精品解析：安徽省合肥市六校联盟2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题

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（考试时间：120分钟 满分：150分）
命题学校：合肥九中 命题教师：冯文华 审题教师：王伟
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知直线l过、两点,则直线l的倾斜角的大小为（ ）
A. 不存在B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据两点,求出的直线方程,进而可求倾斜角大小.
【详解】解:由题知直线l过、两点,
所以直线的方程为,
故倾斜角为.
故选:C
2. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，下列结论成立的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，结合直线的方向向量和平面分法向量的关系，逐项判定，即可求解.
【详解】因为直线的方向向量为，平面的法向量为，
由，可得，所以A不正确，C正确；
对于B中，由，可得或，所以B、D都不正确；
故选：C.
3. 已知两平行直线，的距离为，则m的值为（ ）
A. 0或-10B. 0或-20C. 15或-25D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】化简直线方程得：，利用两条平行线间的距离公式计算可得.
【详解】化简得：，
两平行直线，的距离为： ，
，
或，
故选：B.
【点睛】此题考两条平行线间的距离公式，关键是化简直线方程，使两个直线方程x，y的对应系数相同，属于简单题.
4. 已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（ ）
A. ，3B. ，2C. 1，3D. ，2
【答案】D
【解析】
【分析】由A，B，C三点共线，得与共线，然后利用共线向量定理列方程求解即可.
【详解】因为，，，
所以，，
因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使，
所以，
所以，解得.
故选：D
5. 在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，点是正方形的中心，则的值为（ ）
A. 不确定B. 2C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量的坐标运算即可求解.
【详解】建立如图所示空间直角坐标系，
则,0,，,2,，，
,1,，
．
故选：D．
6. 在平行六面体中，为与的交点，是的中点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作出图象，利用空间向量的线性运算可得出关于、、的表达式.
【详解】如下图所示：
由题意可知，，
所以，
故选：A.
7. 台风中心从地以每小时速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正西方向处，则城市处于危险区内的时长为（ ）
A. 1小时B. 小时C. 小时D. 2小时
【答案】B
【解析】
【分析】建立直角坐标系，数形结合求直线与圆相交的弦长，进而可得城市处于危险区内的时长.
【详解】
如图所示，以点为坐标原点建立直角坐标系，则，
以为圆心，为半径作圆，
则圆的方程为，
当台风进入圆内，则城市处于危险区，
又台风的运动轨迹为，
设直线与圆的交点为，，
圆心到直线的距离，
则，
所以时间，
故选：B.
8. 已知圆：的圆心为点，直线：与圆交于，两点，点在圆上，且，若，则的值为（ ）
A. B. C. 2D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】设弦的中点为，得到，化简，即可求解.
【详解】设弦的中点为，由题可知圆的半径为，
因为，，所以，
所以，，
可得，解得.
故选：A.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知向量，，若，的夹角是钝角，则的可能取值为（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】AC
【解析】
【分析】根据题意分析得，再去除共线的情况即可.
【详解】由题意得，再去掉其共线反方向的情况，
则，解得，当，共线时，解得，
故且，对照选项知AC正确，BD错误.
故选：AC.
10. 已知直线：，则（ ）
A. 直线的一个方向向量为
B. 直线过定点
C. 若直线不经过第二象限，则
D. 若，则圆上有四个点到直线的距离等于
【答案】BD
【解析】
【分析】根据直线方向向量、直线过定点、直线截距、直线与圆的位置关系，逐项判断即可得结论.
【详解】对于A：由方程可得可得一个方向向量：，可判断A错误；
对于B：，
所以，则直线过定点，故B正确；
对于C，若，则直线，此时直线不过第二象限，
又直线过定点，要使得直线不过第二象限，则，解得，
所以若直线不经过第二象限，则，故C错误.
对于D：当时，直线方程为：，圆心到直线的距离为：，
而圆的半径为，因为，所以圆上有四个点到直线的距离等于，正确；
故选：BD
11. 已知点在圆：上，点是直线：上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，又设直线分别交，轴于，两点，则（ ）
A. 的最小值为
B. 直线必过定点
C. 满足的点有两个
D. 过点作圆的切线，切线方程为或
【答案】BCD
【解析】
【分析】A：将问题转化为求PQ的最小值，由此可解；B：根据是以为直径的圆与圆相交所得到的公共弦，由此求出方程并分析是否过定点；C：分析以为直径的圆与圆的位置关系，由此可判断结果；D：设出切线方程，根据相切时圆心到直线的距离等于半径求解出结果.
【详解】A：因为，当PQ最小时，取最小值，
PQ取最小值时即为到直线的距离，所以PQ最小值为，
所以的最小值为，故A错误；
B：设，，所以中点坐标为，，
以为直径的圆的方程为，
又圆，两圆方程相减可得，
即为
令，解得，
所以公共弦所在直线过定点，故B正确；

对于C：对于，
令，则，所以，
令，则，所以，
所以中点的坐标为，，
故以为直径的圆的方程为，
又因为，且，
所以圆与圆相交，所以满足的点有两个，故C正确；
对于D：如图所示，不妨设切线方程为，即，
因为与圆相切，所以，所以，解得，
所以切线方程为或，故D正确；
故选：BCD.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知点在平面内，为空间内任意一点，若，则________．
【答案】##0.25
【解析】
【分析】根据向量的运算法则得到，根据共面得到，得到答案.
【详解】由，得，
即．
因为点在平面内，所以，得．
故答案为：.
13. 直线过点，且与以、为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】作出图形，求出、，观察直线与线段的交点运动的过程中，直线的倾斜角的变化，可得出直线的取值范围.
【详解】如下图所示：设过点且与轴垂直的直线交线段于点，设直线的斜率为，
且，，
当点从点移动到点（不包括点）的过程中，直线的倾斜角为锐角，
此时，；
当点从点（不包括点）移动到点的过程中，直线的倾斜角为钝角，
此时，.
综上所述，直线的斜率的取值范围是.
故答案为：.
14. 如图所示的试验装置中，两个正方形框架、的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.长度为1的金属杆端点在对角线上移动，另一个端点在正方形内（含边界）移动，且始终保持，则端点的轨迹长度为______.
【答案】
【解析】
【分析】建系标点，设，根据垂直关系可得，结合长度可得，分析可知端点的轨迹是以为圆心，半径的圆的部分，即可得结果.
【详解】以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，

则，设，
可得，
因为，即，可得，
则，则，整理可得，
可知端点轨迹是以为圆心，半径的圆的部分，
所以端点的轨迹长度为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知直线：与直线：的交点为.
（1）求点关于直线的对称点；
（2）求点到经过点的直线距离的最大值，并求距离最大时的直线的方程.
【答案】（1）
（2），.
【解析】
【分析】（1）先求直线的交点，然后通过条件得到直线的方程，进而确定的中点坐标，最后确定的坐标；
（2）先根据条件得到点到的距离不超过，然后在取到该值的条件下得到的斜率，进而确定直线的方程.
【小问1详解】
联立方程 ,解得
所以两直线，的交点为.
设，则的中点为.
联立方程，解得
所以.
【小问2详解】
因为，
所以点到经过点的直线距离的最大值为.
由题意，与垂直，则，故的斜率为.
所以直线的方程为，即
所以当距离最大时，直线的方程为.
16. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，分别为棱，的中点.

（1）证明：平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）构建空间直角坐标系，然后根据空间向量求解直线与法向量的夹角的余弦值即可；
【小问1详解】
∵、分别为，的中点，∴，
∵为正方形，
∴，则 ，
∵平面，平面，
∴平面.
【小问2详解】
由题知平面，，
建立如图所示的空间直角坐标系，

则，A0,0,0，，，，
∴，，
∴，，，
设平面ADNM的一个法向量为，
则
令，则，，
∴.
设直线与平面所成的角为，
∴，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
17. 已知动点与两个定点，的距离的比是2.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）直线过点，且被曲线截得的弦长为，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）直接利用条件求出点的轨迹方程，所求方程表示一个圆；
（2）直线的斜率分存在与不存在两种情况，当直线的斜率不存在时，检验不满足条件；当直线的斜率存在时，用点斜式设出直线的方程，根据弦长和点到直线的距离公式列出等式即可求出直线的斜率，进而求出直线的方程.
【小问1详解】
设点，
动点与两个定点，的距离的比是，
，即，
则，
化简得，
所以动点的轨迹的方程为；
【小问2详解】
由（1）可知点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
直线被曲线截得的弦长为，
圆心到直线的距离，
①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离是3，不符合条件；
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
所以圆心到直线的距离，
化简得，解得或，
此时直线方程为或.
综上，直线的方程是或.
18. 如图1所示中，．分别为中点．将沿向平面上方翻折至图2所示的位置，使得．连接得到四棱锥，记的中点为N，连接，动点Q在线段上．

（1）证明：平面；
（2）若，连接，求平面与平面的夹角的余弦值；
（3）求动点Q到线段的距离的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据空间中的垂直关系的转化，结合线面垂直的判定即可求证；
（2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解平面的夹角；
（3）根据向量共线求出，利用空间向量表示出点到直线距离，利用二次函数性质求范围即可.
【小问1详解】

因为折叠前为中点，，所以，折叠后，，
所以，所以，在折叠前分别为中点，
所以，又因为折叠前，所以，所以在折叠后，
，；以为坐标原点， 、、分别为、、轴建立
空间直角坐标系，则，，，，，
为中点，所以，，设平面的法向量为
，又，，所以，
，令，则，，所以，所以，
所以，所以平面.
【小问2详解】
设，由（1）知，，因为动点Q在线段上，
且，所以，所以，
所以，，，所以，，
，设平面的法向量为，，
，令，则，，所以，
设平面的法向量为，所以
，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
【小问3详解】
设，，，动点Q在线段上，
所以，，即，即，
所以，，，
设点Q到线段的距离为，，
，，
，，令，，
则，，根据二次函数的性质可知，
所以，由此可知动点Q到线段距离的取值范围为.
19. 在空间直角坐标系Oxyz中，已知向量，点.若直线l以为方向向量且经过点，则直线l的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为.
（1）证明：向量是平面的法向量；
（2）若平面，平面，直线l为平面和平面的交线，求直线l的单位方向向量（写出一个即可）；
（3）若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为、、，其中平面经过点，，，平面，平面，求实数m的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由空间向量的垂直即可证明；
（2）设直线l的方向向量，由与两平面的法向量垂直列方程求解；
（3）写出三个平面的法向量，求得与交线的方向向量，进而可求解.
【小问1详解】
取平面内的任意两点，，
则两式相减得，，
即，所以，从而，
故是平面的法向量.
【小问2详解】
记平面，的法向量为，，
设直线l的方向向量，
因为直线l为平面和平面的交线，所以，，
即，取，则，
所以直线l的单位方向向量为.
【小问3详解】
设，
由平面经过点，，，
所以，解得，即，
所以记平面、、的法向量为，，，
与（2）同理，与确定的交线方向向量为，
所以，即，解得.
【点睛】关键点点睛：本题的关键，结合已知概念求出相关法向量，即可解决问题.