
B ：对应曲线任意点(x, y) ，则关于y 轴对称点为(-x, y) ，关于x 轴对称点为(x, -y) ，
将(-x, y) 代入上式得
(-x)2 + (y + 2)2
.J (-x)2 + (y - 2)2 =· x2 + (y + 2)2 . x2 + (y - 2)2 = m；
. ·x2 + (-y - 2)2 =
x2 + (-y + 2)2
·x2 + (y - 2)2 .
·x2 + (y + 2)2 = m ；
将(x, -y) 代入上式得
所以曲线E 既关于y 轴对称，也关于x 轴对称，不正确;
又
MN |= 4 ，所以 △PMN 周长的最小值为2 ·+4 ，正确；
D ：由于实质是卡西尼卵形线（图象形式较多），下图为其中一种图象形式， 曲线E 上与M 、 N 不共线的任意一点G 关于原点对称的点为H ，
---→
GM
----→
=m ，知：
GN
又图象既关于x 轴对称，又关于y 轴对称，且
四边形GMHN 的面积为2S△MNG = GM . GNsin 上MGN ≤ m ，当且仅当sin 上MGN = 1 时等号成立，此时上MGN = ， 所以四边形GMHN的面积不大于m ，正确.
C ：若P 、M 、 N 三点不共线，则
---
PM
+
---→
PN
≥ 2
---→
---
PN
.
PM
= 2 · , 当且仅当
---
PM
=
---→
PN
= ·m 时等号成立，
【点睛】 曲线为 基本不等式a +b
x2 + (y + 2)2
≥ 2 ·, a ,b >
. ·x2 + (y - 2)2 = m ，对于m 的取值范围不同，实际的图象呈现不同的形式，结合
0 即可证明 C，对于 D 虽不能画出具体图形，但是可以根据其对称性画出大概图象，
得到面积表达式.
12 ． 、i2 +1 【详解】设F2 (c, 0) ，得到PF2 = , 由题意知 = 2c ，即c2 - a2 = 2ac ，
所以e2 - 2e -1 = 0 ，解得e = +1 ，或e = - +1（舍去）.
13 ． 【详解】设公切线在曲线y = ax2 与y = ln x 上的切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2 )， 由y = ln x 可得y, = ，所以 = 2 ，解得x2 = ，所以y2 = ln x2 = -ln 2 ,则B( , -ln 2) ， 所以切线方程为y +ln 2 = 2(x - ) ，又由y = ax2 ，可得y, = 2ax ，所以2ax1 = 2 ，即ax1 = 1，
所以y1 = ax = x1 ，又因为切点 A(x1, y1 ) ，也即A(x1, x1 ) 在切线y + ln 2 = 2(x - ) 上，
所以x1 + ln 2 = 2(x1 - ) ，解得x1 = ln 2 +1 ，所以
14 ． 32 ,
【详解】（1） ai 的可能值为 0 ，1（ 1 ≤ i ≤ 5 ， i ∈ N ）.故五维立方体的顶点有25 = 32 个.
（2）依题意，样本空间的样本点记为{M, N} ，M，N 为五维立方体的顶点
满足X = k 的样本点{M, N} 个数为 = C . 24 .
所以P (X = k ) = = - (k = 1, 2, 3, 4, 5 ) .
样本点总数： n (Ω ) = C2 , 当X = k 时，有 k 个第 i 维坐标值不同，有5 -k 个第 i 维坐标值相同.
故分布列为： E (X ) = 5 + 20 + 30 + 20 + 5) = .
15 ．（1） sin A cs C = - ；（2） a = 、i2 .
【详解】解：（1）由条件及余弦定理得，12b2 sin A + 所以12b2 sin A + = 0 ， 所 以sin A cs C = -
（2） 由sin A = 得， cs C = - ，又0 < C < π , 所以C = ，
则cs A = ，sin C = ． sin B = sin(A + C) = sin A cs C + cs Asin C = - + × = ，
由V ABC 的面积为 得 ac sin B = ， 所以ac = 3s3 ．由正弦定理得， c = = a ，
所以a2 = 2 ，故a = ·2
+ y2 = 1 x - y +1 = 0 或x + y + 1 = 0
【详解】（1）设椭圆M 的方程为 因为椭圆的面积为2π , 点((|1, ), 在椭圆M 上. 所以, 解得： a = 2, b = 1 ，所以椭圆M 的标准方程为+ y2 = 1.
（2）因为经过点P(-1, 0) 的直线l 与曲线M 交于A ，B 两点，
当直线l 的斜率不存在时 此时S△OAB = × 1× = ，
X
1
2
3
4
5
P
5
31
10
31
10
31
5
31
1
31
3
因为△OAB 与椭圆M 的面积比为 2 ，但 2 2 ，即直线斜率存在；
5π ≠ 2π 5π
不妨设直线l 的方程为 ，联立 ，消去y 整理可得： (4k2 +1)x2 + 8k2x + 4k2 - 4 = 0，
不妨设 ，则x1 + x2 = ,x1 . x2 = 因为y1 + y2 = k (x1 +1) + k (x2 +1) = k (x1 + x2 ) + 2k = ，
y1 . y2 = k ( x1 +1) . k( x2 +1) = k2 ( x1x2 + x1 + x2 +1) = ，
所以S△OAB = × 1 × iy1 - y2 i = s(y1 + y2 )2 - 4y1 . y2 = ·i + ，因为△OAB 与椭圆M 的面积比为 ，
所以 + = , 化简为 = ，即11k4 - 7k2 - 4 = 0 ，即(11k2 + 7)(k2 -1) = 0 ，解得：
k = ±1 ，所以直线l 的方程为y = x + 1或y= - x - 1 ， 所以直线l 的方程为x -y +1 = 0 或x + y +1 = 0 .
17 ．【详解】（1）证明：取AB 中点M ，连接A1M , FM ,」F 为BC 的中点， E 为A1C1 的中点，
: MF / /AC, A1E / /AC ， :MF / /A1 E ，
2 , 1 2
: MF = 1 AC AE = 1 AC ， :MF = A1 E ，
据此可得四边形 A1MFE 为平行四边形，
: EF / /A1M ，」EF / 平面 ABB1A1 ， A1M 平面 ABB1A1 ，
: EF / / 平面 ABB1A1 .
（2）解：」平面 ACC1A1 丄 平面 ABC, 过C1 作C1H 丄 AC , :C1H 丄 平面 ABC ，
:VC1 -ABC = S△ABC . C1H = × . C1H = 1 → C1H = ，
」CC1 = 2, :CH = 1, :H 为AC 中点， : BH 丄 AC ，
如图分别以HB, HC, HC1 所在的直线为x, y, z 轴建立空间直角坐标系，
: A(0, -1, 0) , E (0, -1, i3 ), F ((| , , 0), , C (0, 1, 0) , C1 (0, 0, s3 )
由 = t – → G ((| 0, , ), ，: – = (0, 0, i3 ), E–– = ((| 0, , ), , E––F–→ = |(( , , - ··i3 ),
设平面AEG和平面EFG 的一个法向量分别为 = (x1, y1, z1 ), = (x2, y2, z2 )，
则 , 又 → 设二面角A - EG - F 的平面角
-→ -
.
2
n1 n2
n1
.
n
为θ , : csθ= -→ - →
t + 2
·(t + 2)2 + 3t2 + (2t +1)2
53
= 4 ，整理得：25t2 - 28t - 44 = 0 ，解得t = 2 或t =
- （舍）.
证明见解析 (3)证明见解析
【详解】（1） 由题意知函数f(x) 的定义域为(0, +∞) ， f, (x ) = + ax -1 ≥ 0 在x ∈(0, +∞) 上恒成立，
所以 上恒成立，又- 当且仅当x = 2 时，等号成立，
1 「 1 )
所以a ≥ 4 ，即a 的取值范围是|L4 , +∞, .
证明：若a = 0 ， f = ln x - x + 2 ，所以f,
令f' (x) = 0 ，解得x = 1 ，所以当0 < x < 1时， f,(x) > 0 ，当x >1 时， f, (x) < 0 ，
所以f(x) 在(0,1)上单调递增，在(1, +∞) 上单调递减，所以f (x) ≤ f (1) = 1 ，当且仅当x =1 时，等号成立.
令g, (x) = 0 ，解得x = 2 ，所以当0 < x < 2 时， g, (x) < 0 ，当x > 2 时， g, (x) > 0 ，
所以g(x) 在(0, 2) 上单调递减，在(2, +∞) 上单调递增，所以g(x)≥ g(2) = 1 ，当且仅当x =2 时，等号成立，
所以f(x) ≤1 ≤ g(x) ，又等号不同时成立，所以f(x) < .
（3）证明： 由题意可知f, (x ) = +ax -1= ， 因为f(x) 有两个极值点x1 ， x2 (x1 < x2 ) ，
所以x1 ， x2 是方程ax2 - x +1 = 0 的两个不同的根， 则0 < a < 且
所以要证f (x1 )-f (x2 ) < (|(a - ), (x1 - x2 ) ，即证ln - < a - ), (x1 - x2 ) ，
x
即证ln 1 - x2 ) ，即证ln < ，即证ln < . 令t = (0 < t < 1) ，则证明ln t < ，
2
x
令h(t) = ln t - ，则h, (t ) = > 0 ， 所以h(t) 在(0,1)上单调递增，则h(t) < h(1) = 0 ，即ln t < ， 所以原不等式f (x1 )-f (x2 ) < (|(a - ),I (x1 - x2 ) 成立.
n +1 , n为奇数
19 ．( 1)a3 的可能取值有： -5 、 -1 、 1 、 5 (2) , (3) an = {|
|l- 2 , n为偶数 【详解】（1）解：因为数列{an } 具有性质P1 ，则 a1 - a2 = a2 = 2 ，所以， a2 = ±2 ，
当a2 = -2 时， 由 a2 - a3 = -2 - a3 = a3 + 2 = 3 ，所以， a3 = 1 或-5 ，
当a2 = 2 时， 由 a2 - a3 = 2 - a3 = 3 ，所以， a3 = -1 或5 . 综上所述， a3 的可能取值有： -5 、 -1 、 1 、 5 .
（2）解：设等差数列{an } 的公差为d ，
则an an+4 +1 = (an+2 - 2d)( an+2 + 2d) +1 = a2n+2 - 4d2 +1 ≥ a2n+2，
即4d 2 ≤1 ，所以， - ≤ d ≤ ,
所以， a + a = (1+ d )2 + (1+ 2d )2 = 5d2 + 6d + 2 = 5 (|(d + ),I2 + ，
因为- ≤ d ≤ , 则 ≤ d + ≤ ,
所以， a + a = 5 |((d + ),I2 + ∈ , .
（3）解：根据性质P1 ，丫n ∈ N* ，都有 an ∈Z ，又因为an ≠ 0 ，所以， an ≥1 ，于是an an+4 ≥ a+2 -1 ≥ 0 ，因为an 、
an+4 必同号，进而an 、 an+4k (k ∈ N* ) 必同号，
若a3 < 0 ，由性质P1 ，必有a4 = -2 ， a3 = -6 ， a2 ≤ -3 ， a1 ≤ -1 ，这与a1a5 +1≥ a32 矛盾， 所以， a3 > 0 ，进而丫n ∈ N* ， a2n+1 > 0 ，讨论可知a3 = 2 或4 或12 ，仅有这三种可能.
若a3 = 12 ，则a4 = 8 ， a2 ≤ 15 ， a1 ≤ 16 ，这与a1a5 +1≥ a32 矛盾，因此， a3 ≠ 12 .
下面证明： a3 ≠ 4 ，则a3 = 2 ，
利用反证法：假设a3 = 4 ，则a4 = 8 ，
又因为a1a5 = 3a1 +1≥ a = 16 ，所以， a1 ≥ 5 ，
若a2 = 1 ，则a1 = -1 或3 ，与a1 ≥ 5 矛盾，则a2 ≠ 1 ，所以， a2 = 7 ，则a1 = 5 或9 ， 于是无论哪种情况， n ∈ N* ， an > 0 ，
由
a6 - a5
= 6 且a6 > 0 可得a6 = 9 ，此时满足a2 a6 +1≥ a ，
所以， a7 = 16 ，则a8 = 24 ， a9 = 33 ，所以， a5a9 +1< a ，矛盾， 综上可知， a3 ≠ 4 ，所以， a3 = 2 ， a4 = -2 ，
下面证明： a2 = -1 ，利用反证法，如不然，只能a2 = 5 ，所以， a6 > 0 ，则a6 = 9 ， 由于a4 < 0 ，所以， a8 < 0 ，只能有a7 = 2 ， a8 = -6 ，这与a3a7 +1≥ a 矛盾，
总之， a2 = -1 ，再由a1 > 0 可得a1 = 1 ，进而 n ∈ N* ， a2n < 0 都成立，
可以猜测数列{an } 的通项为an = { , n为奇数，
l - , n为偶数
可验证此时P1 、P2 两条性质均成立，符合题意，
如另有其它数列{bn }符合题意，则至少前5 项必为： 1 、 -1 、 2 、 -2 、 3 ， 仍满足b2n-1 > 0 ，b2n < 0(n ∈N* )，
设bm (m ∈ N* ) 是第一个违反上述通项公式的项(m ≥ 6)，
若m = 2k (k ≥ 3, k ∈N* ) ，则b2k-1 = k ，b2k < 0 ，所以，b2k = -k ，符合通项公式，矛盾；
若m = 2k +1(k ≥ 3, k ∈ N* ) ，则b2k = -k ，b2k+1 > 0 ，所以，b2k+1 = k +1 ，也符合通项公式，矛盾.
综上所述，数列{an } 的通项公式必为an = { , n为奇数 .
l - , n为偶数
【点睛】思路点睛：本题考查了数列新定义问题，按着某种规律新生出另一个数列的题目，涉及到归纳推理的思 想方法，对学生的思维能力要求较高，综合性强，能很好的考查学生的综合素养，解答的关键是要理解新定义， 根据定义进行逻辑推理，进而解决问题.