精品解析：河南省开封市河南大学附属中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

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分值：150分 时长：120分钟
一、单选题（每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上）
1. 过两点的直线的倾斜角是，则（ ）
A. 2B. C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用两点坐标求斜率与斜率的定义即可得解.
【详解】因为过两点的直线的倾斜角是，
所以，解得.
故选：B.
2. 已知空间向量，.若，则（ ）
A. 12B. 10C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】通过两向量的平行关系即可确定、值，即可求解.
【详解】因为，所以有：，
解得，，所以.
故选：A.
3. 若椭圆的焦距为2，则实数的值为（ ）
A. 3B. 3或5C. 5或8D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】结合椭圆性质，分焦点在轴、轴上计算即可得.
【详解】当椭圆的焦点在轴上时，有，故，
当椭圆的焦点在轴上时，有，故.
故选：B.
4. 已知点是圆外的一点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据和点在圆外得到不等式，求出的取值范围.
【详解】由题意得且，解得.
故选：D
5. 椭圆的左、右焦点分别为，，过点且与长轴垂直的直线交椭圆于，两点．若为等边三角形，则椭圆的离心率为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】借助等边三角形性质与离心率定义计算即可得.
【详解】设，因为为等边三角形，则，，
因为，所以椭圆的离心率为．
故选：A.
6. 设直线与圆相交于两点，且的面积为8，则（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角形面积公式可得，由圆心到直线的距离，再利用点线距公式建立方程，解之即可.
【详解】由三角形的面积公式可得，
得，由，得，
所以为等腰直角三角形，
所以圆心到直线的距离为，
由点到直线的距离公式得，解得.
故选：C
7. 如图，在三棱锥中，是边长为3的正三角形，是上一点，，为的中点，为上一点且，则（ ）

A. 5B. 3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】以为一组基底，表示求解.
【详解】解：以为一组基底，
则，
，
，
，
，
，
，
所以.
故选：D
8. 已知是曲线上的动点，是直线上的一个动点，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】曲线C表示以为圆心，以1为半径的圆，先求得点关于直线的对称点，然后由求解.
【详解】解：如图所示：
曲线，即为，
表示以为圆心，以1为半径的圆，
设关于直线的对称点为，
则，解得，即，
连接，，
则，
，
当且仅当共线时，等号成立，
所以则的最小值是，
故选：C
二、多选题（每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）
9. 设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且．则下列说法中正确的是（ ）
A. B. 离心率为
C. 的面积为6D. 的面积为12
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据椭圆的标准方程求出，再由题意及椭圆定义列出方程求解可判断A，根据离心率定义判断B，根据A可知三角形为直角三角形，求面积可判断CD .
【详解】由，得，则，
因为是椭圆上一点，所以，
因为，所以，，故A正确；
对于B，离心率为，故B正确；
对于CD，因为，所以为直角三角形，，所以，故C正确，D错误．
故选：ABC
10. 圆和圆的交点为，则有（ ）
A. 公共弦所在直线方程为
B. 线段中垂线方程为
C. 公共弦的长为
D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】直接把两圆的方程作差判断A；利用直线方程的点斜式写出线段的中垂线方程判断B；求出公共弦长判断C；由到的距离加上的半径判断D．
【详解】对于A，由与，两式作差可得，即，
∴公共弦所在直线方程为，故A正确；
对于B，圆圆心为1,0，
圆的圆心，
由圆的性质可得的中垂线为，可得的中垂线方程为，
即，故B正确；
对于C，圆心到直线的距离，半径为，
则，故C错误；
对于D，为圆上一动点，圆心到直线的距离为，半径，
则到直线的距离的最大值为，故D正确．
故选：ABD
11. 在边长为2的正方体中，为边的中点，下列结论正确的有（ ）
A. 与所成角的余弦值为
B. 过，，三点的正方体的截面面积为3
C. 当在线段上运动时，的最小值为3
D. 若为正方体表面上的一个动点，，分别为的三等分点，则的最小值为
【答案】AC
【解析】
【分析】建系，由异面直线夹角向量法即可判断A, 取的中点，连接，，，确定即为截面即可判断B，由对称性得到进而可判断C, 设点关于平面的对称点为，连接，可判断当与平面的交点为时，最小，即可判断D.
【详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
∴，，
∴，
∴与所成角的余弦值为，故A正确；
取的中点，连接，，，
则，
故梯形为过点，，的该正方体的截面，
∵，，，
∴梯形的高为，
∴梯形的面积为，故B错误；
由对称性可知，，故，
又由于，，，四点共面，故，当为与的交点时等号成立，故C正确，
设点关于平面的对称点为，连接，当与平面的交点为时，
最小，
过点作的平行线，过点作的平行线，两者交于点，此时，，，故D错误.
故选:AC.
三、填空题：每小题5分，共15分．
12. 已知直线与直线平行，则__________.
【答案】1
【解析】
【分析】两直线平行，则它们斜率相等.对于直线，其斜率.我们先分别求出两直线的斜率，然后根据平行关系列出等式求解的值.
【详解】对于直线，根据斜率公式，这里，，所以.
对于直线，这里，，所以.
因为与平行，所以，即即解得或.
当时，直线，直线，两直线平行.
当时，直线，直线，化简为，此时两直线重合，不符合要求，舍去.
故答案为：1.
13. 在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点，则直线FC到平面的距离为______．
【答案】##
【解析】
【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量后可求线面距.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
故，故，
而平面，平面，故平面，
故直线FC到平面的距离为即为到平面的距离.
设平面的法向量为，
又，故，取，则，
而，故到平面的距离为，
故答案为：.
14. 已知椭圆（）的长轴长为4，离心率为.若，分别是椭圆的上、下顶点，，分别为椭圆的上、下焦点，为椭圆上任意一点，且，则的面积为_____.
【答案】
【解析】
【分析】先根据长轴及离心率列式求出a,b,c得出椭圆方程，再设点应用数量积得出点P的坐标，最后计算面积即可.
【详解】因为,
所以,
所以椭圆方程为,
设,椭圆的上、下顶点,
所以且，
所以，
所以
即得.
故答案为：.
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，角的对边分别是，且．
（1）求角的大小；
（2）若，且，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由正弦定理边化角，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由余弦定理结合三角形的面积公式代入计算，即可得到结果.
【小问1详解】
因为，
所以根据正弦定理得，
因为，
所以，
即，
即．
因为，所以．
因为，所以．
【小问2详解】
．
因，所以①．
因为，
所以②．
联立①②可得，解得（负根舍去），
故的面积为．
16. 已知，圆是的外接圆．
（1）求圆的方程；
（2）若直线过点，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程．
【答案】（1）
（2）或．
【解析】
【分析】（1）设圆的一般方程为,代入三点的坐标求解即可；
（2）由题意可得心到直线的距离，分直线的斜率不存在和直线的斜率存在两种情况分别求解即可.
【小问1详解】
解：设圆的一般方程为，
因为圆过三点，
所以，解得，
所以圆的一般式方程为．
【小问2详解】
解：由（1）可知圆心为，半径，
又被圆截得的弦长为6，
所以由垂径定理可得圆心到直线的距离，

当直线的斜率不存在时，过点，
所以的方程为，圆心到直线的距离，故满足要求．
当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，又过点，
所以直线的方程为，
由点到直线的距离公式可得，解得，
直线的方程为．
综上所述，直线的方程为或．
17. 如图，在三棱柱中，平面平面，侧面为菱形，，，底面ABC为等腰三角形，，是AC的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）若平面与平面的夹角余弦值为，求直线OB与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）分析得，面面垂直转化为线面垂直，由线面垂直的性质可证明结论.
（2）以为原点建立空间直角坐标系，设，表示各点坐标，计算平面与平面的法向量，利用条件求出的值，根据线面角向量公式求出结果.
【小问1详解】
如图，连接，菱形中，由得为等边三角形，
∵是AC的中点，∴，
∵平面平面，平面平面平面，
∴平面ABC，
∵平面，∴平面平面ABC.
【小问2详解】
由（1）知平面ABC，
∵，是AC的中点，∴，
以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

∵，为等边三角形，∴.
设，则，
∴，
设平面法向量，则，
令，得，
设平面法向量，则，
令，可得，
∴，由，解得，
∴.
设直线OB与平面所成角为，
，即直线OB与平面所成角的正弦值为.
18. 如图，已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求MN的方程；
（3）记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
分析】（1）根据条件列方程组求解即可；
（2）设直线的方程为，与椭圆联立，由弦长公式求得的方程；
（3）将韦达定理代入中计算结果为定值．
【小问1详解】
由椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0过点，焦距为，
得，解得，
故椭圆的方程为．
【小问2详解】
设直线的方程为，，，
联立，消去得，
由，得，
则．
，
解得或，
当时，直线的方程为；
当时，直线经过点，不符合题意，舍去．
所以当时，的方程为．
【小问3详解】
证明：直线，均不与轴垂直，所以，，则且，
所以
，
所以为定值．
【点睛】方法点睛：
解答直线与圆锥曲线题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
19. 已知圆的方程为.
（1）求过点的圆的切线方程；
（2）已知两个定点，，其中，.为圆上任意一点，（为常数）.
①求常数的值；
②过点作直线与圆交于、两点，若点恰好是线段的中点，求实数的取值范围.
【答案】（1）或
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）分类讨论，先确定斜率不存在时直线是否是切线，在斜率存在时，利用圆心到切线的距离等于半径求解；
（2）①设点，把已知条件用坐标表示并整理后它与（1）中圆方程相同，由此可求得；
②设，由中点得点坐标，由在圆上得关于的方程组，方程组有解转化为直线与圆有交点，
从而利用圆心到直线的距离不小于半径求得参数范围．
【小问1详解】
圆的圆心坐标为，半径为，
当过点的圆的切线斜率不存在时，切线方程为；
当斜率存在时，设切线方程为，即.
由，解得，则切线方程为.
过点的圆的切线方程为或.
【小问2详解】
①设点，则，
，
，，，
又，化简得，
为圆上任意一点，，
又，，解得，常数.
②由①知，，，点，圆，
设，是线段的中点，，
又，在圆上，即关于的方程组有解，
化简得有解，
即直线与圆有交点，
则圆心到直线的距离，
化简得：，
解得.