浙江省杭州市西湖区西溪中学、吉鸿中学 2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷

这是一份浙江省杭州市西湖区西溪中学、吉鸿中学 2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列四个图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1，2，4B．4，5，9C．4，6，8D．5，5，11
3．（3分）若a＜b，则下列各式中一定成立的是（ ）
A．a+1＞b+1B．a﹣1＞b﹣1C．﹣3a＞﹣3bD．＞
4．（3分）若等腰三角形的一个内角是40°，则它的顶角是（ ）
A．100°B．40°C．100°或40°D．60°
5．（3分）在数轴上表示不等式3x﹣2＞7的解，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（3分）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（ ）
A．∠B＝∠CB．BE＝CDC．BD＝CED．AD＝AE
7．（3分）如图，用尺规作出了∠NCB＝∠AOC，作图痕迹中弧FG是（ ）
A．以点C为圆心，OD为半径的弧
B．以点C为圆心，DM为半径的弧
C．以点E为圆心，OD为半径的弧
D．以点E为圆心，DM为半径的弧
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，CD⊥AB于D，则CD的长是（ ）
A．5B．7C．D．
9．（3分）如图，三角形纸片ABC中，∠B＝2∠C，把三角形纸片沿直线AD折叠，点B落在AC边上的E处，那么下列等式成立的是（ ）
A．AC＝AD+BDB．AC＝AB+BDC．AC＝AD+CDD．AC＝AB+CD
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA、BC于M、N两点；②分别以M、N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线BP，交边AC于D点．若AB＝10，BC＝6，则线段CD的长为（ ）
A．3B．C．D．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）请用不等式表示“x的4倍与y的差大于5”： ．
12．（3分）在Rt△ABC中，一个锐角为25°，则另一个锐角为 度．
13．（3分）命题“两个全等三角形面积相等”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）．
14．（3分）不等式3x+6≥0的负整数解是 ．
15．（3分）如图，已知O为△ABC两条内角平分线的交点，且∠A＝50°，则∠BOC的度数为 °．
16．（3分）如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝8，射线CD⊥BC于点C，P是射线CD上一动点，F是线段AB上一动点，当EP+PF的值最小时，BF＝9，则AC的长为 ．
三、解答题（本题有8小题，共72分，各小题都必须写出解答过程）
17．（6分）解下列不等式：
（1）﹣x≤2；
（2）4x+5＞2（x+1）．
18．（6分）如图，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，∠B＝40°．求∠C的度数．
19．（8分）下面是小明解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：去分母，得3x≥1﹣2（8+x）……第一步
去括号，得3x≥1﹣16﹣2x……第二步
移项，得3x+2x≤1﹣16……第三步
合并同类项，得5x≤﹣15……第四步
两边都除以5，得x≤﹣3……第五步
（1）小明的解答过程是从第 步开始出错的，这一步正确的结果为 ，此步骤的依据是 ．
（2）请你写出此题正确的解答过程，并将解表示在数轴上．
20．（8分）如图，在△ABC中，点D是BC中点，DE⊥AB，DF⊥AC，且DE＝DF．求证：△ABC是等腰三角形．
21．（10分）某校暑假准备组织该校的“三好学生”参加夏令营，由1名老师带队．
甲旅行社说：“若老师买全票一张，则学生可享受半价优惠．”
乙旅行社说：“包括老师在内都6折优惠”
若全票价是1200元，则：
（1）设三好学生人数为x人，则参加甲旅行社的费用是 元；参加乙旅行社的费用是 元．
（2）当学生人数取何值时，选择参加甲旅行社比较合算？
22．（10分）如图，在△ABC中，AD是高线，CE是中线，DC＝BE，DG⊥CE于点G．
（1）求证：G是CE的中点．
（2）若∠B＝70°，求∠BCE的度数．
23．（12分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．
（1）在图1中以格点为顶点画一个面积为9的等腰直角三角形；
（2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、、；
（3）如图3，点A、B、C是格点，求∠ABC的度数．
24．（12分）（1）如图1，已知点B、A、D在同一条直线上，△ABC和△ADE都是等边三角形，连结BE、CD交于点O，且分别交AC、AE于点F、G．求证：△BAE≌△CAD；
（2）若将图1中的△EAD绕点A旋转，得到图2，使得点B、A、D不在同一条直线上，△ABC和△ADE都是等边三角形，∠BOC的度数变化吗？若不变，请求出∠BOC的度数，若变化，请说明理由；
（3）如图3，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝7，以AC为边向外作等边△ACD，直接写出BD的长．
2024-2025学年浙江省杭州市西湖区西溪中学、吉鸿中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列四个图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】轴对称图形．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，对选项进行分析即可．
【解答】解：B，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故不符合题意；
A选项中的图形能找到一条（或多条）直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故符合题意．
故选：A．
2．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1，2，4B．4，5，9C．4，6，8D．5，5，11
【考点】三角形三边关系．
【答案】C
【分析】根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵1+2＝3＜4，∴不能构成三角形，故本选项错误；
B、∵4+5＝9，∴不能构成三角形，故本选项错误；
C、∵6﹣4＜8＜6+4，∴能构成三角形，故本选项正确；
D、∵5+5＝10＜11，∴不能构成三角形，故本选项错误．
故选：C．
3．（3分）若a＜b，则下列各式中一定成立的是（ ）
A．a+1＞b+1B．a﹣1＞b﹣1C．﹣3a＞﹣3bD．＞
【考点】不等式的性质．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．可得答案．
【解答】解：A、两边都加1，不等号的方向不变，故A不符合题意；
B、两边都减1，不等号的方向不变，故B不符合题意；
C、两边都乘以﹣3，不等号的方向改变，故C符合题意；
D、两边都除以2，不等号的方向不变，故D不符合题意；
故选：C．
4．（3分）若等腰三角形的一个内角是40°，则它的顶角是（ ）
A．100°B．40°C．100°或40°D．60°
【考点】等腰三角形的性质．
【答案】C
【分析】已知等腰三角形的一个内角为40°，根据等腰三角形的性质可分情况解答：当40°是顶角或者40°是底角两种情况．
【解答】解：此题要分情况考虑：
①40°是它的顶角；
②40°是它的底角，则顶角是180°﹣40°×2＝100°．
所以这个等腰三角形的顶角为40°或100°．
故选：C．
5．（3分）在数轴上表示不等式3x﹣2＞7的解，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集．
【答案】C
【分析】先解不等式，再根据解集的表示方法判定即可．
【解答】解：不等式3x﹣2＞7的解集为：x＞3．
在数轴上表示为：
故选：C．
6．（3分）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（ ）
A．∠B＝∠CB．BE＝CDC．BD＝CED．AD＝AE
【考点】全等三角形的判定．
【答案】B
【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB＝AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A为公共角，
A、如添加∠B＝∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；
B、如添BE＝CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件；
C、如添BD＝CE，等量关系可得AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
D、如添AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD．
故选：B．
7．（3分）如图，用尺规作出了∠NCB＝∠AOC，作图痕迹中弧FG是（ ）
A．以点C为圆心，OD为半径的弧
B．以点C为圆心，DM为半径的弧
C．以点E为圆心，OD为半径的弧
D．以点E为圆心，DM为半径的弧
【考点】作图—基本作图．
【答案】D
【分析】运用作一个角等于已知角的方法可得答案．
【解答】解：根据作一个角等于已知角可得弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧．
故选：D．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，CD⊥AB于D，则CD的长是（ ）
A．5B．7C．D．
【考点】勾股定理．
【答案】C
【分析】首先利用勾股定理计算出AB的长，再根据三角形的面积公式计算出CD的长即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝5，
∵×AC×BC＝×CD×AB，
∴×3×4＝×5×CD，
解得CD＝．
故选：C．
9．（3分）如图，三角形纸片ABC中，∠B＝2∠C，把三角形纸片沿直线AD折叠，点B落在AC边上的E处，那么下列等式成立的是（ ）
A．AC＝AD+BDB．AC＝AB+BDC．AC＝AD+CDD．AC＝AB+CD
【考点】等腰三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．
【答案】B
【分析】根据题意证得AB＝AE，BD＝DE，DE＝EC．据此可以对以下选项进行一一判定．
【解答】解：∵△ADE是由△ADB沿直线AD折叠而成，
∴AB＝AE，BD＝DE，∠B＝∠AED．
又∵∠B＝2∠C，∠AED＝∠C+∠EDC（三角形外角定理），
∴∠EDC＝∠C（等量代换），
∴DE＝EC（等角对等边）．
A、根据图示知：AC＝AE+EC＝AE+BD，则当AD≠AE时，AC≠AD+BD；故本选项错误；
B、根据图示知：AC＝AE+EC，因为AE+EC＝AB+BD，所以AC＝AB+BD；故本选项正确；
C、在△ADC中，由三角形的三边关系知AC＜AD+CD；故本选项错误；
D、根据图示知：AC＝AE+EC，因为AB+CD＝AE+CD，所以当EC≠CD时，AC≠AB+CD；故本选项错误；
故选：B．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，按以下步骤作图：①以B为圆心，任意长为半径作弧，分别交BA、BC于M、N两点；②分别以M、N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线BP，交边AC于D点．若AB＝10，BC＝6，则线段CD的长为（ ）
A．3B．C．D．
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；勾股定理．
【答案】A
【分析】利用基本作图得BD平分∠ABC，过D点作DE⊥AB于E，如图，根据角平分线的性质得到则DE＝DC，再利用勾股定理计算出AC＝8，然后利用面积法得到•DE×10+•CD×6＝×6×8，最后解方程即可．
【解答】解：由作法得BD平分∠ABC，
过D点作DE⊥AB于E，如图，则DE＝DC，
在Rt△ABC中，AC＝＝＝8，
∵S△ABD+S△BCD＝S△ABC，
∴•DE×10+•CD×6＝×6×8，
即5CD+3CD＝24，
∴CD＝3．
故选：A．
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）请用不等式表示“x的4倍与y的差大于5”： 4x﹣y＞5 ．
【考点】由实际问题抽象出一元一次不等式．
【答案】见试题解答内容
【分析】x的4倍为4x，与y的差为4x﹣y，差大于5即4x﹣y＞5，据此可得．
【解答】解：不等式表示“x的4倍与y的差大于5”为4x﹣y＞5．
故答案为：4x﹣y＞5．
12．（3分）在Rt△ABC中，一个锐角为25°，则另一个锐角为 65 度．
【考点】三角形内角和定理．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据在直角三角形中两个锐角互余．
【解答】解：另一个锐角＝90°﹣25°＝65°．
13．（3分）命题“两个全等三角形面积相等”的逆命题是 假 命题（填“真”或“假”）．
【考点】命题与定理．
【答案】假．
【分析】写出这个命题的逆命题，根据全等三角形的判定判断即可．
【解答】解：命题“两个全等三角形面积相等”的逆命题是如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等，是假命题；
故答案为：假．
14．（3分）不等式3x+6≥0的负整数解是 ﹣2，﹣1 ．
【考点】一元一次不等式的整数解．
【答案】﹣2，﹣1．
【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的负整数即可．
【解答】解：不等式的解集是x≥﹣2，
故不等式3x+6≥0的负整数解为﹣2，﹣1．
故答案为：﹣2，﹣1．
15．（3分）如图，已知O为△ABC两条内角平分线的交点，且∠A＝50°，则∠BOC的度数为 100 °．
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．
【答案】100．
【分析】连接OA，根据线段垂直平分线的性质得到OA＝OB＝OC，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：如图，连接OA，
∵O为△ABC三边垂直平分线的交点，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠OBA＝∠OAB，∠OCA＝∠OAC，
∴∠OBA+∠OCA＝∠BAC＝50°，
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝130°，
∴∠OBC+∠OCB＝130°﹣50°＝80°，
∴∠BOC＝180°﹣80°＝100°，
故答案为：100．
16．（3分）如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝8，射线CD⊥BC于点C，P是射线CD上一动点，F是线段AB上一动点，当EP+PF的值最小时，BF＝9，则AC的长为 13 ．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；等边三角形的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据等边三角形的性质得到AC＝BC，∠B＝60°，作点E关于直线CD的对称点G，过G作GF⊥AB于F，交CD于P，则此时，EP+PF的值最小，根据直角三角形的性质得到BG＝2BF＝18，求得EG＝10，于是得到结论．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠B＝60°，
作点E关于直线CD的对称点G，过G作GF⊥AB于F，交CD于P，
则此时，EP+PF的值最小，
∵∠B＝60°，∠BFG＝90°，
∴∠G＝30°，
∵BF＝9，
∴BG＝2BF＝18，
∴EG＝10，
∵CE＝CG＝5，
∴AC＝BC＝CE+BE＝5+8＝13，
故答案为：13．
三、解答题（本题有8小题，共72分，各小题都必须写出解答过程）
17．（6分）解下列不等式：
（1）﹣x≤2；
（2）4x+5＞2（x+1）．
【考点】解一元一次不等式．
【答案】（1）x≥﹣2；
（2）x＞﹣．
【分析】（1）根据解一元一次不等式的方法解答即可；
（2）根据解一元一次不等式的方法解答即可．
【解答】解：（1）﹣x≤2，
系数化为1，得：x≥﹣2；
（2）4x+5＞2（x+1），
去括号，得：4x+5＞2x+2，
移项及合并同类项，得：2x＞﹣3，
系数化为1，得：x＞﹣．
18．（6分）如图，AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，∠B＝40°．求∠C的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】证明△ABD≌△ACD（SAS），即可得出结论．
【解答】解：在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴∠B＝∠C，
∵∠B＝40°，
∴∠C＝40°，
即∠C的度数为40°．
19．（8分）下面是小明解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：去分母，得3x≥1﹣2（8+x）……第一步
去括号，得3x≥1﹣16﹣2x……第二步
移项，得3x+2x≤1﹣16……第三步
合并同类项，得5x≤﹣15……第四步
两边都除以5，得x≤﹣3……第五步
（1）小明的解答过程是从第 一 步开始出错的，这一步正确的结果为 3x≥6﹣2（8+x） ，此步骤的依据是 不等式的性质2 ．
（2）请你写出此题正确的解答过程，并将解表示在数轴上．
【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．
【答案】（1）一；3x≥6﹣2（8+x）；不等式的性质2；
（2）解一元一次不等式的过程见解析，数轴见解析．
【分析】（1）根据解一元一次不等式的基本步骤解答即可；
（2）求出不等式的解集，并在数轴上表示出来即可．
【解答】解：（1）小明的解答过程是从第一步开始出错的，这一步正确的结果为3x≥6﹣2（8+x），此步骤的依据是不等式的性质2，
故答案为：一；3x≥6﹣2（8+x）；不等式的性质2；
（2），
3x≥6﹣2（8+x），
3x≥6﹣16﹣2x，
3x+2x≥6﹣16，
5x≥﹣10，
x≥﹣2，
在数轴上表示为：
．
20．（8分）如图，在△ABC中，点D是BC中点，DE⊥AB，DF⊥AC，且DE＝DF．求证：△ABC是等腰三角形．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据HL证明△BDE≌△CDF，进而解答即可．
【解答】证明：∵点D是BC中点，
∴BD＝CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
在Rt△BDE与Rt△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（HL），
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形．
21．（10分）某校暑假准备组织该校的“三好学生”参加夏令营，由1名老师带队．
甲旅行社说：“若老师买全票一张，则学生可享受半价优惠．”
乙旅行社说：“包括老师在内都6折优惠”
若全票价是1200元，则：
（1）设三好学生人数为x人，则参加甲旅行社的费用是 1200+600x 元；参加乙旅行社的费用是 720（x+1） 元．
（2）当学生人数取何值时，选择参加甲旅行社比较合算？
【考点】一元一次不等式的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）假设三好学生人数为x人，
对甲旅行社：“若老师买全票一张，则学生可享受半价优惠”．则参加甲旅行社的费用为1200+1200×0.5×x；
对乙旅行社：“包括老师在内都6折优惠”．则参加乙旅行社的费用为1200×0.6×（x+1）；
（2）若使参加甲旅行社比较合算，也就是说：甲旅行社的费用﹣乙旅行社的费用＜0，解不等式即可知学生人数取何值时合算．
【解答】解：（1）设三好学生人数为x人
由题意得，参加甲旅行社的费用是1200+1200×0.5×x＝1200+600x；
参加乙旅行社的费用是1200×0.6×（x+1）＝720（x+1）．
（2）由题意得 1200+600x﹣720（x+1）＜0
解不等式得 x＞4
答：（1）1200+600x，720（x+1）．
（2）当学生人数多于4人时，选择参加甲旅行社比较合算．
22．（10分）如图，在△ABC中，AD是高线，CE是中线，DC＝BE，DG⊥CE于点G．
（1）求证：G是CE的中点．
（2）若∠B＝70°，求∠BCE的度数．
【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接DE，根据直角三角形的性质得到DE＝AB＝BE，根据等腰三角形的三线合一证明结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠BDE＝∠B＝70°，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【解答】（1）证明：连接DE，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵E是AB的中点，
∴DE＝AB＝BE，
∵DC＝BE，
∴DC＝DE，
∵DG⊥CE，
∴G是CE的中点．
（2）解：∵DE＝BE，∠B＝70°，
∴∠BDE＝∠B＝70°，
∵DE＝DC，
∴∠BCE＝∠DEC＝∠BDE＝35°．
23．（12分）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．
（1）在图1中以格点为顶点画一个面积为9的等腰直角三角形；
（2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、、；
（3）如图3，点A、B、C是格点，求∠ABC的度数．
【考点】作图—应用与设计作图．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
（3）45°．
【分析】（1）由题意知，面积为9的等腰直角三角形的边长为3，由，构造如图1的等腰三角形即可；
（2）由题意知，，，构造如图2的三角形即可；
（3）如图3，连接AC，由勾股定理得，，，由AC2+BC2＝20＝AB2，可知△ABC是等腰直角三角形，进而可求∠ABC的度数．
【解答】解：（1）由题意知，面积为9的等腰直角三角形的边长为3，
∵（3）2＝32+32，
∴构造如图1的等腰三角形；
（2）由题意知，，，
∴构造如图2的三角形；
（3）如图3，连接AC，
由勾股定理得，，，
∵AC2+BC2＝20＝AB2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC的度数为45°．
24．（12分）（1）如图1，已知点B、A、D在同一条直线上，△ABC和△ADE都是等边三角形，连结BE、CD交于点O，且分别交AC、AE于点F、G．求证：△BAE≌△CAD；
（2）若将图1中的△EAD绕点A旋转，得到图2，使得点B、A、D不在同一条直线上，△ABC和△ADE都是等边三角形，∠BOC的度数变化吗？若不变，请求出∠BOC的度数，若变化，请说明理由；
（3）如图3，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝7，以AC为边向外作等边△ACD，直接写出BD的长．
【考点】几何变换综合题．
【答案】（1）见解析；
（2）∠BOC的度数不变，∠BOC＝60°；
（3）．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AC＝AB，AE＝AD，∠CAB＝∠DAE＝60°，求得∠BAE＝∠CAD，根据全等三角形的判定定理得到结论；
（2）根据等边三角形的性质得到AC＝AB，AE＝AD，∠CAB＝∠DAE＝60°，求得∠BAE＝∠CAD，根据全等三角形的性质得到∠ABE＝∠ACD，根据三角形的内角和定理即可得到结论；
（3）以AB为边在△ABC的外部作等边三角形ABE，得到BE＝AB＝4，∠ABE＝60°，由（2）知，△AEC≌△ABD，根据全等三角形的性质得到CE＝BD，过E作EF⊥BC交CB的延长线于F，根据直角三角形的性质得到BF＝，EF＝BE＝2，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AC＝AB，AE＝AD，∠CAB＝∠DAE＝60°，
∴∠BAE＝∠CAD，
在△BAE与△CAD中，
，
∴△BAE≌△CAD（SAS）；
（2）解：∠BOC的度数不变，
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AC＝AB，AE＝AD，∠CAB＝∠DAE＝60°，
∴∠BAE＝∠CAD，
在△BAE与△CAD中，
，
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴∠ABE＝∠ACD，
∵∠AFB＝∠OFC，
∴∠BOC＝∠BAC＝60°；
（3）解：以AB为边在△ABC的外部作等边三角形ABE，
∴BE＝AB＝4，∠ABE＝60°，
由（2）知，△AEC≌△ABD，
∴CE＝BD，
过E作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∵∠ABC＝60°，
∴∠EBF＝60°，
∴∠BEF＝30°，
∴BF＝，EF＝BE＝2，
∵BC＝7，
∴CF＝9，
∴CE＝＝，
∴BD＝CE＝．
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