湖北省武汉市江汉区学区四校联盟2023-2024学年八年级（下）月考数学试卷（4月份）

这是一份湖北省武汉市江汉区学区四校联盟2023-2024学年八年级（下）月考数学试卷（4月份），共20页。试卷主要包含了下列计算正确的是，下列二次根式是最简二次根式的是，下列各命题的逆命题成立的是，观察下列式子等内容，欢迎下载使用。

1.（3分）若式子x-1在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x≠1B. x>1C. x⩾1D. x⩽1
2.（3分）下列计算正确的是( )
A. 33-3=3B. 2+3=23C. (-2)2=-2D. 8=22
3.（3分）下列二次根式是最简二次根式的是()
A. 12B. 7C. 8D. 0.3
4.（3分）在下列由线段a，b，c的长为三边的ΔABC中，不能构成直角三角形的是( )
A. a2=c2-b2B. ∠A：∠B：∠C=3：4：5
C. a=54，b=1，c=34D. a=3k，b=4k，c=5k(k>0)
5.（3分）如图，E为平行四边形ABCD内一点，且EA=EB=EC，若∠D=50°，则∠AEC的度数是()
A. 90°B. 95°C. 100°D. 110°
6.（3分）下列各命题的逆命题成立的是( )
A. 两条直线平行，同位角相等B. 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等
C. 等边三角形是锐角三角形D. 全等三角形的对应角相等
7.（3分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD中，顶点A(-3,2)，D(2,3)，B(-4,-3)，则顶点C的坐标为( )
A. (1,-2)B. (-1,2)C. (1,-1)D. (2,-1)
8.（3分）如图，长方体的长宽高分别是3、4、2，一只蚂蚁要沿着长方体的外表面从A点爬到B点，最短路径长为()
A. 5B. 41C. 35D. 53
9.（3分）观察下列式子：1+112+122=112；1+122+132=116；1+132+142=1112；…根据此规律，若1+1a2+1b2=1190，则a2+b2的值为( )
A. 110B. 164C. 179D. 181
10.（3分）如图是一个6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点都是格点，RtΔABC的顶点都是图中的格点，其中点A、点B的位置如图所示，则点C可能的位置共有( )
A. 9个B. 8个C. 7个D. 6个
11.（3分）化简：72−50=______ .
12.（3分）已知一个直角三角形的两条边长为6和8，则它的第三条边长为 ______ .
13.（3分）如图，将一条宽度为1和一条宽度为2的两条纸条叠放在一起，使得∠ABC=60°则四边形ABCD的面积为 ______ .
14.（3分）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，若平行四边形ABCD的周长为28，则ΔABE的周长为 ______.
15.（3分）如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到的位置，连接C′B，则C′B的长为 ______ .
16.（3分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC=120°，AB=10.连接BD，且BD⊥CD，CE平分∠DCB交AD与于点E.点N在BC边上，BC=4CN，若线段PQ(点P在点Q的左侧)在线段CE上运动，PQ=53，连BP、NQ，则BP+PQ+QN的最小值为 ______ .
17.（8分）计算：
(1)33−8+32−27；
(2)212×34÷52.
18.（8分）先化简再求值：4−xx−2÷(x+2−12x−2)，其中x=3−4.
19.（8分）如图，为迎接中国共产党建党100周年，武汉市卓刀泉中学拟对学校中的一块空地进行美化施工，AB=3米，BC=4米，AD=13米，CD=12米，∠ABC=90°，欲在此空地上种植盆景造型，已知盆景每平方米500元，试用该盆景铺满这块空地共需花费多少元？
20.（8分）如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成，△ABC中，A点坐标为(2,3)，B点坐标为(−2,0)，C点坐标为(0,−1).
(1)请判断△ABC的形状为 ______三角形；
(2)在图1中作△ABC的高CH，则求出CH的长为 ______；
(3)若以A、B、C及点D为顶点的四边形为平行四边形ABCD，在图2中画出平行四边形ABCD，并写出D点的坐标 ______.
21.（8分）如图，某港口O位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．
(1)若它们离开港口一个半小时后分别位于A、B处(图1)，且相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？请说明理由．
(2)若“远航”号沿北偏东30°方向航行(图2)，从港口O离开经过两个小时后位于点F处，此时船上有一名乘客需要紧急回到PE海岸线上，若他从F处出发，乘坐的快艇的速度是每小时90海里，他能在20分钟内回到海岸线吗？请说明理由．
22.（8分）在△ABC中.

(1)如图1，AB=AC，BE⊥AC于E，BE=6，CE=3，求AB的长.
(2)如图2，AD⊥BC于D，∠DAC=2∠DAB，BD=3，DC=8，求△ABC的面积.
23.（8分）在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内的一点，过点P分别作PE//AC交AB于点E，PF//AB交BC于点D，交AC于点F.
(1)如图1，若点P在BC边上，此时PD=0，猜想并写出PD、PE、PF与AB满足的数量关系，然后证明你的猜想；
(2)如图2，当点P在△ABC内，猜想并写出PD、PE、PF与AB满足的数量关系，然后证明你的猜想；
(3)如图3，当点P在△ABC外，猜想并写出PD、PE、PF与AB满足的数量关系.(不用说明理由)
24.（8分）如图1，在平面直角坐标系中，已知点B(0,b)，C(c,0)，其中b，c满足|b+26|+c+8=0.
(1)求BC的长；
(2)点A为x轴正半轴上一点，且∠ABC=90°，求点A的坐标；
(3)如图2，在(2)的条件下，在y轴的正半轴上是否存在一点P，使∠CPA=3∠APO？若存在，求点P坐标；若不存在，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由x-1在实数范围内有意义，得
x-1⩾0，
解得x⩾1，
故选：C．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，就可以求解．
本题考查了二次根式有意义的条件和分式的意义．考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
2.【答案】D
【解析】解：A、33-3=23，故此选项错误；
B、2+3无法计算，故此选项错误；
C、(-2)2=2，故此选项错误；
D、8=22，正确．
故选：D．
直接利用二次根式的性质分别化简计算即可．
此题主要考查了二次根式的hi额性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
3.【答案】B
【解析】解：12=22，8=22，0.3=3010，
所以12、8、0.3都不是最简二次根式，而7为最简二次根式．
故选：B.
利用二次根式的性质化简得到12=22，8=22，0.3=3010，从而可对各选项进行判断．
此题主要考查了最简二次根式：掌握最简二次根式的条件(被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式)是解决问题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：A、∵a2=c2-b2，∴a2+b2=c2，故能构成直角三角形；
B、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，
∴∠C=512×180°=75°，
∴ΔABC是锐角三角形，故不能构成直角三角形，
C、(34)2+12=(54)2，故能构成直角三角形；
D、(3k)2+(4k)2=(5k)2，故能构成直角三角形．
故选：B.
根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可．
此题主要考查了三角形的内角和，勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
5.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠D=50°，
∵EA=EB=EC，
∴∠EAB=∠EBA，∠EBC=∠ECB，
∴∠EAB+∠ECB=∠EBA+∠EBC=∠ABC=50°，
∴∠AEB+∠BEC=(180°−∠EAB−∠EBA)+(180°−∠EBC−∠ECB)=360°−(∠EAB+∠ECB+∠EBA+∠EBC)=360°−100°=260°，
∴∠AEC=360°−∠AEB−∠BEC=100°.
故选：C.
由平行四边形ABCD中，∠D=50°，可求得∠ABC的度数，又由EA=EB=EC，根据等边对等角的性质，可求得∠EAB+∠ECB=∠EBA+∠EBC=∠ABC=50°，继而求得∠AEB+∠BEC，则可求得∠AEC的度数．
此题主要考查了平行四边形的性质与等腰三角形的性质．此题难度适中，注意数形结合思想与整体思想的应用．
6.【答案】A
【解析】解：A、逆命题为：同位角相等，两直线平行，成立；
B、逆命题为：绝对值相等的两个实数相等，不成立；
C、逆命题为：锐角三角形是等边三角形，不成立；
D、逆命题为：对应角相等的三角形全等，不成立，
故选：A.
写出逆命题，然后判断正误即可．
考查了命题与定理的知识，解答该题的关键是能够正确的写出各个命题的逆命题，难度不大．
7.【答案】A
【解析】解：设直线AD的解析式为y=k1x+b1、直线BC的解析式为y=k2x+b2，把点A(-3,2)、D(2,3)代入上式得，{−3k1+b1=22k1+b1=3，解得k1=15b1=135，
∴直线AD的解析式为y=15x+135；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∴k2=k1=15，∴直线BC的解析式为y=15x+b2，把B(-4,-3)代入上式得，b2=-115，∴
直线BC的解析式为y=15x-115，
同理求得直线CD的解析式为y=5x-7，
将直线BC与直线CD的解析式联立得，
y=15x-115y=5x-7，
解得y=-2，
∴点C的坐标为(1,-2).
故选：A.
由点A和点D的坐标可求出直线AD的解析式，同理求出AB的解析，根据直线平行的条件和点的坐标，可分别求出直线BC和CD的解析式，再求BC和CD的交点坐标即可．
此题主要考查了用待定系数法求一次函数解析式和平行四边形的性质，解题关键是数形结合思想的运用，根据直线平行得到解析式中k的值相等而解决问题．
8.【答案】B
【解析】解：第一种情况：如图1，把我们所看到的前面和右面组成一个平面，

则这个长方形的长和宽分别是7和2，
则所走的最短线段AB=22+72=53；
第二种情况：如图2，把我们看到的左面与底面组成一个长方形，

则这个长方形的长和宽分别是5和4，
所以走的最短线段AB=52+42=41；
第三种情况：如图3，把我们所看到的前面和底面组成一个长方形，

则这个长方形的长和宽分别是3和6，
所以走的最短线段AB=32+62=35；
三种情况比较而言，第二种情况最短．
故选：B.
蚂蚁从A到B有三种爬法，要计算每一种爬法的最短路程必须把长方体盒子展开成平面图形如图，再利用勾股定理计算线段AB的长，进行比较即可．
此题主要考查的是平面展开−最短路径问题，熟知此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．
9.【答案】D
【解析】解：由题意得，ab=90a+1=b，解得：a=9b=10，
∴a2+b2=92+102=181．
故选：D．
由1×2=2，2×3=6，3×4=12，…可得ab=90，还发现每个式子的两个因数是连续的整数，可得：a+1=b，解方程组可得a和b的值，代入所求式子可得结论．
该题考查了数字类的变化规律题，还考查了二元二次方程组的解的问题，认真观察已知条件，总结规律是解答该题的关键．
10.【答案】A
【解析】
此类题考查勾股定理以及勾股定理逆定理的运用，选取适当分类的标准，才能做到不遗不漏．分别以A、B、C为直角顶点，分类三种情况：当点C为直角顶点，AB为斜边；点A为直角顶点，BC为斜边；点B为直角顶点，AC为斜边；根据点在方格中的特点，画出图形得出答案即可．

解：如图：

符合条件的点C一共有9个．
故选：A．
11.【答案】 2
【解析】解：72−50=62−52=2.
故答案为：2
先化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
此题主要考查了二次根式的加减法，掌握二次根式的加减法法则是关键．
12.【答案】 10或27
【解析】解：当8是直角边时，第三条边长为：62+82=10，
当8是斜边时，第三条边长为：82−62=27，
综上所述，它的第三条边长为10或27.
故答案为：10或27.
根据勾股定理计算即可．
此题主要考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
13.【答案】
【解析】解：由题意得：AD//BC，AB//DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
过A作AE⊥BC于E，过C作CF⊥AB于F，则CF=1，AE=2，
∵S平行四边形ABCD=BC⋅AE=AB⋅CF，
∴2BC=AB，
∵∠ABC=60°，
∴∠BAE=90°−∠ABC=30°，
∴AB=2BE，
∴BE=BC，点E与C重合，
∴AB2−BC2=AE2，
即(2BC)2−BC2=22，
解得：BC=233(负值已舍去)，
∴S平行四边形ABCD=BC⋅AE=233×2=433，
故答案为：433.
证四边形ABCD是平行四边形，过A作AE⊥BC于E，过C作CF⊥AB于F，则CF=1，AE=2，再证2BC=AB，然后由勾股定理求出BC=233，即可解决问题．
此题主要考查了平行四边形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答该题的关键．
14.【答案】 14
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AB=CD，AD=BC，
∵▱ABCD的周长为28，
∴AB+AD=14
∵OE⊥BD，
∴OE是线段BD的中垂线，
∴BE=ED，
∴ΔABE的周长=AB+BE+AE=AB+AD=14，
故答案为：14.
先判断出EO是BD的中垂线，得出BE=ED，从而可得出ΔABE的周长=AB+AD，再由▱ABCD的周长为28，即可得出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质及线段的中垂线的性质，解答本题的关键是判断出OE是线段BD的中垂线．
15.【答案】
【解析】解：连接BB′，

根据题意，AB=AB′，且∠BAB′=60°，
∴△BAB′是等边三角形，
∴BA=BB′=AB′，
∵AC=BC=2，
∴C′A=C′B′=2，AB=AC2+BC2=2，∠C′AB′=∠EC′A=45°，
∴直线C′B是线段AB′的垂直平分线，
设直线C′B与AB′的交点是E，
则AB′⊥BE,AE=C′E=12AB=1，
∴BE=AB2−AE2=3，
∴C′B=BE−C′E=3−1，
故答案为：3−1.
连接BB′，根据题意，AB=AB′，且∠BAB′=60°，可判定△BAB′是等边三角形，继而得到BA=BB′，结合AC=BC=2，得到C′A=C′B′=2，继而判定直线C′B是线段AB′的垂直平分线，设直线C′B与AB′的交点是E，则AB′⊥BE,AE=12AB=2，根据勾股定理计算即可．
此题主要考查的旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形，正确作出辅助线是解决此题的关键．
16.【答案】
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=10，
∴AB//CD，AB=CD=10，AD//BC，AD=BC，
∵BD⊥CD，
∴BD⊥AB，∠DEC=∠BCE，
∵CE平分∠DCB，
∴∠DCE=∠BCE，
∴∠DCE=∠DEC，
∴DE=DC=10，
∵∠ABC=120°，
∴∠A=60°，∠ADB=30°，∠ADC=120°，
∴∠DEC=∠DCE=∠ADB=30°，
∴AD=20，
∴AE=ED=10，BC=AD=20，
∵BC=4CN，
∴BN=15，CN=5，
如图所示，取BD的中点G，连接EG，

则EG//AB，EG=12AB=5，
∴∠ABD=∠EGD=90°，∠DEG=∠A=60°，
取ED的中点M，连接GM，设GM与CE的交点为F，
∴GM=EM=DM=12ED=5，
∴EG=GM=EM=DM=5，
∴△EGM是等边三角形，
∴∠GEF=∠MEF=30°，
∴GF=FM=12GM=52,GF⊥EC，
故点G，M关于直线CE对称；
连接PG，
∴PG=PM，
过点N作NT⊥EC于点T，连接GN，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=60°，∠DCE=30°，
∴∠BCD=60°，∠BCE=30°，
∴BT=12NC=52，
∴BT=GF，BT//FG，
∴四边形GNTF是矩形，
∴GN//PQ，
∴∠GNB=∠TCN=30°，
∵∠ABC=120°，∠ABD=90°，
∴∠GBN=30°，
∴∠GBN=∠GNB=∠TCN=30°，
∴GB=GN，
∵BD=AD2−AB2=103，
∴GB=GN=53，
∵PQ=53，
∴PQ=GN，
∴四边形PGNQ是平行四边形，
∴PG=QN，
∴PM=PG=QN，
连BM，
则BP+PM⩾BM，
故BP+QN⩾BM，
当B，P，M三点共线时，BP+QN取得最小值，最小值为BM，
过点M作MH⊥AB于点H，
则AH=12AM=12(AD−MD)=152，MH=AM2−AH2=1532
∴BH=AB−AH=52，
∴BM=BH2+MH2=57，
∴BP+PQ+QN的最小值为53+57，
故答案为：53+57.
取BD的中点G，连接EG，则EG//AB，EG=12AB=5，取ED的中点M，连接GM，设GM与CE的交点为F，故点G，M关于直线CE对称；连接PG，过点N作NT⊥EC于点T，连接GN，连BM，则BP+PM⩾BM，故BP+QN⩾BM，当B，P，M三点共线时，BP+QN取得最小值，最小值为BM，计算即可，
此题主要考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，三角形不等式求最值，熟练掌握平行四边形的判定和性质，三角形不等式求最值是解答该题的关键．
17.【答案】
【解析】
(1)先化简，后合并同类二次根式计算即可．
(2)根据二次根式的混合运算法则计算即可．
此题主要考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解答该题的关键．
18.【答案】
【解析】
先把括号里式子通分，再把除法转化为乘法，约分化为最简，最后代值计算．
此题主要考查分式的化简求值这一知识点，把分式化到最简是解答的关键．
19.【答案】
【解析】
首先利用勾股定理得出AC的长度，然后利用勾股定理得逆定理得到△ADC是直角三角形，进而求出△ADC和△ABC的面积，两个面积之和即为空地面积．
此题主要考查勾股定理和勾股定理得逆定理的应用，关键在于求出∠ACD=90°.
20.【答案】直角 2 （4，2）或（0，4）或（-4，-4）
【解析】(1)解：∵A(2,3)，B(−2,0)，C(0,−1)，
∴BC2=12+22=5，AB2=32+42=25，AC2=20，
∴BC2+AC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
故答案为：直角；
(2)如图，取格点P，则CH为△ABC的高，

∵△ABC是直角三角形，
∴S△ABC=12×BC⋅AC=12AB⋅HC，
∴CH=BC·ACAB=5·255=2，
故答案为：2；
(3)解：如图，分三种情况：

①AC为对角线时，四边形ABCD是平行四边形，点D的坐标为(4,2)；
②AB为对角线时，四边形ACBD′是平行四边形，点D′的坐标为(0,4)；
③BC为对角线时，四边形ABD′′C是平行四边形，点D′′的坐标为(−4,−4)；
综上所述，D点的坐标为(4,2)或(0,4)或(−4,−4).
故答案为：(4,2)或(0,4)或(−4,−4).
(1)利用勾股定理的逆定理即可得出结论；
(2)根据三角形的面积可得出答案；
(3)画出图形，分三种情况，即可得出结论．
此题主要考查平行四边形的判定、坐标与图形性质、勾股定理以及逆定理等知识，解答该题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21.【答案】解：（1）∵OA=16×1.5=24（海里），OB=12×1.5=18（海里），AB=30（海里），
∴OA2+OB2=AB2，
∴△AOB是直角三角形，
∴∠AOB=90°，
∵“远航”号沿东北方向航行，
∴∠AON=45°，
∴∠BON=90°-45°=45°，
∴“海天”号沿西北方向航行；

（2）过点F作FD⊥PE于D，

OF=16×2=32（海里），
∵∠NOF=30°，
∴∠FOD=90°-30°=60°，
∴FD=OF•sin60°=32×32=163（海里），
∵90×2060=30（海里），
30＞163，
∴能在20分钟内回到海岸线．
【解析】
(1)根据勾股定理的逆定理得出△AOB是直角三角形，进而解答即可；
(2)过点A作AD⊥PE于D，根据锐角三角函数关系得出F到x轴距离，进而得出答案．
此题主要考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理得出△AOB是直角三角形解答．
22.【答案】
【解析】
(1)根据勾股定理求解即可；
(2)作∠DAC的角平分线交BC于点E，过点E作EM⊥AC于点M，利用ASA证明△ABD≌△AED，根据全等三角形的性质得到DE=BD=3，根据角平分线的性质得到EM=DE=3，根据勾股定理得到CM=4，根据锐角三角函数求出AD，再根据三角形的面积公式求解即可．
此题主要考查了三角形的面积，熟记三角形的面积公式是解答该题的关键．
23.【答案】
【解析】
(1)证平行四边形PEAF，推出PE=AF，PF=AE，根据等腰三角形性质推出∠B=∠C=∠EPB，推出PE=BE即可；
(2)过点P作MN//BC分别交AB、AC于M、N两点，推出PE+PF=AM，再推出MB=PD即可；
(3)过点P作MN//BC分别交AB、AC于M、N两点，推出PE+PF=AM，再推出MB=PD即可．
本题综合考查了平行四边形的性质和判定和等腰三角形的性质等知识点，关键是熟练地运用性质进行推理和证明，题目含有一定的规律性，难度不大，但题型较好．
24.【答案】
【解析】
(1)根据绝对值和算术平方根的非负性，即可求解；
(2)根据勾股定理求解即可；
(3)取点Q(−3,0)，连接PQ，结合线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质求出∠APO=∠QPO=∠CPQ，过点Q作QM⊥PC于点M，根据角平分线的性质定理求出QM=QO=3，根据勾股定理求解即可．
此题是三角形综合题，考查了勾股定理、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解答该题的关键．