浙江省杭州市拱墅区启正中学2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份浙江省杭州市拱墅区启正中学2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷，共25页。
A．B．C．D．
2．（3分）把一根长12厘米的铁丝按下面所标长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（3分）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ）
A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线D．垂线段最短
4．（3分）如果a＞b，那么下列各式中错误的是（ ）
A．a﹣2＞b﹣2B．＞C．﹣3a＞﹣3bD．5a+2＞5b+2
5．（3分）如图，将一副三角板按照如图方式摆放，则∠ABC的度数为（ ）
A．65°B．70°C．75°D．8°
6．（3分）对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，小明想举一个反例说明它是一个假命题，则符合要求的反例可以是（ ）
A．a＝2，b＝1B．a＝2，b＝﹣1C．a＝﹣1，b＝0D．a＝﹣1，b＝﹣2
7．（3分）如图，是一个中间带有吸管的圆柱形水杯，底面直径为10cm，高度为12cm，现有一根25cm的吸管（底端在杯子底上），放入水杯中，则露在水杯外面的吸管长度为a cm，则a的取值范围是（ ）
A．13≤a≤25B．25﹣2≤a≤25
C．25﹣2≤a≤13D．11≤a≤15
8．（3分）如图，课本上给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是（ ）
A．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等
B．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等
C．两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等
D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等
9．（3分）若一个等腰三角形的一条边是另一条边的k倍，我们把这样的等腰三角形叫做“k倍边等腰三角形”．如果一个等腰三角形是“4倍边等腰三角形”，且周长为18cm，则该等腰三角形底边长为（ ）
A．12cmB．12cm或2cmC．2cmD．4cm或12cm
10．（3分）如图，四边形ABDC中，AC＝DC＝3，∠BAC的角平分线AD⊥BD与点D，E为AC的中点，则△ABD与△EBC面积之差的最大值为（ ）
A．9B．4.5C．3D．1.5
二.填空题（共6小题）
11．（3分）在电影院里，如果用（3，13）表示3排13号，那么2排6号可以表示为 ．
12．（3分）如图，∠A＝50°，∠ABO＝28°，∠ACO＝32°，则∠BOC＝ 度．
13．（3分）在△ABC中，如果∠A：∠B：∠C＝4：5：9，则∠A＝ °．
14．（3分）如图，用40m长的篱笆围成一边靠墙（墙长16米）的长方形ABCD菜园，则AB长的取值范围为 ．
15．（3分）如图，三角形ABC被分成7块面积相等的小三角形，其中AC＝96，BC＝70，则GI的长度为 ．
16．（3分）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形ABCD的边长为b，已知b﹣a＝3，a2+b2＝29，则图2中的阴影部分面积为 ．
三.解答题
17．计算：（1）5x﹣2＞11x+3；
（2）．
18．在数轴上表示不等式组的解，并求出它的整数解．
19．已知，△ABC中AE⊥BC，BD平分∠ABC，∠C＝37°，∠BAC＝2∠C，求∠AFD的度数．
20．某业主货款2.2万元购进一台机器，生产印有巴黎奥运会吉祥物的水杯，已知产品的成本是每个5元，售价是每个8元，应付的税款和其他费用是售价的10%．若每天能生产、销售2000个产品，问至少几天能够赚回这台机器的贷款．
21．如图，已知B，E，C，F在一条直线上，BE＝CF，AC∥DE，∠A＝∠D．
（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）若BF＝30，EC＝10，求BE的长．
22．如图，在△ABC中，DE是边BC的垂直平分线，分别交边AC，BC于点D，E，BF⊥AC，且F为线段AD的中点，延长BF与BC的垂直平分线交于G点，连接CG．
（1）若D是AC的中点，求证：AC＝2AB；
（2）若∠ACB＝30°，求证：△BGC为等边三角形．
23．如图1，△ABC是等腰直角三角形，D是BC中点，BF⊥AE交AE于点G．
（1）求证：△ABH≌△CAE；
（2）若BF平分∠ABC，求证：AH＝EF；
（3）如图2，若F是AC中点，且EF+AE＝kFC，请直接写出k值．
24．综合实践
在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等腰三角形构成的，在两个等腰三角形位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组称此图形为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题．
【探究发现】
（1）如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝30°，点D在AC上，连接BD、CE，且B、D、E三点共线，则图中与线段BD相等的线段是 ，∠BEC＝ °．
【初步运用】
（2）如图2，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α，连接BD、CE交于点O．找出图中与BD相等的线段，并证明；
【迁移应用】
（3）如图3，在四边形ABCD中，点E是四边形内一点，且∠AEB＝∠DEC＝90°，AE＝BE＝6，DE＝EC＝4，请计算AD2+BC2的值．
2024-2025学年浙江省杭州市拱墅区启正中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共10小题）
1．（3分）如图的四个古汉字中，不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的定义判断即可．
【解答】解：观察图形可知，选项B不是轴对称图形，
故选：B．
【点评】本题考查轴对称图形，解题的关键是理解轴对称图形的定义，属于中考常考题型．
2．（3分）把一根长12厘米的铁丝按下面所标长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据三角形的特性：任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边的差一定小于第三边；进行依次分析即可．
【解答】解：A.2+4＝6，两边之和没有大于第三边，所以不能围成三角形；
B．3+3＝6，两边之和没有大于第三边，所以不能围成三角形；
C．2+3＜7，两边之和没有大于第三边；所以不能围成三角形；
D．2+5＞5，5+5＞2，任意两边之和大于第三边，所以能围成三角形；
故选：D．
【点评】本题考查三角形三边关系，解题的关键是掌握三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边的差一定小于第三边．
3．（3分）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（ ）
A．三角形的稳定性B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线D．垂线段最短
【分析】根据三角形的稳定性解答即可．
【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性，
故选：A．
【点评】此题考查了三角形的性质，关键是根据三角形的稳定性解答．
4．（3分）如果a＞b，那么下列各式中错误的是（ ）
A．a﹣2＞b﹣2B．＞C．﹣3a＞﹣3bD．5a+2＞5b+2
【分析】根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵a＞b，
∴a﹣2＞b﹣2，故本选项不符合题意；
B、∵a＞b，3＞0，
∴，故本选项不符合题意；
C、∵a＞b，﹣3＜0，
∴﹣3a＜﹣3b，故本选项符合题意；
D、∵a＞b，
∴5a＞5b，
∴5a+2＞5b+2，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，解题的关键是掌握：当不等式的两边同时乘以或除以一个负数时，不等号的方向要改变．
5．（3分）如图，将一副三角板按照如图方式摆放，则∠ABC的度数为（ ）
A．65°B．70°C．75°D．8°
【分析】先由三角板中角度的特点得到∠FBC＝90°，∠DAE＝45°，∠F＝30°，再由三角形外角的性质得到∠FBA＝15°，则由角的和差关系可得∠ABC＝∠FBC﹣∠FBA＝75°．
【解答】解：∵图中是一副直角三角板，
∴∠FBC＝90°，∠DAE＝45°，∠F＝30°，
∵∠DAE＝∠F+∠FBA，即45°＝30°+∠FBA，
∴∠FBA＝15°，
∴∠ABC＝∠FBC﹣∠FBA＝90°﹣15°＝75°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟知以上知识是解题的关键．
6．（3分）对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，小明想举一个反例说明它是一个假命题，则符合要求的反例可以是（ ）
A．a＝2，b＝1B．a＝2，b＝﹣1C．a＝﹣1，b＝0D．a＝﹣1，b＝﹣2
【分析】根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案．
【解答】解：∵命题“若a2＞b2，则a＞b”，小明想举一个反例说明它是一个假命题，
∴当a＝2，b＝1时，若22＞12，则2＞1，不符合题意，
∴当a＝2，b＝﹣1时，若22＞（﹣1）2，则2＞﹣1，不符合题意，
∴当a＝﹣1，b＝0时，若（﹣1）2＞02，则﹣1＜0，符合题意，
∴当a＝﹣1，b＝﹣2时，不符合若（﹣1）2＞（﹣2）2，不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查命题与定理的知识．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
7．（3分）如图，是一个中间带有吸管的圆柱形水杯，底面直径为10cm，高度为12cm，现有一根25cm的吸管（底端在杯子底上），放入水杯中，则露在水杯外面的吸管长度为a cm，则a的取值范围是（ ）
A．13≤a≤25B．25﹣2≤a≤25
C．25﹣2≤a≤13D．11≤a≤15
【分析】根据杯子内吸管的长度的取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案．
【解答】解：∵将一根长为25cm的吸管，置于底面直径为10cm，高度为12cm的圆柱形水杯中，
∴在杯子中吸管最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度，
∴当杯子中吸管最短是等于杯子的高时，x＝12cm，
最长时等于杯子斜边长度是：x＝＝2（cm），
∴a的取值范围是：25﹣2≤a≤25﹣12，
即25﹣2≤a≤13，
故选：C．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决实际问题．
8．（3分）如图，课本上给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是（ ）
A．两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等
B．两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等
C．两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等
D．两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等
【分析】根据全等三角形的判定进行判断即可．
【解答】解：根据作图可知：两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，其中角的对边不确定，可能有两种情况，故三角形不能确定，
所以两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟知三角形全等的判定是解题的关键．
9．（3分）若一个等腰三角形的一条边是另一条边的k倍，我们把这样的等腰三角形叫做“k倍边等腰三角形”．如果一个等腰三角形是“4倍边等腰三角形”，且周长为18cm，则该等腰三角形底边长为（ ）
A．12cmB．12cm或2cmC．2cmD．4cm或12cm
【分析】设该等腰三角形的较短边长为x cm（x＞0），则较长边长为4x cm．分①x cm为腰；②4x cm为腰两种情况讨论即可．
【解答】解：设该等腰三角形的较短边长为x cm（x＞0），则较长边长为4x cm．
①当x cm为腰时，
∵x+x＜4x，
∴x，x，4x不能组成三角形；
②当4x cm为腰时，4x，4x，x能够组成三角形，
∵4x+4x+x＝18，
∴x＝2，
∴该等腰三角形底边长为2cm．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理，进行分类讨论是解题的关键．
10．（3分）如图，四边形ABDC中，AC＝DC＝3，∠BAC的角平分线AD⊥BD与点D，E为AC的中点，则△ABD与△EBC面积之差的最大值为（ ）
A．9B．4.5C．3D．1.5
【分析】延长AC交BD的延长线于H，过点D作DT⊥AH于T，设△ACD的面积为S，证明△ABD和△AHD全等得S△ABD＝S△AHD，再证明DC＝CH＝AC＝3，根据等底同高的两个三角形的面积相等可得出S△ABD﹣S△EBC＝S，而S＝AC•DE＝1.5DT，由此的当DT为最大时，S为最大，则S△ABD﹣S△EBC为最大，然后根据“垂线段”最短得DT≤DC，则DT＝DC＝3时，DT为最大，最大值为3，据此求出S的值即可得出答案．
【解答】解：延长AC交BD的延长线于H，过点D作DT⊥AH于T，如图所示：
设△ACD的面积为S，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝∠ADH＝90°，
在△ABD和△AHD中，
，
∴△ABD≌△AHD（ASA），
∴S△ABD＝S△AHD，
∵AC＝DC＝3，
∴∠2＝∠3，
又∵∠2+∠H＝90°，∠3+∠CDH＝90°，
∴∠H＝∠CDH，
∴DC＝CH＝3，
∴AC＝CH＝3，
∴S△CDH＝S△ACD＝S，
∴S△AHD＝S△CDH+S△ACD＝2S，
∴S△ABD＝S△AHD＝2S，
∴S△ABH＝S△ABD+S△AHD＝4S，
∵AC＝CH，
∴S△ABC＝S△HBC＝S△ABH＝2S，
∵点E是AC的中点，
∴S△EBC＝S△ABC＝S，
∴S△ABD﹣S△EBC＝2S﹣S＝S，
又∵S＝AC•DE＝×3×DT＝1.5DT，
∴当DT为最大时，S为最大，则S△ABD﹣S△EBC为最大，
根据“垂线段”最短得：DT≤DC，
∴DT＝DC＝3时，DT为最大，最大值为3，
∴S的最大值为：1.5×3＝4.5，
∴S△ABD﹣S△EBC的最大值是4.5．
故选：B．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质，理解等底（或同底）同高（或等高）的两个三角形的面积相等是解决问题的关键．
二.填空题（共6小题）
11．（3分）在电影院里，如果用（3，13）表示3排13号，那么2排6号可以表示为 （2，6） ．
【分析】根据用（3，13）表示3排13号可知第一个数表示排，第二个数表示号，进而可得答案．
【解答】解：∵（3，13）表示3排13号可知第一个数表示排，第二个数表示号，
∴2排6号可以表示为（2，6），
故答案为：（2，6）．
【点评】此题主要考查了坐标确定位置，关键是掌握每个数表示的意义．
12．（3分）如图，∠A＝50°，∠ABO＝28°，∠ACO＝32°，则∠BOC＝ 110 度．
【分析】根据外角性质得：∠BDC＝∠A+∠ABO＝50°+28°＝78°，∠BOC＝∠BDC+∠ACO＝78°+32°＝110°．
【解答】解：∵∠A＝50°，∠ABO＝28°，
∴∠BDC＝∠A+∠ABO＝50°+28°＝78°，
在△ODC中，∠BOC＝∠BDC+∠ACO＝78°+32°＝110°，
故答案为：110．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，明确三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
13．（3分）在△ABC中，如果∠A：∠B：∠C＝4：5：9，则∠A＝ 40 °．
【分析】先根据角的比设出各角的度数，再利用三角形的内角和定理得方程，求解得结论．
【解答】解：∵∠A：∠B：∠C＝4：5：9，
设∠A＝4x°，∠B＝5x°，∠C＝9x°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴4x°+5x°+9x°＝180°．
∴x＝10．
∴∠A＝40°．
故答案为：40．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和等于180°是解决本题的关键．
14．（3分）如图，用40m长的篱笆围成一边靠墙（墙长16米）的长方形ABCD菜园，则AB长的取值范围为 12≤x＜20 ．
【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出相应的不等式组，然后求解即可．
【解答】解：设AB的长为x米，
由题意可得，0＜40﹣2x≤16，
解得12≤x＜20，
故答案为：12≤x＜20．
【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式组．
15．（3分）如图，三角形ABC被分成7块面积相等的小三角形，其中AC＝96，BC＝70，则GI的长度为 30 ．
【分析】根据题意易得：＝，从而可得＝，进而可得EC＝AC＝80；然后根据同理可得：＝，从而可得GC＝EC＝60，再根据同理可得：GI＝GC＝30，即可解答．
【解答】解：∵三角形ABC被分成7块面积相等的小三角形，
∴＝，
∴＝，
∴EC＝AC＝×96＝80；
同理可得：＝，
∴GC＝EC＝×80＝60，
同理可得：＝1，
∴GI＝GC＝×60＝30，
故答案为：30．
【点评】本题考查了三角形的面积，准确熟练地进行计算是解题的关键．
16．（3分）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形ABCD的边长为b，已知b﹣a＝3，a2+b2＝29，则图2中的阴影部分面积为 10 ．
【分析】根据题意可得△IJC≌△KAM可以求出S△IJC＝S△KAM，即可得到图2中的阴影部分面积为S△GDC+S△BCM，用a，b表示后计算即可．
【解答】解：如图2，
∵朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形ABCD的边长为b，
∴GD＝GH＝a，CD＝BC＝b，
∵朱入与朱出的三角形全等，
∴△FNK≌△GHI，
∴FN＝GH＝a，
∵两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，
∴△IJC≌△KAM，△GFN≌△CMB，
∴S△IJC＝S△KAM，BM＝FN＝a，
∴阴影部分面积为S四边形GDJI+S△KAM+S△BCM
＝S四边形GDJI+S△IJC+S△BCM
＝S△GDC+S△BCM
＝
＝
＝ab，
∵b﹣a＝3，a2+b2＝29，
∴，
即阴影部分的面积为10，
故答案为：10．
【点评】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题．
三.解答题
17．计算：（1）5x﹣2＞11x+3；
（2）．
【分析】（1）不等式移项，合并同类项，化系数为1解答即可；
（2）不等式去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1解答即可．
【解答】解：（1）5x﹣2＞11x+3，
移项，得5x﹣11x＞3+2，
合并同类项，得﹣6x＞5，
化系数为1，得x＜﹣；
（2），
去分母，得6x﹣3（x+2）＜2（2﹣x），
去括号，得6x﹣3x﹣6＜4﹣2x，
移项，得6x﹣3x+2x＜4+6，
合并同类项，得5x＜10，
化系数为1，得x＜2．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的基本步骤是解答本题的关键．
18．在数轴上表示不等式组的解，并求出它的整数解．
【分析】先求出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出不等式组的解集，再写出其整数解即可．
【解答】解：，
解不等式①，得：x＞﹣2，
解不等式②，得：x≤﹣，
∴该不等式组的解集为﹣2＜x≤﹣，
其解集在数轴上表示如下：
，
∴该不等式组的整数解为﹣1．
【点评】本题考查一元一次不等式组的整数解、在数轴上表示不等式组的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．
19．已知，△ABC中AE⊥BC，BD平分∠ABC，∠C＝37°，∠BAC＝2∠C，求∠AFD的度数．
【分析】利用三角形的内角和定理先求出∠C、∠EAC、∠ABC的度数，再利用角平分线的性质求出∠ABD的度数，最后利用三角形的外角与内角的关系得结论．
【解答】解：∵AE⊥BC，BD平分∠ABC，
∴∠AEC＝90°，∠ABD＝ABC．
∵∠C＝37°，
∴∠EAC＝90°﹣37°＝53°．
∵∠BAC＝2∠C＝74°，∠BAC＝∠BAE+∠EAC，
∴∠BAE＝74°﹣53°＝21°．
∴∠ABC＝90°﹣∠BAE＝69°．
∴∠ABD＝∠ABC＝34.5°．
∴∠AFD＝∠ABD+∠BAE＝21°+34.5°＝55.5°．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，掌握直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角与内角的关系及角平分线的性质等知识点是解决本题的关键．
20．某业主货款2.2万元购进一台机器，生产印有巴黎奥运会吉祥物的水杯，已知产品的成本是每个5元，售价是每个8元，应付的税款和其他费用是售价的10%．若每天能生产、销售2000个产品，问至少几天能够赚回这台机器的贷款．
【分析】设x天能够赚回这台机器的贷款，利用总利润＝每天的利润×天数，结合总利润不少于贷款金额，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【解答】解：设x天能够赚回这台机器的贷款，
根据题意得：[8×（1﹣10%）﹣5]×2000x≥22000，
解得：x≥5，
∵x为正整数，
∴x的最小值为5．
答：至少5天能够赚回这台机器的贷款．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
21．如图，已知B，E，C，F在一条直线上，BE＝CF，AC∥DE，∠A＝∠D．
（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）若BF＝30，EC＝10，求BE的长．
【分析】（1）由“AAS“可证△ABC≌△DFE；
（2）由线段的和差关系可求解．
【解答】（1）证明：∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
∵AC∥DE，
∴∠ACB＝∠DEF，
在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（AAS）；
（2）解：∵BF＝30，EC＝10，
∴BE+CF＝＝10．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
22．如图，在△ABC中，DE是边BC的垂直平分线，分别交边AC，BC于点D，E，BF⊥AC，且F为线段AD的中点，延长BF与BC的垂直平分线交于G点，连接CG．
（1）若D是AC的中点，求证：AC＝2AB；
（2）若∠ACB＝30°，求证：△BGC为等边三角形．
【分析】（1）连接BD，证出△ABD是等边三角形，得出AB＝AD，则可得出结论；
（2）证出∠CBF＝60°，由等边三角形的判定可得出结论．
【解答】（1）证明：连接BD，
∵DE是边BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，
∵D为AC的中点，
∴DA＝DC，
∴DB＝DA，
∵BF⊥AC，F为AD的中点，
∴AB＝BD，
∴AB＝BD＝AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝AD，
∴AC＝2AB；
（2）证明：∵DB＝DC，∠ACB＝30°，
∴∠DBC＝∠DCB＝30°，
∴∠ADB＝60°，
∵AB＝BD，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠DBF＝30°，
∴∠CBF＝60°，
∵BC的垂直平分线为DE，
∴BG＝CG，
∴△BCG为等边三角形．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，掌握等边三角形的判定是解题的关键．
23．如图1，△ABC是等腰直角三角形，D是BC中点，BF⊥AE交AE于点G．
（1）求证：△ABH≌△CAE；
（2）若BF平分∠ABC，求证：AH＝EF；
（3）如图2，若F是AC中点，且EF+AE＝kFC，请直接写出k值．
【分析】（1）证出∠ABH＝∠CAE，根据ASA可证明△ABH≌△CAE；
（2）证明△ABG≌△EBG（ASA），得出AB＝BE，证明△ABF≌△EBF（SSS），得出∠BAF＝∠BEF＝90°，EF＝CE，由（1）知△ABH≌△CAE，得出AH＝CE，则可得出结论；
（3）过点C作MC⊥AC，交AE的延长线于点M，证明△ACM≌△BAF（SAS），得出CM＝AF，AM＝BF．证明△FCE≌△MCE（SAS），得出EF＝EM，由勾股定理证出BF＝＝AF，则可得出结论．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，∠C＝45°，
∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠BAC＝45°，
∴∠BAH＝∠C，
∵AE⊥BF，
∴∠AGB＝90°，
∴∠BAG+∠EAC＝∠BAG+∠ABG＝90°，
∴∠ABH＝∠CAE，
∴△ABH≌△CAE（ASA）；
（2）证明：∵BF平分∠ABC，
∴∠BAG＝∠EBG，
∵BG＝BG，∠AGB＝∠EGB＝90°，
∴△ABG≌△EBG（ASA），
∴AB＝BE，
∴BF垂直平分AE，
∴AF＝EF，
∵BF＝BF，
∴△ABF≌△EBF（SSS），
∴∠BAF＝∠BEF＝90°，
∵∠C＝45°，
∴EF＝CE，
由（1）知△ABH≌△CAE，
∴AH＝CE，
∴AH＝EF；
（3）解：过点C作MC⊥AC，交AE的延长线于点M，
∵∠CAM＝∠ABF，AB＝AC，∠BAF＝∠ACM＝90°，
∴△ACM≌△BAF（SAS），
∴CM＝AF，AM＝BF．
∵F为AC的中点，
∴AF＝CF＝CM，
∵∠ACB＝45°，
∴∠FCE＝∠ECM，
∵CE＝CE，
∴△FCE≌△MCE（SAS），
∴EF＝EM，
∴AE+EF＝AM＝BF，
在Rt△ABF中，AB＝AC＝2AF，
∴BF＝＝AF，
∴AE+EF＝CF，
∵EF+AE＝kFC，
∴k＝．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
24．综合实践
在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等腰三角形构成的，在两个等腰三角形位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组称此图形为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题．
【探究发现】
（1）如图1，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝30°，点D在AC上，连接BD、CE，且B、D、E三点共线，则图中与线段BD相等的线段是 CE和BC ，∠BEC＝ 30 °．
【初步运用】
（2）如图2，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α，连接BD、CE交于点O．找出图中与BD相等的线段，并证明；
【迁移应用】
（3）如图3，在四边形ABCD中，点E是四边形内一点，且∠AEB＝∠DEC＝90°，AE＝BE＝6，DE＝EC＝4，请计算AD2+BC2的值．
【分析】（1）根据等边对等角的性质和三角形内角和定义与外角的性质，得到∠ADB＝105°，∠CBD＝30°，证明△ABD≌△ACE（SAS），得到BD＝CE，∠AEC＝∠ADB＝105°，进而得到∠BEC＝30°，推出BD＝CE＝BC，即可得到答案；
（2）根据全等三角形的判定定理证明△ABD≌△ACE（SAS），得到BD＝CE，即可得到答案；
（3）连接AC，BD交于O，由∠AEB＝∠DEC＝90°，得到∠AEC＝∠BED，根据全等三角形的性质得到∠CAE＝∠DBE，根据三角形的内角和定理得到∠AOB＝∠AEB＝90°，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝30°，B、D、E三点共线，
∴∠ABC＝∠ACB＝＝75°，∠ADE＝∠AED＝＝75°，
∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝105°，
∴∠CBD＝∠ADB﹣∠ACB＝105°﹣75°＝30°，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠AEC＝∠ADB＝105°，
∴∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝105°﹣75°＝30°，
∴∠CBE＝∠BEC，
∴CE＝BC，
∴BD＝CE＝BC，
∴图中与线段BD相等的线段是CE和BC，∠BEC＝30°，
故答案为：CE和BC，30；
（2）BD＝CE；
证明：在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（3）连接AC，BD交于O，
∵∠AEB＝∠DEC＝90°，
∴∠AEC＝∠BED，
∵AE＝BE，DE＝CE，
∴△AEC≌△BED（SAS），
∴∠CAE＝∠DBE，
∵∠AFE＝∠BFO，
∴∠AOB＝∠AEB＝90°，
∴∠AOD＝∠BOC＝90°，
∴AD2+BC2＝AO2+OD2+BO2+OC2＝AO2+BO2+OD2+OC2＝AB2+CD2＝AE2+BE2+DE2+CE2＝2×62+2×42＝104．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
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