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广东省深圳市罗湖区2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题
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这是一份广东省深圳市罗湖区2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题，共25页。
1． 不透明袋子中装有白球2个，红球1个，这些球除了颜色外无其他差别. 从袋子中随机取出1个球，取出白球的概率是 ( )
A．23B．12C．13D．1
2． 以下一元二次方程有两个相等实数根的是 ( )
A．x2-6x=0B．x2-9=0C．x2-6x+9=0D．x2-6x+6=0
3． 某市2022年底森林覆盖面积为akm2；为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2024年底森林覆盖面积为bkm2 (b>a)，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，则符合题意的方程是( )
A．a(1+x)=bB．a1+x2=bC．a(1+2x)=bD．a1+2x2=b
4．下列命题正确的是（ ）
A．正方形的对角线相等且互相平分
B．对角互补的四边形是平行四边形
C．矩形的对角线互相垂直
D．一组邻边相等的四边形是菱形
5． 如图，一块面积为60cm2的三角形硬纸板(记为△ABC)平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1， 若AB：A1B1=2：5，则△A1B1C1的面积是( )
A．90cm2B．135cm2C．150cm2D．375cm2
6． 如图， 菱形ABCD中， 连接AC， BD， 若∠1=20°， 则∠2的度数为( )
A．40°B．50°C．60°D．70°
7． 如图， 点E为□ABCD的对角线BD上一点， DE=1， BE=5， 连接AE并延长至点F， 使得AE=EF， 则CF为( )
A．3B．72C．4D．92
8． 如图，菱形ABCD 的边长为3，∠ADC=60°，过点D作DE⊥AB，交BA的延长线于点E，连结CE分别交 BD， AD 于点G， F， 则FG的长为( )
A．75B．275C．375D．475
二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分
9． 质检部门从1000件电子元件中随机抽取100件进行检测，其中有3件是次品.试据此估计这批电子元件中大约有 件次品.
10． 已知一元二次方程. x2-3x+m=0的一个根为1，则另一个根为 .
11． 已知 ab=25, 则 a+bb的值为 .
12． 如图， 已知E， F分别是正方形 ABCD的边AB， BC上的点， 且DE、DF分别交对角线AC相交于 M、N， 若∠EDF=40°， 则∠BME + ∠BNF = 度.
13． 如图， 在Rt△ABC中， ∠C=90°， BD是△ABC的一条角平分线， E为BD 中点， 连接AE.若AE=AC， CD=4， 则AD= .
三、解答题(本题共7小题, 其中第14题8分, 第15题5分, 第16题7分, 第17题8分, 第18题9分, 第19题12分, 第20题12分, 共61分
14．解方程：
（1）x2+2x-3=0
（2） 2x(x-1)=3-3x
15．已知 a3=b4=c5,a+b+c=24,求a-b+c 的值.
16．为了解同学们最喜欢一年四季中的哪个季节，数学社在全校随机抽取部分同学进行问卷调查，根据调查结果，得到如下两幅不完整的统计图.
根据图中信息，解答下列问题：
（1） 此次调查一共随机抽取了 名同学； 扇形统计图中，“春季”所对应的扇形的圆心角的度数为 度；
（2） 若该学校有1500名同学，请估计该校最喜欢冬季的同学的人数是 人；
（3）现从最喜欢夏季的3名同学A，B，C中，随机选两名同学去参加学校组织的“我爱夏天”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求恰好选到A，B去参加比赛的概率.
17． 如图， 点 E、F、G、H分别是□ABCD各边的中点，连接AF、CE 相交于点M，连接AG、CH相交于点 N， 且AM=AN.
（1） 求证： 四边形AMCN 是菱形；
（2） 若△AEM的面积为2， 求四边形AMCN 的面积.
18．某商店以320元的成本收购了某农产品40kg，目前可以以12元/ kg的价格出售，如果储藏起来，每周会损失1kg，且每星期需要支付各种费用20元，但同时每周每吨的价格上涨4元，设商店储存x周后直接出售，
（1） 则可售出农产品重量是 kg，售出的农产品的价格为 元/kg.
（2） 商店储藏多少周出售这批农产品可获利1184元?
19．【发现问题】
小明在课外书上遇到了下面这道题：已知点A (2，3)，B(4，5)，求线段AB的长度.小明经过思考以后，发现这类问题可以通过勾股定理来解决.思路如下：在平面直角坐标系中，设 P1x1y1,P2x2y2,要求线段. P1P2的长度可以用如下的方法，如图，过 P1作x轴的垂线，垂足为A，过. P2作x轴的垂线，垂足为B，线段AB 长度可表示 AB=x2-x1,过 P1作y轴的垂线，垂足为C，过 P2作y轴的垂线，垂足为D，延长 CP1交 P2B于点E，则线段CD的长度可以表示 CD=y2-y1,且 CD=P2E, 在 Rt△P1P2E中， ∠P1EP2=90°,根据勾股定理可得：
P1P2=P1E2+P2E2=x2-x12+y2-y12
（1） 【解决问题】
①则线段AB 长度是 ；
②如果点N(-3，5)， 点 M-5-7,则线段MN长度是 .
（2） 【知识迁移】
①点. P3-23,P435,请在x轴上找一点P，使得 PP4-PP3的值最大，请直接写出这个最大值是 .
②点 P3-23,P435,请在x轴上找一点P'，使得. P'P4+P'P3最小，请直接写出这个最小值是 .
（3） 【拓展延伸】
①代数式 x2-8x+41+x2-4x+13的最小值是 .
②代数式 x2-24x+153-x2+4的最大值是 .
20．如图1，在正方形ABCD中，点E是BC上一动点，将正方形沿着AE折叠，使点B落在F处， 连接BF、AF， 延长BF交CD 于点 G.
（1） 【初步探究】在 E的运动过程中，△ABE与△BCG始终保持全等的关系，请说明理由.
（2） 【深入探究】把图1中的AF 延长交CD于点H， 如图2， 若 HCHF=34,BE=7,求线段CE的长.
（3） 【拓展延伸】如图3， 将正方形改成矩形， 同样沿AE折叠， 连接BF， 延长BF、AF交直线CD与点 G、H两点，若 BCAB=m,HCHF=34,直接写出 CEBE的值 (用含m 的代数式表示).
答案解析部分
广东省深圳市罗湖区2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题
一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的
1． 不透明袋子中装有白球2个，红球1个，这些球除了颜色外无其他差别. 从袋子中随机取出1个球，取出白球的概率是 ( )
A．23B．12C．13D．1
【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵袋子中装有3个球，其中有1个红球、2个白球，
∴从袋子中随机摸出一个球，摸到白球的概率为：23．
故答案为：A．
【分析】先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
2． 以下一元二次方程有两个相等实数根的是 ( )
A．x2-6x=0B．x2-9=0C．x2-6x+9=0D．x2-6x+6=0
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、∵x2-6x=0，解得：x1=0，x2=6，∴一元二次方程有两个不相等的实数根，∴A不符合题意；
B、∵x2-9=0，解得：x1=-3，x2=3，∴一元二次方程有两个不相等的实数根，∴B不符合题意；
C、∵x2-6x+9=0，解得：x1=x2=3，∴一元二次方程有两个相等的实数根，∴C符合题意；
D、∵x2-6x+6=0，△=（-6）2-4×1×6=12>0，∴一元二次方程有两个不相等的实数根，∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】先利用解一元二次方程的计算方法分别求出每一项方程的解，再判断即可.
3． 某市2022年底森林覆盖面积为akm2；为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2024年底森林覆盖面积为bkm2 (b>a)，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，则符合题意的方程是( )
A．a(1+x)=bB．a1+x2=bC．a(1+2x)=bD．a1+2x2=b
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，
根据题意可得：a1+x2=b，
故答案为：B.
【分析】设这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，再结合“ 2024年底森林覆盖面积为bkm2 (b>a) ”列出方程a1+x2=b即可.
4．下列命题正确的是（ ）
A．正方形的对角线相等且互相平分
B．对角互补的四边形是平行四边形
C．矩形的对角线互相垂直
D．一组邻边相等的四边形是菱形
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；正方形的性质
【解析】【解答】解：
A、正方形的对角线相等且互相平分，原命题正确，A符合题意；
B、对角相等的四边形是平行四边形，原命题错误，B不符合题意；
C、菱形的对角线互相垂直，原命题错误，C不符合题意；
D、一组邻边相等的平行四边形是菱形，原命题错误，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据正方形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质结合题意对选项逐一分析即可求解。
5． 如图，一块面积为60cm2的三角形硬纸板(记为△ABC)平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1， 若AB：A1B1=2：5，则△A1B1C1的面积是( )
A．90cm2B．135cm2C．150cm2D．375cm2
【答案】D
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：根据题意可知，△A1B1C1与△ABC是位似图形，且位似比为：2：5，
∴S△ABCS△A'B'C'=252=425，
∵S△ABC＝60（cm2），
∴△A1B1C1的面积是60÷425＝375（cm2），
故答案为：D．
【分析】利用位似图形的性质可得S△ABCS△A'B'C'=252=425，再结合S△A1B1C1＝60（cm2），求出△A1B1C1的面积即可.
6． 如图， 菱形ABCD中， 连接AC， BD， 若∠1=20°， 则∠2的度数为( )
A．40°B．50°C．60°D．70°
【答案】D
【知识点】角的运算；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，AC⊥BD，
∴∠DCA＝∠1＝20°，
∴∠2＝90°−∠DCA＝70°，
故答案为：D．
【分析】先利用菱形的性质及平行线的性质可得∠DCA＝∠1＝20°，再利用角的运算求出∠2＝90°−∠DCA＝70°即可.
7． 如图， 点E为□ABCD的对角线BD上一点， DE=1， BE=5， 连接AE并延长至点F， 使得AE=EF， 则CF为( )
A．3B．72C．4D．92
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AC交BD于O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，OD＝12BD，
∵AE＝EF，
∴OE是△ACF的中位线，
∴FC＝2OE，
∵DE＝1，BE＝5，
∴BD＝1＋5＝6，
∴OD＝12×6＝3，
∴OE＝OD−DE＝3−1＝2，
∴FC＝2OE＝4．
故答案为：C．
【分析】连接AC交BD于O，先证出OE是△ACF的中位线，利用中位线的性质可得FC＝2OE，再利用线段的和差求出BD的长和OE的长，最后求出FC＝2OE＝4即可．
8． 如图，菱形ABCD 的边长为3，∠ADC=60°，过点D作DE⊥AB，交BA的延长线于点E，连结CE分别交 BD， AD 于点G， F， 则FG的长为( )
A．75B．275C．375D．475
【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝CD＝AD＝3，∠ABC＝ADC＝60°，AB//CD，
∴∠EAD＝∠ADC＝60°，∠ABD＝12∠ABC＝30°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝∠EDC＝90°，
在Rt△ADE中，∵AE＝12AD＝32，
∴DE＝3AE＝332，
在Rt△CDE中，CE＝DE2+CD2=3322+32=372，
∵BE//CD，
∴△BEG∽△DCG，
∴EGCG=BECD=923=32，
∴EGEC=35，
∴EG＝35×372=9710，
∵AE//CD，
∴△AEF∽△DCF，
∴EFCF=AECD=323=12，
∴EFCE=13，
∴EF＝13×372=72，
∴FG＝EG−EF＝9710-72=275．
故答案为：B．
【分析】先利用菱形的性质及角的运算求出∠ABD＝12∠ABC＝30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得DE＝3AE＝332，利用勾股定理求出CE的长，再证出△BEG∽△DCG，利用相似三角形的性质可得EGCG=BECD=923=32，再将数据代入求出EG的长，再证出△AEF∽△DCF，利用相似三角形的性质可得EFCF=AECD=323=12，再将数据代入求出EF的长，最后利用线段的和差求出FG的长即可.
二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分
9． 质检部门从1000件电子元件中随机抽取100件进行检测，其中有3件是次品.试据此估计这批电子元件中大约有 件次品.
【答案】30
【知识点】用样本的频数估计总体的频数
【解析】【解答】解：根据题意可得：1000×3100=30（件），
∴这批电子元件中大约有30件次品，
故答案为：30.
【分析】先求出抽样中次品率，再乘以1000即可得到答案.
10． 已知一元二次方程. x2-3x+m=0的一个根为1，则另一个根为 .
【答案】2
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：将x=1代入x2-3x+m=0，可得：1-3+m=0，
解得：m=2，
∴一元二次方程为x2-3x+2=0，
∴（x-2）（x-1）=0，
解得：x1=1，x2=2，
∴方程的另一个根式2，
故答案为：2.
【分析】先将x=1代入方程求出m的值可得一元二次方程为x2-3x+2=0，再求出方程的解即可.
11． 已知 ab=25, 则 a+bb的值为 .
【答案】75
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵ab=25，
∴a=25b，
∴a+bb=25b+bb=75，
故答案为：75.
【分析】先利用比例线段的性质可得a=25b，再将其代入a+bb计算即可.
12． 如图， 已知E， F分别是正方形 ABCD的边AB， BC上的点， 且DE、DF分别交对角线AC相交于 M、N， 若∠EDF=40°， 则∠BME + ∠BNF = 度.
【答案】80
【知识点】角的运算；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：连接BD，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BAC＝∠DAC＝∠BCA＝∠DCA＝45°，
在△AMB和△AMD中，
AB=AD∠BAC=∠DACAM=AM，
∴△AMB≌△AMD（SAS），
∴MB＝MD，
∴∠MBD＝∠MDB，
∴∠BME＝∠MBD＋∠MDB＝2∠MDB，
同理：△BCN≌△DCN（SAS），
∴NB＝ND，
∴∠NBD＝∠NDB，
∴∠BNF＝∠NBD＋∠NDB＝2∠NDB，
∴∠BME＋∠BNF＝2（∠MDB＋∠NDB）＝2∠EDF＝80°．
故答案为：80．
【分析】连接BD，先利用“SAS”证出△AMB≌△AMD，可得MB＝MD，再利用“SAS”证出△BCN≌△DCN，可得NB＝ND，利用等边对等角的性质可得∠NBD＝∠NDB，最后利用角的运算及等量代换可得∠BME＋∠BNF＝2（∠MDB＋∠NDB）＝2∠EDF＝80°．
13． 如图， 在Rt△ABC中， ∠C=90°， BD是△ABC的一条角平分线， E为BD 中点， 连接AE.若AE=AC， CD=4， 则AD= .
【答案】1+17
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定；三角形的综合；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接CE，过E作EF⊥AC于F，如图所示：
设AD＝x，则AC＝AD＋CD＝x＋4，
∵∠ACB＝90°，E为BD中点，
∴CE＝BE＝DE＝12BD，
∴∠CBE＝∠BCE，∠ECD＝∠EDC，
∴∠CED＝2∠CBD，
∵AE＝AC，
∴∠ECD＝∠AEC，
∴∠AEC＝∠EDC，
∵∠ECD＝∠ACE，
∴△ECD∽△ACE，
∴CEAC=CDCE，∠CED＝∠CAE，
∴CE2＝CD×AC＝4（x＋4）＝4x＋16，
∵BD平分∠CBA，
∴∠CBA＝2∠CBD，
∴∠CBA＝∠CED，
∴∠CBA＝∠CAE，
∵∠ACB＝90°＝∠AFE，
∴△BAC∽△AEF，
∴BCAF=ACEF，
∵CE＝DE，EF⊥BC，
∴CF＝DF＝12CD＝2，
∵E为BD中点，
∴BC＝2EF，
∴2EFx+2=x+4EF，
∴2EF2＝（x＋2）（x＋4），
∵EF2＝CE2−CF2，
∴x+2x+42=4x+16-22，
解得：x＝1＋17或x＝1−17（舍去），
∴BD＝1＋17．
故答案为：1＋17．
【分析】连接CE，过E作EF⊥AC于F，设AD＝x，则AC＝AD＋CD＝x＋4，先证出△ECD∽△ACE，再利用相似三角形的性质可得CEAC=CDCE，∠CED＝∠CAE，再将数据代入可得CE2＝CD×AC＝4（x＋4）＝4x＋16，再证出△BAC∽△AEF，可得BCAF=ACEF，再求出CF＝DF＝12CD＝2，再结合2EFx+2=x+4EF，可得2EF2＝（x＋2）（x＋4），再将数据代入可得x+2x+42=4x+16-22，最后求出x的值即可.
三、解答题(本题共7小题, 其中第14题8分, 第15题5分, 第16题7分, 第17题8分, 第18题9分, 第19题12分, 第20题12分, 共61分
14．解方程：
（1）x2+2x-3=0
（2） 2x(x-1)=3-3x
【答案】（1）解：（x-1）（x+3）=0，
∴x-1=0或x+3=0，
解得：x1=1，x2=-3.
（2）解：（x-1）（2x+3）=0，
∴x-1=0或2x+3=0，
解得：x1=1，x2=-32.
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用十字相乘法（先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数）的计算方法及步骤分析求解即可；
（2）利用因式分解法（先提取公因式，再利用平方差公式或完全平方公式将多项式和的形式变成乘积的形式）的计算方法及步骤分析求解即可.
15．已知 a3=b4=c5,a+b+c=24,求a-b+c 的值.
【答案】解：设a3=b4=c5=k，
∴a=3k,b=4k,c=5k，
根据题意可得：3k+4k+5k=24，
解得：k=2，
∴a=6,b=8,c=10，
∴a-b+c=6-8+10=8.
【知识点】比例线段
【解析】【分析】利用设k法可得a=3k，b=4k，c=5k，再结合a+b+c=24，可得3k+4k+5k=24，求出k的值，可得a、b、c的值，最后将其代入a-b+c计算即可.
16．为了解同学们最喜欢一年四季中的哪个季节，数学社在全校随机抽取部分同学进行问卷调查，根据调查结果，得到如下两幅不完整的统计图.
根据图中信息，解答下列问题：
（1） 此次调查一共随机抽取了 名同学； 扇形统计图中，“春季”所对应的扇形的圆心角的度数为 度；
（2） 若该学校有1500名同学，请估计该校最喜欢冬季的同学的人数是 人；
（3）现从最喜欢夏季的3名同学A，B，C中，随机选两名同学去参加学校组织的“我爱夏天”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求恰好选到A，B去参加比赛的概率.
【答案】（1）120；108
（2）150
（3）解：列表如下：
根据表格得，共有6种等可能的情况，其中恰好选到A，B的有2种情况，所以恰好选到A，B去参加比赛的概率＝26＝13．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本的频数估计总体的频数
【解析】【解答】解：（1）此次调查一共随机抽取了18÷15%＝120（名）同学；
在扇形统计图中，“春季”所对应的扇形的圆心角的度数为360°×36120＝108°，
故答案为：120，108°；
（2）根据题意可得：1500×12120＝150（人），
答：估计该校最喜欢冬季的同学的人数为150人.
【分析】（1）利用“夏季”的人数除以对应的百分比可得总人数，再求出“春季”的百分比并乘以360°可得其对应的圆心角；
（2）先求出“冬季”的百分比，再乘以1500可得答案；
（3）先利用列表法求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
17． 如图， 点 E、F、G、H分别是□ABCD各边的中点，连接AF、CE 相交于点M，连接AG、CH相交于点 N， 且AM=AN.
（1） 求证： 四边形AMCN 是菱形；
（2） 若△AEM的面积为2， 求四边形AMCN 的面积.
【答案】（1）证明：∵H，F分别是AD，BC的中点，
∴AH//FC且AH=FC，
∴四边形AFCH是平行四边形，
∴AF//CH，
∵E，G分别是AB，CD的中点，
∴AE//CG且AE=CG，
∴四边形AECG是平行四边形，
∴AG//CE，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵AM=AN，
∴四边形AMCN是菱形.
（2）解：连接AC，EF，如图所示：
∵E，F分别是AB，BC中点，∴EF//AC且EFAC=12，
∵ △EMF∽△CMA，
∴EFAC=EMMC=12，
∴S△CMA=2S△AEM=4，
∴S四边形AMCN=2S△CMA=8.
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）先利用平行四边形的判定方法和性质证出四边形AMCN是平行四边形，再结合AM=AN，证出四边形AMCN是菱形即可；
（2）连接AC，EF，先利用中位线的性质可得EF//AC且EFAC=12，再利用相似三角形的性质可得EFAC=EMMC=12，再结合S△CMA=2S△AEM=4，求出S四边形AMCN=2S△CMA=8即可.
18．某商店以320元的成本收购了某农产品40kg，目前可以以12元/ kg的价格出售，如果储藏起来，每周会损失1kg，且每星期需要支付各种费用20元，但同时每周每吨的价格上涨4元，设商店储存x周后直接出售，
（1） 则可售出农产品重量是 kg，售出的农产品的价格为 元/kg.
（2） 商店储藏多少周出售这批农产品可获利1184元?
【答案】（1）40-x；12+4x
（2）解：根据题意得：（40−x）（12＋4x）−320−20x＝1184，
整理得：x2−32x＋256＝0，
解得：x1＝x2＝16，
答：商场储藏16周出售这批农产品可获利1184元
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）设商店储存x周后直接出售，
∴可售出农产品重量是（40−x）kg，售出的农产品的价格为（12＋4x）元/kg.
故答案为：（40−x），（12＋4x）.
【分析】（1）根据“ 如果储藏起来，每周会损失1kg ”可得商店储存x周后直接出售，可售出农产品重量是（40−x）kg，再结合“ 目前可以以12元/ kg的价格出售 ”和“ 每周每吨的价格上涨4元 ”可得商店储存x周后直接出售， 售出的农产品的价格为 （12＋4x）元/kg；
（2）利用“总利润=每件利润×总数量-其他费用”列出方程（40−x）（12＋4x）−320−20x＝1184，再求解即可.
19．【发现问题】
小明在课外书上遇到了下面这道题：已知点A (2，3)，B(4，5)，求线段AB的长度.小明经过思考以后，发现这类问题可以通过勾股定理来解决.思路如下：在平面直角坐标系中，设 P1x1y1,P2x2y2,要求线段. P1P2的长度可以用如下的方法，如图，过 P1作x轴的垂线，垂足为A，过. P2作x轴的垂线，垂足为B，线段AB 长度可表示 AB=x2-x1,过 P1作y轴的垂线，垂足为C，过 P2作y轴的垂线，垂足为D，延长 CP1交 P2B于点E，则线段CD的长度可以表示 CD=y2-y1,且 CD=P2E, 在 Rt△P1P2E中， ∠P1EP2=90°,根据勾股定理可得：
P1P2=P1E2+P2E2=x2-x12+y2-y12
（1） 【解决问题】
①则线段AB 长度是 ；
②如果点N(-3，5)， 点 M-5-7,则线段MN长度是 .
（2） 【知识迁移】
①点. P3-23,P435,请在x轴上找一点P，使得 PP4-PP3的值最大，请直接写出这个最大值是 .
②点 P3-23,P435,请在x轴上找一点P'，使得. P'P4+P'P3最小，请直接写出这个最小值是 .
（3） 【拓展延伸】
①代数式 x2-8x+41+x2-4x+13的最小值是 .
②代数式 x2-24x+153-x2+4的最大值是 .
【答案】（1）22；237
（2）34；89
（3）217；145
【知识点】点的坐标；配方法的应用；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：（1）①∵点A (2，3)，B(4，5)，
∴线段AB长度＝2-42+3-52=22；
②∵N（-3，5），M(-5，-7)，
∴线段MN长度＝-3+52+5+72=237；
故答案为：22；237；
（2）①如图所示，连接P4P3延长交x轴于点P，
∴此时，PP4−PP3的值最大，
∴PP4−PP3的最大值P3P4＝3+22+5-22=34；
②如图所示，作点P3关于x轴的对称点P'（−2，−3），连接P4P'交x轴于点P，则此时PP4＋PP3＝P'P4最小，
∴PP4＋PP3＝P'P4＝3+22+5+32=89，
故答案为：34；89；
（3）①求代数式x2-8x+41+x2-4x+13的最小值，
参考（2）②中的图形，点P（x，0）、点P4（4，5）、点P3（2，3），则P'（2，−3），
∴x2-8x+41+x2-4x+13=x-42+52+x-22+32，
∴x-42+52+x-22+32的最小值=4-22+5+32=217；
②求代数式x2-24x+153-x2+4的最大值，
参考（2）①中的图形，点P3（0，2）、P4（12，3），点P（x，0），
∴代数式的最大值为：P3P4＝12-02+3-22=145，
故答案为：217；145．
【分析】（1）参照题干中的定义及两点之间的距离公式列出算式求解即可；
（2）①连接P4P3延长交x轴于点P，再求出PP4−PP3的最大值P3P4，再利用两点之间的距离公式分析求解即可；
②作点P3关于x轴的对称点P'（−2，−3），连接P4P'交x轴于点P，则此时PP4＋PP3＝P'P4最小，再利用两点之间的距离公式分析求解即可；
（3）①先将原代数式变形为x2-8x+41+x2-4x+13=x-42+52+x-22+32，再利用两点之间的距离公式分析求解即可；
②利用两点之间的距离公式分析求解即可.
20．如图1，在正方形ABCD中，点E是BC上一动点，将正方形沿着AE折叠，使点B落在F处， 连接BF、AF， 延长BF交CD 于点 G.
（1） 【初步探究】在 E的运动过程中，△ABE与△BCG始终保持全等的关系，请说明理由.
（2） 【深入探究】把图1中的AF 延长交CD于点H， 如图2， 若 HCHF=34,BE=7,求线段CE的长.
（3） 【拓展延伸】如图3， 将正方形改成矩形， 同样沿AE折叠， 连接BF， 延长BF、AF交直线CD与点 G、H两点，若 BCAB=m,HCHF=34,直接写出 CEBE的值 (用含m 的代数式表示).
【答案】（1）证明：根据折叠性质可得AE⊥BF，
∴∠EBF＋∠ABF＝90°，
∵∠ABF＋∠BAE＝90°，
∴∠EBF＝∠BAE．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABE＝∠BCG＝90°，AB＝BC，
在△ABE与△BCG中，
∠ABE=∠BCGAB=BC∠EBF=∠BAE，
∴△ABE≌△BCG（ASA）．
（2）解：根据折叠性质可得AB＝AF，
∴∠ABF＝∠AFB，
∵AB//GH，
∴∠ABF＝∠FGH，
∵∠AFB＝∠GFH，
∴∠FGH＝∠GFH．
∴FH＝GH，
设CH＝3x，FH＝GH＝4x，
∴CG＝4x＋3x＝7x，
利用（1）可得BE＝CG＝7，
∴7x＝7，
解得：x＝1．
利用勾股定理可得：EF2＋FH2＝CE2＋HC2，
∴CE2＝72＋42−32＝56，
解得：CE＝214．
（3）49+7m27或1+7m2
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定；三角形全等的判定-ASA；四边形的综合；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（3）解：设BC＝m，AB＝1，
①当H在线段CD上时，
利用折叠可得AB＝AF，
∴∠ABF＝∠AFB，
∵AB//GH，
∴∠ABF＝∠FGH，
∵∠AFB＝∠GFH，
∴∠FGH＝∠GFH．
∴FH＝GH，
设CH＝3x，FH＝GH＝4x，
∴CG＝4x＋3x＝7x，
利用折叠性质可得AE⊥BF，
∠EBF＋∠ABF＝90°，
又∵∠ABF＋∠BAE＝90°，
∴∠EBF＝∠BAE．
又∵∠ABE＝∠BCG＝90°，
∴△ABE∽△BCG．
∴ABBC=BECG，即1m=BE7x，
∴BE＝7xm．
利用勾股定理可得：EF2＋FH2＝CE2＋HC2，
即7xm2+4x2=CE2+3x2，
解得：CE＝49+7m2×xm．
∴CEBE=49+7m2×xm×m7x=49+7m27．
②当H在DC的延长线上时，如图4所示，
同理可得，HC＝3x，FH＝GH＝4x，
∴CG＝x，
同理可证明△ABE∽△BCG，
∴ABBC=BECG，即1m=BEx，
∴BE＝xm．
利用勾股定理可得：EF2＋FH2＝CE2＋HC2，
∴CE2＝(xm)2＋(4x)2−(3x)2，
解得：CE＝1+7m2×xm，
∴CEBE=1+7m2×xm×mx=1+7m2．．
综上，CEBE的值为：49+7m27或1+7m2，
故答案为：49+7m27或1+7m2．
【分析】（1）先利用等角的余角相等可得∠EBF＝∠BAE，再结合∠ABE＝∠BCG＝90°，AB＝BC，利用“ASA”证出△ABE≌△BCG即可；
（2）设CH＝3x，FH＝GH＝4x，利用线段的和差可得CG＝4x＋3x＝7x，再结合BE＝CG＝7，求出x的值，再利用勾股定理求出CE2＝72＋42−32＝56，最后求出CE的长即可；
（3）分类讨论：①当H在线段CD上时，②当H在DC的延长线上时，再利用相似三角形的判定方法和性质列出方程求解即可.
A
B
C
A
（A，B）
（A，C）
B
（B，A）
（B，C）
C
（C，A）
（C，B）
1． 不透明袋子中装有白球2个，红球1个，这些球除了颜色外无其他差别. 从袋子中随机取出1个球，取出白球的概率是 ( )
A．23B．12C．13D．1
2． 以下一元二次方程有两个相等实数根的是 ( )
A．x2-6x=0B．x2-9=0C．x2-6x+9=0D．x2-6x+6=0
3． 某市2022年底森林覆盖面积为akm2；为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2024年底森林覆盖面积为bkm2 (b>a)，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，则符合题意的方程是( )
A．a(1+x)=bB．a1+x2=bC．a(1+2x)=bD．a1+2x2=b
4．下列命题正确的是（ ）
A．正方形的对角线相等且互相平分
B．对角互补的四边形是平行四边形
C．矩形的对角线互相垂直
D．一组邻边相等的四边形是菱形
5． 如图，一块面积为60cm2的三角形硬纸板(记为△ABC)平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1， 若AB：A1B1=2：5，则△A1B1C1的面积是( )
A．90cm2B．135cm2C．150cm2D．375cm2
6． 如图， 菱形ABCD中， 连接AC， BD， 若∠1=20°， 则∠2的度数为( )
A．40°B．50°C．60°D．70°
7． 如图， 点E为□ABCD的对角线BD上一点， DE=1， BE=5， 连接AE并延长至点F， 使得AE=EF， 则CF为( )
A．3B．72C．4D．92
8． 如图，菱形ABCD 的边长为3，∠ADC=60°，过点D作DE⊥AB，交BA的延长线于点E，连结CE分别交 BD， AD 于点G， F， 则FG的长为( )
A．75B．275C．375D．475
二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分
9． 质检部门从1000件电子元件中随机抽取100件进行检测，其中有3件是次品.试据此估计这批电子元件中大约有 件次品.
10． 已知一元二次方程. x2-3x+m=0的一个根为1，则另一个根为 .
11． 已知 ab=25, 则 a+bb的值为 .
12． 如图， 已知E， F分别是正方形 ABCD的边AB， BC上的点， 且DE、DF分别交对角线AC相交于 M、N， 若∠EDF=40°， 则∠BME + ∠BNF = 度.
13． 如图， 在Rt△ABC中， ∠C=90°， BD是△ABC的一条角平分线， E为BD 中点， 连接AE.若AE=AC， CD=4， 则AD= .
三、解答题(本题共7小题, 其中第14题8分, 第15题5分, 第16题7分, 第17题8分, 第18题9分, 第19题12分, 第20题12分, 共61分
14．解方程：
（1）x2+2x-3=0
（2） 2x(x-1)=3-3x
15．已知 a3=b4=c5,a+b+c=24,求a-b+c 的值.
16．为了解同学们最喜欢一年四季中的哪个季节，数学社在全校随机抽取部分同学进行问卷调查，根据调查结果，得到如下两幅不完整的统计图.
根据图中信息，解答下列问题：
（1） 此次调查一共随机抽取了 名同学； 扇形统计图中，“春季”所对应的扇形的圆心角的度数为 度；
（2） 若该学校有1500名同学，请估计该校最喜欢冬季的同学的人数是 人；
（3）现从最喜欢夏季的3名同学A，B，C中，随机选两名同学去参加学校组织的“我爱夏天”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求恰好选到A，B去参加比赛的概率.
17． 如图， 点 E、F、G、H分别是□ABCD各边的中点，连接AF、CE 相交于点M，连接AG、CH相交于点 N， 且AM=AN.
（1） 求证： 四边形AMCN 是菱形；
（2） 若△AEM的面积为2， 求四边形AMCN 的面积.
18．某商店以320元的成本收购了某农产品40kg，目前可以以12元/ kg的价格出售，如果储藏起来，每周会损失1kg，且每星期需要支付各种费用20元，但同时每周每吨的价格上涨4元，设商店储存x周后直接出售，
（1） 则可售出农产品重量是 kg，售出的农产品的价格为 元/kg.
（2） 商店储藏多少周出售这批农产品可获利1184元?
19．【发现问题】
小明在课外书上遇到了下面这道题：已知点A (2，3)，B(4，5)，求线段AB的长度.小明经过思考以后，发现这类问题可以通过勾股定理来解决.思路如下：在平面直角坐标系中，设 P1x1y1,P2x2y2,要求线段. P1P2的长度可以用如下的方法，如图，过 P1作x轴的垂线，垂足为A，过. P2作x轴的垂线，垂足为B，线段AB 长度可表示 AB=x2-x1,过 P1作y轴的垂线，垂足为C，过 P2作y轴的垂线，垂足为D，延长 CP1交 P2B于点E，则线段CD的长度可以表示 CD=y2-y1,且 CD=P2E, 在 Rt△P1P2E中， ∠P1EP2=90°,根据勾股定理可得：
P1P2=P1E2+P2E2=x2-x12+y2-y12
（1） 【解决问题】
①则线段AB 长度是 ；
②如果点N(-3，5)， 点 M-5-7,则线段MN长度是 .
（2） 【知识迁移】
①点. P3-23,P435,请在x轴上找一点P，使得 PP4-PP3的值最大，请直接写出这个最大值是 .
②点 P3-23,P435,请在x轴上找一点P'，使得. P'P4+P'P3最小，请直接写出这个最小值是 .
（3） 【拓展延伸】
①代数式 x2-8x+41+x2-4x+13的最小值是 .
②代数式 x2-24x+153-x2+4的最大值是 .
20．如图1，在正方形ABCD中，点E是BC上一动点，将正方形沿着AE折叠，使点B落在F处， 连接BF、AF， 延长BF交CD 于点 G.
（1） 【初步探究】在 E的运动过程中，△ABE与△BCG始终保持全等的关系，请说明理由.
（2） 【深入探究】把图1中的AF 延长交CD于点H， 如图2， 若 HCHF=34,BE=7,求线段CE的长.
（3） 【拓展延伸】如图3， 将正方形改成矩形， 同样沿AE折叠， 连接BF， 延长BF、AF交直线CD与点 G、H两点，若 BCAB=m,HCHF=34,直接写出 CEBE的值 (用含m 的代数式表示).
答案解析部分
广东省深圳市罗湖区2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题
一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的
1． 不透明袋子中装有白球2个，红球1个，这些球除了颜色外无其他差别. 从袋子中随机取出1个球，取出白球的概率是 ( )
A．23B．12C．13D．1
【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵袋子中装有3个球，其中有1个红球、2个白球，
∴从袋子中随机摸出一个球，摸到白球的概率为：23．
故答案为：A．
【分析】先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
2． 以下一元二次方程有两个相等实数根的是 ( )
A．x2-6x=0B．x2-9=0C．x2-6x+9=0D．x2-6x+6=0
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A、∵x2-6x=0，解得：x1=0，x2=6，∴一元二次方程有两个不相等的实数根，∴A不符合题意；
B、∵x2-9=0，解得：x1=-3，x2=3，∴一元二次方程有两个不相等的实数根，∴B不符合题意；
C、∵x2-6x+9=0，解得：x1=x2=3，∴一元二次方程有两个相等的实数根，∴C符合题意；
D、∵x2-6x+6=0，△=（-6）2-4×1×6=12>0，∴一元二次方程有两个不相等的实数根，∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】先利用解一元二次方程的计算方法分别求出每一项方程的解，再判断即可.
3． 某市2022年底森林覆盖面积为akm2；为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2024年底森林覆盖面积为bkm2 (b>a)，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，则符合题意的方程是( )
A．a(1+x)=bB．a1+x2=bC．a(1+2x)=bD．a1+2x2=b
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，
根据题意可得：a1+x2=b，
故答案为：B.
【分析】设这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，再结合“ 2024年底森林覆盖面积为bkm2 (b>a) ”列出方程a1+x2=b即可.
4．下列命题正确的是（ ）
A．正方形的对角线相等且互相平分
B．对角互补的四边形是平行四边形
C．矩形的对角线互相垂直
D．一组邻边相等的四边形是菱形
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；正方形的性质
【解析】【解答】解：
A、正方形的对角线相等且互相平分，原命题正确，A符合题意；
B、对角相等的四边形是平行四边形，原命题错误，B不符合题意；
C、菱形的对角线互相垂直，原命题错误，C不符合题意；
D、一组邻边相等的平行四边形是菱形，原命题错误，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据正方形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质结合题意对选项逐一分析即可求解。
5． 如图，一块面积为60cm2的三角形硬纸板(记为△ABC)平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1， 若AB：A1B1=2：5，则△A1B1C1的面积是( )
A．90cm2B．135cm2C．150cm2D．375cm2
【答案】D
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：根据题意可知，△A1B1C1与△ABC是位似图形，且位似比为：2：5，
∴S△ABCS△A'B'C'=252=425，
∵S△ABC＝60（cm2），
∴△A1B1C1的面积是60÷425＝375（cm2），
故答案为：D．
【分析】利用位似图形的性质可得S△ABCS△A'B'C'=252=425，再结合S△A1B1C1＝60（cm2），求出△A1B1C1的面积即可.
6． 如图， 菱形ABCD中， 连接AC， BD， 若∠1=20°， 则∠2的度数为( )
A．40°B．50°C．60°D．70°
【答案】D
【知识点】角的运算；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，AC⊥BD，
∴∠DCA＝∠1＝20°，
∴∠2＝90°−∠DCA＝70°，
故答案为：D．
【分析】先利用菱形的性质及平行线的性质可得∠DCA＝∠1＝20°，再利用角的运算求出∠2＝90°−∠DCA＝70°即可.
7． 如图， 点E为□ABCD的对角线BD上一点， DE=1， BE=5， 连接AE并延长至点F， 使得AE=EF， 则CF为( )
A．3B．72C．4D．92
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AC交BD于O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，OD＝12BD，
∵AE＝EF，
∴OE是△ACF的中位线，
∴FC＝2OE，
∵DE＝1，BE＝5，
∴BD＝1＋5＝6，
∴OD＝12×6＝3，
∴OE＝OD−DE＝3−1＝2，
∴FC＝2OE＝4．
故答案为：C．
【分析】连接AC交BD于O，先证出OE是△ACF的中位线，利用中位线的性质可得FC＝2OE，再利用线段的和差求出BD的长和OE的长，最后求出FC＝2OE＝4即可．
8． 如图，菱形ABCD 的边长为3，∠ADC=60°，过点D作DE⊥AB，交BA的延长线于点E，连结CE分别交 BD， AD 于点G， F， 则FG的长为( )
A．75B．275C．375D．475
【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝CD＝AD＝3，∠ABC＝ADC＝60°，AB//CD，
∴∠EAD＝∠ADC＝60°，∠ABD＝12∠ABC＝30°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝∠EDC＝90°，
在Rt△ADE中，∵AE＝12AD＝32，
∴DE＝3AE＝332，
在Rt△CDE中，CE＝DE2+CD2=3322+32=372，
∵BE//CD，
∴△BEG∽△DCG，
∴EGCG=BECD=923=32，
∴EGEC=35，
∴EG＝35×372=9710，
∵AE//CD，
∴△AEF∽△DCF，
∴EFCF=AECD=323=12，
∴EFCE=13，
∴EF＝13×372=72，
∴FG＝EG−EF＝9710-72=275．
故答案为：B．
【分析】先利用菱形的性质及角的运算求出∠ABD＝12∠ABC＝30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得DE＝3AE＝332，利用勾股定理求出CE的长，再证出△BEG∽△DCG，利用相似三角形的性质可得EGCG=BECD=923=32，再将数据代入求出EG的长，再证出△AEF∽△DCF，利用相似三角形的性质可得EFCF=AECD=323=12，再将数据代入求出EF的长，最后利用线段的和差求出FG的长即可.
二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分
9． 质检部门从1000件电子元件中随机抽取100件进行检测，其中有3件是次品.试据此估计这批电子元件中大约有 件次品.
【答案】30
【知识点】用样本的频数估计总体的频数
【解析】【解答】解：根据题意可得：1000×3100=30（件），
∴这批电子元件中大约有30件次品，
故答案为：30.
【分析】先求出抽样中次品率，再乘以1000即可得到答案.
10． 已知一元二次方程. x2-3x+m=0的一个根为1，则另一个根为 .
【答案】2
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：将x=1代入x2-3x+m=0，可得：1-3+m=0，
解得：m=2，
∴一元二次方程为x2-3x+2=0，
∴（x-2）（x-1）=0，
解得：x1=1，x2=2，
∴方程的另一个根式2，
故答案为：2.
【分析】先将x=1代入方程求出m的值可得一元二次方程为x2-3x+2=0，再求出方程的解即可.
11． 已知 ab=25, 则 a+bb的值为 .
【答案】75
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：∵ab=25，
∴a=25b，
∴a+bb=25b+bb=75，
故答案为：75.
【分析】先利用比例线段的性质可得a=25b，再将其代入a+bb计算即可.
12． 如图， 已知E， F分别是正方形 ABCD的边AB， BC上的点， 且DE、DF分别交对角线AC相交于 M、N， 若∠EDF=40°， 则∠BME + ∠BNF = 度.
【答案】80
【知识点】角的运算；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：连接BD，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BAC＝∠DAC＝∠BCA＝∠DCA＝45°，
在△AMB和△AMD中，
AB=AD∠BAC=∠DACAM=AM，
∴△AMB≌△AMD（SAS），
∴MB＝MD，
∴∠MBD＝∠MDB，
∴∠BME＝∠MBD＋∠MDB＝2∠MDB，
同理：△BCN≌△DCN（SAS），
∴NB＝ND，
∴∠NBD＝∠NDB，
∴∠BNF＝∠NBD＋∠NDB＝2∠NDB，
∴∠BME＋∠BNF＝2（∠MDB＋∠NDB）＝2∠EDF＝80°．
故答案为：80．
【分析】连接BD，先利用“SAS”证出△AMB≌△AMD，可得MB＝MD，再利用“SAS”证出△BCN≌△DCN，可得NB＝ND，利用等边对等角的性质可得∠NBD＝∠NDB，最后利用角的运算及等量代换可得∠BME＋∠BNF＝2（∠MDB＋∠NDB）＝2∠EDF＝80°．
13． 如图， 在Rt△ABC中， ∠C=90°， BD是△ABC的一条角平分线， E为BD 中点， 连接AE.若AE=AC， CD=4， 则AD= .
【答案】1+17
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定；三角形的综合；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接CE，过E作EF⊥AC于F，如图所示：
设AD＝x，则AC＝AD＋CD＝x＋4，
∵∠ACB＝90°，E为BD中点，
∴CE＝BE＝DE＝12BD，
∴∠CBE＝∠BCE，∠ECD＝∠EDC，
∴∠CED＝2∠CBD，
∵AE＝AC，
∴∠ECD＝∠AEC，
∴∠AEC＝∠EDC，
∵∠ECD＝∠ACE，
∴△ECD∽△ACE，
∴CEAC=CDCE，∠CED＝∠CAE，
∴CE2＝CD×AC＝4（x＋4）＝4x＋16，
∵BD平分∠CBA，
∴∠CBA＝2∠CBD，
∴∠CBA＝∠CED，
∴∠CBA＝∠CAE，
∵∠ACB＝90°＝∠AFE，
∴△BAC∽△AEF，
∴BCAF=ACEF，
∵CE＝DE，EF⊥BC，
∴CF＝DF＝12CD＝2，
∵E为BD中点，
∴BC＝2EF，
∴2EFx+2=x+4EF，
∴2EF2＝（x＋2）（x＋4），
∵EF2＝CE2−CF2，
∴x+2x+42=4x+16-22，
解得：x＝1＋17或x＝1−17（舍去），
∴BD＝1＋17．
故答案为：1＋17．
【分析】连接CE，过E作EF⊥AC于F，设AD＝x，则AC＝AD＋CD＝x＋4，先证出△ECD∽△ACE，再利用相似三角形的性质可得CEAC=CDCE，∠CED＝∠CAE，再将数据代入可得CE2＝CD×AC＝4（x＋4）＝4x＋16，再证出△BAC∽△AEF，可得BCAF=ACEF，再求出CF＝DF＝12CD＝2，再结合2EFx+2=x+4EF，可得2EF2＝（x＋2）（x＋4），再将数据代入可得x+2x+42=4x+16-22，最后求出x的值即可.
三、解答题(本题共7小题, 其中第14题8分, 第15题5分, 第16题7分, 第17题8分, 第18题9分, 第19题12分, 第20题12分, 共61分
14．解方程：
（1）x2+2x-3=0
（2） 2x(x-1)=3-3x
【答案】（1）解：（x-1）（x+3）=0，
∴x-1=0或x+3=0，
解得：x1=1，x2=-3.
（2）解：（x-1）（2x+3）=0，
∴x-1=0或2x+3=0，
解得：x1=1，x2=-32.
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用十字相乘法（先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数）的计算方法及步骤分析求解即可；
（2）利用因式分解法（先提取公因式，再利用平方差公式或完全平方公式将多项式和的形式变成乘积的形式）的计算方法及步骤分析求解即可.
15．已知 a3=b4=c5,a+b+c=24,求a-b+c 的值.
【答案】解：设a3=b4=c5=k，
∴a=3k,b=4k,c=5k，
根据题意可得：3k+4k+5k=24，
解得：k=2，
∴a=6,b=8,c=10，
∴a-b+c=6-8+10=8.
【知识点】比例线段
【解析】【分析】利用设k法可得a=3k，b=4k，c=5k，再结合a+b+c=24，可得3k+4k+5k=24，求出k的值，可得a、b、c的值，最后将其代入a-b+c计算即可.
16．为了解同学们最喜欢一年四季中的哪个季节，数学社在全校随机抽取部分同学进行问卷调查，根据调查结果，得到如下两幅不完整的统计图.
根据图中信息，解答下列问题：
（1） 此次调查一共随机抽取了 名同学； 扇形统计图中，“春季”所对应的扇形的圆心角的度数为 度；
（2） 若该学校有1500名同学，请估计该校最喜欢冬季的同学的人数是 人；
（3）现从最喜欢夏季的3名同学A，B，C中，随机选两名同学去参加学校组织的“我爱夏天”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求恰好选到A，B去参加比赛的概率.
【答案】（1）120；108
（2）150
（3）解：列表如下：
根据表格得，共有6种等可能的情况，其中恰好选到A，B的有2种情况，所以恰好选到A，B去参加比赛的概率＝26＝13．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本的频数估计总体的频数
【解析】【解答】解：（1）此次调查一共随机抽取了18÷15%＝120（名）同学；
在扇形统计图中，“春季”所对应的扇形的圆心角的度数为360°×36120＝108°，
故答案为：120，108°；
（2）根据题意可得：1500×12120＝150（人），
答：估计该校最喜欢冬季的同学的人数为150人.
【分析】（1）利用“夏季”的人数除以对应的百分比可得总人数，再求出“春季”的百分比并乘以360°可得其对应的圆心角；
（2）先求出“冬季”的百分比，再乘以1500可得答案；
（3）先利用列表法求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
17． 如图， 点 E、F、G、H分别是□ABCD各边的中点，连接AF、CE 相交于点M，连接AG、CH相交于点 N， 且AM=AN.
（1） 求证： 四边形AMCN 是菱形；
（2） 若△AEM的面积为2， 求四边形AMCN 的面积.
【答案】（1）证明：∵H，F分别是AD，BC的中点，
∴AH//FC且AH=FC，
∴四边形AFCH是平行四边形，
∴AF//CH，
∵E，G分别是AB，CD的中点，
∴AE//CG且AE=CG，
∴四边形AECG是平行四边形，
∴AG//CE，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵AM=AN，
∴四边形AMCN是菱形.
（2）解：连接AC，EF，如图所示：
∵E，F分别是AB，BC中点，∴EF//AC且EFAC=12，
∵ △EMF∽△CMA，
∴EFAC=EMMC=12，
∴S△CMA=2S△AEM=4，
∴S四边形AMCN=2S△CMA=8.
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）先利用平行四边形的判定方法和性质证出四边形AMCN是平行四边形，再结合AM=AN，证出四边形AMCN是菱形即可；
（2）连接AC，EF，先利用中位线的性质可得EF//AC且EFAC=12，再利用相似三角形的性质可得EFAC=EMMC=12，再结合S△CMA=2S△AEM=4，求出S四边形AMCN=2S△CMA=8即可.
18．某商店以320元的成本收购了某农产品40kg，目前可以以12元/ kg的价格出售，如果储藏起来，每周会损失1kg，且每星期需要支付各种费用20元，但同时每周每吨的价格上涨4元，设商店储存x周后直接出售，
（1） 则可售出农产品重量是 kg，售出的农产品的价格为 元/kg.
（2） 商店储藏多少周出售这批农产品可获利1184元?
【答案】（1）40-x；12+4x
（2）解：根据题意得：（40−x）（12＋4x）−320−20x＝1184，
整理得：x2−32x＋256＝0，
解得：x1＝x2＝16，
答：商场储藏16周出售这批农产品可获利1184元
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）设商店储存x周后直接出售，
∴可售出农产品重量是（40−x）kg，售出的农产品的价格为（12＋4x）元/kg.
故答案为：（40−x），（12＋4x）.
【分析】（1）根据“ 如果储藏起来，每周会损失1kg ”可得商店储存x周后直接出售，可售出农产品重量是（40−x）kg，再结合“ 目前可以以12元/ kg的价格出售 ”和“ 每周每吨的价格上涨4元 ”可得商店储存x周后直接出售， 售出的农产品的价格为 （12＋4x）元/kg；
（2）利用“总利润=每件利润×总数量-其他费用”列出方程（40−x）（12＋4x）−320−20x＝1184，再求解即可.
19．【发现问题】
小明在课外书上遇到了下面这道题：已知点A (2，3)，B(4，5)，求线段AB的长度.小明经过思考以后，发现这类问题可以通过勾股定理来解决.思路如下：在平面直角坐标系中，设 P1x1y1,P2x2y2,要求线段. P1P2的长度可以用如下的方法，如图，过 P1作x轴的垂线，垂足为A，过. P2作x轴的垂线，垂足为B，线段AB 长度可表示 AB=x2-x1,过 P1作y轴的垂线，垂足为C，过 P2作y轴的垂线，垂足为D，延长 CP1交 P2B于点E，则线段CD的长度可以表示 CD=y2-y1,且 CD=P2E, 在 Rt△P1P2E中， ∠P1EP2=90°,根据勾股定理可得：
P1P2=P1E2+P2E2=x2-x12+y2-y12
（1） 【解决问题】
①则线段AB 长度是 ；
②如果点N(-3，5)， 点 M-5-7,则线段MN长度是 .
（2） 【知识迁移】
①点. P3-23,P435,请在x轴上找一点P，使得 PP4-PP3的值最大，请直接写出这个最大值是 .
②点 P3-23,P435,请在x轴上找一点P'，使得. P'P4+P'P3最小，请直接写出这个最小值是 .
（3） 【拓展延伸】
①代数式 x2-8x+41+x2-4x+13的最小值是 .
②代数式 x2-24x+153-x2+4的最大值是 .
【答案】（1）22；237
（2）34；89
（3）217；145
【知识点】点的坐标；配方法的应用；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：（1）①∵点A (2，3)，B(4，5)，
∴线段AB长度＝2-42+3-52=22；
②∵N（-3，5），M(-5，-7)，
∴线段MN长度＝-3+52+5+72=237；
故答案为：22；237；
（2）①如图所示，连接P4P3延长交x轴于点P，
∴此时，PP4−PP3的值最大，
∴PP4−PP3的最大值P3P4＝3+22+5-22=34；
②如图所示，作点P3关于x轴的对称点P'（−2，−3），连接P4P'交x轴于点P，则此时PP4＋PP3＝P'P4最小，
∴PP4＋PP3＝P'P4＝3+22+5+32=89，
故答案为：34；89；
（3）①求代数式x2-8x+41+x2-4x+13的最小值，
参考（2）②中的图形，点P（x，0）、点P4（4，5）、点P3（2，3），则P'（2，−3），
∴x2-8x+41+x2-4x+13=x-42+52+x-22+32，
∴x-42+52+x-22+32的最小值=4-22+5+32=217；
②求代数式x2-24x+153-x2+4的最大值，
参考（2）①中的图形，点P3（0，2）、P4（12，3），点P（x，0），
∴代数式的最大值为：P3P4＝12-02+3-22=145，
故答案为：217；145．
【分析】（1）参照题干中的定义及两点之间的距离公式列出算式求解即可；
（2）①连接P4P3延长交x轴于点P，再求出PP4−PP3的最大值P3P4，再利用两点之间的距离公式分析求解即可；
②作点P3关于x轴的对称点P'（−2，−3），连接P4P'交x轴于点P，则此时PP4＋PP3＝P'P4最小，再利用两点之间的距离公式分析求解即可；
（3）①先将原代数式变形为x2-8x+41+x2-4x+13=x-42+52+x-22+32，再利用两点之间的距离公式分析求解即可；
②利用两点之间的距离公式分析求解即可.
20．如图1，在正方形ABCD中，点E是BC上一动点，将正方形沿着AE折叠，使点B落在F处， 连接BF、AF， 延长BF交CD 于点 G.
（1） 【初步探究】在 E的运动过程中，△ABE与△BCG始终保持全等的关系，请说明理由.
（2） 【深入探究】把图1中的AF 延长交CD于点H， 如图2， 若 HCHF=34,BE=7,求线段CE的长.
（3） 【拓展延伸】如图3， 将正方形改成矩形， 同样沿AE折叠， 连接BF， 延长BF、AF交直线CD与点 G、H两点，若 BCAB=m,HCHF=34,直接写出 CEBE的值 (用含m 的代数式表示).
【答案】（1）证明：根据折叠性质可得AE⊥BF，
∴∠EBF＋∠ABF＝90°，
∵∠ABF＋∠BAE＝90°，
∴∠EBF＝∠BAE．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABE＝∠BCG＝90°，AB＝BC，
在△ABE与△BCG中，
∠ABE=∠BCGAB=BC∠EBF=∠BAE，
∴△ABE≌△BCG（ASA）．
（2）解：根据折叠性质可得AB＝AF，
∴∠ABF＝∠AFB，
∵AB//GH，
∴∠ABF＝∠FGH，
∵∠AFB＝∠GFH，
∴∠FGH＝∠GFH．
∴FH＝GH，
设CH＝3x，FH＝GH＝4x，
∴CG＝4x＋3x＝7x，
利用（1）可得BE＝CG＝7，
∴7x＝7，
解得：x＝1．
利用勾股定理可得：EF2＋FH2＝CE2＋HC2，
∴CE2＝72＋42−32＝56，
解得：CE＝214．
（3）49+7m27或1+7m2
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定；三角形全等的判定-ASA；四边形的综合；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（3）解：设BC＝m，AB＝1，
①当H在线段CD上时，
利用折叠可得AB＝AF，
∴∠ABF＝∠AFB，
∵AB//GH，
∴∠ABF＝∠FGH，
∵∠AFB＝∠GFH，
∴∠FGH＝∠GFH．
∴FH＝GH，
设CH＝3x，FH＝GH＝4x，
∴CG＝4x＋3x＝7x，
利用折叠性质可得AE⊥BF，
∠EBF＋∠ABF＝90°，
又∵∠ABF＋∠BAE＝90°，
∴∠EBF＝∠BAE．
又∵∠ABE＝∠BCG＝90°，
∴△ABE∽△BCG．
∴ABBC=BECG，即1m=BE7x，
∴BE＝7xm．
利用勾股定理可得：EF2＋FH2＝CE2＋HC2，
即7xm2+4x2=CE2+3x2，
解得：CE＝49+7m2×xm．
∴CEBE=49+7m2×xm×m7x=49+7m27．
②当H在DC的延长线上时，如图4所示，
同理可得，HC＝3x，FH＝GH＝4x，
∴CG＝x，
同理可证明△ABE∽△BCG，
∴ABBC=BECG，即1m=BEx，
∴BE＝xm．
利用勾股定理可得：EF2＋FH2＝CE2＋HC2，
∴CE2＝(xm)2＋(4x)2−(3x)2，
解得：CE＝1+7m2×xm，
∴CEBE=1+7m2×xm×mx=1+7m2．．
综上，CEBE的值为：49+7m27或1+7m2，
故答案为：49+7m27或1+7m2．
【分析】（1）先利用等角的余角相等可得∠EBF＝∠BAE，再结合∠ABE＝∠BCG＝90°，AB＝BC，利用“ASA”证出△ABE≌△BCG即可；
（2）设CH＝3x，FH＝GH＝4x，利用线段的和差可得CG＝4x＋3x＝7x，再结合BE＝CG＝7，求出x的值，再利用勾股定理求出CE2＝72＋42−32＝56，最后求出CE的长即可；
（3）分类讨论：①当H在线段CD上时，②当H在DC的延长线上时，再利用相似三角形的判定方法和性质列出方程求解即可.
A
B
C
A
（A，B）
（A，C）
B
（B，A）
（B，C）
C
（C，A）
（C，B）
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