山东省淄博市张店区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份山东省淄博市张店区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上）
1．已知反比例函数的图象经过点，则下列各点中也在该函数图象上的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在中，，，，则＝（ ）
A．B．C．D．
3．如图所示，二次函数的图象与轴交于和两点，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图所示，身高为1.7m的小刚站在离路灯底部6m处时发现自己的影长恰好为2m，则该路灯的高度是（ ）
A．5.4mB．6.8mC．7.2mD．8m
5．点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，是一个底面为等边三角形的正三棱柱和它的主视图及俯视图，则它的左视图的面积是（ ）
A．B．8C．D．16
7．已知二次函数的图象过和两点，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，矩形，点的坐标为，点在轴上，，。若反比例函数的图象过点，则的值为（ ）
A．－48B．－30C．30D．48
9．如图，在中，，，点是上一点，连结。若的面积为2，，则的长为（ ）
A．2B．C．1D．
10．定义：在平面直角坐标系中，若点满足横，纵坐标都为整数，则把点叫做“整点”，如：，都是“整点”。抛物线（是常数，且）与轴交于点，两点，若该抛物线在，之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有6个“整点”，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题卡相应位置上）
11．抛物线的顶点坐标为______。
12．在平面直角坐标系中，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，若点的坐标为，则点的坐标为______。
13．如图，是源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形。若小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，直角三角形中较大的锐角为，则＝______。
14．如图，在反比例函数图象的两支上分别取点，，过点，分别作轴于点，轴于点，连接，。若四边形的面积为15，且，则＝______。
15．一个较大水杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线，都是同一条抛物线的一部分，，都与水平桌面平行（，分别为杯底圆和杯口圆的直径），已知水杯底部宽，水杯高为16cm，当杯内水面高为6cm时，水面宽为12cm。如图2，先把水杯盛满水，再将水杯绕点倾斜倒出部分水，如图3，当时，杯中水面平行于水平桌面，则此时＝______cm。
三、解答题（本题共8小题，请把解答过程写在答题纸上）
16．计算：（1）；（2）。
17．在中，，，，解这个直角三角形。
18．某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可售出400件。根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件。请你帮助算一下，当售价为多少元时，该商店才能在半月内获得最大利润？
19．如图，“爱心”图案是由抛物线的一部分及其关于直线的对称图形组成，点，是“爱心”图案与其对称轴的两个交点，点，，，是“爱心”图案与坐标轴的交点，且点，的坐标分别为，。
（1）求，的值；
（2）求抛物线关于直线对称后的图象的表达式。
20．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点。
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）根据反比例函数与一次函数的图象，请直接写出关于的不等式的解集；
（3）求的面积。
21．科技是第一生产力，无人机已广泛应用于生产和生活的各个领域，如：代替人们在高空测量距离和角度。某校“综合与实践”活动小组的同学要测量两座竖直的楼，之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：
如上图所示，无人机在，两座楼之间上方的点处，点距地面的高度为80m，此时观测到楼底部点处的俯角为70°，，楼顶部点处的俯角为30°，沿水平方向由点飞行20m到达点，此时测得点处俯角为45°，，其中点，，，，，均在同一竖直平面内。请根据以上数据求楼与之间的距离的长（结果精确到1m）。
参考数据如下表：
22．如图1，点为的平分线上一点，以为顶点的角的两边分别与射线，交于，两点，如果绕点旋转时始终满足，我们就把叫做的智慧角。
（1）如图1，若已知，是的智慧角，则＝______°度；
（2）在（1）的条件下，连接，当时，求的面积；
（3）如图2，是反比例函数在第一象限内的图象上的一个动点，过点的直线分别交轴和轴于点，，且满足，请求出的智慧角的顶点的坐标。
23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是第三象限内抛物线上的一个动点，连接BC，CP，BP。
（1）求该抛物线的表达式及其顶点坐标；
（2）的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设直线与直线交于点，若存在与中一个是另一个的2倍，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由；
2023—2024学年度第一学期期末学业水平检测
初四数学试题答案及评分标准
一、选择题（每小题4分，共40分）
二、填空题（每小题4分，共20分）
11．；12．；13．；14．6；15．。
三、解答题（共8小题，共90分）
16．（本题共10分）
解：（1）原式＝
＝
（2）原式＝
＝
＝．
17．（本题共10分）
解：如图，在中，，，，
∴
∵，
∴，
∴．
18．（本题共10分）
解：设售价为元时，该商店才能在半月内获得最大利润元，则由题意，得，
整理得：，
所以，当时，取得最大值4500，
即，售价为35元时，该商店才能在半月内获得最大利润4500元。
19．（本题共10分）
解：（1）将点，的坐标代入抛物线的表达式，得，，
解，得，
所以，的值为－1，的值为5。
（2）如图，在（1）的抛物线上任取一点，在抛物线关于直线对称的图象上取点的对应点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，，
∵点是点关于直线对称的对应点，
又∵点是点关于直线对称的对应点，点在直线上，
∴，，
∵，，
，，
∴，，
∵点在抛物线上，
∴，
∴，
∴抛物线关于直线对称后的图象的表达式为。
20．（本题共12分）
解：（1）将点的坐标代入中，
得，，
所以，反比例函数的表达式为，
将点的坐标代入中，
得，，
所以，点的坐标为，
将点的坐标和点的坐标为分别代入中，
得，
解得，
所以，一次函数的表达式为。
（2）或；
（3）如图，一次函数的图象与轴交于点，所以，点的坐标为，所以，，
，，
所以，
所以，的面积为。
21．（本题共12分）
解：如图，延长交直线于点，易知，设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，，
∴，
过点作于点，
∴，，
∴，
∴，即，楼与之间的距离的长为76m。
22．（本题共13分）
（1）；
（2）解：如图1，过点作于点，
∴
＝
＝
∵是的智慧角，
∴，
∴
＝
＝
＝
＝
（3）解：①如图2，当直线过第一，三，四象限时，设点的坐标为，
∵点的在反比例函数的图象上，．
∴
∵，
∴
过点作轴于点，
易得，，
∴
∴，，
∵点的坐标为，
∴，，
∴，，
∵是的智慧角，
∴，
∴，
∵点在的平分线上，
∴点的坐标为；
②如图3，当直线过第一，二，三象限时，，则不满足，所以，此种情况不存在要求的点。
③如图4，当直线过第一，二，四象限时，
同①，设点的坐标为，
∵点的在反比例函数的图象上，
∴
∵，
∴
过点作轴于点，
易得，，
∴
∴，，
∵点的坐标为，
∴，，
∴，，
∵是的智慧角，
∴，
∴，
∵点在的平分线上，
∴点的坐标为；
综上所述：的智慧角的顶点的坐标为或。
23．（本题共13分）
解：（1）将，代入中，
得，，
解得，，
所以，该抛物线的表达式为，
因为，
＝
＝
所以，抛物线的顶点为。
（2）的面积存在最大值。理由如下：
如图，过点作轴于点，交于点，
因为，点在抛物线上，
所以，设点的坐标为，
由题意，易得直线的表达式为，
所以，点的坐标为，
所以，
所以，
＝
＝
＝
＝
所以，当时，面积的最大值为，
此时，点的坐标为。
（3）存在．与中一个是另一个的2倍，点的坐标为或或。题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
C
B
C
C
D
B
A
D