江苏省盐城市五校联考2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

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(总分：150分 考试时间：120分钟)
注意事项:
1.本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分.
2.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上.
3.作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用 2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损.
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为（ ）
A. y＝x＋3B. y＝－x＋1
C. y＝x＋2D. y＝－x－2
【答案】A
【解析】
【分析】利用直线的两点式有，整理即可得直线方程.
【详解】由两点式得：直线方程，整理得y＝x＋3.
故选：A.
2. 圆O1：和圆O2：的位置关系是
A 相离B. 相交C. 外切D. 内切
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：由题意可知圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，又，所以圆和圆的位置关系是相交，故选B．
考点：圆与圆的位置关系．
3. 已知，则直线经过 （ ）
A. 第一、二、三象限B. 第一、三、四象限
C. 第一、二、四象限D. 第二、三、四象限
【答案】B
【解析】
【分析】将直线化为斜截式，即可求解.
【详解】由于，故直线可变形为，
故，因此直线经过第一、三、四象限，
故选：B
4. 开普勒定律揭示了行星环绕太阳运动的规律，其第一定律指出所有行星绕太阳的轨道都是椭圆，太阳中心在椭圆的一个焦点上.已知某行星在绕太阳的运动过程中，轨道的近日点（距离太阳最近的点）距太阳中心1.47亿公里，远日点（距离太阳最远的点）距太阳中心1.52亿千里，则该行星运动轨迹的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知列出方程组，求出的值，即可得出答案.
【详解】设椭圆的长轴长为，焦距为，.
由题意知，解得，
则该行星运行轨迹的离心率.
故选：B.
5. 设，方程所表示的曲线是（ ）
A. 焦点在x轴上的椭圆B. 焦点在x轴上的双曲线
C. 焦点在y轴上的椭圆D. 焦点在y轴上的双曲线
【答案】C
【解析】
【分析】求出值的范围，把曲线化为标准形式，判断曲线的形状．
【详解】若，则，
曲线,即，
，
表示焦点在轴上的椭圆．
故选：
6. 若，，成等差数列，则的值等于（ ）
A. 1B. 0或32C. 32D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意得到，解方程得到答案.
【详解】，，成等差数列，即.
故，解得或（舍去），故.
故选：
【点睛】本题考查了根据等差数列求值，意在考查学生的计算能力.
7. 已知双曲线的右焦点为，动点在直线上，线段交于点，过作的垂线，垂足为，则的值为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设出点的坐标为，由已知，用表示出和PF，进而得到的值.
【详解】由双曲线的对称性，不妨设点在轴上及其上方，如图，

依题意，，设，则，
由得，
所以，
所以.
故选：D．
8. 已知抛物线：的焦点为，过点的直线与相交于，两点，则的最小值为（ ）
A. B. 4C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】设过点的直线的方程为：，与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系求出的值，再根据抛物线的定义知，，从而求出的最小值即可.
【详解】
由抛物线的方程为，焦点坐标为F0,1，
设直线的方程为：，
联立方程，整理得，则，
故，
又，，
则，
当且仅当时等号成立，故的最小值为.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知直线，下列说法正确的是（ ）
A. 直线过定点
B. 当时，关于轴的对称直线为
C. 直线一定经过第四象限
D. 点到直线的最大距离为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据即可求解定点判断A，根据对称即可求解B，当时，直线，即可求解C，根据到定点的距离即可求解D.
【详解】对于选项A，由直线，得所以直线过定点，所以选项A正确；
对于选项B，当时，直线，所以关于轴的对称直线为，所以选项B正确；
对于选项C，当时，直线，不经过第四象限，所以选项C错误；
对于选项D，点到定点的距离为到直线的最大距离为，所以选项D正确．
故选：ABD．
10. 已知圆心为圆与点，则（ ）
A. 圆的半径为2B. 点在圆外
C. 点在圆内D. 点与圆上任一点距离的最小值为
【答案】BD
【解析】
【分析】将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，求出，即可判断.
【详解】因为，即，
所以圆心为，半径，故A错误；
又，所以点在圆外，故B正确，C错误；
因为，所以点与圆上任一点距离的最小值为，故D正确.
故选：BD
11. 已知抛物线y2=2pxp>0的焦点为，AB是经过抛物线焦点的弦，是线段AB的中点，经过点作抛物线的准线的垂线，垂足分别是，其中交抛物线于点，连接，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. Q是线段的一个三等分点D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用抛物线的定义及平面几何性质逐一判断即可.
【详解】如图，由抛物线的定义，

对于A，得，，又，则，A正确；
对于B，由，，得，所以.
而，所以，所以，
可知，所以，B正确；
对于D，在中，，可知，所以，D正确；
对于C，由，可知，所以，即Q是的中点，C不正确.
故选：ABD.
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在等差数列中，，则_________;
【答案】6.
【解析】
【详解】分析： 由等差数列的通项公式得由此能求出.
详解：：∵在等差数列中，， ．
解得 ．
故答案为6．
点睛：本题考查数列的第8项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
13. 若直线l经过点，且与直线在y轴上的截距相等，则直线l的方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可知，直线l经过点和点，从而可求出直线l的斜率，再利用点斜式可求出直线l的方程
【详解】直线在y轴上的截距为3，所以直线l经过点，
故直线l的斜率，
故直线l的方程为．
故答案为：
【点睛】此题考查直线方程的求法，属于基础题
14. 当直线l：截圆C：所得的弦长最短时，实数m的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】由已知可得直线过定点，当时，弦长最短.根据斜率关系即可求出实数m的值.
【详解】由已知可将直线的方程化为，
解可得，所以直线过定点.
又由圆的方程可得圆心，半径，
则，所以点在圆内.
当时，圆心到直线的最大距离，直线被圆截得的弦长最短.
因为，所以直线的斜率为，即，所以.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 求满足下列条件的直线方程.
(1)经过点A(－1，－3)，且斜率等于直线3x＋8y－1＝0斜率的2倍；
(2)过点M(0,4)，且与两坐标轴围成三角形的周长为12.
【答案】（1）3x＋4y＋15＝0.（2）4x＋3y－12＝0或4x－3y＋12＝0.
【解析】
【详解】试题分析：根据直线经过点A，再根据斜率等于直线3x＋8y－1＝0斜率的2倍求出斜率的值，然后根据直线方程的点斜式写出直线的方程，化为一般式；直线经过点M（0，4），说明直线在y轴的截距为4，可设直线 在x轴的截距为a，利用三角形周长为12列方程求出a ,利用直线方程的截距式写出直线的方程，然后化为一般方程.
试题解析：
(1)因为3x＋8y－1＝0可化为y＝－x＋ ，
所以直线3x＋8y－1＝0斜率为－，
则所求直线的斜率k＝2×(－)＝－
又直线经过点(－1，－3)，
因此所求直线的方程为y＋3＝－ (x＋1)，
即3x＋4y＋15＝0.
(2)设直线与x轴的交点为(a,0)，
因为点M(0,4)在y轴上，所以由题意有4＋ ＋|a|＝12，
解得a＝±3，
所以所求直线的方程为或，
即4x＋3y－12＝0或4x－3y＋12＝0.
【点睛】当直线经过点A，并给出斜率的条件时，根据斜率与已知直线的斜率关系求出斜率值，然后根据直线方程的点斜式写出直线的方程，化为一般式；当涉及到直线与梁坐标轴所围成的三角形的周长和面积时，一般利用直线方程的截距式解决问题较方便一些，但使用点斜式也好，截距式也好，它们都有不足之处，点斜式只能表达斜率存在的直线，截距式只能表达截距存在而且不为零的直线，因此使用时要注意补充答案.
16. 已知等差数列的公差为正数,与的等差中项为,且.
求的通项公式；
从中依次取出第项,第项,第项,， 第项,按照原来的顺序组成一个新数列,判断是不是数列中的项？并说明理由.
【答案】；是数列中的项，理由见解析.
【解析】
【分析】设等差数列的公差为，由题意可知与的等差中项为，利用等差数列的定义列出式子求出公差为，，进而列出的通项公式；
写出，将代入验证即可.
【详解】解：设等差数列的公差为，根据等差中项的性质可得与的等差中项为，
所以，又因为，即.
所以，，因为公差为正数,所以.
则，则.
的通项公式.
结合可知，，，，
令，即，符合题意，即.
所以是数列中的项.
【点睛】本题考查等差数列的定义，通项公式的求法，考查推理能力，属于基础题.
17. 已知圆C的圆心是直线与直线的交点，且和直线相切，直线.
（1）求圆C的标准方程；
（2）求直线l所过的定点.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求解直线的交点为圆心坐标，求出半径，求出圆的方程;
(2)根据直线方程求出定点坐标.
【小问1详解】
），圆C的圆心的圆心坐标为，
且和直线相切，
所以圆C的半径为，
所以圆C的标准方程为；
【小问2详解】
由，得，
由，
∴直线l过定点.
18. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，且椭圆经过点和点，其中为椭圆的离心率.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若倾斜角为的直线经过点，且与C交于M，N两点（M点在N点的上方），求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将点2,0和点代入椭圆方程，解之即可得解；
（2）根据题意，利用直线的点斜式求得直线的方程，再联立直线与椭圆方程，直接求得点的坐标，从而得解.
【小问1详解】
因为椭圆椭圆经过点2,0和点，，
所以，解得，
所以椭圆的方程为.
【小问2详解】
由（1）得，直线的斜率为，
所以直线的方程为，即，
联立，解得或，
则，
所以.
19. 已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点．
（1）求双曲线的方程．
（2）若，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（3）点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值．
【答案】（1）；
（2）不存在，理由见解析；
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意列式求，进而可得双曲线方程；
（2）设，联立方程，利用韦达定理判断是否为零即可；
（3）用两点坐标表示出直线，得点坐标，表示出，结合韦达定理，证明为定值．
【小问1详解】
由双曲线的离心率为，且在双曲线上，
可得，解得，所以双曲线的方程为．
【小问2详解】
双曲线的左焦点为，
当直线的斜率为0时，此时直线为，与双曲线左支只有一个交点，不符合题意，
当直线的斜率不为0时，设，
由，消去得，
显然，，
设Ax1,y1,Bx2,y2，则，得，
于是，
，
即，因此与不垂直，
所以不存在直线，使得点在以为直径的圆上．
【小问3详解】
由直线，得，
则，又，
于是
，
而，即有，且，
所以，即为定值．
【点睛】方法点睛：①引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；②特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．