2025菏泽高一上学期期中考试数学（B卷）含答案

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合要求的．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
高一数学答案（B）第1页（共4页）
1．B
2．D
3．D
4．C
5．D
6．A
7．B
8．C
9．ABD
10．ABD
11．BCD
12．[ 1,1]
13．-6（2分） -4 （3分）
14．
y


=


a t
(0
≤ ≤
2)
10)
（分界处等号位置不唯一，故答案不唯一）
2
a
(2
< <
4)
a t
+
1 (4 a
3
≤ <
6
解：（1）由已知B
⊆ A
，
所以
 < a 2 < 1,
2
a−2
−
2,
>
2,
分
>
7,
所以
a < −1或a
 < 1,
 >
3或a
< −3,
所以a< −3
；分
（2）由已知A
⊆ B
，
则当A
=φ时，
a
≥a
2
−
2
，
所以
− ≤a
≤
2
，分
当A
=φ时，
 < a 2
a≥1,
2
a−2
−
2,
所以
a < −1或a
a≥1,
− ≤a≤3,
>
2,
≤
7,
所以
2
≤
3
， 分
综上得 1− ≤a
≤
3
分
16．（15分）
解：（1）由偶函数 ( ) f x 在[0, +∞)上单调递减，则在(-∞, 0)上单调递增，分
又 f (2)＝0，则f (-2)＝0，分
17．（15分）
解：原不等式可化为（ax－3）（x－2）＞0；分
当a＝0时，化为x＜2；分
综上所述：原不等式的解集：当a＜0时为（3
a，2）；当a＝0时为（﹣∞，2）；
高一数学答案（B）第2页（共4页）
则
x −2
2
<
2,
− <
x
2
−
2
<
2,
所以0
<
x
2
<
4,
分
所以
−
2
<
x
<
2且x
≠
0,
不等式解集为{ | 2− <
x
<
2
且 ≠
0}
；分
（2）
a
2
−
2
a
+
3
=
(
a
−
1)
2
+
2
≥
2,
0分
又因为
f x ( )在[0,+ )上递减,
所以
f a
2
−
2
a
+
3 )
≤
f
(2
)
=
f
(
−
2),
分
所以
f a
2
−
2
a
+
3)
≤
f
( 2) .
.. .
.1 5分
当a＞0时，化为（x
−
3
）（x－2）＞0，分
a
①当 3
a＞2，即0＜a
＜ 2
时，得x
3
＞ a
或x＜2；分
②当3
a =2，即a
= 2
时，得x≠2；分
③当 3
a＜2，即a
＞
3
时，得x＞2或x
＜
3
，分
2
a
当a＜0时，化为（x
3
− a
）（x－2）＜0，得 3
a＜ x＜2．分
当0＜a
＜ 2
时为（﹣∞，2）∪（3
a，+∞）；当a
= 2
时为（﹣∞，2）∪（2，+∞）；
当a
3
＞ 2
时为（﹣∞，3
a）∪（2，+∞）．分
18．（17分）
19．（17分）
高一数学答案（B）第3页（共4页）
解：（1）由已知 ( ) f x 定义域为{ | x x
≠
1且 ≠ −1}
，关于原点对称，分
f
(
−
x
)
=
1 ( + −
2
x )
=
1
+
2
x
=
f x ( )
，分
1 (− −
2
x )
1
−
2
x
所以 ( ) f x 为偶函数；分
（2）
∀x x , 2
∈ +∞ ，且(1,
x
1
2
，分
f x
2
)
−
f x ( )
1
=
1
+
x
2
2
−
1
+
2
x
1
=
(1
+
x
2
2
)(1
−
2
x
1
)
−
(1
+
2
x
1
)(1
−
x
2
2
)
=
(1
2(
x
2
2
−
2
x
1
)
)
1
−
x
2
2
1
−
2
x
1
(1
−
x
2
2
)(1
−
2
x
1
)
−
x
2
2
)(1
−
2
x
1
=
2(
x
2
−
x
1
)(
x
2
+
x
1
),
分
(1
−
x
2
2
)(1
−
2
x
1
)
因为x x
1 2
∈
(1，+ ∞),
且x
1
<
x
2
所以x
2
−
x
1
>
0,1
−
2
x
1
<
0,1
−
x
2
2
<
0,
所以f x
2
)
−
f x ( )
1
>
0所以f x ( )在(1,+ )上为增函数. 分
（3）
f
( )
=
2
−
(1
−
x
2
)
=
1
2
2
−
1,
因为
x
2
≥
0 ,所以1
−
x
2
≤
1且1
−
x
2
≠
0
，分
1
−
x
2
−
x
当0
< −
x
2
≤
1时,
1
1
2
≥
1 ,所以
1
2
2
≥
2,
所以
1
2
2
− ≥1 1,分
−
x
−
x
−
x
当1
−
x
2
<0时,
1
1
2
<
0 ,所以
1
1
2
<
0,
所以
1
2
2
− < −1,分
−
x
−
x
−
x
所以
f x ( )值域为（
− ∞ −, 1)
∪
[1,
+∞
)
. 分
解：（1）证明：因为
f x ( )
=
1 3
x
9
在[0, 3]上单调递增，
又
f
(0)
=
0
，f (3)
=3
，
所以当
x∈[0
，3]时，
f x ( )
=
1 3
x
9
∈
[0
，3]，分
所以[0, 3]是函数
f x ( )
=
1 3
x
9
的一个“优美区间”；分
（2）证明：因为
g x ( )
1
= − x
，
x≠0
，
易知
g x 在(
−∞,0)
和(0,
+∞ 上单调递增，分
设[m， ] n ⊆ −∞,0)
或[m， ] n ⊆
(0,
+∞ ，
若[m， ] n 是函数
y
= g x ( )
的“优美区间”，
高一数学答案（B）第4页（共4页） 则
 −

1
≥
m
,
分，
m
 −

1
≤
n ,
n
所以


m
2
−
m
+
1
≤
0,
m


n
2
−
n
+
1
≥
0,
n
因为
m
2
−
m
+ >
0，n
2
−
n
+ >
0
，所以
m < >

0,
不满足题意，
0,
所以函数
y
= g x ( )
不存在“优美区间”；分
（3）因为
h x ( )
=
(
a
2
+
a x
−
1
(
a
∈
R,
a
≠
0)
，
x≠0
，
2
a x
设[m， ] n ⊆ −∞,0)
或[m， ] n ⊆
(0,
+∞ ，
又因为
y
=h x ( )
有优美区间[m， ] n ，
则
h x ( )
=
a
+
1
−
1
在[m， ] n 上单调递增，
a
2
a x
所以

h m ( )
≥
m ,
因
f x 单调递增，若n-m取得最大值，则

h m ( )
=
m ,
分
h n ( )
≤
n ,
h n ( )
=
n ,
即m, n是方程
a
+ −
1
=
x
，即
a x
2
−(
2
+
a x
+ =
0
的两个同号且不相等的实数根，
a
2
a x
又因为∆
=
(
a
2
+
a
)
2
−
4
a
2
=
a
2
(
a
+
3)(
a
−
1)
>
0
，
解得
a > 或
a< − ，
由韦达定理可得
m
+
n
= +
1
，
mn
1
= a 2
，
a
所以
n
−
m
=
(
n
+
m
)
2
−
4
mn
=
(1
+
1
)
2
−
4
=
4
−
3(
1
−
1
)
2
，
a
a
2
3
a
3
又因为
a > 或
a< − ，
所以当
a=3
时，n
−m
取得最大值．分
所以
a=3
．