上海市上海财经大学附属北郊高级中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

这是一份上海市上海财经大学附属北郊高级中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题，共11页。试卷主要包含了11，； 2，D； 14，已知椭圆的右焦点为，直线．等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分）
1．已知全集，集合，，且，则实数的取值范围________．
2．若（为虚数单位），则的共轭复数为________．
3．已知函数，则________．
4．用简单随机抽样的方法从含个个体的总体中，逐个抽取一个样本量为3的样本，若其中个体在第一次就被抽取的可能性为，那么________．
5．在中，若，，，则的面积是________．
6．二项式的展开式中含的系数为________．
7．设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基，
则________．
8．已知椭圆的焦点、都在轴上，为椭圆上一点，的周长为6，且，，成等差数列，则椭圆的标准方程为________．
9．已知，若实数满足，则________．
10．已知，集合，若存在，使得集合恰有五个元素，则的范围取值为________．
11．在正方体中，，分别为，的中点，则以为直径的球的球面与该正方体的棱共有________个公共点．
12．已知实数，，成公比为的等比数列，抛物线上每一点到直线的距离均大于，则的取值范围是________．
二、选择题（共4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分）
13．一枚质地均匀的正方形骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子两次，设事件为“第一次朝上的数字是奇数”，则下列事件中与相互独立的事件是（ ）
A．第一次朝上的数字是偶数
B．第一次朝上的数字是1
C．两次朝上的数字之和是8
D．两次朝上的数字之和是7
14．已知是圆的直径，，是圆上的两点，且，则的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
15．已知等比数列的前项和为，若，则（ ）．
A．为递减数列 B．为递增数列
C．有最小项 D．有最大项
16．已知正方体的棱长为2，点是上底面正方形的中心，点是止方体棱上的点，以点为坐标原点，分别以，，所在的直线为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，若平面的一个法向量为，则点所在的棱可以是（ ）
A． B． C． D．
三、解答题（共5题，满分78分）
17．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）
在中，角、、的对边分别为、、，．
（1）求角，并计算的值；
（2）若，且是锐角三角形，求的最大值．
18．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）
如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且，，，点，分别为，的中点．
（1）证明：直线平面；
（2）求点到平面的距离．
19．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）
在神舟十五号载人飞行任务取得了圆满成功的背景下，某学校高一年级利用高考放假期间组织1200名学生参加线上航天知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题：
（1）若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人，求10人中成绩不高于50分的人数；
（2）求的值，并以样本估计总体，估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数；
（3）由首轮竞赛成绩确定甲、乙、丙三位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，丙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙、丙是否获优秀等级互不影响，求三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率．
20．本题满分18分（第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知椭圆的右焦点为，直线．
（1）若到直线的距离为，求；
（2）若直线与椭圆交于，两点，且的面积为，求；
（3）若椭圆上存在点，过作直线的垂线，垂足为，满足直线和直线的夹角为，求的取值范围．
21．（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）
定义：如果函数和的图像上分别存在点和关于轴对称，则称函数和具有关系．
（1）判断函数和是否具有关系；
（2）若函数和不具有关系，求实数的取值范围；
（3）若函数和在区间上具有关系，求实数的取值范围．
参考答案
一、填空题
1.； 2.； 3.； 4.； 5.； 6.； 7.； 8.； 9.； 10.； 11.； 12.；
11.在正方体中，，分别为，的中点，则以为直径的球的球面与该正方体的棱共有________个公共点.
【答案】
【解析】在正方体中,分别为,的中点,
设正方体中棱长为中点为,
取中点,
侧面的中心为连接,
如图,由题意得为球心，在正方体中,
则球心到的距离为
球与棱相切,球面与棱只有一个交点,同理，
根据正方体的对称性可知，其余各棱和球面也只有一个交点，
以为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12故答案为:12.
12.已知实数，，成公比为的等比数列，抛物线上每一点到直线的距离均大于，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】设抛物线上的一点为.因为成公比为的等比数列,
所以直线方程变形为,
又因为抛物线上的点到直线的距离均大于,
所以在上恒成立,
又因为恒成立,所以整理得恒成立,
那么满,解得或，
故的取值范围是.故答案为:.
二、选择题
13.D； 14.C； 15.C； 16.D
15.已知等比数列的前项和为，若，则（ ）．
A．为递减数列 B．为递增数列
C．有最小项 D．有最大项
【答案】C
【解析】由可得,所以,
因为得,所以,
因为,当时，递增，当时，摆动，错误；
当时,最小项,没有最大项,
当时，且最小项,有最大项
正确,错误。故选:.
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1）证明略 （2）
19.（1）4人 （2） （3）
20.已知椭圆的右焦点为，直线．
（1）若到直线的距离为，求；
（2）若直线与椭圆交于，两点，且的面积为，求；
（3）若椭圆上存在点，过作直线的垂线，垂足为，满足直线和直线的夹角为，求的取值范围．
【答案】（1）8 （2）2 （3）
【解析】(1)椭圆的右焦点为,
又到直线的距离为,解得（舍去）或；
(2)设直线与轴交于点,与椭圆交,,
,得,
由得,,
解得,经检验判别式大于0成立，
(3)若,直线经过,此时直线和直线的夹角为,不符合题意,
若直线和直线的夹角为且,的斜率为0或不存在,
又点在直线上,故或，
直线的方程为或,
代入椭圆方程可得：
解得或,
综上所述:的取值范围为.
21.定义：如果函数和的图像上分别存在点和关于轴对称，则称函数和具有关系．
（1）判断函数和是否具有关系；
（2）若函数和不具有关系，求实数的取值范围；
（3）若函数和在区间上具有关系，求实数的取值范围．
【答案】（1）见解析 （2） （3）
【解析】(1)由已知得,化简得解得,
故此时函数和具有关系；
(2)由已知得在上无解,，显然不满足上式，
故（当且仅当时取等号），
故时，原方程无解，即函数和不具有关系，
即所求的范围是;
(3)由已知得在上有解,即在上有解，
令,,
再令
当时,,且,故此时,
当时,易知时,,此时,
故在上递增,故在上恒成立,
即在上恒成立,故在单调递增，,
故,即,解得即为所求,故所求的范围是.