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沪科新版八年级上册数学《第13章 三角形中的边角关系、命题与证明》单元测试卷（安徽省合肥四十五中）
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沪科新版八年级上册《第13章 三角形中的边角关系、命题与证明》2023年单元测试卷（安徽省合肥四十五中）一、选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ）A．2，5，6 B．2，4，7 C．3，4，8 D．8，12，202．（4分）在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则此三角形是（ ）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形3．（4分）将一副三角板按如图所示的方式放置，图中∠CAF的大小等于（ ）A．50° B．60° C．75° D．85°4．（4分）在△ABC中，画出边AC上的高，画法正确的是（ ）A． B． C． D．5．（4分）如图，△ABC中，AD为中线，AB＝8，AC＝6，则△ABD与△ACD的周长之差为（ ）A．1 B．2 C．3 D．46．（4分）一个等腰三角形的两边长分别为2，4，则它的周长为（ ）A．8 B．10 C．9 D．8或107．（4分）已知a，b，c是三角形的三条边，则|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|的化简结果为（ ）A．0 B．2a+2b C．2c D．2a+2b﹣2c8．（4分）如图，在△ABC中，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，若∠1﹣∠2＝60°，则∠B的度数是（ ）A．30° B．32° C．35° D．60°9．（4分）下列命题中，是假命题的是（ ）A．点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度 B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．平行于同一条直线的两条直线也互相平行 D．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补10．（4分）如图，∠AOB＝70°，点M，N分别在OA，OB上运动（不与点O重合），ME平分∠AMN，ME的反向延长线与∠MNO的平分线交于点F，在M，N的运动过程中，∠F的度数（ ）A．变大 B．变小 C．等于55° D．等于35°二、填空题（每小题5分，共20分）11．（5分）命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是： ．12．（5分）如图：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F等于 度．13．（5分）已知：如图所示，在△ABC中，点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且，则阴影部分的面积为 cm2．14．（5分）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P，△ABC的外角∠MBC与∠NCB的平分线交于点Q，延长线段BP，QC交于点E．（1）若∠A＝30°，则∠E的度数为 ．（2）在△BQE中，若存在一个内角等于另一个内角的3倍，则∠A的度数为 ．三.解答题（第15-18题，每题8分；第19-20题，每题10分；第21-22题，每题12分，第23题14分，共90分）15．（8分）请指出下列命题的题设和结论，并判断它们的真假，若是假命题，请举出一个反例．（1）如果a2＝b2，那么a＝b；（2）绝对值相等的两个数相等．16．（8分）完成下面推理过程．如图：已知，∠A＝112°，∠ABC＝68°，BD⊥DC于点D，EF⊥DC于点F，求证：∠1＝∠2．证明：∵∠A＝112°，∠ABC＝68°（已知）∴∠A+∠ABC＝180°∴AD∥BC（ ）∴∠1＝ （ ）∵BD⊥DC，EF⊥DC（已知）∴∠BDF＝90°，∠EFC＝90°（ ）∴∠BDF＝∠EFC＝90°∴BD∥EF（ ）∴∠2＝ （ ）∴∠1＝∠2（ ）17．（8分）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线把三角形的周长分为24cm和30cm的两部分，求三角形各边的长．18．（8分）如图，已知D为△ABC内任一点，（1）证明：∠BDC＞∠A；（2）若BD和CD分别是△ABC的角平分线，求证：．19．（10分）如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上．（1）画出△ABC中边BC上的高AD；（2）画出△ABC中边AC上的中线BE；（3）直接写出△ABE的面积为 ．20．（10分）如图，直角三角形ABC中，∠B＝30°，CE平分∠ACB，∠EAD＝2∠CAF．求证：CE∥FD．21．（12分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是一条角平分线，它们相交于点P．已知∠APE＝55°，∠AEP＝80°，求∠BAC的度数．22．（12分）现有一张△ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点，若沿直线DE折叠，折成如图的形状．（1）若∠1＝25°、∠2＝35°，求∠A的度数；（2）猜想∠1、∠2和∠A的数量关系，并说明理由．23．（14分）（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）如图②，AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求∠P的度数；（3）如图③，直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的数量关系并证明． 沪科新版八年级上册《第13章 三角形中的边角关系、命题与证明》2023年单元测试卷（安徽省合肥四十五中）参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分）1．【分析】根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、∵2+5＝7＞6，∴能作为三角形的三边长，符合题意；B、∵2+4＝6＜7，∴不能作为三角形的三边长，不符合题意；C、∵3+4＝7＜8，∴不能作为三角形的三边长，不符合题意；D、∵8+12＝20，∴不能作为三角形的三边长，不符合题意．故选：A．【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键．2．【分析】用∠A表示出∠B、∠C，然后利用三角形的内角和等于180°列方程求解即可．【解答】解：∵∠A＝∠B＝∠C，∴∠B＝2∠A，∠C＝3∠A，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A+2∠A+3∠A＝180°，解得∠A＝30°，所以，∠B＝2×30°＝60°，∠C＝3×30°＝90°，所以，此三角形是直角三角形．故选：B．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，熟记定理并用∠A列出方程是解题的关键．3．【分析】利用三角形内角和定理和三角形的外角的性质计算即可．【解答】解：∵∠DAC＝∠DFE+∠C＝60°+45°＝105°，∴∠CAF＝180°﹣∠DAC＝75°，故选：C．【点评】本题考查了三角形外角的性质，三角形的内角和，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键．4．【分析】根据高的定义对各个图形观察后解答即可．【解答】解：根据三角形高线的定义，AC边上的高是过点B向AC作垂线段垂足为E，纵观各图形，A、B、D选项都不符合高线的定义，C选项符合高线的定义．故选：C．【点评】本题主要考查了三角形的高线的定义，是基础题，熟练掌握概念是解题的关键，三角形的高线初学者出错率较高，需正确区分，严格按照定义作图．5．【分析】根据三角形的中线的定义得到BD＝DC，再根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵AD为△ABC的中线，∴BD＝DC，∴△ABD与△ACD的周长之差为：（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+DC）＝AB﹣AC＝8﹣6＝2，故选：B．【点评】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．6．【分析】分4是腰长与底边两种情况，再根据三角形任意两边之和大于第三边讨论求解即可．【解答】解：①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、2，4+2＞4；能组成三角形；所以，周长为10；②4是底边时，三角形的三边分别为2、2、4，∵2+2＝4，∴不能组成三角形，综上所述，周长为10．故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于要分情况讨论．7．【分析】根据三角形三边满足的条件是，两边和大于第三边，两边的差小于第三边，根据此来确定绝对值内的式子的正负，从而化简计算即可．【解答】解：∵a、b、c是三角形的三边长，∴a+b﹣c＞0，c﹣a﹣b＜0，∴原式＝a+b﹣c+c﹣a﹣b＝0，故选：A．【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．8．【分析】由折叠的性质得到∠D＝∠B，再利用外角性质即可求出所求角的度数．【解答】解：如图所示：由折叠的性质得：∠D＝∠B，根据外角性质得：∠1＝∠3+∠B，∠3＝∠2+∠D，∴∠1＝∠2+∠D+∠B＝∠2+2∠B，∴∠1﹣∠2＝2∠B＝60°．∴∠B＝30°，故选：A．【点评】本题考查三角形内角和定理，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．【分析】利用点到直线的距离的定义、平行线的判定方法及性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度，正确，是真命题，不符合题意；B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确，是真命题，不符合题意；C、平行于同一条直线的两条直线也互相平行，正确，是真命题，不符合题意；D、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故原命题错误，是假命题，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度较小．10．【分析】根据角平分线的定义以及三角形内角和定理进行计算即可．【解答】解：∵ME平分∠AMN，NF平分∠MNO，∴∠AME＝∠EMN＝∠AMN，∠MNF＝∠FNO＝∠MNO，又∵∠AMN是△MNO的外角，∴∠AMN＝∠MNO+∠O，即2∠EMN＝2∠MNF+∠O，∴∠EMN＝∠MNF+∠O，又∵∠EMN是△MNF的外角，∴∠EMN＝∠MNF+∠F，∴∠MNF+∠F＝∠MNF+∠O，∴∠F＝∠O＝×70°＝35°，故选：D．【点评】本题考查角平分线，三角形的内角和，理解角平分线的定义，掌握三角形内角和定理及推论是解决问题的前提．二、填空题（每小题5分，共20分）11．【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题．【解答】解：因为“直角三角形两锐角互余”的题设是“三角形是直角三角形”，结论是“两个锐角互余”，所以逆命题是：“如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”．故答案为：如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形．【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．12．【分析】由题意知，这个图形可以看成是两个三角形叠放在一起的，根据三角形内角和定理可知．【解答】解：∵∠A+∠E+∠C＝180°，∠D+∠B+∠F＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．【点评】本题利用了转化思想，把图形转化为两个三角形后根据三角形内角和定理求解．13．【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．【解答】解：∵F为CE中点，∴，∵E为AD中点，∴，∴，故答案为：4．【点评】本题考查了三角形中线的性质和三角形面积的应用，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．14．【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠ABC+∠ACB，即可求出∠BPC的度数，再利用平角的定义求出∠PCE的度数，根据三角形外角的性质可求解；（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解；（3）在△BQE中，由于∠Q＝90°﹣∠A，求出∠E＝∠A，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ＝3∠E＝90°；②∠EBQ＝3∠Q＝90°；③∠Q＝3∠E；④∠E＝3∠Q；分别列出方程，求解即可．【解答】解：（1）∵∠A＝30°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣30°＝150°，∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∴，∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝＝，∵CQ平分∠BCN，∴∠BCQ＝∠ACN，∵∠ACB+∠BCN＝180°，∴∠QCP＝90°，∴∠PCE＝90°，∴∠E＝∠BPC﹣∠PCE＝15°．故答案为：15°；（3）如图，延长BC至F，∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E，又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A；∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ＝∠ABC+∠MBC＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况：①∠EBQ＝3∠E＝90°，则∠E＝30°，∠A＝2∠E＝60°；②∠EBQ＝3∠Q＝90°，则∠Q＝30°，∠E＝60°，∠A＝2∠E＝120°；③∠Q＝3∠E，则∠E＝22.5°，解得∠A＝45°；④∠E＝3∠Q，则∠E＝67.5°，解得∠A＝135°．综上所述，∠A的度数是60°或120°或45°或135°．故答案为：60°或120°或45°或135°．【点评】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．三.解答题（第15-18题，每题8分；第19-20题，每题10分；第21-22题，每题12分，第23题14分，共90分）15．【分析】（1）由平方的定义，即可判断；（2）由绝对值的意义，即可判断．【解答】解：（1）命题的题设是a2＝b2，结论是a＝b，是假命题，反例：若a＝3，b＝﹣3，a2＝b2，但a≠b；（2）命题的题设是两个数的绝对值相等，结论是这两个数相等，是假命题，反例：6和﹣6的绝对值相等，但6≠﹣6．【点评】本题考查命题与定理，绝对值，平方的概念，关键是掌握绝对值的意义，平方的概念．16．【分析】根据推理过程，填上依据即平行线的性质或者判定．【解答】证明：∵∠A＝112°，∠ABC＝68°（已知），∴∠A+∠ABC＝180°．∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．∴∠1＝∠3 （两直线平行，内错角相等 ）．∵BD⊥DC，EF⊥DC（已知），∴∠BDF＝90°，∠EFC＝90°（垂直的定义）．∴∠BDF＝∠EFC＝90°．∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行）．∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等）．∴∠1＝∠2（等量代换）．故答案为：同旁内角互补，两直线平行；∠3；两直线平行，内错角相等；垂直的定义；同位角相等，两直线平行；∠3；两直线平行，同位角相等；等量代换．【点评】本题考查了平行线的性质或判断，题目难度不大，由平行得到角间关系是平行线的性质，由角间关系得到平行，是平行线的判定．17．【分析】方法1、设AB＝AC＝2x cm，BC＝y cm，进而得出AD＝CD＝AC＝x cm，再分两种情况，建立方程组求解，最后判定能否构成三角形．方法2、设AD＝CD＝a，进而表示出AB＝AC＝2a cm，BC＝54﹣4a，再分两种情况，建立方程求解，即可得出结论．【解答】解法1：设AB＝AC＝2x cm，BC＝y cm，∵点D是AC的中点，∴AD＝CD＝AC＝x cm，∵AC边上的中线把三角形的周长分为24cm和30cm的两部分，∴①，解得，，∴AB＝AC＝2x＝16cm，BC＝22cm，能构成三角形，②，解得，，∴AB＝AC＝2x＝20cm，BC＝14cm，能构成三角形，即：三角形的各边是16cm，16cm，22cm或20cm，20cm，14cm．解法2、∵BD是△ABC的中线，∴AC＝CD＝2AD，设AD＝CD＝a cm，∴AB＝AC＝2a cm，∵AC边上的中线把三角形的周长分为24cm和30cm的两部分，∴BC＝24+30﹣4a＝54﹣4a，①当AB+AD＝24cm时，∴2a+a＝24，∴a＝8，∴AB＝AC＝2a＝16cm，BC＝54﹣4a＝54﹣32＝22cm，②当AB+AD＝30cm时，∴2a+a＝30，∴a＝10，∴AB＝AC＝2a＝20cm，BC＝54﹣4a＝54﹣40＝14cm，即：三角形的各边是16cm，16cm，22cm或20cm，20cm，14cm．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的周长，分类讨论的思想，解本题的关键是建立方程组求解．18．【分析】（1）先延长BD交AC于E，构造三角形的外角，再利用三角形外角的性质进行证明；（2）由三角形的内角和可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，再由角平分线的定义可求得触须CBD+∠BCD＝ （∠ABC+∠ACB），再次利用三角形的内角和即可求证．【解答】证明：（1）延长BD交AC于E，如图，∵∠CED是△ABE的外角，∠BDC是△CDE的外角，∴∠A+∠ABE＝∠CED，∠BDC＝∠CED+∠DCE，∴∠A＜∠CED，∠CED＜∠BDC，∴∠BDC＞∠A；（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵BD和CD分别是△ABC的角平分线，∴∠CBD＝∠ABC，∠BCD＝∠ACB，∴∠CBD+∠BCD＝（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣∠A，∵∠BDC＝180°﹣（∠CBD+∠BCD），∴∠BDC＝180°﹣（90°﹣∠A）＝90°+∠A．【点评】本题主要考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是熟记相应的知识并灵活运用．19．【分析】（1）根据三角形高线的定义画出图形即可；（2）根据三角形中线的定义画出图形即可；（3）根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：（1）如图所示，线段AD即为所求；（2）如图所示，线段BE即为所求；（3）S△ABC＝BC•AD＝4×4＝8．∴△ABE的面积＝S△ABC＝4，故答案为：4．【点评】此题主要考查了基本作图，根据题意利用网格画出符合题意的图形是解题关键．20．【分析】根据直角三角形ABC中，∠B＝30°，得∠BCA＝60°，由CE平分∠ACB，得∠ECA＝30°，由∠EAD＝2∠CAF，得∠ECA＝∠CAF，即可求得答案．【解答】证明：∵△ABC为直角三角形且∠CAB＝90°，∠B＝30°，∴∠BCA＝60°，又∵CE平分∠ACB，∴∠ECA＝30°，∵∠EAD＝2∠CAF且∠CAB＝90°∴∠CAF＝30°，∴∠ECA＝∠CAF，∴CE∥FD．【点评】本题考查了三角形内角和定理和平行线的判定，掌握三角形内角和定理是解题的关键．21．【分析】在Rt△CPD中，求得∠PCD的度数，利用角平分线的定义求得∠ACE的度数，在△ACE中，利用三角形内角和定理即可解决问题．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠PDC＝90°，∵∠CPD＝∠APE＝55°，∴∠PCD＝90°﹣55°＝35°，∵CE是一条角平分线，∴∠ACE＝∠PCD＝35°，∴∠BAC＝180°﹣35°﹣80°＝65°．【点评】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．22．【分析】先根据折叠得：∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，由两个平角∠ADB和∠AEC得：∠1+∠2等于360°与四个折叠角的差，化简得结果；【解答】解：（1）由折叠得：∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，∠AED+∠A′ED＝180°﹣∠1＝180°﹣25°＝155°，∠ADE+∠A′DE＝180°﹣∠2＝180°﹣35°＝145°，∴∠ADE+∠AED＝（155°+145°）÷2＝150°，∴∠A＝180°﹣150°＝30°；（2）猜想：∠1+∠2＝2∠A，理由是：由折叠得：∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，∵∠ADB+∠AEC＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣∠ADE﹣∠A′DE﹣∠AED﹣∠A′ED＝360°﹣2∠ADE﹣2∠AED，∴∠1+∠2＝2（180°﹣∠ADE﹣∠AED）＝2∠A，∴∠1+∠2＝2∠A．【点评】本题是折叠变换问题，掌握两种思路：①一类是利用外角定理得结论；②一类是利用平角定义和多边形内角和相结合得结论是解题的关键．23．【分析】（1）根据三角形的内角和等于180°，列式整理即可得证；（2）根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据（1）的结论列出整理即可得解；（3）表示出∠PAD 和∠PCD，再根据（1）的结论列出等式并整理即可得解；【解答】（1）证明：∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，∴∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD，∵∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）解：∵AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，∴∠BAP＝∠PAD，∠BCP＝∠PCD，由（1）的结论得，∠P+∠BCP＝∠ABC+∠BAP①，∠P+∠PAD＝∠ADC+∠PCD②，①+②得，2∠P+∠BCP+∠PAD＝∠BAP+∠PCD+∠ABC+∠ADC，∴2∠P＝∠ABC+∠ADC，∵∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，∴2∠P＝36°+16°＝52°，∴∠P＝26°．答：∠P的度数为26°．（3）解：，理由如下：∵直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠PAB＝∠PAD，∠PCB＝∠PCE，∴2∠PAB+∠B＝180°﹣2∠PCB+∠D，∴180°﹣2（∠PAB+∠PCB）+∠D＝∠B，∵∠P+∠PAD＝∠PCB+∠AOC＝∠PCB+∠B+2∠PAD，∴∠P＝∠PAD+∠B+∠PCB＝∠PAB+∠B+∠PCB，∴∠PAB+∠PCB＝∠P﹣∠B，∴180°﹣2（∠P﹣∠B）+∠D＝∠B，即，【点评】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理解决问题，属于中考常考题型．
沪科新版八年级上册《第13章 三角形中的边角关系、命题与证明》2023年单元测试卷（安徽省合肥四十五中）一、选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ）A．2，5，6 B．2，4，7 C．3，4，8 D．8，12，202．（4分）在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则此三角形是（ ）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形3．（4分）将一副三角板按如图所示的方式放置，图中∠CAF的大小等于（ ）A．50° B．60° C．75° D．85°4．（4分）在△ABC中，画出边AC上的高，画法正确的是（ ）A． B． C． D．5．（4分）如图，△ABC中，AD为中线，AB＝8，AC＝6，则△ABD与△ACD的周长之差为（ ）A．1 B．2 C．3 D．46．（4分）一个等腰三角形的两边长分别为2，4，则它的周长为（ ）A．8 B．10 C．9 D．8或107．（4分）已知a，b，c是三角形的三条边，则|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|的化简结果为（ ）A．0 B．2a+2b C．2c D．2a+2b﹣2c8．（4分）如图，在△ABC中，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，若∠1﹣∠2＝60°，则∠B的度数是（ ）A．30° B．32° C．35° D．60°9．（4分）下列命题中，是假命题的是（ ）A．点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度 B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．平行于同一条直线的两条直线也互相平行 D．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补10．（4分）如图，∠AOB＝70°，点M，N分别在OA，OB上运动（不与点O重合），ME平分∠AMN，ME的反向延长线与∠MNO的平分线交于点F，在M，N的运动过程中，∠F的度数（ ）A．变大 B．变小 C．等于55° D．等于35°二、填空题（每小题5分，共20分）11．（5分）命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是： ．12．（5分）如图：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F等于 度．13．（5分）已知：如图所示，在△ABC中，点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且，则阴影部分的面积为 cm2．14．（5分）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P，△ABC的外角∠MBC与∠NCB的平分线交于点Q，延长线段BP，QC交于点E．（1）若∠A＝30°，则∠E的度数为 ．（2）在△BQE中，若存在一个内角等于另一个内角的3倍，则∠A的度数为 ．三.解答题（第15-18题，每题8分；第19-20题，每题10分；第21-22题，每题12分，第23题14分，共90分）15．（8分）请指出下列命题的题设和结论，并判断它们的真假，若是假命题，请举出一个反例．（1）如果a2＝b2，那么a＝b；（2）绝对值相等的两个数相等．16．（8分）完成下面推理过程．如图：已知，∠A＝112°，∠ABC＝68°，BD⊥DC于点D，EF⊥DC于点F，求证：∠1＝∠2．证明：∵∠A＝112°，∠ABC＝68°（已知）∴∠A+∠ABC＝180°∴AD∥BC（ ）∴∠1＝ （ ）∵BD⊥DC，EF⊥DC（已知）∴∠BDF＝90°，∠EFC＝90°（ ）∴∠BDF＝∠EFC＝90°∴BD∥EF（ ）∴∠2＝ （ ）∴∠1＝∠2（ ）17．（8分）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线把三角形的周长分为24cm和30cm的两部分，求三角形各边的长．18．（8分）如图，已知D为△ABC内任一点，（1）证明：∠BDC＞∠A；（2）若BD和CD分别是△ABC的角平分线，求证：．19．（10分）如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上．（1）画出△ABC中边BC上的高AD；（2）画出△ABC中边AC上的中线BE；（3）直接写出△ABE的面积为 ．20．（10分）如图，直角三角形ABC中，∠B＝30°，CE平分∠ACB，∠EAD＝2∠CAF．求证：CE∥FD．21．（12分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是一条角平分线，它们相交于点P．已知∠APE＝55°，∠AEP＝80°，求∠BAC的度数．22．（12分）现有一张△ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点，若沿直线DE折叠，折成如图的形状．（1）若∠1＝25°、∠2＝35°，求∠A的度数；（2）猜想∠1、∠2和∠A的数量关系，并说明理由．23．（14分）（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）如图②，AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求∠P的度数；（3）如图③，直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的数量关系并证明． 沪科新版八年级上册《第13章 三角形中的边角关系、命题与证明》2023年单元测试卷（安徽省合肥四十五中）参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分）1．【分析】根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、∵2+5＝7＞6，∴能作为三角形的三边长，符合题意；B、∵2+4＝6＜7，∴不能作为三角形的三边长，不符合题意；C、∵3+4＝7＜8，∴不能作为三角形的三边长，不符合题意；D、∵8+12＝20，∴不能作为三角形的三边长，不符合题意．故选：A．【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键．2．【分析】用∠A表示出∠B、∠C，然后利用三角形的内角和等于180°列方程求解即可．【解答】解：∵∠A＝∠B＝∠C，∴∠B＝2∠A，∠C＝3∠A，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A+2∠A+3∠A＝180°，解得∠A＝30°，所以，∠B＝2×30°＝60°，∠C＝3×30°＝90°，所以，此三角形是直角三角形．故选：B．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，熟记定理并用∠A列出方程是解题的关键．3．【分析】利用三角形内角和定理和三角形的外角的性质计算即可．【解答】解：∵∠DAC＝∠DFE+∠C＝60°+45°＝105°，∴∠CAF＝180°﹣∠DAC＝75°，故选：C．【点评】本题考查了三角形外角的性质，三角形的内角和，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键．4．【分析】根据高的定义对各个图形观察后解答即可．【解答】解：根据三角形高线的定义，AC边上的高是过点B向AC作垂线段垂足为E，纵观各图形，A、B、D选项都不符合高线的定义，C选项符合高线的定义．故选：C．【点评】本题主要考查了三角形的高线的定义，是基础题，熟练掌握概念是解题的关键，三角形的高线初学者出错率较高，需正确区分，严格按照定义作图．5．【分析】根据三角形的中线的定义得到BD＝DC，再根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵AD为△ABC的中线，∴BD＝DC，∴△ABD与△ACD的周长之差为：（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+DC）＝AB﹣AC＝8﹣6＝2，故选：B．【点评】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．6．【分析】分4是腰长与底边两种情况，再根据三角形任意两边之和大于第三边讨论求解即可．【解答】解：①4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、2，4+2＞4；能组成三角形；所以，周长为10；②4是底边时，三角形的三边分别为2、2、4，∵2+2＝4，∴不能组成三角形，综上所述，周长为10．故选：B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于要分情况讨论．7．【分析】根据三角形三边满足的条件是，两边和大于第三边，两边的差小于第三边，根据此来确定绝对值内的式子的正负，从而化简计算即可．【解答】解：∵a、b、c是三角形的三边长，∴a+b﹣c＞0，c﹣a﹣b＜0，∴原式＝a+b﹣c+c﹣a﹣b＝0，故选：A．【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．8．【分析】由折叠的性质得到∠D＝∠B，再利用外角性质即可求出所求角的度数．【解答】解：如图所示：由折叠的性质得：∠D＝∠B，根据外角性质得：∠1＝∠3+∠B，∠3＝∠2+∠D，∴∠1＝∠2+∠D+∠B＝∠2+2∠B，∴∠1﹣∠2＝2∠B＝60°．∴∠B＝30°，故选：A．【点评】本题考查三角形内角和定理，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．【分析】利用点到直线的距离的定义、平行线的判定方法及性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度，正确，是真命题，不符合题意；B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确，是真命题，不符合题意；C、平行于同一条直线的两条直线也互相平行，正确，是真命题，不符合题意；D、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故原命题错误，是假命题，符合题意．故选：D．【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度较小．10．【分析】根据角平分线的定义以及三角形内角和定理进行计算即可．【解答】解：∵ME平分∠AMN，NF平分∠MNO，∴∠AME＝∠EMN＝∠AMN，∠MNF＝∠FNO＝∠MNO，又∵∠AMN是△MNO的外角，∴∠AMN＝∠MNO+∠O，即2∠EMN＝2∠MNF+∠O，∴∠EMN＝∠MNF+∠O，又∵∠EMN是△MNF的外角，∴∠EMN＝∠MNF+∠F，∴∠MNF+∠F＝∠MNF+∠O，∴∠F＝∠O＝×70°＝35°，故选：D．【点评】本题考查角平分线，三角形的内角和，理解角平分线的定义，掌握三角形内角和定理及推论是解决问题的前提．二、填空题（每小题5分，共20分）11．【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题．【解答】解：因为“直角三角形两锐角互余”的题设是“三角形是直角三角形”，结论是“两个锐角互余”，所以逆命题是：“如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”．故答案为：如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形．【点评】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．12．【分析】由题意知，这个图形可以看成是两个三角形叠放在一起的，根据三角形内角和定理可知．【解答】解：∵∠A+∠E+∠C＝180°，∠D+∠B+∠F＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．【点评】本题利用了转化思想，把图形转化为两个三角形后根据三角形内角和定理求解．13．【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．【解答】解：∵F为CE中点，∴，∵E为AD中点，∴，∴，故答案为：4．【点评】本题考查了三角形中线的性质和三角形面积的应用，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键．14．【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠ABC+∠ACB，即可求出∠BPC的度数，再利用平角的定义求出∠PCE的度数，根据三角形外角的性质可求解；（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解；（3）在△BQE中，由于∠Q＝90°﹣∠A，求出∠E＝∠A，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ＝3∠E＝90°；②∠EBQ＝3∠Q＝90°；③∠Q＝3∠E；④∠E＝3∠Q；分别列出方程，求解即可．【解答】解：（1）∵∠A＝30°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣30°＝150°，∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∴，∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝＝，∵CQ平分∠BCN，∴∠BCQ＝∠ACN，∵∠ACB+∠BCN＝180°，∴∠QCP＝90°，∴∠PCE＝90°，∴∠E＝∠BPC﹣∠PCE＝15°．故答案为：15°；（3）如图，延长BC至F，∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，∴∠ACF＝2∠ECF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，即∠ACF＝∠ABC+2∠E，又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∴∠A＝2∠E，即∠E＝∠A；∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ＝∠ABC+∠MBC＝（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况：①∠EBQ＝3∠E＝90°，则∠E＝30°，∠A＝2∠E＝60°；②∠EBQ＝3∠Q＝90°，则∠Q＝30°，∠E＝60°，∠A＝2∠E＝120°；③∠Q＝3∠E，则∠E＝22.5°，解得∠A＝45°；④∠E＝3∠Q，则∠E＝67.5°，解得∠A＝135°．综上所述，∠A的度数是60°或120°或45°或135°．故答案为：60°或120°或45°或135°．【点评】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．三.解答题（第15-18题，每题8分；第19-20题，每题10分；第21-22题，每题12分，第23题14分，共90分）15．【分析】（1）由平方的定义，即可判断；（2）由绝对值的意义，即可判断．【解答】解：（1）命题的题设是a2＝b2，结论是a＝b，是假命题，反例：若a＝3，b＝﹣3，a2＝b2，但a≠b；（2）命题的题设是两个数的绝对值相等，结论是这两个数相等，是假命题，反例：6和﹣6的绝对值相等，但6≠﹣6．【点评】本题考查命题与定理，绝对值，平方的概念，关键是掌握绝对值的意义，平方的概念．16．【分析】根据推理过程，填上依据即平行线的性质或者判定．【解答】证明：∵∠A＝112°，∠ABC＝68°（已知），∴∠A+∠ABC＝180°．∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．∴∠1＝∠3 （两直线平行，内错角相等 ）．∵BD⊥DC，EF⊥DC（已知），∴∠BDF＝90°，∠EFC＝90°（垂直的定义）．∴∠BDF＝∠EFC＝90°．∴BD∥EF（同位角相等，两直线平行）．∴∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等）．∴∠1＝∠2（等量代换）．故答案为：同旁内角互补，两直线平行；∠3；两直线平行，内错角相等；垂直的定义；同位角相等，两直线平行；∠3；两直线平行，同位角相等；等量代换．【点评】本题考查了平行线的性质或判断，题目难度不大，由平行得到角间关系是平行线的性质，由角间关系得到平行，是平行线的判定．17．【分析】方法1、设AB＝AC＝2x cm，BC＝y cm，进而得出AD＝CD＝AC＝x cm，再分两种情况，建立方程组求解，最后判定能否构成三角形．方法2、设AD＝CD＝a，进而表示出AB＝AC＝2a cm，BC＝54﹣4a，再分两种情况，建立方程求解，即可得出结论．【解答】解法1：设AB＝AC＝2x cm，BC＝y cm，∵点D是AC的中点，∴AD＝CD＝AC＝x cm，∵AC边上的中线把三角形的周长分为24cm和30cm的两部分，∴①，解得，，∴AB＝AC＝2x＝16cm，BC＝22cm，能构成三角形，②，解得，，∴AB＝AC＝2x＝20cm，BC＝14cm，能构成三角形，即：三角形的各边是16cm，16cm，22cm或20cm，20cm，14cm．解法2、∵BD是△ABC的中线，∴AC＝CD＝2AD，设AD＝CD＝a cm，∴AB＝AC＝2a cm，∵AC边上的中线把三角形的周长分为24cm和30cm的两部分，∴BC＝24+30﹣4a＝54﹣4a，①当AB+AD＝24cm时，∴2a+a＝24，∴a＝8，∴AB＝AC＝2a＝16cm，BC＝54﹣4a＝54﹣32＝22cm，②当AB+AD＝30cm时，∴2a+a＝30，∴a＝10，∴AB＝AC＝2a＝20cm，BC＝54﹣4a＝54﹣40＝14cm，即：三角形的各边是16cm，16cm，22cm或20cm，20cm，14cm．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的周长，分类讨论的思想，解本题的关键是建立方程组求解．18．【分析】（1）先延长BD交AC于E，构造三角形的外角，再利用三角形外角的性质进行证明；（2）由三角形的内角和可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，再由角平分线的定义可求得触须CBD+∠BCD＝ （∠ABC+∠ACB），再次利用三角形的内角和即可求证．【解答】证明：（1）延长BD交AC于E，如图，∵∠CED是△ABE的外角，∠BDC是△CDE的外角，∴∠A+∠ABE＝∠CED，∠BDC＝∠CED+∠DCE，∴∠A＜∠CED，∠CED＜∠BDC，∴∠BDC＞∠A；（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵BD和CD分别是△ABC的角平分线，∴∠CBD＝∠ABC，∠BCD＝∠ACB，∴∠CBD+∠BCD＝（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣∠A，∵∠BDC＝180°﹣（∠CBD+∠BCD），∴∠BDC＝180°﹣（90°﹣∠A）＝90°+∠A．【点评】本题主要考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是熟记相应的知识并灵活运用．19．【分析】（1）根据三角形高线的定义画出图形即可；（2）根据三角形中线的定义画出图形即可；（3）根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：（1）如图所示，线段AD即为所求；（2）如图所示，线段BE即为所求；（3）S△ABC＝BC•AD＝4×4＝8．∴△ABE的面积＝S△ABC＝4，故答案为：4．【点评】此题主要考查了基本作图，根据题意利用网格画出符合题意的图形是解题关键．20．【分析】根据直角三角形ABC中，∠B＝30°，得∠BCA＝60°，由CE平分∠ACB，得∠ECA＝30°，由∠EAD＝2∠CAF，得∠ECA＝∠CAF，即可求得答案．【解答】证明：∵△ABC为直角三角形且∠CAB＝90°，∠B＝30°，∴∠BCA＝60°，又∵CE平分∠ACB，∴∠ECA＝30°，∵∠EAD＝2∠CAF且∠CAB＝90°∴∠CAF＝30°，∴∠ECA＝∠CAF，∴CE∥FD．【点评】本题考查了三角形内角和定理和平行线的判定，掌握三角形内角和定理是解题的关键．21．【分析】在Rt△CPD中，求得∠PCD的度数，利用角平分线的定义求得∠ACE的度数，在△ACE中，利用三角形内角和定理即可解决问题．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠PDC＝90°，∵∠CPD＝∠APE＝55°，∴∠PCD＝90°﹣55°＝35°，∵CE是一条角平分线，∴∠ACE＝∠PCD＝35°，∴∠BAC＝180°﹣35°﹣80°＝65°．【点评】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．22．【分析】先根据折叠得：∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，由两个平角∠ADB和∠AEC得：∠1+∠2等于360°与四个折叠角的差，化简得结果；【解答】解：（1）由折叠得：∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，∠AED+∠A′ED＝180°﹣∠1＝180°﹣25°＝155°，∠ADE+∠A′DE＝180°﹣∠2＝180°﹣35°＝145°，∴∠ADE+∠AED＝（155°+145°）÷2＝150°，∴∠A＝180°﹣150°＝30°；（2）猜想：∠1+∠2＝2∠A，理由是：由折叠得：∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，∵∠ADB+∠AEC＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣∠ADE﹣∠A′DE﹣∠AED﹣∠A′ED＝360°﹣2∠ADE﹣2∠AED，∴∠1+∠2＝2（180°﹣∠ADE﹣∠AED）＝2∠A，∴∠1+∠2＝2∠A．【点评】本题是折叠变换问题，掌握两种思路：①一类是利用外角定理得结论；②一类是利用平角定义和多边形内角和相结合得结论是解题的关键．23．【分析】（1）根据三角形的内角和等于180°，列式整理即可得证；（2）根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据（1）的结论列出整理即可得解；（3）表示出∠PAD 和∠PCD，再根据（1）的结论列出等式并整理即可得解；【解答】（1）证明：∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，∴∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD，∵∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）解：∵AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，∴∠BAP＝∠PAD，∠BCP＝∠PCD，由（1）的结论得，∠P+∠BCP＝∠ABC+∠BAP①，∠P+∠PAD＝∠ADC+∠PCD②，①+②得，2∠P+∠BCP+∠PAD＝∠BAP+∠PCD+∠ABC+∠ADC，∴2∠P＝∠ABC+∠ADC，∵∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，∴2∠P＝36°+16°＝52°，∴∠P＝26°．答：∠P的度数为26°．（3）解：，理由如下：∵直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠PAB＝∠PAD，∠PCB＝∠PCE，∴2∠PAB+∠B＝180°﹣2∠PCB+∠D，∴180°﹣2（∠PAB+∠PCB）+∠D＝∠B，∵∠P+∠PAD＝∠PCB+∠AOC＝∠PCB+∠B+2∠PAD，∴∠P＝∠PAD+∠B+∠PCB＝∠PAB+∠B+∠PCB，∴∠PAB+∠PCB＝∠P﹣∠B，∴180°﹣2（∠P﹣∠B）+∠D＝∠B，即，【点评】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理解决问题，属于中考常考题型．
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