江苏省海门中学2024-2025学年高二上学期9月学情调研数学试题

这是一份江苏省海门中学2024-2025学年高二上学期9月学情调研数学试题，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.直线的倾斜角大小( )
A. B. C. D.
2.已知直线过点且与直线垂直，则该直线方程为( )
A. B. C. D.
3.若方程表示一个圆，则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.已知直线l：，则“，”是“直线l不通过第二象限”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
5.在直角坐标系xOy中，若过原点的直线l与圆M：有公共点，则直线l的斜率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.直线l过点P，绕P按逆时针方向转角，所得的直线为，若继续按逆时针方向转角，则得到直线，则直线l的方程为( )
A. B. C. D.
7.在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为，若圆上有且仅有3个点到直线l的距离为1，则直线l的倾斜角为( )
A. 或B. 或C. D.
8.已知点，直线与x轴，y轴分别交于点A，若以线段AB为边在第一象限内作等边，使得和的面积相等，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列说法正确的是( )
A. 若直线在两坐标轴上的截距相等，则
B. 若过点，的直线的斜率是2，则
C. 两平行直线与之间的距离为，则或
D. 直线关于直线对称的直线为
10.已知点M在圆O：外，以线段OM为直径的圆和圆O交于P，Q两点，则( )
A. 直线MP与圆O相切
B. 当时，
C. 当时，点M的轨迹方程为
D. 当M点坐标为时，直线PQ的方程为
11.已知直线l：与圆C：交于A，B两点，与y轴交于点E，点M为弦AB的中点，则( )
A. 的最小值为B. 面积的最大值为6
C. 存在定点Q，使得为定值D. 有最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设m为实数，若直线在y轴上的截距为，则m的值为__________.
13.已知圆C：与圆O：有且仅有一条公切线，则该公切线方程为______.
14.“出租车几何”或“曼哈顿距离”是由十九世纪的赫尔曼闵可夫斯基所创词汇，是种被使用在几何度量空间的几何学用语.在平面直角坐标系xOy内，对于任意两点、，定义它们之间的“曼哈顿距离”为已知点，若点Q满足，则动点Q的轨迹的长度为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
在平面直角坐标系xOy中，设直线：，直线：
若直线，求实数k的值；
求证：直线过定点C，并求出点C的坐标；
当时，设直线，交点为A，过A作x轴的垂线，垂足为B，求点A到直线BC的距离
16.本小题15分
已知函数
解关于x的不等式组；
若函数的图象与坐标轴有三个不同的交点，且经过该三点的圆与y轴相切，求a的值.
17.本小题15分
已知圆C的圆心在直线上，且与x轴相切，直线被圆C截得的弦长为
求圆C的方程；
若直线l与圆C相切，且与x轴，y轴分别交于点，
①写出a关于b的表达式；
②求面积的最小值，并写出此时的直线l的方程.
18.本小题17分
已知，，点P满足
求点P的轨迹方程C；
过点A作直线l交轨迹C于点M，N，交y轴于点
①若，求直线l的方程；
②若，试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
19.本小题17分
规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，球A是指该球的球心点两球碰撞后，且标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向.所有的球都简化为平面上半径为1的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，解决下列问题：
如图1，设母球A的位置为，目标球B的位置为，要使目标球B向处运动，求母球A的球心运动的直线方程；
如图2，若母球A的位置为，目标球B的位置为，让母球A击打目标球B后，能否使目标球B向处运动？
如图3，设母球A的位置为，目标球B的位置为，能使目标球B向处运动或处运动，求a，b的取值范围直接写出结果即可
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了斜率与倾斜角的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用斜率与倾斜角的关系即可得出．
【解答】
解：设直线的倾斜角为，
直线的斜率为，
则，
故选
2.【答案】A
【解析】解：与直线垂直的直线的斜率，
所以经过点且斜率的直线的方程为，
即
故选：
利用两直线垂直的充要条件求出直线的斜率k，再利用点斜式求出直线的方程．
本题考查了直线垂直的充要条件和直线的一般方程，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：由，得，
即，解得
故选：
若二元二次方程表示圆，则必须满足
本题考查圆的一般方程，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：当，时，直线l：可化为，
则斜率，，此时直线l经过第一，三，四象限，即充分性成立；
但时，直线l：经过第一，三象限，即必要性不成立．
故选：
结合直线方程检验充分必要性即可判断．
本题主要考查了充分必要性的判断，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：在直角坐标系xOy中，若过原点的直线l与圆M：有公共点，
则直线l的斜率一定存在，
设直线l的方程为，
由题意可得，
即，
则
故选：
结合点到直线的距离公式求解．
本题考查了点到直线的距离公式，属基础题．
6.【答案】C
【解析】解：联立，解得，
由题意可知，直线l与直线垂直，
则，
故直线l的方程为，即
故选：
先求出交点，再结合直线垂直的性质，即可求解．
本题主要考查直线垂直的性质，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：圆的标准方程为，圆心为，半径，
因为圆上有且仅有3个点到直线l的距离为1，且直线l的方程为，
所以圆心到直线l的距离，
解得，设直线l的倾斜角为
所以，所以或
故选：
由题意，求出圆心和半径，利用点到直线的距离公式可得关于k的方程，求出斜率k，再由斜率与倾斜角的关系即可求解．
本题主要考查直线与圆的位置关系，点到直线距离公式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：如图所示，
直线与x轴，y轴分别交于点，，
以线段AB为边在第一象限内作等边，，
则AB边上的高为：，
在第一象限内有一点点，使得和的面积相等，则点P到直线BA的距离，
，
解得
故选：
求解A、B的坐标，以线段AB为边在第一象限内作等边，可得，可得AB边上的高，根据在第一象限内有一点使得和的面积相等，即可得出点P到直线BA的距离然后求解
本题考查了平行线之间的距离、点到直线的距离公式、三角形面积、等边三角形性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9.【答案】CD
【解析】解：，令，解得，
令，解得，
直线在两坐标轴上的截距相等，
则，解得，故A错误；
过点，的直线的斜率是2，
则，解得，故B错误；
直线与平行，
则，
两平行直线与之间的距离为，
则，解得或，故C正确；
直线，
则，由反函数的定义可知，，
故直线关于直线对称的直线为，故D正确．
故选：
结合截距的定义，直线的斜率公式，直线平行的性质，反函数的定义，即可求解．
本题主要考查截距的定义，直线的斜率公式，直线平行的性质，反函数的定义，是基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：对于A，如图，连接MP，OP，OM，
由题可得，点P在以OM为直径的圆上，
所以，又点P在圆O上，
所以直线MP与圆O相切，故A正确；
对于B，当时，
由圆的性质可知，，又，
所以，则，
易知，四边形OPMQ是正方形，
所以，故B正确；
对于C，由B可知，当时，，
所以M的轨迹是以O为圆心，半径为的圆，
所以M的方程为：，故C错误；
对于D，当M点坐标为时，
，线段OM的中点为，
所以以线段OM为直径的圆的方程为：，即为，
所以直线PQ的方程为，
即，故D正确．
故选：
对于A，由圆的性质即可判断；对于B，当时，由圆的性质可知，，然后在等腰直角三角形OPM中即可求解；对于C，由B可知，当时，所以M的轨迹是以O为圆心，半径为的圆，即可判断；对于D，当M点坐标为时，可得以线段OM为直径的圆的方程为：，然后两圆的方程作差即可得解．
本题考查了圆的性质及直线与圆的位置关系，属于中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：如图，由已知可得，圆心，半径，设，，
直线l方程的斜截式为：，所以直线过定点
对于A，当时，最小，，
则，即的最小值为，故A错；
对于B，，，
则当，时，的面积最大，此时，故B正确；
对于C，联立，消去y得，
则，，
所以，
因为M是AB的中点，设，则，
则，
所以M的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
所以存在定点，使得为定值，故C对；
对于D，由C有，，，则，
所以
，
令，则，
则，解得，
所以，即，
即，
所以，故D对．
故选：
对于A，当时，最小，求出的长，由垂径定理即可求解；对于B，设，确定的范围，表示出的面积，由的范围可以求出面积的最大值；对于C，设，联立直线与圆的方程，写出韦达定理，表示出M点的坐标，求出点M的轨迹方程，即可判断；对于D，表示出向量，结合韦达定理并化简，利用判别式法可求解最值．
本题考查了直线与圆的综合，考查了方程思想及数形结合思想，属于中档题．
12.【答案】2
【解析】【分析】
本题考查了直线的斜截式方程，以及直线的截距，属于基础题．
将直线方程化为斜截式，根据条件列出方程求出m的值．
【解答】
解：由得，，
直线l：在y轴上的截距为，
，解得
故答案为：
13.【答案】
【解析】解：根据题意，圆C：，即，其圆心为，半径，
圆O：，其圆心O为，半径，
若圆O与圆C有且仅有一条公切线，且两圆内切，则有，即，
又由，解可得，
则圆C的方程为①，
，即②，
①-②可得：，变形可得：，
即两圆公切线的方程为
故答案为：
根据题意，分析两个圆的圆心和半径，由公切线数目可得两圆内切，由此求出a的值，联立两圆方程，分析可得答案．
本题考查圆与圆的位置关系，涉及两圆公切线的方程，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：设，由，可得，
当，时，方程化为；
当，时，方程化为；
当，时，方程化为；
当，时，方程化为
可得动点Q的轨迹为边长为的正方形，其长度为
故答案为：
去绝对值，可得动点Q的轨迹为边长为的正方形，可得所求长度．
本题考查动点的轨迹长度，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
15.【答案】解：直线：，直线：，
直线，
，
解得
证明：直线：，
，
由，得，，
直线过定点
当时，直线：，直线：，
解方程组，得，，，
过A作x轴的垂线，垂足为B，，
直线BC的方程为：，即，
点到直线BC的距离
【解析】由已知条件利用直线平行的性质能求出
直线转化为，由k的系数为0，能求证明直线过定点
当时，直线：，直线：，解方程组求出，从而求出，再求出直线BC的方程，然后利用点到直线BC的距离求出
本题考查直线方程中参数的求法，考查直线过定点的证明，考查点到直线的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意直线平行的性质、点到直线的距离公式的合理运用．
16.【答案】解：不等式组为
①当时，
或，
②当时，
或，
③当时，
当时，，
当时，或，
综上：当时，不等式组的解集为，
当时，不等式组的解集为，
当时，不等式组的解集为；
函数与坐标轴的三个不同的交点为，，，其中且，
设经过该三点的圆的方程为，
则解得
圆的方程为，
即，
该圆与y轴相切，
，
解得
【解析】对a分类讨论，结合一元二次不等式的解法求解即可；
设圆的一般方程，利用待定系数法求出D，E，F的值，从而可得圆的方程，结合已知条件即可求解a的值．
本题主要考查一元二次不等式的解法，圆的方程的求法，直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：因为圆C的圆心在直线上，且与x轴相切，
所以设圆C的方程为，
圆心C到直线的距离为，
又直线被圆C截得的弦长为，
所以，
解得，
所以圆C的方程为或；
因为直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距均为正数，
所以圆C的方程为，
①直线l的方程为，即，
所以，
即为，
化为，
所以；
②，
令则，
所以，
当且仅当即时，，
此时直线l的方程为
【解析】由题意可设圆C的方程为，由圆的弦长公式，解方程可得所求；
①运用直线和圆相切的条件，结合点到直线的距离公式，化简可得所求；
②运用三角形的面积公式和基本不等式，化简整理，可得所求．
本题考查圆的方程和性质，以及直线和圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：设，
因为，所以，
化简的点P的轨迹方程C：
因为过点的直线与y轴有交点，所以直线l的斜率存在，
设直线l的方程为，
由
消去y得，，
设，，
则，
，
①因为，所以，
所以，即，
由得，
代入，得，
解得
②，
则，，，
因为，
所以解得
为定值．
【解析】利用两点间的距离公式即可求解轨迹方程；
由题意可设直线l的方程为，与轨迹方程C联立，可得根与系数的关系．
①由，可得，从而可得关于k的方程，求解即可；
②由向量相等表示，，结合根与系数的关系可得为定值．
本题主要考查轨迹方程，直线与圆的方程的综合应用，考查运算求解能力，属于难题．
19.【答案】解：根据图1，点，所在的直线方程为，
当A，B两球碰撞时，球A的球心在直线上，并且球心在第四象限，
因此设A，B两球碰撞时，球A的球心坐标为，
所以，则
解得，，所以A，B两球碰撞时，球A的球心坐标，
因此母球A的球心运动的直线方程为：，化简可得
假设能使目标球B向处运动，所以根据第一问知球A需运动到处，
且到达处前不与目标球B接触．
所以，，
因此，
因此为锐角，
过B作于D，那么点D在线段上，
因此，
因此球A的球心还未到直线BC上时，就会与目标球B接触，
因此不能使目标球B向处运动．
，
【解析】根据图象设出碰撞后球A的球心坐标，并解出坐标即可求解．
先假设能使目标球B向处运动，再结合第一问证明出为锐角即可证明．
根据已知求解即可．
本题考查圆方程综合应用，属于中档题．