江苏省连云港市灌云县第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

这是一份江苏省连云港市灌云县第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1.已知数列2， 6，2 2， 10，⋯， 2n+2，⋯，则 46是这个数列的( )
A. 第20项B. 第21项C. 第22项D. 第19项
2.已知经过点A(1,2)，B(m,4)的直线l的斜率为2，则m的值为
A. -1B. 0C. 1D. 2
3.等比数列{an}中，a2=4，a3⋅a4=128，则a5的值为( )
A. 8B. 16C. 32D. 64
4.若双曲线经过点(- 3,6)，且它的两条渐近线方程是y=±3x，则此双曲线的离心率是( )
A. 103B. 113C. 2 33D. 143
5.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法⋅商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球⋯⋯，设各层球数构成一个数列{an}，则a21=( )
A. 58B. 225C. 210D. 231
6.已知圆C的圆心在直线x-y-5=0上，并且圆C经过圆x2+y2+6x-4=0与圆x2+y2+ 6y-28=0 的交点，则圆C的圆心是( )
A. (92,-12)B. (12,-92)C. (1,-4)D. (4,-1)
第5题图
7.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，a2=2，an+1+an=3n，则( )
A. S19=300B. n为奇数时，Sn=3n2+14
C. S31=720D. a4=6
8.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且AF⊥BF，∠ABF=π12，则椭圆的离心率为( )
A. 63B. 12C. 33D. 22
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.数列{an}的前n项和为Sn，则下列说法正确的是( )
A. 若an=-2n+13，则数列{an}的前5项和S5最大
B. 若等比数列{an}是递减数列，则公比q满足00
D. 已知{an}为等差数列，则数列{Snn}也是等差数列
10.下列结论正确的是( )
A. l1:x+2a-1y+2a-3=0,l2:ax+3y+a2+4=0，若l1//l2，则a=-1或a=32
B. 直线kx-y-k-1=0和以M(-3,1),N(3,2)为端点的线段相交，则k≤-12或k≥32
C. 直线x+y-1=0与直线2x+2y+1=0之间的距离是 2
D. 与点A-1,2的距离为1，且与点B3,-1的距离为4的直线共有3条
11.下列结论中正确的是( )
A. 已知直线l过点P(2,3)，且在x，y轴上截距相等，则直线l的方程为x+y-5=0
B. 已知圆O:x2+y2=4和圆C:(x-2)2+(y-3)2=1，则圆O和圆C有4条公切线
C. 若直线l:x-y+m=0上存在点P，过点P作圆O:x2+y2=4的切线PA，PB，切点分别
为A，B，使得 ∠APB为直角，则实数m的取值范围为[-4,4]
D. 已知圆C:(x-6)2+y2=9，点M的坐标为(2,4)，过点N(4,0)作直线l交圆C于A，B两点，
则|MA+MB|的取值范围是[8,12]
三、填空题（共3小题）
12．直线l过点（﹣1，1）且与直线x+2y＝0平行，则直线l与x，y轴围成的三角形面积为 ．
13．已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差d=-34，当|an|最小时，n＝ ．
14．已知双曲线C：x216-y29=1的左顶点为A，直线l过A且与C的一条渐近线平行．若C的右支上一点P到l的距离恒大于m，则m的最大值为 ．
二．解答题（共5小题）
15．已知直线l过点M（1，2），O为坐标原点．
（1）若l与OM垂直，求直线l的方程； （2）若O到l的距离为1，求直线l的方程．
16．已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝110，且a1，a2，a4成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn=an+3an，求数列{bn}的前n项和．
17．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点是圆x2+y2＝1与x轴的一个交点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若过点（4，0）的直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，O为坐标原点，证明：OA⊥OB．
18．设数列{an}满足：a1＝1，且对任意的n∈N*，都有an+1﹣1＝2an．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{(2n-1)(an+1)}的前n项和Sn．
19．若椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）过抛物线x2＝4y的焦点，且与双曲线x2﹣y2＝1有相同的焦点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）不过原点O的直线l：y＝x+m与椭圆E交于A，B两点，当△OAB的面积为 3 4 时，求直线l的方程．
灌云县第一中学高二年级上学期期中考试
参考答案和解析
单选题
1~8.C,D,C,A, D,C,B,A;
二、多选题
9~11. CD,BD,BCD
三、填空题
12，14 ；13，16 ；14，125 。
四、解答题
15．【解答】解：（1）由题意得kOM=2，则直线l的斜率k＝﹣12，………………………3分
所以直线l的方程为y﹣2＝﹣12（x﹣1），即x+2y﹣5＝0，…………………………………6分
（2）当直线l斜率存在时，设l方程为y﹣1＝k（x﹣2），即kx﹣y+1﹣2k＝0，………7分
由d=|1-2k|k2+1=1，……………………………………………………………………………8分
解得k=34，直线l方程为3x-4y+5＝0，……………………………………………………10分
当直线l斜率不存在时，l的方程为x＝1，原点到l的距离为1，………………………12分
综上，直线l的方程为3x-4y+5＝0或x＝1．………………………………………13分
【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线垂直的性质的合理运用．
16．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d≠0．……………………………………2分
由S10＝110，且a1，a2，a4成等比数列，……………………………………………………3分
得110=10a1+10×92d(a1+d)2=a1(a1+3d)，解得：a1=2d=2，…………………………………………………7分
∴数列{an}的通项公式为an＝2n；…………………………………………………………8分
（2）由（1）知an＝2n，
得bn=an+3an=2n+32n=2n+9n，………………………………………………………10分
∴Tn=b1+b2+⋯+bn=2×(1+2+⋯+n)+(9+92+⋯+9n)……………………………12分
=2×n(n+1)2+9(1-9n)1-9…………………………………………………13分
=n(n+1)+9n+1-98．……………………………………15分
【点评】本题考查等差数列、等比数列的通项公式与前n项和，考查运算求解能力，是中档题．
17【解答】解：（1）由题意知，圆与x轴的交点分别为（-1，0），（1，0），……………2分
则抛物线的焦点为（1，0），…………………………………………………3分
所以p2=1，即p＝2，…………………………………………………………4分
所以抛物线方程为y2＝4x；……………………………………………………5分
（2）证明：设直线为x＝my+4，……………………………………………………………7分
联立方程x=my+4y2=4x，…………………………………………………………8分
有y2﹣4my﹣16＝0，…………………………………………………………10分
所以y1+y2＝4m，y1y2＝﹣16，………………………………………………12分
所以OA→⋅OB→=x1x2+y1y2=(y1y2)216+y1y2=0，…………………………………14分
所以OA⊥OB．………………………………………………………………15分
【点评】本题考查了直线与抛物线，第（2）问中将直线方程设为x＝my+8就避免了讨论斜率存在与不存在这两种情况，属于基础题．
18．【解答】解：（1）由题意可得an+1+1＝2（an+1），……………………………………2分
又an+1≠0，……………………………………………………………3分
则an+1+1an+1=2，其中a1+1＝2，…………………………………………5分
所以数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，………………6分
则an+1=2×2n-1，即an=2n-1，n∈N*；……………………………8分
由（1）可知 an=2n-1，令bn＝(2n-1)(an+1)，则bn=(2n-1)⋅2n，……………9分
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①Sn= b1 + b2 + b3+ ⋯ + bn-1 +bn
=1×2+3×22+5×23+ ⋯ +(2n-3)⋅2n-1+(2n-1)⋅2n，………………10分
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②2Sn= 1×22+3×23+5×24+ ⋯ +(2n-3)⋅2n+(2n-1)⋅2n+1，12分
两式相减可得-Sn=2+23+24+⋯+2n+1-(2n-1)⋅2n+1=-6+(3-2n)2n+1，…………16分
所以Sn=(2n-3)⋅2n+1+6．……………………………………………………17分
【点评】本题主要考查了数列的递推关系及等比数列的通项公式在数列项的求解中的应用，还考查了错位相减求和方法的应用，属于中档题．
【解答】解：（1）抛物线x2＝4y的焦点为（0，1），………………………………1分
双曲线x2﹣y2＝1的焦点为(±2，0)，……………………………2分
依题意可得，b=1c=2，则a2＝b2+c2＝3，…………………………4分
所以椭圆C的方程为x23+y2=1；…………………………………5分
（2）根据题意，设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立直线与椭圆方程，可得x2+3y2=3y=x+m，
消去y并整理可得，4x2+6mx+3m2﹣3＝0，………………………………7分
则x1+x2=-3m2，x1x2=3m2-34，…………………………………………9分
由弦长公式可得，
|AB|=2×(-3m2)2-4×3m2-34=22⋅2-3m2，………………………11分
又点O到直线AB的距离为d=|m|1+1=22|m|，…………………………13分
依题意，令S△AOB=12d|AB|
=12×22×|m|×22×2-3m2
=14-3(m2-2)2+12=34，…………………………15分
当且仅当m2-2=±1，即m=±3或者m=±1（符合题意）时，
△AOB的面积取得最大值为34此时直线l的方程为y=x±3 或y=x±1
即x-y±3 =0或x-y±1=0…………………………………………17分
【点评】本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．