2024-2025学年人教版数学八年级上册期末 模拟练习 （真题重组卷）

这是一份2024-2025学年人教版数学八年级上册期末 模拟练习 （真题重组卷），共24页。

A．B．
C．D．
2．（2023秋•娄星区期末）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠AOB＝∠A′O′B′的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
3．（2024春•太康县期末）下面各组线段中，能组成三角形的是（ ）
A．5，11，6B．8，8，16C．10，5，4D．6，9，14
4．（2022秋•天桥区期末）如图，在△ABC中，PM、QN分别是线段AB、AC的垂直平分线，若∠BAC＝110°，则∠PAQ的度数是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
5．（2024春•连州市期末）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个公园，要使公园到三个村庄的距离相等，那么这个公园应建的位置是△ABC的（ ）
A．三条高线的交点
B．三边垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三条中线的交点
6．（2023秋•绥阳县期末）如图，衣架框内部可以近似看成一个等腰三角形，记为等腰三角形ABC，若AB＝AC＝26cm，D是BC的中点，∠ABC＝30°，则AD的长为（ ）
A．11cmB．12cmC．13cmD．14cm
7．（2022秋•鹤壁期末）将几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，例如，由图1可得等式：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．将图2所示的卡片若干张进行拼图，可以将二次三项式a2+3ab+2b2分解因式为（ ）
A．（a+b）（2a+b）B．（a+b）（3a+b）
C．（a+b）（a+2b）D．（a+b）（a+3b）
8．（2023秋•廉江市期末）如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（ ）
①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题（共8小题）
9．（2022秋•如皋市校级期末）点M（3，﹣4）关于x轴的对称点的坐标是 ．
10．（2023秋•集贤县期末）直播课期间，刘老师买了一个手机支架，如图所示，手机支架利用了三角形的 ．
11．（2023秋•龙山区期末）分解因式：a2+5a＝ ．
12．（2023秋•柳州期末）如图，△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，BC的长为半径画弧交AC于点C，E，再分别以点C与点E为圆心，大于CE长的一半为半径画弧，两弧交于点F，连接BF交AC于点D，若∠A＝40°，则∠EBD是 ．
13．（2023秋•长沙期末）如图，在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，若AB＝5，AC＝3，DF＝1，则△ABC的面积为 ．
14．（2024春•榆阳区期末）如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝3，AB＝12，则△AOB的面积是 ．
15．（2023秋•东城区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝6，D是线段AB上一个动点，以BD为边在△ABC外作等边△BDE．若F是DE的中点，当CF取最小值时，△BDE的周长为 ．
16．（2023秋•旌阳区期末）为了庆祝神舟十五号的成功发射，学校组织了一次小制作展示活动，小明计划制作一个如图所示的简易模型，已知该模型满足△ABD≌△ACE，点B和点C是对应顶点，若AB＝8cm，AD＝3cm，则DC＝ cm．
三．解答题（共7小题）
17．（2024春•高碑店市期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝30°，求：
（1）∠BAE的度数；
（2）∠DAE的度数．
18．（2024春•中宁县期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°．
（1）尺规作图：作∠A的角平分线AP，交BC于点D．（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，并标明字母）
（2）若AB＝3，BC＝4，求BD的长及△ACD的面积．
19．（2024春•玉溪期末）如图，已知AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，求证：△ABC≌△ADE．
20．（2024春•西安期末）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，延长BD交AC于E，G、F分别在BD、BC上，连接DF、GF，其中∠A＝2∠BDF，GD＝DE．
（1）当∠A＝80°时，求∠EDC的度数；
（2）求证：CF＝FG+CE．
21．（2024春•商水县期末）阅读下列材料，并完成相应的任务：
任务：（1）将凹四边形的内角和为360°的证明过程补充完整．
（2）如图3，在凹四边形ABCD中，求证：∠BCD＝∠BAD+∠B+∠D．
（3）如图4，在四边形ABCD中，已知∠A＝70°，∠B＝28°，∠BCD＝150°，求∠D的度数．
22．（2023秋•临颍县期末）实践与探索
如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
（1）上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．a2+ab＝a（a+b）
（2）请应用这个公式完成下列各题：
①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝ ．
②计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．
23．（2023秋•佛山期末）已知∠AOB＝90°，直线CD与OA交于点C，与OB交于点D，点C，D均不与点O重合，CE平分∠DCO，DE平分∠CDO．
（1）如图1，当∠OCD＝40°时，求∠CED的度数；
（2）如图2，延长CE与BO交于点F，过E作射线EG与CD交于点G，且满足∠CFO﹣∠GED＝45°．求证：GE∥DO；
（3）如图3，过点C作CM⊥CN，MN是∠COD的外角平分线所在直线，与射线CE交于点N，与CM交于点M．在△CMN中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出∠CDE的度数．
期末真题重组卷-2024-2025学年数学八年级上册人教版
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2023秋•通河县期末）下面四幅作品分别代表“立春”、芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、不是轴对称图形
B、不是轴对称图形
C、不是轴对称图形
D、是轴对称图形；
故选：D．
2．（2023秋•娄星区期末）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠AOB＝∠A′O′B′的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
【解答】解：在△ODC和△O′D′C′中，
，
∴△ODC≌△O′C′D′（SSS），
∴∠AOB＝∠A′O′B′．
故选：A．
3．（2024春•太康县期末）下面各组线段中，能组成三角形的是（ ）
A．5，11，6B．8，8，16C．10，5，4D．6，9，14
【解答】解：A、∵5+6＝11，∴不能组成三角形，故A选项错误；
B、∵8+8＝16，∴不能组成三角形，故B选项错误；
C、∵5+4＜10，∴不能组成三角形，故C选项错误；
D、∵6+9＞14，∴能组成三角形，故D选项正确．
故选：D．
4．（2022秋•天桥区期末）如图，在△ABC中，PM、QN分别是线段AB、AC的垂直平分线，若∠BAC＝110°，则∠PAQ的度数是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
【解答】解：∵∠BAC＝110°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝70°，
∵PM、QN分别是线段AB、AC的垂直平分线，
∴AP＝BP，CQ＝AQ，
∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，
∴∠BAP+∠CAQ＝∠B+∠C＝70°，
∵∠BAC＝110°，
∴∠PAQ＝∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）＝110°﹣70°＝40°，
故选：A．
5．（2024春•连州市期末）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个公园，要使公园到三个村庄的距离相等，那么这个公园应建的位置是△ABC的（ ）
A．三条高线的交点
B．三边垂直平分线的交点
C．三条角平分线的交点
D．三条中线的交点
【解答】解：∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，
∴这个公园应建的位置是△ABC的三边垂直平分线的交点上．
故选：B．
6．（2023秋•绥阳县期末）如图，衣架框内部可以近似看成一个等腰三角形，记为等腰三角形ABC，若AB＝AC＝26cm，D是BC的中点，∠ABC＝30°，则AD的长为（ ）
A．11cmB．12cmC．13cmD．14cm
【解答】解：∵AB＝AC＝26cm，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABC＝30°，
∴AD＝AB＝13（cm），
故选：C．
7．（2022秋•鹤壁期末）将几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，例如，由图1可得等式：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．将图2所示的卡片若干张进行拼图，可以将二次三项式a2+3ab+2b2分解因式为（ ）
A．（a+b）（2a+b）B．（a+b）（3a+b）
C．（a+b）（a+2b）D．（a+b）（a+3b）
【解答】解：a2+3ab+2b2＝（a+b）（a+2b），
故选：C．
8．（2023秋•廉江市期末）如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（ ）
①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：①过点P作PD⊥AC于D，
∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，
∴PM＝PN，PM＝PD，
∴PN＝PD，
∵PN⊥BF，PD⊥AC，
∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，
∴∠ABC+∠MPN＝180°，
在Rt△PAM和Rt△PAD中，
，
∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），
∴∠APM＝∠APD，
同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），
∴∠CPD＝∠CPN，
∴∠MPN＝2∠APC，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确；
③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，
∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM＝∠ABC+∠APB，
∴∠ACB＝2∠APB，③正确；
④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）
∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，
∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④正确，
故选：D．
二．填空题（共8小题）
9．（2022秋•如皋市校级期末）点M（3，﹣4）关于x轴的对称点的坐标是 （3，4） ．
【解答】解：点M（3，﹣4）关于x轴的对称点M′的坐标是（3，4）．
故答案为：（3，4）．
10．（2023秋•集贤县期末）直播课期间，刘老师买了一个手机支架，如图所示，手机支架利用了三角形的 稳定性 ．
【解答】解：手机支架利用了三角形的稳定性，
故答案为：稳定性．
11．（2023秋•龙山区期末）分解因式：a2+5a＝ a（a+5） ．
【解答】解：∵a2+5a公有因式为a，
∴原式＝a（a+5），
故答案为：a（a+5）．
12．（2023秋•柳州期末）如图，△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，BC的长为半径画弧交AC于点C，E，再分别以点C与点E为圆心，大于CE长的一半为半径画弧，两弧交于点F，连接BF交AC于点D，若∠A＝40°，则∠EBD是 20° ．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ACB＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
由题意可知，BC＝BE，
∴∠BEC＝∠ACB＝70°，
∴∠CBE＝180°﹣70°×2＝40°，
∴∠EBD＝∠CBE＝20°．
故答案为：20°．
13．（2023秋•长沙期末）如图，在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，若AB＝5，AC＝3，DF＝1，则△ABC的面积为 4 ．
【解答】解：∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，
∴DE＝DF＝1，
∵AB＝5，AC＝3，
∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD
＝AB•DE+AC•DF
＝×5×1+×3×1
＝+
＝4．
故答案为：4．
14．（2024春•榆阳区期末）如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝3，AB＝12，则△AOB的面积是 18 ．
【解答】解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，
∵BO平分∠ABC，OD⊥BC，
∴OE＝OD＝3，
∴△AOB的面积＝，
故答案为：18．
15．（2023秋•东城区期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝6，D是线段AB上一个动点，以BD为边在△ABC外作等边△BDE．若F是DE的中点，当CF取最小值时，△BDE的周长为 18 ．
【解答】解：连接BF，过点C作CH⊥BF．交BF的延长线于H，
∵△BDE是等边三角形，点F是DE的中点，
∴∠ABF＝30°，
∴点F在射线BF上运动，
当点F与点H重合时，CF最小，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠A＝60°，AB＝2AC＝12，
∵∠ABF＝30°，
∴∠BD'H＝∠AD'C＝60°，
∴△ACD'是等边三角形，
∴AD'＝AC＝6，
∴BD'＝AB﹣AD'＝12﹣6＝6，
∴△BDE的周长为：18，
故答案为：18．
16．（2023秋•旌阳区期末）为了庆祝神舟十五号的成功发射，学校组织了一次小制作展示活动，小明计划制作一个如图所示的简易模型，已知该模型满足△ABD≌△ACE，点B和点C是对应顶点，若AB＝8cm，AD＝3cm，则DC＝ 5 cm．
【解答】解：∵△ABD≌△ACE，
∴AC＝AB＝8cm，
∵AD＝3cm，
∴CD＝AC﹣AD＝5（cm）．
故答案为：5．
三．解答题（共7小题）
17．（2024春•高碑店市期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝30°，求：
（1）∠BAE的度数；
（2）∠DAE的度数．
【解答】解：（1）∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C
＝180°﹣70°﹣30°
＝80°．
∵AE平分∠BAC，
∴．
（2）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B
＝90°﹣70°
＝20°．
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD
＝40°﹣20°
＝20°．
18．（2024春•中宁县期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°．
（1）尺规作图：作∠A的角平分线AP，交BC于点D．（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，并标明字母）
（2）若AB＝3，BC＝4，求BD的长及△ACD的面积．
【解答】解：（1）如图，AP即为所求；
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC＝＝，
由（1）知，AD平分∠BAC，
∴点D到AC的距离＝BD的长
设BD＝x，
∴＝，
解得x＝，
∴BD＝，
∴S△ACD＝＝．
19．（2024春•玉溪期末）如图，已知AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，求证：△ABC≌△ADE．
【解答】证明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS）．
20．（2024春•西安期末）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，延长BD交AC于E，G、F分别在BD、BC上，连接DF、GF，其中∠A＝2∠BDF，GD＝DE．
（1）当∠A＝80°时，求∠EDC的度数；
（2）求证：CF＝FG+CE．
【解答】（1）解：方法一：∵∠A＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝100°，
∵BE平分∠ABC、CD平分∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB＝50°，
∴∠EDC＝∠DBC+∠DCB＝50°；
方法二：如图，在BC上取点M，使CM＝CE，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
在△CDE和△CDM中，
，
∴△CDE≌△CDM（SAS），
∴DE＝DM，∠DEC＝∠DMC，∠EDC＝∠MDC，
∵GD＝DE，
∴GD＝MD，
∵∠DEC+∠AEB＝180°，∠DMC+∠DMF＝180°，
∴∠AEB＝∠DMF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝ABC，
∴∠BDM＝180°﹣ABC﹣∠DMB＝180°﹣ABC﹣∠AEB＝∠A＝80°，
∴∠EDM＝100°，
∴∠EDC＝50°；
（2）证明：∵∠A＝2∠BDF，
∴∠BDM＝2∠BDF，
∴∠FDM＝∠BDF，
在△DGF和△DMF中，
，
∴△DGF≌△DMF（SAS），
∴GF＝MF，
∴CF＝CM+FM＝CE+GF．
∴CF＝FG+CE．
21．（2024春•商水县期末）阅读下列材料，并完成相应的任务：
任务：（1）将凹四边形的内角和为360°的证明过程补充完整．
（2）如图3，在凹四边形ABCD中，求证：∠BCD＝∠BAD+∠B+∠D．
（3）如图4，在四边形ABCD中，已知∠A＝70°，∠B＝28°，∠BCD＝150°，求∠D的度数．
【解答】解：（1）∵∠DAC+∠D+∠ACD＝180°，
∵凹四边形的内角和＝∠BAC+∠B+∠ACB+∠DAC+∠D+∠ACD，
∴∠BAC+∠B+∠ACB+∠DAC+∠D+∠ACD＝360°，
∴∠BAD+∠B+∠α+∠D＝360°，
∴凹四边形ABCD的内角和为360°．
（2）∵∠BAD+∠B+∠α+∠D＝360°，
∴∠BAD+∠B+∠D＝360°﹣∠α．
∵∠α+∠BCD＝360°，
∴∠BCD＝360°﹣∠α，
∴∠BCD＝∠BAD+∠B+∠D．
（3）由（2）可知，∠BCD＝∠A+∠B+∠D．
∵∠A＝70°，∠B＝28°，∠BCD＝150°，
∴150°＝70°+28°+∠D，
∴∠D＝150°﹣70°﹣28°＝52°．
22．（2023秋•临颍县期末）实践与探索
如图1，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）．
（1）上述操作能验证的等式是 A ；（请选择正确的一个）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2
C．a2+ab＝a（a+b）
（2）请应用这个公式完成下列各题：
①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝ 4 ．
②计算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．
【解答】解：（1）图1中阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2，
图2中的阴影部分是长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），
所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故答案为：A；
（2）①∵4a2﹣b2＝24，
∴（2a+b）（2a﹣b）＝24，
又∵2a+b＝6，
∴6（2a﹣b）＝24，
即2a﹣b＝4，
故答案为：4；
②∵1002﹣992＝（100+99）（100﹣99）＝100+99，
982﹣972＝（98+97）（98﹣97）＝98+97，
…
22﹣12＝（2+1）（2﹣1）＝2+1，
∴原式＝100+99+98+97+…+4+3+2+1＝5050．
23．（2023秋•佛山期末）已知∠AOB＝90°，直线CD与OA交于点C，与OB交于点D，点C，D均不与点O重合，CE平分∠DCO，DE平分∠CDO．
（1）如图1，当∠OCD＝40°时，求∠CED的度数；
（2）如图2，延长CE与BO交于点F，过E作射线EG与CD交于点G，且满足∠CFO﹣∠GED＝45°．求证：GE∥DO；
（3）如图3，过点C作CM⊥CN，MN是∠COD的外角平分线所在直线，与射线CE交于点N，与CM交于点M．在△CMN中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出∠CDE的度数．
【解答】（1）解：∵∠OCD＝40°，∠AOB＝90°，
∴∠CDO＝50°，
∵CE平分∠DCO，DE平分∠CDO，
∴∠DCE＝∠OCE＝∠DCO，∠CDE＝∠ODE＝∠CDO，
∴∠DCE＝20°，∠CDE＝25°，
∴∠CED＝180°﹣∠DCE﹣∠CDE＝135°；
（2）证明：∵CE平分∠DCO，DE平分∠CDO，
∴∠DCE＝∠OCE＝∠DCO，∠CDE＝∠ODE＝∠CDO，
∴∠CED＝180°﹣∠DCE﹣∠CDE
＝180°﹣（∠DCO+∠CDO）
＝180°﹣（180°﹣∠O）
＝180°﹣90°+∠O
＝90°+45°
＝135°．
∵∠CED＝∠CFD+∠EDF，∠CFD＝180°﹣∠CFO，
∴∠CED＝180°﹣∠CFO+∠EDF，
∵∠CFO﹣∠GED＝45°，
∴∠CFO＝∠GED+45°，
∴∠CED＝180°﹣（∠GED+45°）+∠EDF，
∴135°＝∠180°﹣∠GED﹣45°+∠EDF，
∴∠GED＝∠EDF，
∴GE∥DO；
（3）解：①当∠MCN＝3∠N时，
∵CM⊥CN，
∴∠MCN＝90°，
∴∠N＝∠MCN＝30°，
∴∠M＝60°．
∵∠COD＝90°，
∴∠DON＝45°，
∴∠COM＝45°．
∴∠MCO＝180°﹣∠M﹣∠COM＝75°．
∴∠NCO＝90°﹣∠MCO＝15°．
∵CE平分∠DCO，
∴∠DCO＝2∠NCO＝30°，
∴∠CDO＝90°﹣∠DCO＝60°，
∵DE平分∠CDO，
∴∠CDE＝∠CDO＝30°；
②当∠M＝3∠N时，
∵CM⊥CN，
∴∠MCN＝90°，
∴∠M+∠N＝90°，
∴∠N＝22.5°，∠M＝67.5°，
∵∠COD＝90°，
∴∠DON＝45°，
∴∠COM＝45°．
∴∠MCO＝180°﹣∠M﹣∠COM＝67.5°．
∴∠NCO＝90°﹣∠MCO＝22.5°．
∵CE平分∠DCO，
∴∠DCO＝2∠NCO＝45°，
∴∠CDO＝90°﹣∠DCO＝45°，
∵DE平分∠CDO，
∴∠CDE＝∠CDO＝22.5°．
综上，在△CMN中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，∠CDE的度数为30°或22.5°．
我们把如图1所示的四边形称为凸四边形，它的内角和为360°，把如图2所示的五边形称为凸五边形，它的内角和为540°．我们把如图3所示的四边形称为凹四边形，它的内角和是360°吗？答案是肯定的．它的证明方法和证明凸四边形的内角和为360°的方法相同．证明方法如下：如图3，连接AC．∵∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，…，
我们把如图1所示的四边形称为凸四边形，它的内角和为360°，把如图2所示的五边形称为凸五边形，它的内角和为540°．我们把如图3所示的四边形称为凹四边形，它的内角和是360°吗？答案是肯定的．它的证明方法和证明凸四边形的内角和为360°的方法相同．证明方法如下：如图3，连接AC．∵∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，…，