江苏省南京市玄武区2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份江苏省南京市玄武区2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷，共47页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．（2分）用配方法解一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0，下列配方正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2分）关于一元二次方程4x（x﹣1）+1＝0根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．没有实数根
C．有两个相等的实数根
D．无法确定
4．（2分）已知一组数据3，5，9，10，12，x的中位数和众数相等，则这组数据的平均数是（ ）
A．7B．8C．9D．10
5．（2分）如图，在⊙O中，AB，BC是弦，点D在AB的延长线上，连接OA，OC，若OC∥AB，∠CBD﹣∠OAD＝6°，则∠AOC的度数是（ ）
A．62°B．118°C．122°D．124°
6．（2分）如图，AB是半圆O的直径，弦EF∥AB，点C在OA上（不与点O，A重合），点D在AE上，连接CD，DE，CF，且∠ACD＝∠BCF，若AB＝a，CD＝b，CF＝c，则DE2的值为（ ）
A．a2﹣b2+c2B．a2+b2﹣c2C．（a+b）2﹣c2D．a2﹣（b+c）2
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．（2分）一元二次方程x2＝x的解是 ．
8．（2分）设x1、x2是方程x2﹣4x+m＝0的两个根，且x1+x2﹣x1x2＝1．则m＝ ．
9．（2分）某款汽车价格由2024年8月份29万元/辆下降到10月份的23.49万元/辆，设月平均降价的百分率为x，则可列方程为 ．
10．（2分）圆锥的底面直径是10cm，母线长为12cm，则它的侧面展开图的圆心角的度数为 ．
11．（2分）如图，正方形内接于⊙O，随机向该圆形区域投掷飞镖1次，假设飞镖投中圆形区域中的每一点是等可能的（若投中边界或没有投中，则重投1次），则飞镖恰好投中在正方形区域内的概率是 ．
12．（2分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，点E在优弧CAB上，连接EC，EB，若∠ADC＝115°，则∠BEC的度数为 °．
13．（2分）如图，正五边形ABCDE的边AB，AE与⊙O分别相切于点M，N，点P在上，连接PM，PN，则∠MPN的度数为 °．
14．（2分）如图，某铜镜残片呈圆弧型，测得圆弧的两端A，B之间的距离为16cm，上的点到弦AB的最大距离为6cm，则该铜镜所在圆的半径为 cm．
15．（2分）如图，扇形纸片OAB所在圆的圆心角∠AOB＝90°，半径为4．将扇形纸片折叠，使点B落在点B′处，折痕与AB，OB分别交于点M，N．若B′M与半径OA相切于点C，且C是OA的中点，则BN的长为 ．
16．（2分）在△ABC中，BC＝2，∠BAC＝30°，M是AC的中点，则中线BM长度的最大值为 ．
三、解答题（本大题共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）解方程：
（1）4（x﹣1）2﹣9＝0；
（2）x2﹣2x﹣6＝0．
18．（8分）甲、乙两名同学分别从某月1号、2号、3号中随机选择一天外出游玩．
（1）甲选择1号的概率为 ；
（2）求甲、乙恰好选择相邻两天的概率．
19．（8分）小明在校级篮球联赛中表现优异，下面是他分别与A队和B队各四场比赛中的技术统计．
（1）分别求小明在与A队、B队的比赛中得分的方差，并判断他在对阵哪一个队时得分比较稳定？
（2）如果规定：将平均每场得分、平均每场篮板、平均每场助攻按3：3：4的比例计算“综合指标”，且综合指标越高表现越好，那么请你利用这种评价方法，比较小明在对阵哪一个队时表现更好？
20．（7分）某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？
21．（7分）如图，AB，AC是⊙O的弦，AB＝AC，OD，OE是⊙O的半径，且AB∥OD，AC∥OE，求证：＝．
22．（8分）已知关于x的一元二次方程2x2﹣（3k﹣1）x+k2﹣2＝0（k为常数）．
（1）求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x1、x2为该方程的两个实数根，且满足2x1+2x2＝x1x2﹣8，求k的值．
23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C为AB延长线上一点，CD与⊙O相切于点E，连接OD，与⊙O交于点F，连接AE，且∠A＝∠D．
（1）求证：点F是的中点；
（2）若∠A＝∠C，⊙O的半径为3，则阴影部分的面积为 ．
24．（8分）如图，若准备利用一处墙角EAF和长度为28m的篱笆围建一个矩形花圃ABCD，花圃的一边AD由墙AF和篱笆DF构成，另一边AB由墙AE和篱笆BE构成，其他两边BC，CD由剩下的篱笆围成．若AF＝8m，AE＝4m，矩形花圃的面积为75m2，求花圃边BC的长度．
25．（6分）已知点A在⊙O上，用尺规按下列要求画图：
（1）在图①中画出点P，使AP是⊙O的直径；
（2）在图②中画出点Q，使AQ是⊙O的切线．
（要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明）
26．（10分）在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，CB＝CD，⊙O经过点A，B，C．
（1）如图①，求证：CD是⊙O的切线．
（2）如图②，连接BD，与⊙O，AC分别交于点E，F，连接AE．
①求证AE⊥CD；
②若，BC＝8，则AE的长为 ．
27．（10分）“等弦”的探究．
【尝试发现】
（1）如图①，在⊙O中，AB，CD是弦，且AB＝CD．由此，你能发现什么？从小明、小红两位同学所发现的结论中，选择一个完成证明．
【问题解决】
（2）如图②，已知△ABC，⊙O与△ABC各边都相交且所形成的弦的长度均相等．
①在图②中，用直尺和圆规作出一个满足条件的⊙O．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
②若AB＝15，BC＝14，AC＝13，⊙O的半径为r，则r的取值范围是 ．
【应用设计】
（3）如图③，某城市有一个圆形人工湖⊙O，已知直线型道路AB穿过人工湖，其中弦MN为湖中桥．现规划利用AB段修建四边形观湖路ABCD，新修建的三条道路BC，CD，DA均穿过人工湖⊙O，被⊙O所截得的弦为湖中桥（三条弦互不相交），且湖中桥长度均与MN相等．在图③中，用直尺和圆规作出周长最短的观湖路ABCD．（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
2024-2025学年江苏省南京市玄武区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【考点】点与圆的位置关系．
【专题】与圆有关的位置关系．
【答案】D
【分析】根据题意可以求得OP的取值范围，从而可以解答本题．
【解答】解：∵O的半径为5，点P在⊙O外，
∴OP＞5，
故选：D．
【点评】本题考查点和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，求出OP的取值范围．
2．（2分）用配方法解一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0，下列配方正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
【解答】解：方程2x2﹣2x﹣1＝0，
整理得：x2﹣x＝，
配方得：x2﹣x+＝，即（x﹣）2＝．
故选：C．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
3．（2分）关于一元二次方程4x（x﹣1）+1＝0根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．没有实数根
C．有两个相等的实数根
D．无法确定
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】先化成一般式，再计算根的判别式的值，然后利用根的判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：方程化为4x2﹣4x+1＝0，
∵Δ＝（﹣4）2﹣4×4×1＝0，
∴有两个相等的实数根．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
4．（2分）已知一组数据3，5，9，10，12，x的中位数和众数相等，则这组数据的平均数是（ ）
A．7B．8C．9D．10
【考点】众数；算术平均数；中位数．
【专题】统计的应用；推理能力．
【答案】B
【分析】根据中位数的定义找出最中间的两个数，求出其平均数，根据众数的定义即一组数据中出现次数最多的数是众数，找出出现次数最多的数即可．
【解答】解：∵一组数据3，5，9，10，12，x的中位数和众数相等，
∴x＝9，
∴这组数据的平均数＝＝8，
故选：B．
【点评】此题考查了中位数、众数、平均数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），众数是一组数据中出现次数最多的数，注意众数不止一个．
5．（2分）如图，在⊙O中，AB，BC是弦，点D在AB的延长线上，连接OA，OC，若OC∥AB，∠CBD﹣∠OAD＝6°，则∠AOC的度数是（ ）
A．62°B．118°C．122°D．124°
【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．
【答案】D
【分析】在优弧AC上取点P，连接PA，PC，根据圆周角定理及平行线的性质求解即可．
【解答】解：如图，在优弧AC上取点P，连接PA，PC，
∵四边形ABCP内接于⊙O，
∴∠CPA＝∠CBD，
∴∠AOC＝2∠CPA＝2∠CBD，
∴∠CBD＝∠AOC，
∵OC∥AB，
∴∠AOC+∠OAD＝180°，
∵∠CBD﹣∠OAD＝6°，
∴∠AOC﹣∠OAD＝6°，
∴∠AOC＝124°，
故选：D．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
6．（2分）如图，AB是半圆O的直径，弦EF∥AB，点C在OA上（不与点O，A重合），点D在AE上，连接CD，DE，CF，且∠ACD＝∠BCF，若AB＝a，CD＝b，CF＝c，则DE2的值为（ ）
A．a2﹣b2+c2B．a2+b2﹣c2C．（a+b）2﹣c2D．a2﹣（b+c）2
【考点】圆周角定理；勾股定理；垂径定理．
【专题】转化思想；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】补全⊙O下部半圆，由弦EF∥AB，可得．由圆的对称性可知，，从而，可推出EG为直径，再由直径所对的圆周角是直角可得∠EDG＝90°，最后根据勾股定理可求答案．
【解答】解：补全⊙O下部半圆如图所示，连接AD，BD，
∵弦EF∥AB，
∴．
延长DC交⊙O于点G，
∴∠ACD＝∠BCG，
又∵∠ACD＝∠BCF，
∴∠BCG＝∠BCF．
由圆的对称性可知，，CF＝CG＝c，
∴，
∴∠AOE＝∠BOG，
∵点A、O、B三点共线，
∴点E、O、G三点必共线，
即EG为直径，EG＝AB＝a，
由直径所对的圆周角是直角可得∠EDG＝90°，
由勾股定理可得：
DE2＝EG2﹣DG2＝a2﹣（b+c）2．
故选：D．
【点评】本题考查了弧、圆心角、弦之间的关系，平行弦间所夹的弧相等，勾股定理，圆的对称性，圆周角定理的推论，作出正确的辅助线是解题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．（2分）一元二次方程x2＝x的解是 x1＝0，x2＝1 ．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】x1＝0，x2＝1．
【分析】先移项得到x2﹣x＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：x2﹣x＝0，
x（x﹣1）＝0，
x＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝0，x2＝1．
故答案为：x1＝0，x2＝1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
8．（2分）设x1、x2是方程x2﹣4x+m＝0的两个根，且x1+x2﹣x1x2＝1．则m＝ 3 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】常规题型．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据根与系数的关系，确定x1+x2、x1x2的值，然后代入方程中，解方程确定m的值．
【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣4x+m＝0的两个根，
∴x1+x2＝4，x1x2＝m，
∵x1+x2﹣x1x2＝1
∴4﹣m＝1，
∴m＝3
故答案为：3
【点评】此题主要考查了根与系数的关系、一元一次方程的解法，将x1+x2＝4，x1x2＝m代入方程，并解方程是解决此类题目经常使用的方法．
9．（2分）某款汽车价格由2024年8月份29万元/辆下降到10月份的23.49万元/辆，设月平均降价的百分率为x，则可列方程为 29（1﹣x）2＝23.49 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】29（1﹣x）2＝23.49．
【分析】利用该款汽车2024年10月份的价格＝该款汽车2024年8月份的价格×（1+月平均降价的百分率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：29（1﹣x）2＝23.49．
故答案为：29（1﹣x）2＝23.49．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．（2分）圆锥的底面直径是10cm，母线长为12cm，则它的侧面展开图的圆心角的度数为 150° ．
【考点】圆锥的计算．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】设圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为n°，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．则根据弧长公式得到得＝10π，然后解关于n的方程即可．
【解答】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为n°，
根据题意得＝10π，
解得n＝150，
所以它的侧面展开图的圆心角的度数为150°．
故答案为150°．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
11．（2分）如图，正方形内接于⊙O，随机向该圆形区域投掷飞镖1次，假设飞镖投中圆形区域中的每一点是等可能的（若投中边界或没有投中，则重投1次），则飞镖恰好投中在正方形区域内的概率是 ．
【考点】几何概率；圆周角定理；正多边形和圆．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】．
【分析】设正方形的边长为2a，由题意知，正方形的面积为4a2，圆的面积为2πa2，再根据概率公式求解即可得出答案．
【解答】解：设正方形的边长为2a，则圆的半径为a，
所以正方形的面积为4a2，圆的面积为2πa2，
所以飞镖恰好投中在正方形区域内的概率是：＝．
故答案为：．
【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
12．（2分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，点E在优弧CAB上，连接EC，EB，若∠ADC＝115°，则∠BEC的度数为 25 °．
【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】25．
【分析】连接AC，先根据圆内接四边形的性质求出∠B的度数，再由圆周角定理得出∠ACB的度数，由直角三角形的性质得出∠CAB的度数，进而得出结论．
【解答】解：连接AC，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠ADC＝115°，
∴∠ABC＝180°﹣115°＝65°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝90°﹣65°＝25°，
∴∠BEC＝∠CAB＝25°．
故答案为：25．
【点评】本题考查的是圆周角定理，圆内接四边形的性质，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解题的关键．
13．（2分）如图，正五边形ABCDE的边AB，AE与⊙O分别相切于点M，N，点P在上，连接PM，PN，则∠MPN的度数为 144 °．
【考点】正多边形和圆；垂径定理；圆周角定理；切线的性质．
【答案】144．
【分析】根据正五边形的性质求出∠A的度数，再根据切线的性质得到∠OMA＝∠ONA＝90°，由四边形的内角和求出∠MON的度数后，由圆周角定理以及圆内接四边形的性质进行计算即可．
【解答】解：如图，连接OM，ON，在优弧AB上取一点Q，连接QM，QN，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠A＝＝108°
∵正五边形ABCDE的边AB，AE与⊙O分别相切于点M，N，
∴∠OMA＝∠ONA＝90°，
∴∠MON＝360°﹣90°﹣90°﹣108°＝72°，
∴∠MQN＝∠MON＝36°，
∴四边形PMQN是圆内接四边形，
∴∠MPN+∠MQN＝180°，
∴∠MPN＝180°﹣36°＝144°．
故答案为：144．
【点评】本题考查正多边形与圆，圆内接四边形的性质，圆周角定理以及切线的性质，掌握正五边形的性质，圆内接四边形的对角互补，圆周角定理以及切线的性质是正确解答的关键．
14．（2分）如图，某铜镜残片呈圆弧型，测得圆弧的两端A，B之间的距离为16cm，上的点到弦AB的最大距离为6cm，则该铜镜所在圆的半径为 cm．
【考点】垂径定理的应用；勾股定理．
【专题】与圆有关的计算；运算能力．
【答案】．
【分析】作⊙O，过点O作AB的垂线交AB于点C、交于点D，连接OA．设OA＝OD＝r cm，根据垂径定理求出AC，用含r的代数式将OC表示出来，在Rt△ACO中利用勾股定理列关于r的方程并求解即可．
【解答】解：如图，过点O作AB的垂线交AB于点C、交于点D，连接OA．
设OA＝OD＝r cm，
∵OD⊥AB，AB＝16cm，
∴AC＝AB＝8cm，
∵CD＝6cm，
∴OC＝（r﹣6）cm，
在Rt△ACO中利用勾股定理，得AC2+OC2＝OA2，
∴82+（r﹣6）2＝r2，
∴r＝，
∴该铜镜所在圆的半径为cm．
故答案为：．
【点评】本题考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
15．（2分）如图，扇形纸片OAB所在圆的圆心角∠AOB＝90°，半径为4．将扇形纸片折叠，使点B落在点B′处，折痕与AB，OB分别交于点M，N．若B′M与半径OA相切于点C，且C是OA的中点，则BN的长为 ．
【考点】切线的性质；垂径定理；圆周角定理．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【答案】．
【分析】作O点关于MN的对称点O′，连接O′C、O′B、O′N，如图，设BN＝x，则ON＝O′N＝4﹣x，根据切线的性质得到O′C⊥AC，O′C＝OB＝4，再证明四边形OBO′C为矩形得到∠OBO′＝90°，O′B＝OC＝2，接着在Rt△O′BN中利用勾股定理得到x2+22＝（4﹣x）2，然后解方程求出x即可．
【解答】解：作O点关于MN的对称点O′，连接O′C、O′B、O′N，如图，则ON＝O′N，
设BN＝x，则ON＝O′N＝4﹣x，
∵弧B′M与半径OA相切于点C，
∴O′C⊥AC，O′C＝OB＝4，
∵∠AOB＝90°，
∴O′C∥OB，
∴四边形OBO′C为矩形，
∴∠OBO′＝90°，O′B＝OC，
∵C是OA的中点，
∴O′B＝OC＝2，
在Rt△O′BN中，x2+22＝（4﹣x）2，
解得x＝，
即BN的长为．
故答案为：．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了折叠的性质．
16．（2分）在△ABC中，BC＝2，∠BAC＝30°，M是AC的中点，则中线BM长度的最大值为 +1 ．
【考点】正弦定理与余弦定理．
【专题】与圆有关的计算；模型思想．
【答案】+1．
【分析】根据定弦定角作出△ABC的外接圆⊙O，然后通过应用垂径定理的推论得出∠OMC＝90°，进而得出点M的运动轨迹在以OC为直径的⊙O′的优弧COD上，再根据圆的性质得出BM′即为BM长度的最大值，最后通过解三角形和线段的和差关系求出BM′的长度即可．
【解答】解：如图，⊙O为△ABC的外接圆，圆周角∠BAC所对应的圆心角∠BOC．
∵点M是AC的中点，
∴OM⊥AC．
∴∠OMC＝90°
以直径OC作⊙O′交BC于点D，则点M的轨迹在优弧COD上．
∵∠BAC＝30°，
∴∠BOC＝60°．
∴△BOC是等边三角形．
∴BO′⊥OC，BO′＝BC•sin60°＝．
延长BO′交⊙O′于M′，连接MM′，O′M．
在△BMM′中，BM≤BO′+O′M＝BM′．
∴BM′为BM长度的最大值．
∵BM′＝BO′+O′M′，O′M′＝＝1．
∴BM′＝+1．
故答案为：+1．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，三角形中线的性质，垂径定理推论的应用，圆周角定理等知识点．
熟练掌握定弦定角辅助圆模型是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）解方程：
（1）4（x﹣1）2﹣9＝0；
（2）x2﹣2x﹣6＝0．
【考点】解一元二次方程﹣配方法；解一元二次方程﹣直接开平方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x1＝，x1＝﹣；
（2）x1＝1+，x2＝1﹣．
【分析】（1）利用直接开方法解方程即可；
（2）利用配方法解方程即可．
【解答】解：（1）4（x﹣1）2﹣9＝0，
（x﹣1）2＝，
∴x﹣1＝±，
∴x1＝，x1＝﹣；
（2）x2﹣2x﹣6＝0，
x2﹣2x＝6，
x2﹣2x+1＝6+1，
（x﹣1）2＝7，
x﹣1＝±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
【点评】本题考查解一元二次方程﹣直接开方法，配方法，解题的关键是掌握公式法，配方法解方程的步骤．
18．（8分）甲、乙两名同学分别从某月1号、2号、3号中随机选择一天外出游玩．
（1）甲选择1号的概率为 ；
（2）求甲、乙恰好选择相邻两天的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据概率公式即可得出答案；
（2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）甲选择1号的概率为．
故答案为：；
（2）根据题意画图如下：
共有9种等可能，甲、乙恰好选择相邻两天的情况数是4，
甲、乙恰好选择相邻两天的概率为．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
19．（8分）小明在校级篮球联赛中表现优异，下面是他分别与A队和B队各四场比赛中的技术统计．
（1）分别求小明在与A队、B队的比赛中得分的方差，并判断他在对阵哪一个队时得分比较稳定？
（2）如果规定：将平均每场得分、平均每场篮板、平均每场助攻按3：3：4的比例计算“综合指标”，且综合指标越高表现越好，那么请你利用这种评价方法，比较小明在对阵哪一个队时表现更好？
【考点】方差；加权平均数．
【专题】统计的应用；运算能力．
【答案】（1）对阵A队的得分比较稳定；
（2）对阵A队的表现更好．
【分析】（1）根据方差定义直接解即可，然后根据方差越小越稳定进行判断；
（2）利用加权平均数分别求出对阵A队和B队时的综合指标，在进行比较即可．
【解答】解：（1）＝×[（21﹣25）2+（29﹣25）2+（24﹣25）2+（26﹣25）2]＝8.5（分2），
，
∵S2A＜S2B，
∴对阵A队的得分比较稳定；
（2）对阵A队综合指标：，
对阵B队综合指标：，
∵12.8＞12.4，
∴对阵A队的表现更好．
【点评】本题主要考查了方差和加权平均数，熟练掌握相关知识是解题的关键．
20．（7分）某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】销售问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】关系式为：每件服装的盈利×（原来的销售量+增加的销售量）＝1600，为了减少库存，计算得到降价多的数量即可．
【解答】解：设每件服装应降价x元，根据题意，得：
（44﹣x）（20+5x）＝1600
解方程得 x＝4或x＝36，
∵在降价幅度不超过10元的情况下，
∴x＝36不合题意舍去，
答：每件服装应降价4元．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解决本题的难点；根据每天盈利得到相应的等量关系是解决本题的关键．
21．（7分）如图，AB，AC是⊙O的弦，AB＝AC，OD，OE是⊙O的半径，且AB∥OD，AC∥OE，求证：＝．
【考点】全等三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【答案】证明见解析．
【分析】连接OB，OC，OA，先根据全等三角形的判定定理得出△AOB≌△AOC，故可得出∠ABO＝∠ACO，再由平行线的性质可得出∠ABO＝∠BOD，∠ACO＝∠COE，故∠BOD＝∠COE，进而得出结论．
【解答】证明：连接OB，OC，OA，
在△AOB与△AOC中，
，
∴△AOB≌△AOC（SSS），
∴∠ABO＝∠ACO，
∵AB∥OD，AC∥OE，
∴∠ABO＝∠BOD，∠ACO＝∠COE，
∴∠BOD＝∠COE，
∴＝．
【点评】本题考查的是弧、圆心角、弦的关系，全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线．构造出全等三角形及圆心角是解题的关键．
22．（8分）已知关于x的一元二次方程2x2﹣（3k﹣1）x+k2﹣2＝0（k为常数）．
（1）求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x1、x2为该方程的两个实数根，且满足2x1+2x2＝x1x2﹣8，求k的值．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【专题】判别式法；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）﹣2或8．
【分析】（1）根据方程的系数，结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝（k﹣3）2+8，由偶次方的非负性，可得出（k﹣3）2≥0，进而可得出（k﹣3）2+8＞0，即Δ＞0，由此即可证出无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）利用根与系数的关系，可得出x1+x2＝，x1x2＝，结合2x1+2x2＝x1x2﹣8，可列出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值．
【解答】（1）证明：Δ＝[﹣（3k﹣1）]2﹣4×2×（k2﹣2）
＝9k2﹣6k+1﹣8k2+16
＝k2﹣6k+17
＝k2﹣6k+9+8
＝（k﹣3）2+8．
∵（k﹣3）2≥0，
∴（k﹣3）2+8＞0，
即Δ＞0，
∴无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵x1，x2为关于x的一元二次方程2x2﹣（3k﹣1）x+k2﹣2＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝，x1x2＝，
∵2x1+2x2＝x1x2﹣8，
∴2×＝﹣8，
整理得：k2﹣6k﹣16＝0，
解得：k1＝﹣2，k2＝8，
∴k的值为﹣2或8．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用根与系数的关系及2x1+2x2＝x1x2﹣8，找出关于k的一元二次方程．
23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C为AB延长线上一点，CD与⊙O相切于点E，连接OD，与⊙O交于点F，连接AE，且∠A＝∠D．
（1）求证：点F是的中点；
（2）若∠A＝∠C，⊙O的半径为3，则阴影部分的面积为 ﹣ ．
【考点】切线的性质；扇形面积的计算；圆周角定理．
【专题】与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）﹣．
【分析】（1）连接OE，根据切线的性质得到∠OED＝90°，求得∠D＝∠AEO，根据垂直的定义得到AE⊥OD，根据垂径定理得到＝，得到F是AE的中点；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠COE＝∠DOE，由（1）知，＝，求得∠AOF＝∠DOE，得到∠COE＝∠DOE＝∠AOD＝，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵CD与⊙O相切于点E，
∴∠OED＝90°，
∴∠D+∠DOE＝90°，
∵OE＝OA，
∴∠A＝∠AEO，
∴∠D＝∠AEO，
∴AEO+∴DOE＝90°，
∴AE⊥OD，
∴＝，
∴F是AE的中点；
（2）解：∵∠A＝∠C，∠A＝∠D，
∴∠C＝∠D，
∴OC＝OD，
∵OE⊥CD，
∴∠COE＝∠DOE，
由（1）知，＝，
∴∠AOF＝∠DOE，
∴∠COE＝∠DOE＝∠AOD＝，
∵OE＝3，
∴DE＝，
∴阴影部分的面积＝S△DOE﹣S△扇形FOE＝×3×3﹣＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
24．（8分）如图，若准备利用一处墙角EAF和长度为28m的篱笆围建一个矩形花圃ABCD，花圃的一边AD由墙AF和篱笆DF构成，另一边AB由墙AE和篱笆BE构成，其他两边BC，CD由剩下的篱笆围成．若AF＝8m，AE＝4m，矩形花圃的面积为75m2，求花圃边BC的长度．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】15m．
【分析】设BC＝x m，则CD＝（20﹣x）m，根据矩形花圃的面积为75m2，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合AF＝8m，即可确定结论．
【解答】解：设BC＝x m，则CD＝＝（20﹣x）m，
根据题意得：x（20﹣x）＝75，
整理得：x2﹣20x+75＝0，
解得：x1＝5，x2＝15，
又∵AF＝8m，
∴x＝15．
答：花圃边BC的长度为15m．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．（6分）已知点A在⊙O上，用尺规按下列要求画图：
（1）在图①中画出点P，使AP是⊙O的直径；
（2）在图②中画出点Q，使AQ是⊙O的切线．
（要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明）
【考点】作图—复杂作图；切线的判定与性质．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】见解析．
【分析】（1）连接AO，延长AO交⊙O于点P，线段AP即为所求；
（2）连接AO，作AQ⊥OA即可．
【解答】解：（1）如图①中，线段AP即为所求；
（2）如图②中，直线AQ即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，切线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
26．（10分）在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，CB＝CD，⊙O经过点A，B，C．
（1）如图①，求证：CD是⊙O的切线．
（2）如图②，连接BD，与⊙O，AC分别交于点E，F，连接AE．
①求证AE⊥CD；
②若，BC＝8，则AE的长为 6 ．
【考点】圆的综合题．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②6．
【分析】（1）连接CO并延长，交⊙O于点E，连接BE，利用圆周角定理和等腰三角形的性质定理得到∠ECA+∠ABC＝90°，利用全等三角形的判定与性质得到∠EAC+∠ACD＝90°，则OC⊥CD，再利用圆的切线的判定定理解答即可；
（2）①连接CE，利用等腰三角形的性质和圆周角定理得到∠ACD﹣∠ACE＝∠ADC﹣∠ADB，则∠ECD＝∠EDC，
得到EC＝ED，利用线段垂直平分线的判定定理得到AE为CD的垂直平分线，结论可得；
②连接AO并延长，交BC于点H，利用垂径定理的推论得到AH⊥BC，BH＝CH＝BC＝4，利用勾股定理求得AH，利用三角形的面积公式求得BF，利用勾股定理求得AF，再利用相似三角形的判定与性质求得AE．
【解答】（1）证明：连接CO并延长，交⊙O于点E，连接BE，如图，
则CE为⊙O的直径，
∴∠CBE＝90°，
∴∠EBA+∠ABC＝90°，
∵∠EBA＝∠ECA，
∴∠ECA+∠ABC＝90°．
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠ABC＝∠ADC．
∵AC＝AD，
∴∠ADC＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠ABC，
∴∠EAC+∠ACD＝90°，
即∠OCD＝90°，
∴OC⊥CD，
∵OC为⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）①证明：连接CE，如图，
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC．
∵AB＝AD，
∴∠ABC＝∠ADB，
∵∠ABD＝∠ACE，
∴∠ACE＝∠ADB，
∴∠ACD﹣∠ACE＝∠ADC﹣∠ADB，
∴∠ECD＝∠EDC，
∴EC＝ED，
∴点E在CD的垂直平分线上，
∵AC＝AD，
∴点A在CD的垂直平分线上，
∴AE为CD的垂直平分线，
∴AE⊥CD；
②解：连接AO并延长，交BC于点H，如图，
∵AB＝AC，
∴，
∴AO垂直平分BC，
∴AH⊥BC，BH＝CH＝BC＝4，
∴AH＝＝＝8，
∵AB＝AC，
∴AC＝4．
∵AB＝AD，CB＝CD，
∴AC为BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD．
∵，
∴8×8＝4BF，
∴BF＝．
∴AF＝＝．
∵∠BFC＝∠AFE，∠CBF＝EAF，
∴△BFC∽△AFE，
∴，
∴，
∴AE＝6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，圆的切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
27．（10分）“等弦”的探究．
【尝试发现】
（1）如图①，在⊙O中，AB，CD是弦，且AB＝CD．由此，你能发现什么？从小明、小红两位同学所发现的结论中，选择一个完成证明．
【问题解决】
（2）如图②，已知△ABC，⊙O与△ABC各边都相交且所形成的弦的长度均相等．
①在图②中，用直尺和圆规作出一个满足条件的⊙O．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
②若AB＝15，BC＝14，AC＝13，⊙O的半径为r，则r的取值范围是 4＜r≤2 ．
【应用设计】
（3）如图③，某城市有一个圆形人工湖⊙O，已知直线型道路AB穿过人工湖，其中弦MN为湖中桥．现规划利用AB段修建四边形观湖路ABCD，新修建的三条道路BC，CD，DA均穿过人工湖⊙O，被⊙O所截得的弦为湖中桥（三条弦互不相交），且湖中桥长度均与MN相等．在图③中，用直尺和圆规作出周长最短的观湖路ABCD．（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
【考点】圆的综合题．
【专题】作图题；几何综合题；推理能力．
【答案】（1）证明详见解析；
（2）①作图详见解析；②4＜r≤2；
（3）作图详见解析．
【分析】（1）小明：根据勾股定理或者全等即可证明；小红：利用等弧所对的圆周角相等，再利用等角对等边即可得证；
（2）①利用（1）中小明的结论可知，圆心可到三边距离相等，所以作△ABC角平分线的交点即可；
②因为得满足⊙O与三边相交，所以找临界值相切时r值，再看OA、OB、OC最短的，就作为另一个临界值，先通过勾股方程求出△ABC的面积，再利用等面积求出相切时r的值，然后利用切线长定理求出OC、OA、OB即可得解．
（3）过O作OP⊥AB于点P，然后以OP为半径作小圆O，再作AD、CD、BC与小圆O相切即可得解．
【解答】（1）①选择小明．
证明：如图，过点O分别作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F，连接OA、OC，
∵OE⊥AB，且OE过圆心O，
∴AE＝，
在Rt△OAE中，OE＝，
同理CF＝，OF＝，
∵AB＝CD，
∴AE＝CF，
又∵OA＝OC，
∴OE＝OF，
即O到AB、CD的距离相等；
②选择小红．
证明：如图，连接AC，
∵AB＝CD，
∴，
∴，
即，
∴∠C＝∠A，
∴PA＝PC．
（2）①如图所示，
作法：Ⅰ，作∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，
Ⅱ，以O为圆心，适当长度为半径作⊙O，与△ABC相交；
∴⊙O即为所求．
②如图，过A作AP⊥BC于点P，
设BP＝x，则CP＝14﹣x，
在Rt△ABP中，AP2＝AB2﹣BP2＝152﹣x2，
在Rt△ACP中，AP2＝AC2﹣CP2＝132﹣（14﹣x）2，
∴152﹣x2＝132﹣（14﹣x）2，
解得x＝9，
∴BP＝9，
∴AP＝12，
∴S△ABC＝BC•AH＝84，
如图，过O分别作OH⊥AB，OG⊥BC，OK⊥AC，垂足分别为H、G、K，
S△ABC＝S△AOB+S△AOC+S△BOC
＝AB•OH+AC•OK+BC•OG
＝（AB+AC+BC）•OH
＝×（15+13+14）×OH＝84，
∴OH＝4，
设CK＝CG＝m，则AH＝AK＝13﹣m，BH＝BG＝14﹣m，
∵AB＝AH+BH，
∴15＝13﹣m+14﹣m，
解得m＝6，
∵6＜7＜8，
∴OC＜OA＜OB，
∴＝＝2，
又因为⊙O得满足与三边相交，
综上，r的范围是4＜r≤2．
故答案为：4＜r≤2．
（3）作法一：如图四边形ABCD即为所求；
作法：①过点O作OP⊥AB于点P，垂足为P，以点O为圆心，OP长为半径作小⊙O；
②以点A为圆心，AP长为半径作弧交小⊙O于点G，以点B为圆心，BP长为半径作弧交小⊙O于点H；
③连接AG、BH并延长交于点E，连接OE，交小⊙O于点F；
④过点F作OE的垂线，分别交AE、BE于点D、C；
则四边形ABCD即为所求．
作法二：如图，四边形ABCD即为所求；
作法：①以点A为圆心，AN长为半径作弧，交⊙O于点G，以点B为圆心，BM长为半径作弧，交⊙O于点H；
②连接AG，BH交于点E，连接OE；
③过点O作OP⊥AB于点P，垂足为点P，在线段OE上截取OF＝OP；
④过点F作OE的垂线，分别交AE、BE于点D、C；
则四边形ABCD即为所求．
【点评】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、切线长定理、尺规作图等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
考点卡片
1．解一元二次方程-直接开平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
2．解一元二次方程-配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
3．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
4．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
5．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
6．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
7．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
8．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
9．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
10．垂径定理
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
11．垂径定理的应用
垂径定理的应用很广泛，常见的有：
（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
12．圆心角、弧、弦的关系
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．
13．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
14．圆内接四边形的性质
（1）圆内接四边形的性质：
①圆内接四边形的对角互补．
②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．
（2）圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．
15．点与圆的位置关系
（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：
①点P在圆外⇔d＞r
②点P在圆上⇔d＝r
①点P在圆内⇔d＜r
（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．
16．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题．
17．切线的判定与性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（3）常见的辅助线的：
①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
18．正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
19．扇形面积的计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
20．圆锥的计算
（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高．
（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
（3）圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l＝πrl．
（4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl
（5）圆锥的体积＝×底面积×高
注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．
②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．
21．圆的综合题
考查的知识点比较多，一般考查垂径定理、圆周角定理、切线长定理、扇形的面积和弧长，经常与四边形一起，难度比较大．
22．作图—复杂作图
复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
23．算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则＝（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．
24．加权平均数
（1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响．
（4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
25．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
26．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．
27．方差
（1）方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．
（2）用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
（3）方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
28．概率公式
（1）随机事件A的概率P（A）＝．
（2）P（必然事件）＝1．
（3）P（不可能事件）＝0．
29．几何概率
所谓几何概型的概率问题，是指具有下列特征的一些随机现象的概率问题：设在空间上有一区域G，又区域g包含在区域G内（如图），而区域G与g都是可以度量的（可求面积），现随机地向G内投掷一点M，假设点M必落在G中，且点M落在区域G的任何部分区域g内的概率只与g的度量（长度、面积、体积等）成正比，而与g的位置和形状无关．具有这种性质的随机试验（掷点），称为几何概型．关于几何概型的随机事件“向区域G中任意投掷一个点M，点M落在G内的部分区域g”的概率P定义为：g的度量与G的度量之比，即 P＝g的测度G的测度
简单来说：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
30．列表法与树状图法
（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．
（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．
（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．
31．正弦定理与余弦定理
正弦定理与余弦定理．
正弦定理：三角形ABC的三边长分别为a、b、c，其分别对应∠A、∠B、∠C；则有．
余弦定理：在△ABC中，余弦定理可以表示为：
a2＝b2+c2﹣2bccs∠A
b2＝a2+c2﹣2accs∠B
c2＝a2+b2﹣2abcs∠C．
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对阵A队
对阵B队
得分/分
篮板/个
助攻/次
得分/分
篮板/个
助攻/次
第一场
21
10
5
25
16
2
第二场
29
10
5
28
15
5
第三场
24
14
4
17
12
4
第四场
26
10
6
22
9
5
平均数
25
11
5
23
13
4
场次
对阵A队
对阵B队
得分/分
篮板/个
助攻/次
得分/分
篮板/个
助攻/次
第一场
21
10
5
25
16
2
第二场
29
10
5
28
15
5
第三场
24
14
4
17
12
4
第四场
26
10
6
22
9
5
平均数
25
11
5
23
13
4