广东省广州大学附中大学城校区2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷

这是一份广东省广州大学附中大学城校区2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）如图，某学校大门口的伸缩门，这种设计利用的是（ ）
A．三角形的稳定性
B．四边形的不稳定性
C．两点之间线段最短
D．长方形的四个角都是直角
2．（3分）下列图标是节水、节能、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．4a2+2a2＝6a4B．5a•2a＝10a
C．a6÷a2＝a3D．（﹣a2）2＝a4
4．（3分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC且与BC相交于点D，∠B＝40°，∠BAD＝30°，则∠C的度数是（ ）
A．70°B．80°C．100°D．110°
5．（3分）一个不等边三角形的两边长分别为3和5，且第三边长为偶数，符合条件的三角形有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
6．（3分）如图，已知△ABC与△DEF，B，E，C，D四点在同一条直线上，其中AB＝DF，BC＝EF，AC＝DE，则∠ACB等于（ ）
A．∠EFDB．∠ABCC．2∠DD．∠AFE
7．（3分）如图，将边长相等的正方形、正五边形和正六边形摆放在平面上，则∠1为（ ）
A．32°B．36°C．40°D．42°
8．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（a+1，﹣1）和点B（2，a﹣1）且直线AB∥x轴，则点（﹣a+2，a﹣1）位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
9．（3分）如图，直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，则∠P与∠B、∠D的数量关系是（ ）
A．2∠P﹣∠B+∠D＝180°B．2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°
C．2∠P+∠B﹣∠D＝180°D．2∠P+∠B+∠D＝360°
10．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°+∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．0个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）如图，把图中∠1、∠2、∠3按由小到大的顺序排列为 ．
12．（3分）某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买），其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有 种购买方案．
13．（3分）已知点M（﹣6，2），则M点关于x轴对称点的坐标是 ．
14．（3分）已知△ABC三边长均为整数，且周长为偶数，若AC﹣BC＝5．则边长AB的最小值是 ．
15．（3分）已知等腰△ABC中．AB＝AC，两腰的垂直平分线交于点P，已知∠BPC＝100°，则等腰三角形的顶角为 ．
16．（3分）如图，BD是等腰△ABC的角平分线，AB＝AC＝6，BC＝8，E为线段BD（端点除外）上的动点，连接AE，作∠EAF＝∠BAC，且AE＝AF，连接DF，当△ADF的周长最小时，则的值是 ．
三、解答题（本大题共7小题，满分0分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
18．已知：如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．
（1）求证：∠A＝∠D；
（2）若BF＝13，EC＝7，则BC的长为 ．
19．已知a、b、c为△ABC的三边长，且b、c满足，a为方程|a﹣3|＝2的解，求△ABC的周长．
20．在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1，格点三角形ABC（顶点是网格线交点的三角形）的顶点A，C的坐标分别是（﹣4，6），（﹣1，4）．
（1）请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系；
（2）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；并直接写出A1，B1，C1的坐标．
（3）请在y轴上求作一点P，使△PB1C的周长最小．
21．（1）如图1，已知，在类似“伞形图”中．AM＝AN，DM＝DN．求证：∠AMD＝∠AND．
（2）如图2，在△AMC中，∠MAC的平分线AD交MC于点D．请你从以下两个条件：①∠AMD＝2∠C；②AC＝AM+MD中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答）
22．在数轴上互不重合的四个点A，B，M，N，如果MA＝2NB或MB＝2NA，那么点M，N叫做A，B两点的“2伴点”．
已知点A，B在数轴上表示的数分别为a，b，且满足|a+b|+|b﹣4|＝0．
（1）填空：a＝ ，b＝ ；
（2）若点M表示的数为2，点N在原点右侧，且点M，N为点A，B的“2伴点”，求点N表示的数；
（3）如图，已知点O表示的数是0，把一根长为3个单位长度的木条PQ放在数轴上（点Q在点P的左侧），使得点P与点O重合．木条PQ以每秒2个单位长度的速度沿数轴匀速向右运动，当木条全部驶出线段OB时，速度变为原来的一半，设木条运动时间为t．当点P，Q为点A，B的“2伴点”时，求满足条件的所有t的值．
23．在平面直角坐标系中，已知点A（8，0），B（0，﹣8），连接AB．
（1）如图①，动点C在x轴负半轴上，且AH⊥BC交BC于点H、交OB于点P，求证：△AOP≌△BOC；
（2）如图②，在（1）的条件下，连接OH，求证：2∠OHP＝∠AHB；
（3）如图③，E为AB的中点，动点G在y轴上，连接GE，作EF⊥GE交x轴于F，猜想GB，OB、AF三条线段之间的数量关系，并说明理由．
2024-2025学年广东省广州大学附中大学城校区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）
1．（3分）如图，某学校大门口的伸缩门，这种设计利用的是（ ）
A．三角形的稳定性
B．四边形的不稳定性
C．两点之间线段最短
D．长方形的四个角都是直角
【分析】利用四边形的不稳定性特点进行解答即可．
【解答】解：学校大门口的电动伸缩门，其中间部分都是四边形的结构，这是应用了四边形的不稳定性．
故选：B．
【点评】此题考查的是四边形的特点，掌握四边形具有不稳定性这一特点是解决此题关键．
2．（3分）下列图标是节水、节能、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．4a2+2a2＝6a4B．5a•2a＝10a
C．a6÷a2＝a3D．（﹣a2）2＝a4
【分析】根据合并同类项、单项式乘单项式、同底数幂相除及幂的乘方与积的乘方进行计算，逐一判断即可．
【解答】解：A.4a2+2a2＝6a2，故本选项不符合题意；
B.5a•2a＝10a2，故本选项不符合题意；
C．a6÷a2＝a4，故本选项不符合题意；
D．（﹣a2）2＝a4，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查合并同类项、单项式乘单项式、同底数幂相除及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
4．（3分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC且与BC相交于点D，∠B＝40°，∠BAD＝30°，则∠C的度数是（ ）
A．70°B．80°C．100°D．110°
【分析】利用三角形角平分线的定义和三角形内角和定理可求出．
【解答】解：AD平分∠BAC，∠BAD＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠C＝180°﹣60°﹣40°＝80°．
故选：B．
【点评】本题主要利用三角形角平分线的定义和三角形内角和定理，关键是熟练掌握相关性质．
5．（3分）一个不等边三角形的两边长分别为3和5，且第三边长为偶数，符合条件的三角形有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】设第三边长为x，根据三角形三边的关系得2＜x＜8，据此求解即可．
【解答】解：设第三边长为x，
∵不等边三角形的两边长分别为3和5，
∴5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8，
又∵三角形为不等边三角形，且第三边长为偶数，
∴x为4、6，
∴符合条件的三角形有2个．
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
6．（3分）如图，已知△ABC与△DEF，B，E，C，D四点在同一条直线上，其中AB＝DF，BC＝EF，AC＝DE，则∠ACB等于（ ）
A．∠EFDB．∠ABCC．2∠DD．∠AFE
【分析】先利用“SSS”证明△ABC≌△DFE，据此得∠ACB＝∠DEF，再结合∠AFE＝∠ACB+∠DEF得∠AFE＝2∠ACB，据此可得答案．
【解答】解：在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（SSS），
∴∠ACB＝∠DEF，
又∵∠AFE＝∠ACB+∠DEF，
∴∠AFE＝2∠ACB，
∴∠ACB＝∠AFE，
故选：D．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7．（3分）如图，将边长相等的正方形、正五边形和正六边形摆放在平面上，则∠1为（ ）
A．32°B．36°C．40°D．42°
【分析】根据正多边形的内角，角的和差，可得答案．
【解答】解：正方形的内角为90°，
正五边形的内角为＝108°，
正六边形的内角为＝120°，
∠1＝360°﹣90°﹣108°﹣120°＝42°，
故选：D．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，利用正多边形的内角是解题关键．
8．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（a+1，﹣1）和点B（2，a﹣1）且直线AB∥x轴，则点（﹣a+2，a﹣1）位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据点A（a+1，﹣1）和点B（2，a﹣1）且直线AB∥x轴，可知点A和点B的纵坐标相等，从而可以得到a﹣1＝﹣1，然后求出a的值即可得出答案．
【解答】解：∵直线AB∥x轴，
∴a﹣1＝﹣1，
解得a＝0，
∴﹣a+2＝2，a﹣1＝﹣1，
∴点（2，﹣1）位于第四象限．
故选：D．
【点评】本题考查坐标与图形的性质，各象限内点的坐标特点，解答本题的关键是明确平行于x轴的直线上的点的纵坐标都相等．
9．（3分）如图，直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，则∠P与∠B、∠D的数量关系是（ ）
A．2∠P﹣∠B+∠D＝180°B．2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°
C．2∠P+∠B﹣∠D＝180°D．2∠P+∠B+∠D＝360°
【分析】设∠PAB＝∠OAP＝x，∠ECP＝∠PCB＝y，利用三角形内角和定理构建方程组解决问题即可．
【解答】解：设∠PAB＝∠OAP＝x，∠ECP＝∠PCB＝y，
∵∠AOB＝∠COD，∠AGP＝∠CGD，
∴∠B+∠BAO＝∠D+∠OCD，∠P+∠PAG＝∠D+∠PCG，
∴，
由①﹣2×②可得∠B﹣2∠P＝﹣∠D﹣180°，
∴2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．
故选：B．
【点评】本题考查角平分线的性质，三角形的内角和定理，理清角之间的关系是解题关键．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°+∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．0个
【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解∠AOB与∠C的关系，进而判定①；在AB上取一点H，使BH＝BE，证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，再证得△HAO≌△FAO，得到AF＝AH，进而判定②正确；作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，根据三角形的面积可证得③正确．
【解答】解：∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB，
∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB
＝180°﹣∠CBA﹣∠CAB
＝180°﹣（180°﹣∠C）
＝90°+∠C，
故①正确；
∵∠C＝60°，
∴∠BAC+∠ABC＝120°，
∵AE，BF分别是∠BAC与ABC的平分线，
∴∠OAB+∠OBA＝（∠BAC+∠ABC）＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AOF＝60°，
∴∠BOE＝60°，
如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO＝∠EBO，
在△HBO和△EBO中，
，
∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH＝∠BOE＝60°，
∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠AOH＝∠AOF，
在△HAO和△FAO中，
，
∴△HAO≌△FAO（ASA），
∴AF＝AH，
∴AB＝BH+AH＝BE+AF，
故②正确；
作OH⊥AC于H，OM⊥AB于M，
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴OH＝OM＝OD＝a，
∵AB+AC+BC＝2b，
∴S△ABC＝×AB•OM+×AC•OH+×BC•OD＝（AB+AC+BC）•a＝ab，
故③正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，正确作出辅助线证得△HBO≌△EBO，得到∠BOH＝∠BOE＝60°，是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）如图，把图中∠1、∠2、∠3按由小到大的顺序排列为 ∠1＜∠2＜∠3 ．
【分析】根据三角形外角性质得出∠3＞∠2，∠2＞∠1，即可得出答案．
【解答】解：在△BDE中，∠3＞∠2，
在△ABC中，∠2＞∠1，
∴∠1＜∠2＜∠3，
所以∠1、∠2、∠3按由小到大的顺序排列为：∠1＜∠2＜∠3．
故答案为：∠1＜∠2＜∠3．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，熟练掌握三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角是解题的关键．
12．（3分）某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买），其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有 4 种购买方案．
【分析】设购买x支笔记本，y个碳素笔，利用总价＝单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，再结合x，y均为正整数，即可得出购买方案的个数．
【解答】解：笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，设购买x支笔记本，y个碳素笔，
依题意得：3x+2y＝28，
∴．
又∵x，y均为正整数，
∴或或或，
∴共有4种不同的购买方案．
故答案为：4．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
13．（3分）已知点M（﹣6，2），则M点关于x轴对称点的坐标是 （﹣6，﹣2） ．
【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．
【解答】解：点M（﹣6，2）关于x轴对称点的坐标是（﹣6，﹣2）．
故答案为：（﹣6，﹣2）．
【点评】此题主要考查了关于x轴的对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
14．（3分）已知△ABC三边长均为整数，且周长为偶数，若AC﹣BC＝5．则边长AB的最小值是 7 ．
【分析】根据AC﹣BC＝5，可知AC、BC中一个奇数、一个偶数，再由△ABC的周长为偶数，可知AB为奇数，再根据AB＞AC﹣BC即可得出AB的最小值．
【解答】解：∵AC﹣BC＝5，
∴AC、BC中一个是奇数、一个是偶数，
又∵△ABC三边长均为整数，且周长为偶数，
∴AB为奇数，且为正整数，
由三角形的三边关系可知，AB＞AC﹣BC，即AB＞5，
∴AB的最小值为7．
故答案为：7．
【点评】本题主要考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
15．（3分）已知等腰△ABC中．AB＝AC，两腰的垂直平分线交于点P，已知∠BPC＝100°，则等腰三角形的顶角为 50°或130° ．
【分析】分两种情况：（1）当P在△ABC的内部时，连接AP，根据垂直平分线性质可得AP＝BP＝CP，根据等边对等角可以求出相应角度，结合三角形内角和可以求出结果；（2）当P在△ABC的外部，连接AP，根据垂直平分线性质，利用等边对等角，结合四边形内角和即可求出结果．
【解答】解：分两种情况：
当P在△ABC的内部，连接AP，如图1，
∵两腰的垂直平分线交于点P，
∴AP＝BP＝CP，
∴∠CAP＝∠ACP，∠BAP＝∠ABP，
∵∠BAC＝∠BAP+∠CAP，∠BPC＝100°，
∠BAP+∠CAP+∠ACP+∠ABP＝2∠BAC，
∵∠BPC＝100°，
∴∠BPA+∠CPA＝360°﹣100°＝260°，
∵∠BPA+∠CPA+2∠BAC＝360°，
∴∠BAC＝50°；
当P在△ABC的外部，连接AP，如图2，
由题意得：AP＝BP＝CP，
∴∠PAC＝∠PCA，∠PBA＝∠PAB，
∴∠PBA+∠PAB+∠PCA+∠PAC＝2∠BAC，
∵∠PBA+∠PAB+∠PCA+∠PAC+∠BPC＝360°，
∵∠BPC＝100°，
∴2∠BAC＝360°﹣100°＝260°，
∴∠BAC＝130°，
则等腰三角形的顶角为50°或130°，
故答案为：50°或130°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线性质，三角形内角和定理，四边形内角和，分两种情况求解是解题的关键．
16．（3分）如图，BD是等腰△ABC的角平分线，AB＝AC＝6，BC＝8，E为线段BD（端点除外）上的动点，连接AE，作∠EAF＝∠BAC，且AE＝AF，连接DF，当△ADF的周长最小时，则的值是 ．
【分析】首先过点D作DN⊥AB、DM⊥BC，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得DM＝DN，从而可得，连接CF，证△ABE≌△ACF，得∠FCA＝∠EBA，所以可得点F在射线CF上运动，作点A关于射线CF的对称点A′，当点A′、F、D三点共线时△AFD的周长最小，此时可得．
【解答】解：如下图所示，过点D作DN⊥AB、DM⊥BC，连接CF，
∵BD平分∠ABC，
∴DN＝DM，，
∴，
∵△ABD和△CDB分别看成以AD、CD为底边，则对应边上的高相同，
∴，
∴，
∵∠BAC＝∠EAF，
∴∠BAE＝∠FAC，
在△ABE和△ACF中
，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴，
∴点F在射线CF上运动，
如图，作作点A关于射线CF的对称点A′，连接A′C，A′F，则A′C＝AC＝AB＝6，A′F＝AF，∠ACF＝∠A′CF，
∴△ADF的周长＝AF+DF+AD＝A′F+DF+AD，
∵AD为定值，
∴如下图所示，当点A′、F、D三点共线时，A′F+DF最小，即△AFD的周长最小，
∵∠ACF＝∠A′CF，
∴同理可得，
∵A′C＝AC，A′F＝AF，，
∴．
【点评】本题考查等腰三角形性质，角平分线的性质、三角形全等的判定与性质及两点之间线段最短，解决本题的关键是根据对称性得到当点A′、F、D三点共线时△AFD的周长最小．
三、解答题（本大题共7小题，满分0分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
【解答】解：由题意得：，
由不等式①得，…（3分）
由不等式②得，x≤4
…（5分）
∴不等式组的解集为：≤4…（6分）
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．已知：如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．
（1）求证：∠A＝∠D；
（2）若BF＝13，EC＝7，则BC的长为 10 ．
【分析】（1）先证BC＝EF，再证△ABC≌△DEF（SSS），即可得出结论；
（2）求出BE＝CF＝3，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠A＝∠D；
（2）解：∵BE＝CF，BF＝13，EC＝7，
∴BE+CF＝BF﹣EC＝6，
∴BE＝CF＝3，
∴BC＝BE+EC＝3+7＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．
19．已知a、b、c为△ABC的三边长，且b、c满足，a为方程|a﹣3|＝2的解，求△ABC的周长．
【分析】依据非负数的性质，即可得到b和c的值，再根据a为方程|a﹣3|＝2的解，即可得到a＝5或1，依据三角形三边关系，即可得到a＝5，进而得出△ABC的周长．
【解答】解：∵，，
∴，
∴b﹣5＝0，c﹣7＝0，
解得b＝5，c＝7，
∵a为方程|a﹣3|＝2的解，
∴a＝5或1，
当a＝1，b＝5，c＝7时，1+5＜7，此时不能组成三角形，故a＝1不合题意；
当a＝5，b＝5，c＝7，5+5＞7，此时能组成三角形，符合题意，
∴△ABC的周长＝5+5+7＝17．
【点评】本题主要考查了非负数的性质，三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
20．在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1，格点三角形ABC（顶点是网格线交点的三角形）的顶点A，C的坐标分别是（﹣4，6），（﹣1，4）．
（1）请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系；
（2）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；并直接写出A1，B1，C1的坐标．
（3）请在y轴上求作一点P，使△PB1C的周长最小．
【分析】（1）利用点A和C点坐标画出直角坐标系；
（2）利用关于x轴对称的点的坐标特征写出点A1，B1，C1的坐标，然后描点即可；
（3）作C点关于y轴的对称点C′，连接C′B1交y轴于P点，利用两点之间线段最短可判断P点满足条件．
【解答】解：（1）如图，
（2）如图，△A1B1C1为所作；A1（﹣4，﹣6），B1（﹣2，﹣2），C1（﹣1，﹣4）；
（3）如图，点P为所作．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了最短路径问题．
21．（1）如图1，已知，在类似“伞形图”中．AM＝AN，DM＝DN．求证：∠AMD＝∠AND．
（2）如图2，在△AMC中，∠MAC的平分线AD交MC于点D．请你从以下两个条件：①∠AMD＝2∠C；②AC＝AM+MD中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答）
【分析】（1）根据SSS证明△AMD≌△AND，由全等三角形的性质可得结论；
（2）选择②为条件，①为结论：在AC取点N，使AN＝AM，连接DN，证明△ADM≌△ADN，可得DM＝DN，∠AMD＝∠AND，再由AC＝AM+MD可得DN＝CN，从而得到∠C＝∠CDN即可解答；
选择①为条件，②为结论：在AC取点N，使AN＝AM，连接DN，证明△ADM≌△ADN，可得DM＝DN，∠AMD＝∠AND，再由∠AMD＝2∠C，可得∠C＝∠CDN，从而得到DN＝CN即可解答；
【解答】（1）证明：在△ADM和△ADN中，
，
∴△ADM≌△ADN（SSS），
∴∠AMD＝∠AND；
（2）解：选择②为条件，①为结论，
如图，在AC取点N，使AN＝AM，连接DN，
∵AD平分∠MAC，
∴∠DAM＝∠DAN，
在△ADM和△ADN中，
，
∴△ADM≌△ADN（SAS），
∴∠AMD＝∠AND，DM＝DN，
∵AC＝AN+NC，AC＝AM+MD，
∴DM＝CN，
∴DN＝CN，
∴∠C＝∠CDN，
∴∠AMD＝∠AND＝∠CDN+∠C＝2∠C；
选择①为条件，②为结论，
如图，在AC取点N，使AN＝AM，连接DN，
同理得：△ADM≌△ADN（SAS），
∴DM＝DN，∠AMD＝∠AND，
∵∠AMD＝2∠C，
∴∠AND＝2∠C＝∠CDN+∠C，
∴∠CDN＝∠C，
∴DN＝CN，
∴DM＝CN，
∵AC＝AN+NC，
∴AC＝AM+MD；
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题关键．
22．在数轴上互不重合的四个点A，B，M，N，如果MA＝2NB或MB＝2NA，那么点M，N叫做A，B两点的“2伴点”．
已知点A，B在数轴上表示的数分别为a，b，且满足|a+b|+|b﹣4|＝0．
（1）填空：a＝ ﹣4 ，b＝ 4 ；
（2）若点M表示的数为2，点N在原点右侧，且点M，N为点A，B的“2伴点”，求点N表示的数；
（3）如图，已知点O表示的数是0，把一根长为3个单位长度的木条PQ放在数轴上（点Q在点P的左侧），使得点P与点O重合．木条PQ以每秒2个单位长度的速度沿数轴匀速向右运动，当木条全部驶出线段OB时，速度变为原来的一半，设木条运动时间为t．当点P，Q为点A，B的“2伴点”时，求满足条件的所有t的值．
【分析】（1）非负性求出a，b的值即可；
（2）分MA＝2NB和MB＝2NA，两种情况进行求解即可；
（3）分0≤t≤2，2＜t≤3.5，t＞3.5三种情况进行求解即可．
【解答】解：（1）∵|a+b|+|b﹣4|＝0，
∴a+b＝0，b﹣4＝0，
∴b＝4，
∴a＝﹣4；
故答案为：﹣4，4；
（2）由（1）知点A，B表示的数分别为﹣4，4，
∵点M表示的数为2，
∴MA＝2+4＝6，MB＝4﹣2＝2，
∵点M，N为点A，B的“2伴点”，
∴MA＝2NB或MB＝2NA，
∴NB＝3或NA＝1，
∵点N在原点右侧，
∴NA＞4，
∴NA＝1不符合题意，舍去；
∴NB＝3，
∴点N表示的数为：4﹣3＝1或4+3＝7；
（3）∵把一根长为3个单位长度的木条PQ放在数轴上，
∴PQ＝3，
∵点P与点O重合，点Q在点P的左侧，
∴PQ移动前，Q点对应的数为﹣3，
∴AQ＝1，BQ＝7，AP＝BP＝4，
当点P移动到点B时，所需时间＝4÷2＝2（秒），
当点Q移动到B点时，所需时间＝（4+3）÷2＝3.5（秒），
∴当0≤t≤2，PA＝2QB时，4+2t＝2（7﹣2t），
解得：，
当0≤t≤2，PB＝2QA时，4﹣2t＝2（1+2t），
解得：，
当2＜t≤3.5，不存在PA＝2QB或PB＝2QA，不满足题意；
当t＞3.5时，点Q表示的数为：4+（t﹣3.5）＝t+0.5，点P表示的数为：2×3.5+（t﹣3.5）＝3.5+t，
PA＝2QB时，t+3.5+4＝2（t+0.5﹣4），
解得：t＝14.5；
PB＝2QA时，t+3.5﹣4＝2（t+0.5+4），
解得：t＝﹣9.5（舍去）；
综上：或或t＝14.5．
【点评】本题考查数轴上两点间的距离，绝对值的非负性，一元一次方程的实际应用，理解“2伴点”的定义是解题的关键．
23．在平面直角坐标系中，已知点A（8，0），B（0，﹣8），连接AB．
（1）如图①，动点C在x轴负半轴上，且AH⊥BC交BC于点H、交OB于点P，求证：△AOP≌△BOC；
（2）如图②，在（1）的条件下，连接OH，求证：2∠OHP＝∠AHB；
（3）如图③，E为AB的中点，动点G在y轴上，连接GE，作EF⊥GE交x轴于F，猜想GB，OB、AF三条线段之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）欲证明△AOP≌△BOC已经有一边，一角相等，只要证明∠HAC＝∠OBC即可．
（2）如图②中，过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点，由△COM≌△PON（AAS），推出OM＝ON．因为OM⊥CB，ON⊥HA，推出HO平分∠CHA，由此即可证明．
（3）结论：当点G在y轴的正半轴上时，BG﹣BO＝AF．当点G在线段OB上时，OB＝BG+AF．当点G在线段OB的延长线上时，AF＝OB+BG；当点G在y轴的正半轴上时，只要证明△GOE≌△FAE，推出OG＝AF，推出BG﹣BO＝GO＝AF即可证明．其余类似证明．
【解答】（1）证明：如图①中，
∵AH⊥BC即∠AHC＝90°，∠COB＝90°
∴∠HAC+∠ACH＝∠OBC+∠OCB＝90°，
∴∠HAC＝∠OBC．
在△OAP与△OBC中，
，
∴△OAP≌△OBC（ASA），
（2）过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点，如图②．
在四边形OMHN中，∠MON＝360°﹣3×90°＝90°，
∴∠COM＝∠PON＝90°﹣∠MOP．
在△COM与△PON中，
，
∴△COM≌△PON（AAS），
∴OM＝ON．
∵OM⊥CB，ON⊥HA，
∴HO平分∠CHA，
∴∠OHP＝∠CHA＝45°，
∵∠AHB＝90°，
∴2∠OHP＝∠AHB．
（3）结论：当点G在y轴的正半轴上时，BG﹣BO＝AF．
当点G在线段OB上时，OB＝BG+AF．
当点G在线段OB的延长线上时，AF＝OB+BG．
当点G在y轴的正半轴上时，理由如下：连接OE，如图3．
∵∠AOB＝90°，OA＝OB，E为AB的中点，
∴OE⊥AB，∠BOE＝∠AOE＝45°，OE＝EA＝BE，
∴∠OAB＝45°，∠GOE＝90°+45°＝135°，
∴∠EAF＝135°＝∠GOE．
∵GE⊥EF即∠GEF＝90°，
∴∠OEG＝∠AEF，
在△GOE与△FAE中，
，
∴△GOE≌△FAE，
∴OG＝AF，
∴BG﹣BO＝GO＝AF，
∴BG﹣BO＝AF．
其余两种情形证明方法类似．
【点评】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
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