云南省昆明市寻甸回族彝族自治县第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

这是一份云南省昆明市寻甸回族彝族自治县第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题，共13页。试卷主要包含了选择题的作答，填空题和解答题的作答，关于复数，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集，集合，，，则下列运算正确的是
A．B．
C．D．
2．抛物线的准线方程为
A．B．C．D．
3．已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为
A．B．或
C．D．或
4．设，，，则
A．B．C．D．
5．设，则“方程表示双曲线”的必要不充分条件为
A．B．C．D．
6．在中，，已知点，，设点到直线的最大距离为，点到直线的最大距离为，则
A．B．C．D．
7．如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为奇数”，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是
A．事件与互斥B．
C．D．，，两两相互独立
8．如图，过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则
A．1B．C．D．2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．关于复数，下列说法正确的是
A．
B．若，则在复平面内对应的点的集合为以原点为圆心，1为半径的圆
C．如果，那么是纯虚数
D．若复数满足，则在复平面对应的点是
10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过左焦点作直线与的右支交于点，与轴交于点，若为正三角形，则
A．双曲线的焦距为B．双曲线的虚轴长为2
C．双曲线的离心率为D．的面积为
11．如图，平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为6，且，则
A．B．
C．向量与的夹角是D．异面直线与所成角的余弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，若，则的短轴长为________．
13．已知函数，若，则________．
14．已知双曲线的左、右焦点分别是，，过点的直线与交于，两点，且，现将平面沿所在直线折起，点到达点处，使面面，若，则双曲线的离心率为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中证明了平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，这个圆被称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，，，动点满足，设动点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）过点作直线与曲线相切，求直线的方程．
16．（本小题满分15分）已知抛物线的焦点为．
（1）求的方程；
（2）若过点的直线与抛物线交于，两点．是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由．
17．（本小题满分15分）如图，在直三棱柱中，，侧面为正方形，，，分别为，的中点．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
18．（本小题满分17分）已知双曲线的左、右焦点分别为，，的一条渐近线方程为，过且与轴垂直的直线与交于、两点，且的周长为16．
（1）求的方程；
（2）过作直线与交于、两点，若，求直线的斜率．
19．（本小题满分17分）如图，椭圆的左右焦点分别为、，设是第一象限内椭圆上的一点，、的延长线分别交椭圆于点，
（1）若轴，求的面积；
（2）若，求点的坐标；
（3）求的最大值．
月考卷
一、选择题
1．D 【解析】对A，，故A错误；对B，，故B错误；对C，，故C错误；对D，，故D正确．故选D．
2．B 【解析】∵，∴，∴准线方程为．故选B．
3．D 【解析】当双曲线的焦点在轴时，设双曲线的标准方程为：，因为实轴长为4，所以得，因为双曲线的渐近线方程为：，所以有，因此，所以双曲线的方程为：；当双曲线的焦点在轴时，设双曲线的标准方程为：，因为实轴长为4，所以得，因为双曲线的渐近线方程为：，所以有，因此，所以双曲线的方程为：．综上所述，双曲线的方程为或．故选D．
4．C 【解析】由，，知，，又，，函数单调递增，所以，即，故．故选C．
5．B 【解析】若该方程表示双曲线，则，即，又，解得，对A，是充要条件，故A错误；对B，真包含于，则是必要不充分条件，故B正确；对C，真包含于，则是充分不必要条件，故C错误；对D，与互不包含，则是既不充分又不必要条件，故D错误．故选B．
6．D 【解析】由已知，，则6，由，再由正弦定理可知，所以动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为12的椭圆，不含左、右顶点，所以当且仅当点是椭圆的上、下顶点时，点到直线的距离最大为，当时，点到直线的距离最大为，所以．故选D．
7．C 【解析】由题意得，事件的样本点为，事件的样本点为，事件的样本点为，所以，对A，事件与共有样本点2，3，所以不互斥，故A错误；对B，事件样本点为，所以，故B错误；对C，因为事件样本点，可得，所以，故C正确；对D，因为，，且事件样本点，则，可得，所以事件与不相互独立，故D错误．故选C．
8．A 【解析】由双曲线，可得，，则，且，设是双曲线的右焦点，连接，因为，分别为，的中点，，在直角中，可得，又由双曲线的定义，可得，所以．故选A．
二、选择题
9．ABD 【解析】A选项，由虚数单位的定义，，则，故A正确；B选项，设在复平面内的点为，由，即，点在以为圆心，1为半径的圆上，故B正确；C选项，若，那么是实数，故C错误；D选项，，所以在复平面对应的点是，故D正确．故选ABD．
10．AC 【解析】因为，，所以，，，故A正确；因为为等边三角形，所以，，因为，，由对称性可知，（为原点）又因为，所以在中，，得，所以，，故虚轴长为，离心率，故错误，C正确；因为，故D错误．故选AC．
11．AB 【解析】设，，，因为各条棱长均为6，且，所以，因为，所以，，故A正确；由，所以，所以，故B正确；因为，，，所以，所以向量与的夹角是，即所以向量与的夹角是，故C错误；因为，，，，，所以，故异面直线与所成角的余弦值为，故D错误．故选AB．
三、填空题
12． 【解析】设，易知，结合，可知为等腰直角三角形，所以，故，所以，所以的短轴长为．故答案为．
13．1 【解析】令，，则，，故，得．故答案为1．
14． 【解析】由题意，，所以，，因为，所以，，又平面平面，平面平面，且面，所以平面，又平面，所以，所以，，因为，所以由余弦定理有，即，所以，即，所以或，又离心率，所以．故答案为．

四、解答题
15．解：（1）设，由，得，
整理得，即曲线的方程为．（4分）
（2）因为，所以点在圆外，（6分）
当直线斜率不存在时，与圆不相切，当直线斜率存在时，设直线为，则圆心到直线的距离，（8分）
整理得，当时，直线的方程为，（10分）
当时，直线的方程为．（13分）
16．解：（1）抛物线的焦点为，依题意，解得，（2分）
所以抛物线．（3分）
（2）为定值，（4分）
由题意知直线斜率不为0，设直线的方程为，，，
联立抛物线有，消去得，则，
∴，，又，，（8分）
∴
．
∴为定值．（15分）
17．解：（1）连接，在中，因为，分别为，的中点，所以，
因为直三棱柱中，为侧棱，所以平面，因为平面，
所以，又，，，平面，
所以平面，（3分）
因为平面，所以，又，所以．（5分）
（2）因为，，两两垂直，所以以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图空间直角坐标系，
则，，，，，因此，，．
设平面的一个法向量为，则，
取，则，，于是，（11分）
设直线与平面所成角为，所以．
所以直线与平面所成角的正弦值为．（15分）
18．解：（1）∵时，，∴，（1分）
∴，（2分）
∴，（4分）
．（6分）
（2）由（1）知，显然直线的斜率存在，当的斜率为0时，不成立，（7分）
当的斜率不为0时，设，，，
∵．（9分）
，，，（10分）
∴，．（12分）
又∵，∴．∴，∴，（14分）
∴，（16分）
故直线的斜率为或．（17分）
19．解：（1）设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，由椭圆，得，，
则，，，所以，，当时，，得，
所以，（2分）
所以的面积为．（4分）
（2）设点的坐标为，则直线的方程为，
将其代入椭圆方程中可得，整理得，
所以，得，
所以，（7分）
因为，所以，可得，化简得，解得，代入得出，所以点的坐标为．（9分）
（3）由（2）得，同理可求得，（11分）
所以
，当且仅当，即，时
取等号，所以的最大值为．（17分）