湖北省武汉市第三寄宿中学2021-2022学年八年级（上）月考数学试卷（12月份）

这是一份湖北省武汉市第三寄宿中学2021-2022学年八年级（上）月考数学试卷（12月份），共16页。试卷主要包含了某种微粒的直径为0，58×10−6米B，8×10−6米，下列因式分解正确的是等内容，欢迎下载使用。

1.（3分）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是( )
A. B.
C. D.
2.（3分）要使分式1x-2有意义，则x的取值应满足( )
A. x=2B. x<2C. x>2D. x≠2
3.（3分）某种微粒的直径为0.0000058米，那么该微粒的直径用科学记数法可以表示为()
A. 0.58×10−6米B. 5.8×10−5米
C. 58×10−6米D. 5.8×10−6米
4.（3分）下列因式分解正确的是( )
A. x2-4x+4=(x-4)2
B. 4x2+2x+1=(2x+1)2
C. 9-6(m-n)+(n-m)2=(3-m+n)2
D. x4-y4=(x2+y2)(x2-y2)
5.（3分）下列运算中，正确的是( )
A. m-nm+n=n-mn+mB. 22a+b=1a+b
C. abab-b2=aa-bD. a-a+b=-aa+b
6.（3分）一个多边形的内角和与外角和为2520°，则这个多边形的边数为( )
A. 13B. 14C. 15D. 16
7.（3分）如图，在RtΔABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则ΔABD的面积是( )
A. 15B. 30C. 45D. 60
8.（3分）如果关于x的方程3x−1=1−a1−x无解，则a=()
A. 1B. 3C. −1D. 1或3
9.（3分）已知a+b=5，ab=3，则ba+1+ab+1的值为()
A. 2B. 83C. 4D. 349
10.（3分）如图，在RtΔABC中，∠A=90°，点D在AB边上，点E在AC边上，满足∠CDE=45°，∠AED=∠B，若DE=1，BC=7，则ΔCDE的面积为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
11.（3分）若分式x2-1x+1的值为0，则x=______．
12.（3分）因式分解：a3-a=______．
13.（3分）如果x2+16x+k是一个完全平方式，那么k的值是 ______ .
14.（3分）把多项式x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x-3)，则a+b的值是______．
15.（3分）若关于x的方程x+1x=a+1a的两个解为x1=a，x2=1a，方程x+2x=a+2a的两个解为x1=a，x2=2a，方程x+3x=a+3a的两个解为x1=a，x2=3a，则关于x的方程x+10x−1=a+10a−1的两个解为 ______.
16.（3分）在平面直角坐标系中，点B(0,4)，点A为x轴上一动点，连接AB.以AB为边作等腰Rt△ABE(B、A、E按逆时针方向排列)，连接OE.当OE最小时，点E的纵坐标为 ______.
17.（8分）(1)计算2a2⋅a4+(a3)2−3a4
(2)因式分解3x3+12x2+12x.
18.（8分）如图，点D在AB上，DF交AC于点E，CF//AB，AE=EC.
求证：AD=CF.
19.（8分）(1)化简x2x−2+42−x
(2)先化简，再求值：(1−2x−1)÷x2−6x+9x2−x，其中x是从1，2，3中选取的一个合适的数．
20.（8分）用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹．
(1)在图1中，BD是ΔABC的角平分线，作ΔABC的平分内角C的角平分线；
(2)在图2中，AD是∠BAC的角平分线，作ΔABC的∠BCA相邻的外角的角平分线．
21.（8分）(1)如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a>b)，把剩下的部分按照图中的线段分割成两个图形，请将分割成的这两个图形拼成一个常见的几何图形，要求画出两种不同的图形，并用图1剪拼前后的两个图形验证一个乘法公式：
(2)如图2，某小区的花园，起初被设计为边长为a米的正方形，后因道路的原因，设计修改为：南边往北平移x(x①修改后的花园面积是多少？
②在周长为定值4a的长方形中，什么时候其面积最大，并说明理由．
22.（8分）A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人每小时搬运的化工原料是B型机器人每小时搬运的化工原料的1.5倍，A型机器人搬运900kg所用时间比B型机器人搬运800kg所用时间少1小时．
(1)求两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？
(2)某化工厂有8000kg化工原料需要搬运，要求搬运所有化工原料的时间不超过5小时．现计划先由6个B型机器人搬运3小时，再增加若干个A型机器人一起搬运，请问至少要增加多少个A型机器人？
23.（8分）在边长为4的等边ΔABC中．

(1)如图1，P，Q是BC边上的两点，AP=AQ，∠BAP=18°，求∠AQB的度数；
(2)点P、Q在BC边上的两个动点(不与点B、C重合)，点P在点Q的左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM、PM，依题意将图2补全，并求证：PA=PM．
(3)在(2)中，当AM的值最小时，直接写出CM的长．
24.（8分）如图，平面直角坐标系中．A点在y轴上，B(b,0)，C(c,0)在x轴上，∠BAC=60°，且b、c满足等式b2+2bc+c2=0．
(1)判断ΔABC的形状，并说明理由；
(2)如图1，F为AB延长线上一点，连FC，G为y轴上一点，若∠GFC+∠ACG=60°.求证：FG平分∠AFC；
(3)如图2，ΔBDE中，DB=DE，∠BDE=120°，M为AE中点，试确定DM与CM的位置关系，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
根据轴对称图形的概念求解．
该题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】D
【解析】解：根据题意得：x-2≠0，
∴x≠2，
故选：D.
根据分式有意义的条件即可得出答案．
此题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是：分母≠0是解答该题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：0.0000058米用科学记数法可以表示为5.8×10−6米．
故选：D.
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
此题主要考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1⩽|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4.【答案】C
【解析】解：A、原式=(x-2)2，错误；
B、原式不能分解，错误；
C、原式=(3-m+n)2，正确；
D、原式=(x2+y2)(x2-y2)=(x2+y2)(x+y)(x-y)，错误，
故选：C．
各项计算得到结果，即可作出判断．
该题考查了因式分解-十字相乘法，以及提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：A．m-nm+n=-n-mm+n，错误；
B.22a+2b=1a+b，错误；
C.abab-b2=aa-b，正确；
D.a-a+b=-aa-b，错误；
故选：C．
依据分式的基本性质以及分式中的符号法则进行判断即可．
这道题主要考查了分式的基本性质，分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．
6.【答案】B
【解析】解：设这个多边形的边数为n．
根据题意得：(n-2)×180°+360°=2520°．
解得：n=14．
故选：B．
依据多边形的内角和公式列方程求解即可．
这道题主要考查的是多边形的内角和与外角和，依据题意列出方程是解答该题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，

又∵∠C=90°，
∴DE=CD，
∴ΔABD的面积=12AB⋅DE=12×15×4=30．
故选：B．

判断出AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
该题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质以及角平分线的画法，熟记性质是解答该题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：去分母，得3=(x−1)+a，
解得x=4−a，
∵原分式方程无解，
∴x=1，
即4−a=1，
解得a=3，
故选：B.
先去分母，解方程得x=4−a，原方程的增根为x=1，所以4−a=1即可求出a的值．
此题主要考查了分式方程的解，根据分式方程有增根时方程无解是解决本题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：ba+1+ab+1
=b2+b+a2+a(a+1)(b+1)
=(a+b)2−2ab+(a+b)ab+(a+b)+1，
∵a+b=5，ab=3，
∴原式=25−6+53+5+1=83.
故选：B.
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再利用整体代入的思想代入进行计算即可．
此题主要考查分式的化简求值，化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
10.【答案】A
【解析】解：如图，过点C作CG⊥DE，交DE的延长线于点G，延长BA和CG交于点H，

∴∠CGD=90°，
∵∠CDE=45°，
∴ΔCDG是等腰直角三角形，
∴CG=DG，
设EG=x，则DG=CG=x+1，
∵∠BAC=∠AED+∠ADE=∠B+∠ACB=90°，且∠AED=∠B，
∴∠ADE=∠ACB，
∵∠AED=∠CEG，∠DAE=∠EGC=90°，
∴∠ADE=∠ECG，
∴∠ECG=∠ADE=∠ACB，
∵∠CAB=∠CAH=90°，
∴∠H=∠B，
∴CH=BC=7，
在ΔCGE和ΔDGH中，
∠GDH=∠ECGDG=CG∠DGH=∠CGE，
∴ΔCGE≌ΔDGH(ASA)，
∴GH=EG=x，
∴x+x+1=7，
∴x=3，
∴CG=x+1=4，
∴SΔCDE=12⋅DE⋅CG=12×1×4=2.
故选：A.
如图，过点C作CG⊥DE，交DE的延长线于点G，延长BA和CG交于点H，先证明ΔCDG是等腰直角三角形，得CG=DG，设EG=x，则DG=CG=x+1，证明ΔCGE≌ΔDGH(ASA)，根据CH=7列方程可得结论．
此题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形面积，等腰三角形的性质和判定，直角三角形的性质等知识，注意根据题意作出辅助线是关键．
11.【答案】 1
【解析】解：分式x2-1x+1的值为0，得
x2-1=0且x+1≠0.解得x=1，
故答案为：1．
分式的值为0的条件是：(1)分子为0；(2)分母不为0.两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
12.【答案】 a(a+1)(a-1)
【解析】
该题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
解：原式=a(a2-1)=a(a+1)(a-1)，
故答案为a(a+1)(a-1)．
13.【答案】 64
【解析】解：∵x2+16x+k是一个完全平方式，
∴16=2k，
解得k=64.
故答案是：64.
先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．
此题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解答该题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
14.【答案】 -5
【解析】解：根据题意得：x2+ax+b=(x+1)(x-3)=x2-2x-3，
可得a=-2，b=-3，
则a+b=-5，
故答案为：-5
利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出a与b的值，即可求出a+b的值．
该题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．
15.【答案】 x1=a，x2=a+9a−1
【解析】解：根据题意得：
关于x的方程x−1+10x−1=a−1+10a−1的两个解为x−1=a−1，x−1=10a−1，即x1=a，x2=a+9a−1.
故答案为：x1=a，x2=a+9a−1.
观察已知方程的解的特征确定出所求方程的解即可．
此题主要考查了解分式方程，以及分式方程的解，弄清题中方程解的规律是解本题的关键．
16.【答案】 -2
【解析】解：如图，过E作EF⊥x轴于F，

∵∠AOB=∠EFA=∠BAE=90°，
∴∠ABO+∠OAB=90°，∠EAF+∠OAB=90°，
∴∠ABO=∠EAF.
在△ABO和△EAF中，
{∠AOB=∠EFA∠ABO=∠EAFAB=AE，
∴△ABO≌△EAF(AAS)，
∴EF=OA，AF=OB=4，
取点C(4,0)，点D(0,−4)，
∴∠OCD=45°，
∵CF=4−OF，OA=4−OF，
∴CF=OA=EF，
∴∠ECF=45°，
∴点E在直线CD上，当OE⊥CD时，OE最小，此时△EFO和△ECO为等腰直角三角形，
∴OF=EF=12OC=2，
∴此时点E的坐标为：(2,−2)，
故答案为：−2.
过E作EF⊥x轴于F，证明△ABO≌△EAF(AAS)，可得EF=OA，AF=OB，设A(a,0)，可求得E(a+4,a)，点在直线y=x−4上，当OE⊥CD时，OE最小，据此求出坐标即可．
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是确定点E运动的轨迹，确定点E的位置．
17.【答案】解：（1）2a2•a4+（a3）2-3a4
=2a6+a6-3a4
=3a6-3a4；
（2）3x3+12x2+12x
=3x（x2+4x+4）
=3x（x+2）2．
【解析】
(1)先算单项式乘单项式，幂的乘方，再合并同类项即可求解；
(2)先提取公因式3x，再根据完全平方公式分解因式即可求解．
考查了单项式乘单项式，幂的乘方，合并同类项，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算．同时考查了因式分解−提公因式法和公式法的综合运用．
18.【答案】证明：∵CF∥AB，
∴∠A=∠ACF，∠ADE=∠CFE．
在△ADE和△CFE中，{∠A=∠ACF∠ADE=∠CFEAE=EC，
∴△ADE≌△CFE（AAS）．
∴AD=CF．
【解析】
首先根据平行线的性质可得到∴∠A=∠ACF，∠ADE=∠CFE，再证明△ADE≌△CFE即可得到AD=CF.
此题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，解答该题的关键是证明△ADE≌△CFE.
19.【答案】解：（1）原式=x2−4x−2=x+2
（2）当x=2时，
原式=x−3x−1•x(x−1)(x−3)2
=xx−3
=-2
【解析】
根据分式的运算法则即可求出答案．
此题主要考查分式的运算法则，解答该题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
20.【答案】解：(1)如图，线段CE即为ΔABC的∠ACB的平分线；
(2)如图，射线CD即为∠ACB的外角的平分线．
【解析】(1)作∠BAC的平分线交BD于点O，作射线CO交AB于E，线段CE即为所求；
(2)作ΔABC的∠ABC的外角的平分线交AD于点D，作射线CD，射线CD即为所求．
该题考查作图，三角形的角平分线等知识，解答该题的关键是学会用转化的思想思考问题，理解三角形的内角平分线交于一点．
21.【答案】解：（1）拼成的图形如图所示．
第一种：

（a-b）a+（a-b）b=a2-b2（a+b）（a-b）=a2-b2
第二种：

第二种： 12(2a+2b)(a-b)=a2-b2
（2）①（a-x）（a+x）=a2-x2；
②在周长为定值4a米的长方形中，当边长为a米正方形时，面积最大，此时面积为a2．
【解析】
(1)可以分割成长为a、宽为a-b和长为a-b、宽为b的两个长方形，再把它们拼成长为a+b、宽为a-b的长方形，利用不同方法表示同一图形面积来验证平方差公式；
(2)①修改后2的花园是个长为(a+x)米、宽为(a-x)米的长方形，由长方形的面积=长×宽；
②在周长为定值4a的长方形中，当边长为a为正方形时，面积最大．
此题主要考查乘法公式的应用以及与图形的面积的结合．
22.【答案】解：（1）设B型机器人每小时搬运xkg化工原料，则A型机器人每小时搬运1.5xkg化工原料，
依题意，得：800x-9001.5x=1，
解得：x=200，
经检验，x=200是原方程的解，且符合题意，
∴1.5x=300．
答：A型机器人每小时搬运300kg化工原料，B型机器人每小时搬运200kg化工原料．
（2）设增加y个A型机器人，
依题意，得：200×5×6+（5-3）×300y≥8000，
解得：y≥103，
∵y为正整数，
∴y的最小值为4．
答：至少要增加4个A型机器人．
【解析】
(1)设B型机器人每小时搬运xkg化工原料，则A型机器人每小时搬运1.5xkg化工原料，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合A型机器人搬运900kg所用时间比B型机器人搬运800kg所用时间少1小时，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
(2)设增加y个A型机器人，根据工作总量=工作效率×工作时间结合5个小时搬运的化工原料不少于8000kg，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中最小整数值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23.【答案】解：（1）∵AP=AQ，
∴∠APQ=∠AQP，
∴∠APB=∠AQC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∴∠BAP=∠CAQ=18°，
∴∠AQB=∠APQ=∠BAP+∠B=78°；

（2）如图2，∵点Q关于直线AC的对称点为M，
∴AQ=AM，∠QAC=∠MAC，
∵∠BAP=∠CAQ，
∴∠MAC=∠BAP，
∴∠BAP+∠PAC=∠MAC+∠CAP=60°，
∴∠PAM=60°，
∵AP=AQ，
∴AP=AM，
∴△APM是等边三角形，
∴AP=PM．

（3）∵AM=AP，
∴当AP⊥BC时，AM的值最小，
∴此时P、Q重合，CM=CQ=QB=2．
【解析】
(1)根据等腰三角形的性质得到∠APQ=∠AQP，由邻补角的定义得到∠APB=∠AQC，根据三角形外角的性质即可得到结论；
(2)如图2根据等腰三角形的性质得到∠APQ=∠AQP，由邻补角的定义得到∠APB=∠AQC，由点Q关于直线AC的对称点为M，得到AQ=AM，∠OAC=∠MAC，等量代换得到∠MAC=∠BAP，推出ΔAPM是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论．
(3)因为AM=AP，所以当AP⊥BC时，AM的值最小，此时P、Q重合，由此即可解决问题；
本题属于三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，轴对称的性质的综合应用，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解答该题的关键．
24.【答案】解：（1）△ABC是等边三角形，理由如下：
∵b2+2bc+c2=0
∴b+c=0，
∴B与C关于y轴对称，
∴AO是BC的中垂线，
∴AB=AC，
又∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形．
（2）连接BG，由（1）知△AGB≌△AGC．

∴GB=GC．
在FC的延长线上取点P，使GP=GF．
设∠GFC=α，∠ACG=β，则α+β=60°，
∠ABG=∠ACG=β，
∴∠BGC=60°+2β=180°-2α，
∵GF=GP，
∴∠GFC=∠P=α，
∴∠FGP=180°-2α，
∴∠BGC=∠FGP，
∴△GBF≌△GCP（SAS），
∴∠BFG=∠P，
∴∠AFG=∠GFC，
即 FG平分∠AFC．
（3）延长DM至F，使DM=MF，连AF交BD于G，连接CD，CF．

∴AF=DE=BD，AF∥DE，
∴∠AGB=∠ACB=60°，
∴∠FAC=∠DBC，
∴△DBC≌△FAC（SAS），
∴CD=CF，
∴DM⊥CM．
【解析】
(1)由b2+2bc+c2=0得B与C关于y轴对称，得出AB=AC，则ΔABC是等边三角形；
(2)连接BG，则ΔAGB≌ΔAGC.得出GB=GC.在FC的延长线上取点P，使GP=GF.证明ΔGBF≌ΔGCP，得出∠BFG=∠P，则结论得证；
(3)延长DM至F，使DM=MF，连接AF交BD于G，连接CD，CF.易证AF=DE=BD，AF//DE，得出∠AGB=∠ACB=60°，则∠FAC=∠DBC，根据SAS证明ΔDBC≌ΔFAC，可得CD=CF，则结论得证．
本题是三角形综合题考查了完全平方公式，等边三角形的判定与性质，中垂线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解答该题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．