【甘肃卷】甘肃省白银市靖远县第一中学2024-2025学年高三上学期11月新高考模拟卷暨期中考试（11.13-11.14）数学试卷

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（120 分钟 150 分）
考生须知：
1.本卷侧重：高考评价体系之综合性.
2.本卷怎么考：①考查同一层面、横向的交互融合的综合能力（题7）；②考查不同层面之间、 纵向的融会贯通的综合能力（题 19）.
3.本卷典型情境题：题 3 、11.
4.本卷测试范围：高考全部内容.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.
1. 复数 z = 在复平面内对应的点位于 ( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A 【解析】
【分析】利用复数的除法法则计算可得复数 z ，进而可判断在复平面的对应点所在的象限.
因为 z = = 1+ i ，
所以复数 z 在复平面内对应的点的坐标为（1, 1），位于第一象限. 故选：A.
2. 已知向量 a- ， 的夹角为 ， 则 ）
A. 2 B. · C. D. 5
【答案】C 【解析】
【分析】利用向量的模的计算公式计算可得结论.
故选：C.
3. “一元二次方程ax2 — 2x — 4 = 0 (a ≠ 0) 有一个正根和一个负根”的必要不充分条件是 ( )
A. a > 0 B. a > —1
C. a < 0 D. a > 1
【答案】B 【解析】
【分析】 由根与系数的关系根据条件求得 a 的范围，可判断结论. 【详解】当方程有一个正根和一个负根时，根据根与系数的关系
可知 > 0 ，解得 a > 0 ，
由 a > 0 可以推出 a > —1 ，但 a > —1不一定能推出 a > 0 ，故 B 符合题意. 故选：B.
4. 某校组织了一次数学测试（满分 100 分），所有考生的成绩均在[50, 100] 内，按照50,60)，60,70，[70, 80) ，
[80,90 ， 90, 100]分成五组. 甲、乙两班考生的成绩占比如图所示，则 ( )
A. 成绩在[50,60)内的考生中，乙班人数少于甲班人数
B. 甲班成绩的极差比乙班成绩的极差小 C. 甲班成绩在[80,90)内的人数最多
D. 乙班成绩在[70, 80) 内的人数最多 【答案】C
【解析】
【分析】根据折线图逐一分析判断即可.
【详解】对于 A ，因为不知道甲、乙两班考生的人数，所以成绩在50,60)内的考生中无法比较甲、乙两班 考生的人数，故 A 项错误；
对于 B ，因为不知道甲、乙两班考生分数的具体值，所以无法比较极差的大小，故 B项错误； 对于 C ，由折线图可知甲班成绩在[80,90)内的人数最多，故 C 项正确；
对于 D ，由折线图可知乙班成绩在[60,70)内的人数最多，故 D 项错误. ·
故选：C
5. 抛物线 y2 = 8x 上的点到其准线的距离与到直线 y = 2x + 3 的距离之和的最小值为 ( )
A. ·、i5 B. C. D.
【答案】D 【解析】
【分析】根据抛物线的定义，转化距离，利用数形结合，即可求解. 【详解】抛物线 y2 = 8x 的焦点坐标为 F(2, 0) ，准线方程为 x = 一2 ，
设抛物线上的点M 到其准线的距离为MM , ，点M 到直线 y = 2x + 3 的距离为MN ，
由抛物线的定义可知MM, = MF ，则 MM, + MN = MF + MN ，
其最小值为焦点 F(2, 0) 到直线 y = 2x + 3 的距离，距离 d =
即抛物线 y2 = 8x 上的点到其准线的距离与到直线 y = 2x + 3 的距离之和的最小值为 .
故选：D
6. 如图所示，在三棱柱 ABC 一 A1B1C1 中，若点 E, F 分别满足 ，平面 EB1C1F 将
三棱柱分成体积为V1 , V2 的两部分，则 V1 :V2 = ( )
A. 19 : 8 B. 2 :1 C. 17 :10 D. 16 :11
【答案】A 【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例可求得 S△AEF = S△ABC ，结合棱台和棱柱体积公式可求得结果. , : EF//BC ， EF = BC ， :S△AEF = S△ABC ；
几何体 AEF 一 A1B1C1 为三棱台，
设三棱柱 ABC 一 A1B1C1 的高为 h ，
:V2 = VABC一A1B1C1 一 VABC一A1B1C1 ， : :V2 = 19 :8 .
故选：A.
7. 已知函数 f (x) = ex 一 eπ一x 一 cs x ，若实数 x1，x2 ，x3 成等差数列，且 f (x1 ) + f (x2 ) + f (x3 ) = 0 ，则 x1 + x2 + x3 = ( )
A. 0 B. C. D. 3π
【答案】C 【解析】
先由 f = eπ一x 一 ex + cs x + ex 一 eπ一x 一 cs x = 0 ，得出 f 关于对称；再
由题意得出结果即可.
【详解】因为函数 f (x) = ex 一 eπ一x 一 cs x ，
所以 f (π 一 x) + f (x) = eπ一x 一 ex + cs x + ex 一 eπ一x 一 cs x = 0 ，
所以 f (x ) 关于(|( , 0), 对称；
若实数 x1，x2 ，x3 成等差数列，则 x1 + x3 = 2x2 ， 又因为 f (x1 ) + f (x2 ) + f (x3 ) = 0 ，
所以 x2 = , x1 + x3 = π , 所以x1 + x2 + x3 = .
故选：C.
8. 已知定义在 R 上的函数 f (x )满足 2f (x + y)f (x 一y ) = f (x )+ f (y ) ，且 f (0) ≠ 0 ，则下列结论正 确的是 ( )
A. f (0) = 一1 B. 函数 f (x )为奇函数
C. 函数 f (x )有 2 个零点 D. f (2x ) = f (x )
【答案】D 【解析】
【分析】利用赋值法令 x = y = 0 可判断 A 错误；结合 A 可知 f (0) = 1 ，不满足 f (一x)= 一f (x) ，可得 B
错误；解方程可得 f (x) = 1 或 f (x ) = 一 ，所以函数 y = f (x) 没有零点，即 C 错误；令y = x ，可得
2f (2x)f (0) = f (x) + f (x) ，即 f (2x) = f (x) ，所以 D 正确. 【详解】 由2f (x + y)f (x 一y ) = f (x) + f (y )，
令 x = y = 0 ，可得 2f (0 )2 = 2f (0 ) ，因为f (0) ≠ 0 ，所以 f (0) = 1 ，所以 A 项错误；
函数 f (x) 的定义域为R ，因为f (0) = 1 ，显然不符合 f (一x) = 一f (x)， 所以函数 f (x)不是奇函数，所以 B 项错误；
由2f (x + y)f (x 一y ) = f (x) + f (y ) ，令 y = 0 ，可得 2f (x )2 = f (x )+ f (0 )，
即 2 f (x )2 一 f (x )一1 = 0 ，解得 f (x) = 1 或 f (x ) = 一 ，所以函数 y = f (x)没有零点，所以 C 项错误；
由2f (x + y)f (x 一y ) = f (x) + f (y ) ，令y = x ，可得2f (2x)f (0) = f (x) + f (x) ，
所以2f (2x) = 2f (x) ，即 f (2x) = f (x) ，所以 D 项正确.
故选：D
【点睛】关键点点睛：求解本题关键在于合理利用赋值法解决选项中的问题，对于抽象函数性质问题也可 以联想已学的初等函数性质进行具体化分析，进而得出结论.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 一纸盒中共有 6 张形状和质地一样的卡片，其中4 张是红色卡片，2 张是黄色卡片.现从纸盒中有放回地 随机取 4 次，每次取 1 张卡片，取到红色卡片记 1 分，取到黄色卡片记 0 分，记 4 次取卡片所得的总分数
为X ，则 ( )
A. B.
C. D.
【答案】BC 【解析】
【分析】 由题意可知每次取到红色卡片的概率为 则 对选项逐一判断即可. 【详解】 由题意可知每次取到红色卡片的概率为 则 项错误；
项正确；
项正确； 项错误.
故选：BC
10. 已知曲线 E ： x2 + y2 一 ·i2 x 一 ·i2 y = 0 (x2 + y2 ≠ 0) ，则 ( )
A. 曲线 E 围成的图形的面积为2 + 4π
B. 曲线 E 的长度为 4π
C. 曲线 E 上任意一点到原点的距离的最大值为 2
D. 曲线 E 上任意两点间的最大距离为 4 【答案】BD
【解析】
【分析】首先讨论x, y 的正负，去绝对值，得到函数的曲线方程，并画出曲线 E ，利用数形结合，即可判 断选项.
当 x > 0 ， y > 0 时， 曲线 E ： 2 = 1； 当 x > 0 ， y < 0 时， 曲线 E ： 2 = 1；
当 x < 0 ， y > 0 时， 曲线 E ： 2 = 1； 当 x < 0 ， y < 0 时， 曲线 E ： 2 = 1 .
因为 x2 + y2 ≠ 0 ，所以x ， y 不同时为 0， 画出曲线 E ，如图所示.
曲线 E 围成的图形可分割为 1 个边长为 2 的正方形和 4 个半径为 1 的半圆， 故面积为 2× 2 + 2π = 4 + 2π , 故 A 项错误；
曲线 E 由 4 个半径为 1 的半圆弧组成，故周长为 2× 2π ×1 = 4π , 故 B项正确； 结合图可知曲线 E 上的点到原点的距离的最大值为 2 ，故 C 项错误；
当曲线 E 上的两点的连线同时过圆心及原点时，两点间的距离最大，最大距离为 4 ，故 D 项正确. 故选：BD
11. 设f ′x是三次函数y = f(x) 的导数，f ″x是f ′x)的导数，若方程f,,(x) = 0 有实数解 x0 ，则称点
(x0, f(x0 )) 为三次函数 y = f(x) 的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次 函数图象的对称中心．设函数 f(x) = x3 + bx2 + cx ，则以下说法正确的是 ( )
A. f (x) 的拐点为(|(- , f (|(- ,) ,) B. f (x) 有极值点，则b2 -3c > 0
C. 过 f (x) 的拐点有三条切线 D. 若b = -3 ， c = 1 ，则 f(2 - x) + f(x) = -2
【答案】ABD 【解析】
【分析】A 选项，二次求导，解方程，求出拐点为(|(- , f (|(- ), ), ；B 选项，f,(x) = 3x2 + 2bx + c 有变号
零点，由根的判别式得到不等式，得到 B 正确；C 选项，举出反例 f (x ) = x3 ，求出过 f (x) 的拐点只有 1 条切线；D 选项，二次求导得到函数的拐点 (1, -1)，从而得到对称中心，，得到 D 正确.
【详解】A 选项， f,(x) = 3x2 + 2bx + c ， f,,(x) = 6x + 2b ，
令 f,,(x) = 0 ，解得x = - ，
故 f (x ) 的拐点为(|(- , f |((- ), ), ，A 正确；
B 选项， f (x) 有极值点，则 f,(x) = 3x2 + 2bx + c 有变号零点， 故 Δ = 4b2 -12c > 0 ，故b2 -3c > 0 ，B 正确；
C 选项，不妨设b = c = 0 ，此时 f (x ) = x3 ，拐点为(0, 0) ， f, (x) = 3x2 ，切点为 (x0, y0 ) ， y0 = x ，
故切线方程为 y = 3xx ，
将 (0, 0) 代入 y = 3xx 得， x0 = 0 ，
故过 f (x) 的拐点有 1 条切线，C 错误；
D 选项， b = -3 ， c = 1时， f(x) = x3 -3x2 + x ， f,(x) = 3x2 -6x +1 ， f,,(x) = 6x - 6 ，
令 f,,(x) = 6x - 6 = 0 得， x = 1 ，则 f(1) = 1-3 +1 = -1 ， 故拐点为 (1, -1)，
则 f(x) = x3 - 3x2 + x 关于点 (1, -1)对称， 所以 f(2 - x) + f(x) = -2 ，D 正确.
故选：ABD
【点睛】方法点睛：三次函数是近两年高考常考考点，需要对三次函数图象理解到位， 由于三次函数的导 函数为二次函数，故常常利用二次函数的性质来研究三次函数的性质比如三次函数零点问题，极值点情况 等.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知集合 A = {x∣1 < x < 2} ，集合 B = {x∣x > m} ，若 A ∩(ðRB) = ⑦ , 则 m 的取值范围为 .
【答案】 (-∞, 1] 【解析】
【分析】根据题意，得 A 二 B ，从而可得 m 的取值范围.
【详解】 」A ∩(ðRB ) = ⑦ , : A 二 B ， :m ≤ 1 . 故答案为： m ≤ 1 .
13. 已 知 α 是 第 二 象 限 角 ， 且 sinα + csα = - ， 则 = ，
= .
【答案】 ①. - ②.
【解析】
【分析】首先利用辅助角公式，化简求 的值，再利用角的变换，cs = cs
即可求解.
【详解】 sinα + csα = ·i2 s 得sin (|(α + ), = - ， 因为+ 2kπ < α < π + 2kπ , 则 + 2kπ < α + < + 2kπ , k ∈ Z
故答案为
2
14. 已知椭圆+ y2 = 1 的左、右焦点分别为F1、F2 ，点 P 是y 轴正半轴上一点， PF1 交椭圆于
点 A ，若 AF2 丄 PF1 ，且 △APF2 的内切圆半径为 1 ，则该椭圆的离心率是 .
【解析】
【分析】根据题意结合直角三角形以及内切圆的性质分析可得AF2 - AF1 = 2 ，结合椭圆的定义以及勾股 定理可得 c2 = 2, a2 = 3 ，即可求得椭圆的离心率.
【详解】如图， △APF2 的内切圆与三边分别切于点 E, F, G ，
若 AF2 丄 PF1 ，则 PG = PF , EF2 = FF2 , AG = AE = 1，
因为PF1 = PF2 ，则 GF1 = FF2 ，可得GA + AF1 = AE + AF1 = EF2 ， 则2AE + AF1 = AE + EF2 = AF2 ，可得AF2 - AF1 = 2 AE = 2 ，
因为 AF1 2 + AF2 2 = ( AF2 - AF1 )2 + 2 AF1 . AF2 = 4c 2 ，
即4 + 2AF1 . AF2 = 4c2 ，可得AF1 . AF2 = 2c2 - 2 ，
即4a2 = 4 + 4(2c2 - 2) ，可得 a2 = 2c2 -1 ， 且 a2 = b2 + c2 = 1+ c2 ，解得 c2 = 2, a2 = 3 ，
所以椭圆的离心率是 . 故答案为：
【点睛】方法点睛：椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法，关键是根据已知条件确定 a ，b ，c 的等量关 系或不等关系，然后把 b 用 a ，c 代换，求 e 的值．焦点三角形的作用，在焦点三角形中，可以将圆锥曲线 的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在V ABC 中， 内角A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且 asinB = bsin2A .
（1）求角A 的大小；
若b2 - a2 = c2 ，求 csC .
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再结合二倍角的正弦公式即可得解；
（2）根据余弦定理结合已知求出 a, b, c 之间的关系，再利用余弦定理即可得解. 【小问 1 详解】
因为 asinB = bsin2A ，所以由正弦定理得 sinAsinB = sinBsin2A ， 因为 B ∈(0, π ) ，所以 sinB ≠ 0 ，
所以 sinA = sin2A ，则 sinA = 2sinAcsA ，
因为 sinA ≠ 0 ，所以 csA = 又因为 0 < A < π , 所以A =
又因为(
AF
1
+
AF
2
)2 = (
AF
2
-
2
AF1 ) + 4 AF1
.
AF
2
,
【小问 2 详解】
由余弦定理可得 a2 = b2 + c2 - 2bccs ， :b2 - a2 = bc - c2 ， 又b2 - a2 = c2 ， :bc - c2 = c2 ， :b =
16. 如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1 中，V ABC 是边长为 2 的等边三角形，四边形 BCC1B1 为菱形， 上CBB1 = 60。，三棱柱 ABC - A1B1C1 的体积为 3 .
（1）证明：平面 ABC 丄 平面 BCC1B1 ；
（2）若D 为棱 A1C1 的中点，求平面CDB1 与平面 AB1D 的夹角的正切值. 【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取 BC 的中点 O ，连接 B1O ，由已知得出B1O = 再根据体积求出点B1 到平面 ABC 的距 离，即可得出 B1O 丄 平面 ABC ，即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，由面面夹角的向量公式及同角三角函数的关系求解即可. 【小问 1 详解】
证明：取 BC 的中点 O ，连接B1O ，
因为 BB1 = BC = 2, 上CBB1 = 60 ， 所以△BCB1 为等边三角形，
因为 O为 BC 中点，所以B1O 丄 BC ， B1O = ·BB12 OB2 = ·22 12 = ·3 ， 因为三棱柱 ABC A1B1C1 的体积为 3 ，设 B1 到平面 ABC 的距离为 h ，
所以× 2 × 2 × 3 h = 3 ，所以 h = ，则 B1O 丄 平面 ABC ，
又 B1O 平面 BCC1B1 ，所以平面 ABC 丄 平面 BCC1B1 . 【小问2 详解】
连接 AO ，由（1）知 B1O 丄 平面 ABC ，又 AO 平面 ABC ，所以 AO 丄 B1O ，
因为 O为 BC 的中点， AC = AB ，所以 AO 丄 BC ，且 AO = 3 ，
所以OA, OB, OB1 两两垂直，以 O为坐标原点， OA, OB, OB1 所在直线分别为x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系（如图所示），
则 A( ·i3, 0, 0), B (0, 1, 0 ) ， B1 (0, 0, ·i3 ), C1 (0, 2, v3 ), C (0, 1, 0 )，
因为–A = B––B = –C– = (0, 1, )，
所以 A1 ( ·i3, 1, s3 ) ，因为D 为 A1C1 的中点，所以 则 B– = ((| , , 0,) , B– = (0, 1, ·i3 ), –B– = ( s3, 0, )，
设平面CDB1 的一个法向量 = (x, y, z) ，则 {l〔 .. –– ，即 { 0 ，
令 y = 1 ，解得 x = i3 , z = ，故 = (|( i3, 1, ,) ，
lm . AB1 = 0 l 3a + 3c = 0
设平面 AB1D 的一个法向量 = (a, b, c) ，则 {〔 . B––1–D = 0 ，即 {〔 a b = 0 ，
令 a = ·、i3 ，解得b = 1, c = ，故 = ( ·i3, 1, s3 )，
设平面CDB1 与平面 AB1D 的夹角为θ ,
所以 sinθ= 1 所以 tanθ=
17. 已知函数 f (x ) = x + ae x +1, (a ∈ R) .
（1）若曲线y= f (x )在点(0, f (0))处的切线的斜率为 0 ，求曲线y= f (x )在点(1, f (1)) 处的切线方程；
（2）若函数f (x )有两个零点，求实数 a 的取值范围. 【答案】（1） (e 1)x ey + 2 + e = 0 ；
（2） (0, e2 ) .
【解析】
【分析】（1）先利用 f,(0) = 0 求出 a = 1 ，再求出f, (1) 和 f (1) ，即可得到切线方程；（2）利用导数研究 单调性和极值，由函数 f (x )有两个零点，列不等式即可求解.
【小问 1 详解】
函数 f (x ) = x + ae x +1, (a ∈ R) 定义域为 R , f,(x) = 1 ae x .
因为曲线y= f (x )在点(0, f (0)) 处的切线的斜率为 0 ，所以 f, (0) = 1 ae0 = 0 ，解得： a = 1 ，
所以 = 1 e1 = 1
而 = 1 + ae1 +1 = 2 + 所以曲线y= f (x )在点(1, f (1)) 处的切线方程为： y ，即 x ey + 2 + e = 0 ；
【小问2 详解】
i. 当 a ≤ 0 时，f, (x ) = 1 ae x > 0 恒成立，所以 f (x )在 R 上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意， 舍去；
ii. 当 a > 0 时，令 f, (x ) = 1 ae x > 0 ，解得： x > ln a ；令 f , (x ) < 0 ，解得： x < ln a .
所以 f (x )在 (∞, ln a)上单调递减， f (x )在(ln a, +∞) 上单调递增， 所以 f (x )min = f (lna ) = lna + 2 .
当 x → ∞ , f (x ) → +∞ ; 当 x → +∞ , f (x ) → +∞ ;
所以要使函数 f (x )有两个零点，只需 f (ln a ) = ln a + 2 < 0 ，解得： a < e2 . 即 a ∈ (0, e2 ).
综上所述：实数a 的取值范围为 (0, e2 ) . 【点睛】利用导数研究零点问题：
（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定 极值点和单调区间从而确定其大致图象；
（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过 构造函数 g（x）的方法，把问题转化为研究构造的函数 g（x）的零点问题；
（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研 究；③构造辅助函数研究，
2
18. 已知双曲线 C ：x2 = 1的左、右焦点分别为 F1 ，F2 ，O 为坐标原点，A 为双曲线 C 的左顶点，P
为双曲线 C 右支上的一点（非顶点）， 上F1PF2 的平分线 PM交x 轴于点M .
（1）过右焦点F2 作 F2N 丄 PM 于点 N ，求 ON .
（2）证明：点 P 到双曲线 C 的两条渐近线的距离之积为定值.
过点Q作斜率为 k 的动直线 l 与双曲线 C 的右支交于不同的两点G ，H ，求斜率 k 的取值范围.
【答案】（1）1 （2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）延长 F2 N 交 PF1 于点 E ，利用平面几何知识，结合双曲线的性质可求得ON ；
（2）设点 P 的坐标为(m, n) ，利用点到直线的距离公式计算可求得结论；
（ 3 ） 设 直 线 l 的 方 程 为 联 立 方 程 组 ， 消 元 可 得
x2 + k 利用方程有两个正根可求斜率 k 的取值范围.
【小问 1 详解】
延长 F2 N 交 PF1 于点 E ，如图所示，
因为 PM平分上F1PF2 ， F2N 丄 PM ，
所以 △PNF2 ≌△PNE ，所以PF2 = PE ， F2N = NE ， 所以 N为F2E 的中点.又 O为 F1F2 的中点，
所以 ，且ON∥F1E ，
又 PF1 - PF2 = 2a = 2 ，所以PF1 - PF2 = F1E + PE - PF2 = F1E = 2 ，
所以
【小问2 详解】
2
设点 P 的坐标为 ，则 m2 - = 1 ，即 3m2 - n2 = 3 .
双曲线 C 的渐近线为 x + y = 0 和 ·x - y = 0 ，
故点 P 到两条渐近线的距离之积为
故点 P 到双曲线 C 的两条渐近线的距离之积为定值.
【小问 3 详解】
由题意知直线 l 的方程为+1 ，即 y = kx +1 - k ，与 x2 - = 1联立，
消去y ，得到3x2 - 2 - 3 = 0 ，
整理为 x2 + k
由于直线 l 与双曲线的右支有两个不同的交点 G ， H ，设点G 的坐标为x1, y1，
点 H 的坐标为x2, y2 ，故关于 x 的方程 x2 + k 有两个不同的正数根
x1 ， x2 等价于
〔 k2 (k- 2)2 + (3 -k2 )(k2 - 4k +16)> 0
即 { k (k- 2)(k 2 - 3) > 0 ，
l (3 -k2 )(k2 - 4k +16)< 0
由 k2 - 4k +16 > k2 - 4k + 4 = (k- 2)2 ≥ 0 ，
〔 k2 (k- 2)2 + (3 -k2 )(k2 - 4k +16)> 0
得 { k (k- 2)(k 2 - 3) > 0 ，
l 3 -k2 < 0
而 k2 (k- 2)2 + (3 -k2 )(k2 - 4k +16) = k4 - 4k3 + 4k2 + 3k2 -12k + 48 -k4 + 4k3 -16k2
= -9k2 -12k + 48 = -3(3k2 + 4k-16),
故条件等价于
且k ∈ (-∞, - 3 ) (0, i3 ) (2, +∞ ) ，且k ∈ (-∞, - ·i3 ) ( ·i3, +∞)，
故斜率 k 的取值范围是
【点睛】方法点睛：在平面解析几何中，直线与圆锥曲线的位置关系的题型与联立直线与圆锥曲线的方程， 经常用到根与系数的关系以及根的分布的有关问题，在平时的学习中要注重知识与经验的积累.
19. 若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出 新的数列．现对数列 1 ，2 进行构造，第一次得到数列 1 ，3 ，2；第二次得到数列 1 ，4 ，3 ，5 ，2；依次构 造，第n (n ∈ N*) 次得到的数列的所有项之和记为 an .
（1）设第n 次构造后得的数列为1, x1 , x2 , … , xλ,2 ，则 an = 3 + x1 + x2 + … + xk ，请用含 x1 , x2 , … , xk 的代 数式表达出 an+1 ，并推导出 an+1 与 an 满足的关系式；
（2）求数列{an } 的通项公式 an ；
证明：
【答案】（1） an+1 = 6 + 3(x1 + x2 + …xk ) ， an+1 = 3an - 3 ；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据新数列构造的定义，直接求解即可；
（2）根据递推公式构造 an+1 - 结合等比数列的定义和通项公式求解即可；
（3）利用放缩可得 1 < ，再根据等比数列求和公式证明即可.
an 3n
【小问 1 详解】
设第n 次构造后得的数列为1, x1 , x2 , … , xk , 2 ，则 an = 3 + x1 + x2 + … + xk ，
根据题意可得第 n + 1次构造后得到的数列为 1 ， 1 + x1 , x1 , x1 + x2 , x2 , … , xk -1 + xk , xk , 2 + xk ， 2 ， 所以 an+1 = 6 + 3(x1 + x2 +…xk ) = 6 + 3(an - 3) = 3an - 3 ，
即an+1 与 an 满足的关系式为 an+1 = 3an - 3 . 【小问2 详解】
由 an+1 = 3an - 3 ，可得 an+1 -
所以数列是以 为首项，3 为公比的等比数列， 所以 × 3n-1 ，即 an =
【小问 3 详解】
由（2）得 = × < × = ，