精品解析：山西省晋城市多校2024-2025学年高一上学期期中学业测试数学试题

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注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm的黑色笔迹签字笔写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则集合可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据交集的运算逐个选项判断即可.
【详解】A､B选项中，均有，不合题意；
D选项中，，不合题意；
只有C选项中，，符合题意.
故选：C
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】若，则，反之不成立，如：，满足，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
3. 已知集合，在下列四个图形中，能表示集合到的函数关系的有（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数定义，结合题目条件，明确定义域与值域，可得答案.
【详解】由函数定义可知，符合中任意元素在中有唯一确定的元素与之相对应的图象是（2）（4）.
故选：C.
4. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题目中的定义域以及根号的性质，建立不等式组，可得答案.
【详解】由函数定义域为，得，解得，
所以函数定义域为.
故选：D.
5. 如图所示的直角梯形区域（其中，），该区域需要通过光线扫描进行分析.扫描光线所在的直线方程为从0变化到2即完成一次扫描.设扫描过程中梯形区域被光线扫过的区域（即光线左方图形）的面积为.则当时，关于的函数可表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据图象，利用分割图象方法，结合面积计算，可得答案.
【详解】由题意得，当光线在区间移动时，面积由左侧的三角形和右侧的矩形组成，
左侧三角形面积为1，右侧矩形面积为，左右面积相加知B正确
故选：B.
6. 已知函数的图象向左平移2个单位后关于轴对称，当时，恒成立，设，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的对称性与单调性判断即可.
【详解】由题意知的图象关于直线对称，且当时，是减函数，
又，所以，即.
故选：D.
7. 美国数学家柯布（）和经济学家保罗道格拉斯（PaulH.Duglas）通过研究1899年至1922年美国制造业，提出了著名的柯布-道格拉斯生产函数，即，其中代表产出，和分别代表资本投入和劳动投入（均为正数），（可视为正值常数）代表综合技术水平，是资本投入与产出的弹性系数，则以下说法正确的是（ ）
A. 若各项投入保持不变，则产出是关于的减函数
B. 存在，使资本投入不变而劳动投入增至原先的8倍时，产出仅增至原先的2倍
C. 存在，使各项投入都增至原先的倍时，产出增至原先的倍数超过
D. 将资本投入和劳动投入分别改变成原来的倍与倍，则产出不发生变化
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定的信息，按各选项的条件，结合函数计算判断得解.
【详解】记产出､资本投入､劳动投入未改变前分别为，改变后的产出为.
对于A，，其单调性取决于与1的大小关系，而这个大小关系并不确定，A错误；
对于B，令，解得，B正确；
对于C，，不成立，C错误；
对于D，令，解得，
即仅当时，产出不变，当时，产出发生改变，D错误.
故选：B
8. 若存在，且，使不等式能成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先将不等式恒成立转化为求的最小值，利用“1”的变换，展开后利用基本不等求最小值.
【详解】因为能成立，所以.
又因为，所以.
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以，即，所以或.
故选：D
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】取特殊值计算可判断AD错误，根据不等式性质以及作差法计算可判断BC正确.
【详解】对于选项A，当时，，故A错误；
对于选项B，由题意知，在的两边同时乘以正数，可得，故B正确；
对于选项，故C正确；
对于选项D，当时，，故D错误；
故选：BC.
10. 已知幂函数的图象关于轴对称，.下列表述正确的是（ ）
A.
B. 函数在上单调递减
C. 函数恒过定点
D. 当时，函数在的值域为
【答案】BD
【解析】
【分析】根据幂函数定义计算可得，函数在0,+∞上单调递减，可得A错误，即B正确；
由指数函数图象性质可得恒过定点判断C，由指数函数单调性计算可得D正确.
【详解】因为函数为幂函数，
所以，解得或，
当时，，图象不关于轴对称，故舍去，
当时，，图象关于轴对称，
所以符合题意，故A不正确，
易知时在0,+∞上单调递减，即B正确；
由指数函数性质可得函数，易知恒过定点，故C不正确；
易知当时，函数在为减函数，
所以其值域为，故D正确.
故选：BD.
11. 已知是方程的两个根，其中，不等式的解集是，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系可判断AC正确，再由根与系数关系可判断B正确，D错误.
【详解】不等式的解集是，其中，所以，
且是一元二次方程的解，
所以，
所以，故A，C正确；
又因为，所以D错误；
又方程的解是1和，且不等式的解集为，
所以，B正确.
故选：ABC.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 小王同学经过化简，得到恒等式，则__________.
【答案】##
【解析】
【分析】将根式化为分数指数幂，利用待定系数法计算即可.
【详解】根据题意，故.
故答案为：
13. 若“”是假命题，则实数的最大值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定由不等式恒成立计算可得结果.
【详解】因为“”为假命题，所以它的否定“”为真命题，
所以对恒成立，即，所以.
即实数的最大值为.
故答案为：
14. 已知，函数则关于的方程的实根的个数为__________.；若关于的方程有7个不同的实根，则正数的取值范围是__________.
【答案】 ①. ②. 1,+∞
【解析】
【分析】由函数解析式作图，结合图象可得空一的答案；根据图象化简方程，分情况讨论，可得答案.
【详解】的大致图象如图所示：
方程的根为，共3个.
由可得，或，或，
由图象可得，显然有3个根，显然有1个根，
又有7个不同的实根，
所以必有3个根，而，
为使有3个根，只需，解得或（舍）.
故答案为：；1,+∞.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知集合.
（1）当时，求①，②；
（2）若集合为非空集合，且“”是“”的必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）①；②{或}；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用交集、补集、并集的概念运算即可；
（2）根据必要条件的概念转化集合间的基本关系，计算参数即可.
【小问1详解】
当时，，
，
而{或}，则{或}；
【小问2详解】
由“”是“”的必要条件，知，
，解得.
实数的取值范围.
16. 已知是定义在上的奇函数，且当时，.
（1）若，求函数的解析式；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）代入到解析式求解，再根据奇函数性质求解即可；
（2）根据奇函数的性质可得分段函数，再求解即可.
【小问1详解】
由题意知，所以，
又，故，
因此时，，
当时，，由题意得，
又是定义在上的奇函数，所以.
所以当时，，
又，故，
所以函数的解析式为
【小问2详解】
当时，，
又，所以，故.
故得
故或，
综上，实数的取值范围为.
17. 已知函数，
（1）若，且函数在1,+∞上单调递增，求实数的取值范围；
（2）若，讨论关于的不等式的解集.
【答案】（1）；
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）分和两种情况讨论即可，当时，需满足二次函数开口向上且对称轴小于等于1即可；
（2）因式分解并讨论两个根的大小即可.
【小问1详解】
当时，，不满足函数在1,+∞单调递增；
当时，若在1,+∞上单调递增，则需满足解得，
综上，故所求实数的取值范围为；
【小问2详解】
不等式可化为，即，
①当时，，不等式的解集为；
②当，即时，不等式的解集为或}；
③当，即时，不等式的解集为，
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或}.
18. 已知指数函数与二次函数.
（1）求函数；
（2）当时，求函数的值域；
（3）设函数，若，且的最小值为，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据指数函数的定义可得出关于的等式或不等式，解出的值，即可得出函数的解析式；
（2）当时，，求出函数在区间上的值域，结合指数函数的单调性可求得函数的值域；
（3）分、两种情况讨论，分析函数hx的单调性，结合函数hx的最小值为，求出的值，根据最值的定义可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围.
【小问1详解】
因为函数为指数函数，所以，解得，
所以函数.
【小问2详解】
当时，，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，当时，，
当时，；当时，，则，
所以当时，，
又函数是增函数，则，
所以函数的值域是.
【小问3详解】
因为，
当时，有，函数上单调递减，在上单调递增，
则，
这与hx的最小值为矛盾，故不成立；
当时，有，
当时，单调递减，故hx在不可能有最小值，
当时，单调递增，故hx的最小值为，
令，即，解得，
又时，，解得.
所以实数的取值范围是.
19. 空集或非空有限集合所含的元素个数通常被称为集合的基数或势，记作.如.非空集合满足，若实数，则必有.
（1）求的最小值并给出证明；
（2）若定义在上的函数对任何都有，求的解析式；
（3）若，对于（2）中的函数，判断并证明的单调性.
【答案】（1），证明见解析
（2）
（3）在上单调递增，证明见解析
【解析】
【分析】（1）设，逐步推导出集合中可能存在的元素，再根据元素的互异性判断合理性，由此可求；
（2）将（1）中集合的三个元素代入可得三个方程，通过对三个方程联立计算可得的解析式；
（3）先表示出，对其结果进行因式分解，代入的范围判断出的正负，由此可知的单调性.
【小问1详解】
由于是非空集合，设实数，
根据题意，，进而，
再根据题意，由，进而
又方程，即无实数解，
故是彼此不相等的三个实数，
故中至少有个元素，即最小值为.
【小问2详解】
由（1）知，若，则.
根据题意，，①
将①式中的所有全部代换为，得，②
将①式中的所有全部代换为，得，③
①③②，得，
整理得，
所以的解析式为.
【小问3详解】
是上的单调递增函数；
，且，
则
，
由知，
故，即，
因此在上单调递增.
【点睛】思路点睛：用定义法证明函数单调性的步骤：
（1）设：设两个自变量，并给定大小关系；
（2）作差：计算；
（3）变形：将的结果化简至容易判断出正负；
（4）判号：根据的化简结果并结合的大小，判断出的正负；
（5）下结论：说明的单调性.