【广东卷】广东省汕头市金山中学2024-2025学年高三上学期期中考试（11.15左右）数学试卷

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一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 .
1． 设全集U = {1,2,3,4,5} ，集合 M 满足CUM = {2,4}，则( )
A． 1二 M B． 4 二 M C． 5 ∈ M D． 3 M
2． 设θ ∈ (0,π)，则“θ < ”是“ sinθ < ”的( )
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件
C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件
3． 设等差数列{an } 的公差不为0 ，若a4 ， a5 ， a7 构成等比数列， a6 = 6，则a7 = ( )
A． 5 B． 6 C． 7 D． 8
4． 已知sin2θ = - ，则tanθ + ）
A． B． - C． D .
5 ．若 a = ln, c = ln ，则 a、b、c 的大小关系是 ( )
A． c < a < b B． a < b < c
C． c < b < a D． b < a < c
6． 国家速滑馆又称“冰丝带 ”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但 整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理 念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量N(mg / L) 与
时间 t（小时） 的关系为N = N0e-kt（N0 为最初污染物数量，且N0 > 0 ）.如果前 4 个小时消除了
20% 的污染物，那么污染物消除至最初的64% 还需要( )
A． 3.8 小时 B ．4 小时 C ．4.4 小时 D． 5 小时
7． 已知函数 f (x) = sin(2x+φ) |(( φ < ), 满足 在区间 上恰有 3 个零
点，则实数t 的取值范围为( )
A． B． C． D .
8 ．定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (x) = g (2x)-g (4- 2x) 且 f (2) = 1 ， 函数 f (x+ 2) 为偶函数，则 下列说法不正确的是( )
A． f (x) 的图象关于(1,0) 对称 B． f (x) 的图象关于x = 2 对称
C ．4 是 f (x) 的一个周期 D .
二、多选题： 本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分． 在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求． 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有错选的得 0 分 .
9．已知关于x 的不等式 ax2 +bx+ c > 0的解集为(-∞, -2)(3,+∞) ，则下列选项中正确的是( )
A． a > 0 B． 不等式bx + c > 0的解集是{xx < -6}
C． a + b+ c > 0 D． 不等式 cx2 -bx+ a < 0的解集为
10． 已知函数 = 2sin 则下列说法正确的是( )
A． f (x) 的值域为[1,5]
B． f (x) 的对称中心为 , k ∈ Z
在 上的递增区间为 在 上的极值点个数为 1
11． 设等比数列{an }的公比为q ，前n 项积为Tn ，下列说法正确的是( )
A ．若T8 = T12 ，则 a10a11 = 1
B ．若T8 = T12 ，则T20 = 1
C ．若a1 = 1024 ，且T10 为数列{Tn } 的唯一最大项，则
D ．若a1 > 0 ，且T10 > T11 > T9，则使得Tn >1 成立的n 的最大值为 20
三、填空题： 本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分 .
12. 已知函数 f (x) = xex ，则 f (x) 在(0, f (0))处切线方程为 .
13．在ΔABC 中，角A, B, C 所对的边分别为a, b, c ，若 a2 =bc sinA ，则 的最大值为 .
14． 已知函数 f (x) = xa -lgb x(a >1, b >1) 有且只有一个零点，则 ab的取值范围为 .
四、解答题： 本题共 5 小题，共 77 分． 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 .
15．（本小题满分 13 分）在△ABC 中，内角A, B, C 的对边分别为a, b, c ，且c = 2b ，2sin A = 3sin2C .
(1)求 的值；
(2)若ABC 的面积为 ，求 AB 边上的高 .
16 ．（本小题满分 15 分）如图，在四棱锥 P- ABCD 中， 四边形 ABCD是边长为 2 的正方形，平
面 PAD 丄平面 ABCD ， PA = PD = 是线段 AD的中点， CM = 2MP .
(1)证明： PE∥平面 BDM ；
(2)求平面 AMB与平面 BDM 的夹角.
17．（本小题满分 15 分）已知F1 ，F2 分别为双曲线 C ：3x2 -y2 = λ(λ > 0) 的左、右焦点，过F2 的
直线 l 与双曲线 C 的右支交于 A, B 两点． 当 l 与x 轴垂直时， ΔABF1 面积为 12 .
(1)求双曲线 C 的标准方程；
(2)当 l 与x 轴不垂直时，作线段 AB 的中垂线，交x 轴于点 D ．试判断 是否为定值．若是，
请求出该定值；若不是，请说明理由 .
18．（本小题满分 17 分） 已知函数 + alnx .
(1)当 a < 0时， 讨论 f (x) 的单调性；
(2)记曲线y = f (x) 在P(x1, f (x1 )) ， Q (x2, f (x2 ))两点处的切线斜率分别为k1, k2 ，直线PQ 的斜 率为k3 ，其中x1, x2 ∈ (0,1] ，求证： 当a ≥ -1时，有k1 + k2 > 2k3 .
19 ．（本小题满分 17 分）如果数列{xn }, {yn } ，其中yn ∈ Z ，对任意正整数n 都有xn - yn 则
称数列{yn } 为数列{xn } 的“接近数列 ”． 已知数列{bn }为数列{an } 的“接近数列 ”.
若 an = 2n+ ，求b1, b2, b3 的值；
(2)若数列{an }是等差数列，且公差为d (d ∈ Z) ，求证：数列{bn }是等差数列；
(3)若数列满足 a1 = ，且 an+1 = - 记数列{an }、{bn } 的前n 项和分别为Sn , Tn ，
试判断是否存在正整数n ，使得Sn < Tn ？若存在，请求出正整数n 的最小值；若不存在，请说明
理由．（参考数据： lg 9 ≈ 16.7 ）
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