湖南省长沙市师大附中集团2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（原卷版）

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一．选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分）
1. 已知反比例函数的图象经过点，则k的值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入解析式，就可以得到k的值．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
解得，，
故选：D．
2. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查比例的性质，先得出，再将其代入式子化简即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：D．
3. 下列语句中正确的是（ ）
A. 平分弦的直径垂直于弦
B. 三点确定一个圆
C. 三角形的内心到三角形三边的距离相等
D. 各边相等的多边形是正多边形
【答案】C
【解析】
【分析】由垂径定理推论、确定圆条件、三角形的内心性质、正多边形定义，分别对各个选项进行判断即可．
本题主要考查了垂径定理、确定圆的条件、三角形的内心、正多边形．熟练掌握垂径定理的推论、确定圆的条件、三角形的内心性质、正多边形定义，是解决问题的关键．
【详解】A、应为“平分非直径的弦的直径垂直于弦”，故此选项不符合题意；
B、应为“不共线的三点确定一个圆”，故此选项不符合题意；；
C、三角形的内心到三边的距离相等，故此选项符合题意；
D、菱形也是各边相等，但不是正多边形，故此选项不符合题意．
故选：C．
4. 某几何体如图所示，则从正面观察这个图形，得到的平面图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了几何体的三视图，根据主视图的定义判断即可；掌握主视图的相关知识和具备一定的空间想象能力是解题的关键．
【详解】解：从正面观察这个图形，得到的平面图形是：
故选：B．
5. 如图，直线，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【详解】∵，
，，，
选项A、B、C错误，不符合题意；D正确，符合题意；
故选：D．
6. 如图，与位似，位似中心是点，且，若的面积为5，则的面积为（ ）
A. 10B. 15C. 20D. 25
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
根据位似图形的概念得到，，求得相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
【详解】解：∵与位似，
∴，，
∴，
∴，
∴与的面积比为，
∵的面积为5，
∴的面积是20，
故选C．
7. 不透明的袋子中只有2个黑球和4个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（ ）
A. 3个球都是黑球B. 3个球都是白球C. 三个球中有黑球D. 3个球中有白球
【答案】A
【解析】
【分析】根据不可能事件的定义进行判断即可．
【详解】解：由题意知，3个球都是黑球，是不可能事件，故A符合要求；
3个球都是白球，是随机事件，故B不符合要求；
三个球中有黑球，是随机事件，故C不符合要求；
3个球中有白球，是必然事件，故D不符合要求；
故选：A．
【点睛】本题考查了事件发生的可能性大小．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
8. 在直角中，，，，求（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据锐角三角函数的概念和勾股定理求解，根据题中所给的条件，在直角三角形中解题，根据角的正弦值与三角形边的关系及勾股定理，然后再代入三角函数进行求解，最后求出面积及的值．
【详解】解：由，，
得出：，
由勾股定理得出：，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形的能力，还考查解直角三角形的定义，由直角三角形已知元素求未知元素的过程，还考查了直角三角形的性质．
9. 若关于x的函数与x轴有两个不同的交点，则b的值不可能是（ ）
A. 4B. C. 5D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，关于x的函数与x轴有两个不同的交点，则对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，据此利用判别式求解即可．
【详解】解：∵关于x的函数与x轴有两个不同的交点，
∴，
∴，
∴四个选项中只有B选项中的数不满足，
故选B．
10. 如图，在正方形中，点在边上，点在边上，，交于点，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④当是的中点时，；⑤当时，．其中正确结论的序号是（ ）

A. ①②③④B. ①②③⑤C. ①③④⑤D. ②④⑤
【答案】A
【解析】
【分析】通过证明≌推出，即可判断①；再证明，即可判断②；利用角平分的性质可证中边的高与中边的高相等，通过“等底等高”证明，即可判断③；证明∽，∽，求出相关线段长度，可知当E是的中点时，，即可判断④；利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，两个等高的三角形面积比等于底长的比，可证，即可判断⑤．
【详解】解：四边形是正方形，
，．
∵，
≌，
，故①正确；
由①得，
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；

四边形是正方形，
，即是的角平分线，
点G到边与边的距离相等，
即中边的高与中边的高相等，
又，
，故③正确；
设正方形的边长为，
当E是的中点时，，，
由勾股定理得：，，
，，
∽，
，
．
，，
∽，
，
即，
，
，
，
，
，
当E是的中点时，，故④正确；
当时，，
，
，
∽，
，
中边的高与中边的高相等，，
，
设，则，，
，
，
，
，
，
，
，
，故⑤错误．
故选A．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形面积公式，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，难度较大，解题的关键是从图形中找出全等三角形和相似三角形．
二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. 若点与点B关于原点对称，则点B的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了在平面直角坐标系中关于原点对称点的坐标，熟练掌握关于原点对称点的特点是解答此题的关键．
根据平面直角坐标系中关于原点对称点的坐标特征直接求解，点关于原点对称的点的坐标为 ．
【详解】解：∵点与点关于原点对称
∴点坐标为
故答案为：．
12. 时钟的分针长6厘米，从上午8：10到上午8：30，分针扫过的面积是 ________平方厘米．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了扇形面积的计算，先确定圆心角，再根据扇形面积公式计算即可，确定圆心角和半径是解题关键．
【详解】解：∵分针扫过的图形是扇形，扇形的圆心角是，半径是6cm，
∴分针扫过面积（平方厘米）．
故答案为：．
13. 二次函数的最小值是_________．
【答案】1
【解析】
【分析】先确定抛物线的开口方向，把抛物线配方变顶点式，确定顶点的最值位置即可得出答案．
【详解】二次函数=（x-1）2+1，
∵a=10,抛物线开口向上，抛物线的顶点为最低点（1，1），
抛物线的的最小值是1．
故答案为:1．
【点睛】本题考查抛物线的最值问题，会确定抛物线的开口方向，会把抛物线变成顶点式，，特别是自变量由范围时，考虑对称轴是否在区间内，会求边值比较是关键．
14. 如图，M为反比例函数的图象上的一点，轴，垂足为A，的面积为3，则k的值为______．

【答案】6
【解析】
【分析】由反比例函数k的几何意义可得，再结合函数图象可得答案．
【详解】解：∵M为反比例函数的图象上的一点，轴，的面积为3，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：6
【点睛】本题考查的是反比例函数中比例系数k的几何意义，理解k的几何意义是解本题的关键．
15. 如图，分别切于A、B，，C是劣弧上的点（不与点A、B重合），过点C的切线分别交于点E、F．则的周长为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据切线长定理得到，．即可求出的周长．熟练掌握切线长定理是解题的关键．
【详解】解：∵分别切于A、B．
∴
∵过点C的切线分别交于点E、F．
∴．
∴的周长
．
故答案：
16. 《九章算术》是我国数学经典，上面记载：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门三十步有木，出西门七百五十步见木．问邑方几何?”其意思是：如图，已知正方形小城，点分别为的中点，，点在一条直线上，步，步．问正方形小城的边长是多少?该问题的答案是___________．
【答案】步
【解析】
【分析】根据题意，可知Rt△DFE∽Rt△HDG，从而可以得到对应边的比相等，从而可以求得正方形的边长．
【详解】解：设正方形的边长为x步，
∵点G、点E分别是正方形ABCD的边AD、CD的中点，
∴DG=AD，DE=CD，
∴DG=DE，
由题意易得，
∠FDE=∠H，∠FED=∠DGH=90°
∴Rt△DFE∽Rt△HDG，
∴，
而步，步
即DE×DG= EF×HG
DE2=30×750=22500，
解得：DE=150，
∴CD=2DE=300步；
故答案为：300步．
【点睛】本题考查相似三角形的应用、数学常识、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意．利用相似三角形的性质和数形结合的思想解答．
三．解答题（共9小题，其中17、18、19每小题6分，20、21每小题8分，22、23每小题9分，24、25每小题10分，共72分）
17. 计算：．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算，掌握负整数指数幂，零指数幂的运算法则，绝对值的意义，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
先化简负整数指数幂，零指数幂，绝对值，代入特殊角的三角函数值，然后再计算．
【详解】解：原式＝
=
＝2．
18. 先化简，然后再从，中选择一个合适的值代入求值．
【答案】；
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值、分式有意义的条件等知识点，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
先根据分式的混合运算法则化简，然后再根据分式有意义的条件确定x的值，最后代入求值即可．
【详解】解：
，
∵，
∴当x＝时，原式．
19. 如图，扶梯AB的坡比为4：3，滑梯CD的坡比为1：2． 设AE=30dm，BC=50dm，一女孩从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，她经过的总路程是多少（结果保留根号）？
【答案】（100+40）dm
【解析】
【分析】首先在直角三角形ABE中求得AB和BE，然后就可以知道CF的长，然后在直角三角形CFD中求得CD的长即可．
【详解】解：∵扶梯AB的坡比（BE与AE长度之比）为4：3，AE=30dm，
∴BE=40dm，
∴AB===50（dm），
∵CF=BE=40dm，CD的坡比（CF与DF长度之比）为1：2，
∴FD=2CF=2×40=80（dm），
∴CD===40（dm），
∴她经过的总路程为：
AB+BC+CD=50+50+40=（100+40）dm．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟知坡比的定义．
20. 科学实验是获取经验事实和检验科学假说、理论真理性的重要途径．某校为进一步培养学生实践创新能力，提高学生科学素养，营造爱科学、学科学、用科学的浓厚氛围，将开展“崇尚科学科技月”主题教育活动，计划演示以下四项科学小实验：A．自动升高的水；B．不会湿的纸；C．漂浮的硬币；D．生气的瓶子．学校科技部随机对该校部分学生进行了“最希望演示的一项实验”问卷调查，得到下列不完整的统计图．
请结合统计图，回答下列问题：
（1）求此次调查中接受调查的人数；
（2）请补全条形统计图；
（3）已知最希望演示A项实验的4名学生，有1名来自九年级一班，1名来自九年级二班，2名来自九年级三班，现需从这四人中随机抽取2名作为实验“自动升高的水”的演示员，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同班级的概率．
【答案】（1）50人 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图，画树状图求概率，熟练掌握统计图的意义，准确画树状图是解题的关键．
（1）根据样本容量=频数÷所占百分数，求得样本容量即可．
（2）先计算C类的人数为(人)，完善统计图即可．
（3）利用画树状图计算即可．
【小问1详解】
解：根据题意，得（人），
故此次调查中接受调查的人数为50人．
【小问2详解】
C类的人数为（人），补图如下：
【小问3详解】
根据题意，画树状图如下：
一共有12种等可能性，相同的有2种等可能性，10种不同的等可能性，
∴抽到的2名学生来自不同班级的概率．
21. 如图①是某款智能磁吸键盘，如图②是平板吸附在该款设备上的照片，图③是图②的示意图．已知，，．当与形成的为时，求的长．（参考数据：，，；，，）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过作于，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：过作于，
在中，，，
，，
在中，，
，
，
，
，
答：的长为．
22. 如图，在中，为非直径弦，点D是 的中点，是的角平分线．
（1）求证：；
（2）求证：是的切线；
（3）若，时，求弦与围城的弓形面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】此题考查了解直角三角形、切线的判定以及扇形的面积．注意掌握辅助线的作法，．
（1）点D是 的中点，可以得到，即可得到，再根据角平分线的定义得到，进而得到结论；
（2）连接、、，则可得到，然后根据等边对等角可以得到，即可得到结论
（3）先求出，继而利用求得答案．
【小问1详解】
解：如图，∵点D是 的中点，
∴，
∴，
又∵是的角平分线，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：如图，连接、、，
∵点D是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
即，
∵是的半径，
∴是的切线；
【小问3详解】
解：由（2）可知，，
在中，，，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴．
23. 一透明的敞口正方体容器装有一些液体，棱始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为（，如图所示）．
探究：如图1，液面刚好过棱，并与棱交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图②．解决问题：
（1）与的位置关系是 ，的长是 ， °（注：，）
（2）求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积V液底面积高）
（3）在图1的基础上，以棱为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出．图3或图4是其正面示意图，若液面与棱或交于点P、点Q始终在棱上，设，，分别就图3和图4求y与x的函数关系式，并写出相应的的范围．
【答案】23. ，3，
24
25. 时，， ，
【解析】
【分析】（1）本题根据水面与水平面平行可以得到与平行，利用勾股定理即可求得的长；
（2）本题根据液体正好是一个以是底面的直棱柱，利用直棱柱体积等于底面积乘高，即可求得液体的体积；
（3）本题根据以棱为轴将容器向左或向右旋转，分情况分析，利用液体体积不变，建立y与x的联系，即可解题．
【小问1详解】
解：液体的形状为直三棱柱，
，
由题知，,,
根据勾股定理得．；
在中， ，
．
故答案为：，3，．
【小问2详解】
解：（）．
【小问3详解】
解：当容器向左旋转时，，
液体体积不变，
，
．
当液面恰好到达容器口沿，即点Q与点重合时，如图5，
，且，
，
，
．
．
此时；
当容器向右旋转时，，
液体体积不变，
，
；
综上所述，图3中y与x的函数关系式为，相应的的范围是，
图4中y与x的函数关系式为，相应的的范围是．
【点睛】本题考查了几何变换、三视图、直棱柱体积、勾股定理、以及求函数解析式，解题的关键在于掌握直棱柱体积求法，利用液体体积不变，建立y与x的联系，从而得到函数关系式．
24. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B 向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点， HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y．
（1）求证：△DHQ∽△ABC；
（2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值；
（3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？
【答案】（1）见解析
（2）
（3）当x的值为时，△HDE是等腰三角形
【解析】
【详解】（1）∵A、D关于点Q成中心对称，HQ⊥AB，
，HD=HA，
，
∴△DHQ∽△ABC．
（2）①如图1，当时，
ED=，QH=，
此时
当时，最大值．
②如图2，当时，
ED=，QH=，
此时
当时，最大值．
∴y与x之间的函数解析式为
y的最大值是
（3）①如图1，当时，
若DE=DH，∵DH=AH=， DE=，
∴，．
显然ED=EH，HD=HE不可能；
②如图2，当时，
若DE=DH，，；
若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，；
若ED=EH，则△EDH∽△HDA，
∴，，．
∴当x的值为时，△HDE是等腰三角形.
25. 若凸四边形的两条对角线所夹锐角为，我们称这样的凸四边形为“美丽四边形”．
（1）①在“平行四边形、梯形、菱形、正方形”中，一定不是“美丽四边形”的有 ；
②若矩形是“美丽四边形”，且，则 ；
（2）如图1，“美丽四边形”内接于⊙O，与相交于点P，且对角线为直径，，求另一条对角线的长；
（3）如图2，平面直角坐标系中，已知“美丽四边形”的四个顶点，B在第三象限，D在第一象限，与交于点O，且四边形的面积为，若二次函数（a、b、c为常数，且）的图象同时经过这四个顶点，求a的值．
【答案】（1）①菱形、正方形；②或；
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）①根据平行四边形、梯形、菱形、正方形的对角线特点即可求解；②分类讨论（i）如若为较短的边（ii）若为较长的边，两种情况即可求解；
（2）过点O作于点H，连接，可得；在中，求出；在中，求出，即可求；
（3）求出直线解析式为，设二次函数解析式为，联立：得，可推出；根据可得，据此即可求解．
【小问1详解】
解：①∵菱形、正方形的对角线互相垂直，
∴菱形、正方形不是“美丽四边形”．
故答案为：菱形、正方形．
②设矩形对角线相交于点O，
∴，
∴，
∵矩形是“美丽四边形”，
∴夹角为；
（i）如图1，若为较短的边，则，
∴是等边三角形，
∴，
∴中，；
（ii）如图2，若为较长的边，则，
∴是等边三角形，
∴，
∴中，，
综上所述：或；
【小问2详解】
解：过点O作于点H，连接，
∴，，
∵，
∴⊙O直径，
∴，
∴，
∵四边形是“美丽四边形”，
∴，
∴中，，
∴中，，
∴；
【小问3详解】
解：过点B作轴于点M，过点D作轴于点N，
∴，
∵四边形是“美丽四边形”，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
∵二次函数的图象过点，即与x轴交点为A、C，
∴设二次函数解析式为，
联立：，
整理得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴a的值为或．
【点睛】本题以新定义题型为背景，考查了平行四边形及平行四边形的性质，垂径定理，利用三角函数解直角三角形，二次函数，一元二次方程等知识点，综合性较强，需要学生掌握相关的几何和函数结论．